中職高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測5.3 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（講）（解析版）

5.3三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)【考點(diǎn)梳理】1．“五點(diǎn)法”作圖(1)在確定正弦函數(shù)y＝sinx在[0，2π]上的圖象形狀時，起關(guān)鍵作用的五個點(diǎn)是，，，，．(2)在確定余弦函數(shù)y＝cosx在[0，2π]上的圖象形狀時，起關(guān)鍵作用的五個點(diǎn)是(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，0))，(2π，1)．2．周期函數(shù)的定義對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．3．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝sinxy＝cosxy＝tanx定義域圖象值域R對稱性對稱軸：x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；對稱中心：(kπ，0)對稱軸：x＝kπ(k∈Z)；對稱中心:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)無對稱軸；對稱中心:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)最小正周期2π2ππ單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間:eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)；單調(diào)減區(qū)間:eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)單調(diào)增區(qū)間:[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；單調(diào)減區(qū)間:[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)單調(diào)增區(qū)間:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)考點(diǎn)一三角函數(shù)的周期、奇偶性【例題】（1）函數(shù)的最小正周期為，則的值為（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】A【解析】由，∴，故選：A.（2）下列函數(shù)最小正周期為的是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】對于A，的最小正周期，故A錯誤；對于B：的最小正周期，故B正確；對于C：的最小正周期，故C錯誤；對于D：的最小正周期，故D錯誤；故選：B.（3）設(shè)函數(shù)，則是（

）A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】B【解析】由，可得，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即是最小正周期為的偶函數(shù).故選：B.（4）以下四個函數(shù)中，在上為減函數(shù)，且以為周期的偶函數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對A，最小正周期為，且在上為增函數(shù)，并為奇函數(shù)，不滿足要求；對B，在上為減函數(shù)，且以為周期的偶函數(shù)，符合要求；對C，在上為增函數(shù)，且為偶函數(shù)，不符合要求；對D,在上為減函數(shù)，但是以為周期的偶函數(shù)，不符合要求，故選：B.（5）函數(shù)的周期為.【答案】【解析】，所以的周期為：，故答案為：.【變式】（1）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，函數(shù)，根據(jù)正弦型函數(shù)的周期的計算公式，可得函數(shù)的最小正周期為，故選：C.（2）函數(shù)是（

）A．最小正周期為的奇函數(shù)B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的非奇非偶函數(shù)D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】A【解析】，故f(x)是最小正周期為2π的奇函數(shù)，故選：A.（3）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)的最小正周期為，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，則，故選:.（4）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，最小正周期為，故選：B.（5）函數(shù)的最小正周期是.【答案】【解析】，故最小正周期，故答案為：.考點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)性、最值【例題】（1）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】，令，解得，故選：D.（2）以下四個函數(shù)中，在上為減函數(shù)，且以為周期的偶函數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對A，最小正周期為，且在上為增函數(shù)，并為奇函數(shù)，不滿足要求；對B，在上為減函數(shù)，且以為周期的偶函數(shù)，符合要求；對C，在上為增函數(shù)，且為偶函數(shù)，不符合要求；對D,在上為減函數(shù)，但是以為周期的偶函數(shù)，不符合要求，故選：B.（3）已知函數(shù)，則的（

）A．最小正周期為，最小值為 B．最小正周期為，最小值為C．最小正周期為，最小值為 D．最小正周期為，最小值為【答案】B【解析】因為，所以最小正周期為,最小值為，故選：B.（4）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A．0B．－C． D．2【答案】D【解析】∵，∴，∴，即函數(shù)有最大值2，故選：D.（5）函數(shù)的最小值是.【答案】1【解析】當(dāng)，時，即，時，取得最小值為，此時取得最小值為1，故答案為：1.【變式】（1）函數(shù)，x∈R在（

）A．上是增函數(shù)B．上是減函數(shù)C．上是減函數(shù)D．上是減函數(shù)【答案】B【解析】，所以在上遞增，在上遞減.B正確，ACD選項錯誤，故選：B.（2）函數(shù)的一個遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于函數(shù)，令，求得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，，當(dāng)時，可得該函數(shù)的一個減區(qū)間為，故選：B.（3）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，由，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A.（4）已知函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別是（

）A．2和－2B．2和0C．2和－1 D．和【答案】C【解析】由題知，得，即函數(shù)，又∵，∴,即，，故函數(shù)的最大值為2，最小值為－1，故選：.（5）已知，則的最大值為.【答案】【解析】，其中，，故答案為：.考點(diǎn)三三角函數(shù)圖像的對稱性【例題】（1）函數(shù)的圖象的一個對稱軸方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于函數(shù)，令，解得，故函數(shù)的對稱軸方程為，令，可知函數(shù)的一條對稱軸為，故選：C.（2）函數(shù)的圖象中，相鄰兩條對稱軸之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的最小正周期是，因此相鄰兩條對稱軸之間的距離是，故選：C．（3）若點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個對稱中心，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可得，，所以，，當(dāng)時，，故選：C.（4）函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于點(diǎn)對稱 B．關(guān)于點(diǎn)對稱C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】D【解析】由題設(shè)，由余弦函數(shù)的對稱中心為，令，得，，易知A、B錯誤；由余弦函數(shù)的對稱軸為，令，得，，當(dāng)時，，易知C錯誤，D正確，故選：D.（5）函數(shù)（）的對稱軸方程為.【答案】【解析】函數(shù)（）的對稱軸方程為:，故答案為：.【變式】（1）函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】B【解析】可得是由向上平移1個單位得到，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得的圖象關(guān)于軸對稱，故選：B.（2）已知函數(shù)，則下列是函數(shù)圖象的對稱中心的坐標(biāo)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則，故圖象的對稱中心為，故選：A.（3）下列直線中，函數(shù)的對稱軸是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令且，則對稱軸方程為且，顯然時對稱軸為，不存在有對稱軸為、、，故選：B.（4）函數(shù)圖象的對稱中心是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，解得，則圖象的對稱中心為．故選：D.（5）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，那么的最小值為.【答案】【解析】由題意，，則，解得，∴當(dāng)時，的最小值為，故答案為：.【方法總結(jié)】1．三角函數(shù)的定義域的求法三角函數(shù)的定義域是研究其他一切性質(zhì)的前提，求三角函數(shù)的定義域事實上就是解最簡單的三角不等式(組)．一般可用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線來確定三角不等式的解．列三角不等式時，要考慮全面，避免遺漏，既要考慮分式的分母不能為零；偶次方根的被開方數(shù)不小于零；對數(shù)的真數(shù)大于零及底數(shù)大于零且不等于1，又要考慮三角函數(shù)本身的定義域(如正切函數(shù))等．2．三角函數(shù)值域的求法求三角函數(shù)的值域常見的有以下幾種類型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域．3．判斷三角函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先判定函數(shù)定義域的對稱性，注意偶函數(shù)的和、差、積、商仍為偶函數(shù)；復(fù)合函數(shù)在復(fù)合過程中，對每個函數(shù)而言，“同奇才奇、一偶則偶”．一般情況下，需先對函數(shù)式進(jìn)行化簡，再判斷其奇偶性．4．求三角函數(shù)的周期(1)求三角函數(shù)的周期，通常應(yīng)將函數(shù)式化為只有一個函數(shù)名，且角度唯一，最高次數(shù)為一次的形式，然后借助于常見三角函數(shù)的周期來求．(2)三角函數(shù)的最小正周期的求法有：①由定義出發(fā)去探求；②公式法：化成y＝Asin(ωx＋φ)，或y＝Atan