中職高考數(shù)學一輪復習講練測6.3 等比數(shù)列（講）（解析版）

6.3等比數(shù)列【考點梳理】1．等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，且G2＝ab或G＝±eq\r(ab).3．等比數(shù)列的通項公式若{an}是等比數(shù)列，則通項an＝a1qn－1或an＝amqn－m.4．等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列{an}中，Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(，q＝1，,\b\lc\(\a\vs4\al\co1())＝\b\lc\(\a\vs4\al\co1())，q≠1.,))(na1、eq\f(a1（1－qn）,1－q)、eq\f(a1－anq,1－q))求和公式的推導方法是：乘公比，錯位相減.5．等比數(shù)列的性質(zhì)(1)在等比數(shù)列中，若p＋q＝m＋n，則ap·aq＝am·an；若2m＝p＋q，則aeq\o\al(2,m)＝ap·aq(p，q，m，n∈N*)．(2)若{an}，{bn}均為等比數(shù)列，且公比分別為q1，q2，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{p·an}(p≠0)，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍為等比數(shù)列且公比分別為eq\f(1,q1)，q1，q1q2，eq\f(q1,q2).(3)在等比數(shù)列中，按序等距離取出若干項，也構成一個等比數(shù)列，即an，an＋m，an＋2m，…仍為等比數(shù)列，公比為qm．(4)公比不為－1的等比數(shù)列前n項和為Sn(Sn≠0)，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…構成等比數(shù)列，且公比為qn．(5)等比數(shù)列的單調(diào)性：①當a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1時，等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；②當a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1時，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；③當q＝1時，它是一個常數(shù)列；④當q＜0時，它是一個擺動數(shù)列．考點一等比數(shù)列及其通項公式【例題】（1）對于無窮常數(shù)列7，7，…，7…，下列說法正確的是（

）A．該數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 B．該數(shù)列是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列C．該數(shù)列是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列 D．該數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列【答案】D【解析】由題意可知，對于無窮常數(shù)列7，7，…，7…是以7為首項，0為公差的等差數(shù)列；同時也是以7為首項，1為公比的等比數(shù)列，故選：D.（2）等比數(shù)列中，已知：，，則公比（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】因為是等比數(shù)列，所以，故，故選：B.（3）已知、、成等比數(shù)列，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為、、成等比數(shù)列，所以，解得，故選：C.（4）已知數(shù)列的通項公式為，那么9是它的（

）A．第10項 B．第4項 C．第3項 D．第2項【答案】C【解析】因為數(shù)列的通項公式為，令，解得，所以9是數(shù)列的第3項，故選：C.（5）等比數(shù)列的前n項和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】設等比數(shù)列的公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，化為：，解得，故選：D.（6）在數(shù)列中，，，則．【答案】64【解析】在數(shù)列中，，即，又因為，所以，所以，所以數(shù)列是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以，故答案為：64.【變式】（1）在等比數(shù)列中，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，，故選：C．（2）已知成等比數(shù)列，則x的值為（

）A．8 B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，，解得，故選：C.（3）已知正項等比數(shù)列中，公比，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因為，所以，所以，因為，所以，所以，故選：A.（4）若是與的等比中項，則的值為（

）A．－1 B．0 C．1 D．【答案】C【解析】由等比中項定義，知，所以，所以，故選：C.（5）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比q=.【答案】2或4【解析】因為，，成等差數(shù)列，所以，即，所以，解得或4，故答案為：2或4.（6）在等比數(shù)列中，若，，q=2，則項數(shù)n為．【答案】9【解析】在等比數(shù)列中，，q=2，則，而，即有，解得，所以項數(shù)n為9，故答案為：9.考點二等比數(shù)列的性質(zhì)及前n項和【例題】（1）設是公比為的等比數(shù)列，且.則（

）A． B． C．8 D．11【答案】B【解析】是公比為的等比數(shù)列，且，則，解之得，則，故選：B.（2）若等比數(shù)列滿足，則（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【解析】由題意知，，則，故選：B.（3）已知正項等比數(shù)列首項為1，且成等差數(shù)列，則前6項和為（

）A．31 B． C． D．63【答案】C【解析】∵成等差數(shù)列，∴，∴，即，解得或，又∵，∴，∴，故選：C.（4）遞增的等比數(shù)列的每一項都是正數(shù)，設其前項的和為，若則.【答案】364【解析】設等比數(shù)列的公比為，由得，由，解得或，因為數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，所以，得，因為等比數(shù)列的每一項都是正數(shù)，所以，所以，所以，故答案為：364.（5）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】B【解析】因為是等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，顯然，故選：B.（6）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則．【答案】【解析】由已知條件得，解得，∴，故答案為：.【變式】（1）是等比數(shù)列的前項和，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，，于是，于是，故選：A.（2）設是等比數(shù)列的前n項和，，，則首項（

）A． B．12 C．1或 D．3或12【答案】D【解析】是等比數(shù)列的前n項和，，，∴當公比q＝1時，，此時滿足題意，當公比q≠1時，，解得，∴首項的值為3或12．故選：D．（3）已知數(shù)列滿足，且，為其前n項的和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，則，故選：B.（4）設是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，且，則.【答案】1【解析】，而，∴，故答案為：1.（5）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．255 B．127 C．63 D．31【答案】A【解析】因為，，公比，所以，，解得，，則，故選：A.（6）在等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和．若，則.【答案】6【解析】設的公比為q，則，得，∴，即，故答案為：6.【方法總結】1．注意等比數(shù)列每一項均不為0，q也不為0.2．等比數(shù)列中，已知五個元素a1，an，n，q，Sn中的任意三個，