高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第六章　6.3　6.3.1　平面向量基本定理含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第六章6.36.3.1平面向量基本定理含答案6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)具體情境操作向量的分解,發(fā)現(xiàn)并證明平面向量基本定理.2.理解基底的含義,并能用基底表示平面向量.3.理解平面向量基本定理的含義,并能解決有關(guān)綜合問(wèn)題.【素養(yǎng)達(dá)成】直觀想象數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算平面向量基本定理1.定義:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.2.基底:若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.【教材挖掘】(P26)觀察=(1-t)+t,你有什么發(fā)現(xiàn)?提示:,的系數(shù)和為1.一般地,A,B,P三點(diǎn)共線的充要條件是:存在唯一實(shí)數(shù)λ,μ滿足=λ+μ,且λ+μ=1.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一個(gè)基底.(√)(2)零向量可以作基底中的向量.(×)提示:零向量與任意向量共線,故不能作基底中的向量.(3)表示同一平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的.(×)提示:基底的選擇是不唯一的.(4)已知a,b是一組不共線的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,則x1=x2,y1=y2.(√)提示:平面向量的基本定理可知x1=x2,y1=y2.類型一關(guān)于基底概念的理解(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】已知e1,e2是不共線的非零向量,則下列四組向量可以作為一個(gè)基底的是()A.a=0,b=e1+e2B.a=3e1+3e2,b=e1+e2C.a=e1-2e2,b=e1+e2D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2【解析】選C.對(duì)于A:零向量與任意向量均共線,所以這兩個(gè)向量不可以作為基底;對(duì)于B:因?yàn)閍=3e1+3e2,b=e1+e2,所以a=3b,所以這兩個(gè)向量不可以作為基底;對(duì)于C:設(shè)a=λb,即e1-2e2=λ(e1+e2),則1=λ對(duì)于D:設(shè)a=e1-2e2,b=2e1-4e2,所以a=12b,所以這兩個(gè)向量不可以作為基底【總結(jié)升華】關(guān)于基底概念的理解(1)關(guān)鍵:判斷兩個(gè)向量能否構(gòu)成基底,主要看兩個(gè)向量是否滿足不共線,利用向量共線定理可以確定;(2)注意:平面內(nèi)的一個(gè)基底一旦確定,那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一表示.【即學(xué)即練】(多選)設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn),則下列向量可作為這個(gè)平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底的是()A.與 B.與C.與 D.與【解析】選AC.與不共線;=-,則與共線;與不共線;=-,則與共線.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若向量a與b是平面上的兩個(gè)不平行向量,下列向量不能作為一個(gè)基底的是()A.-a與a+bB.a+b與2a+bC.2a-5b與-4a+10bD.2a+b與a+2b【解析】選C.對(duì)于A,假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使a+b=λ(-a),則1=-λ1=0,方程組無(wú)解,即不存在實(shí)數(shù)λ,使a+b=λ(-a),即-a與a對(duì)于B,假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使a+b=λ(2a+b),則1=2λ1=λ,方程組無(wú)解,即不存在實(shí)數(shù)λ,使a+b=λ(2a+b),即a+b與2a對(duì)于C,假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使2a-5b=λ(-4a+10b),則2=-4λ-5=10λ,解得λ=-12,即2a對(duì)于D,假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使2a+b=λ(a+2b),則2=λ1=2λ,方程組無(wú)解,即不存在實(shí)數(shù)λ,使2a+b=λ(a+2b),即2a+b與a+2類型二用基底表示向量(直觀想象)【典例2】如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)M,E在BC上,且BE∶EC=1∶2,直線DE與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,記=a,=b.(1)試用a,b表示,;(2)試用a,b表示.【解析】(1)平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)M,=12=12(+)=12(--)=-12a-12b,=12=12(-)=12a-12b.(2)點(diǎn)E在BC上,且BE∶EC=1∶2,BE∥AD,則△BEF∽△ADF,于是BFAF=BEAD=BEBC=13,即BF=32=32a,所以=-=32a-b.【總結(jié)升華】用基底表示向量的方法(1)利用向量運(yùn)算的三角形法則、平行四邊形法則,對(duì)要表示的向量分解,直到轉(zhuǎn)化為基底表示;(2)對(duì)于較為復(fù)雜的關(guān)系,如含有未知的位置關(guān)系的點(diǎn),可以利用共線設(shè)出向量的線性比例關(guān)系,用基底表示后求系數(shù).【即學(xué)即練】(2024·保定高一檢測(cè))如圖,在平行四邊形ABCD中,E是CD的中點(diǎn),AE和BD相交于點(diǎn)F.記=a,=b,則()A.=-23a-13b B.=23a+1C.=-13a-23b D.=13a+2【解析】選A.在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,AE和BD相交于點(diǎn)F,所以△ABF∽△EDF,又點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),所以DFBF=DEAB=所以=13=13(-),所以=+=-+13(-)=-23-13=-23a-13【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量,,,其中與的夾角為120°,與的夾角為30°,且||=||=1,||=23.若=λ+μ(λ,μ∈R),則λ+μ的值為_(kāi)_____.

【解析】以O(shè)C為對(duì)角線,作平行四邊形OECF(圖略),且OA,OB分別在這個(gè)平行四邊形的兩鄰邊OE,OF上.因?yàn)椤螩OF=∠EOF-∠EOC=120°-30°=90°,所以在Rt△COF中,||=23,∠OCF=30°.所以CF=OCcos∠OCF=23cos30又||=||=1,所以=4,=2.所以=+=4+2,由平面向量基本定理,可得λ=4,μ=2.所以λ+μ=6.答案:6類型三平面向量基本定理的應(yīng)用(邏輯推理)【典例3】(2024·西安高一檢測(cè))已知在△ABC中,點(diǎn)M是BC邊上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn),點(diǎn)N為AB中點(diǎn),設(shè)AM與CN相交于點(diǎn)P.(1)請(qǐng)用,表示向量;(2)設(shè)和的夾角為θ,若cosθ=14,且||=2||,求證:⊥.【解析】(1)=+=+14=+14(-)=34+14.(2)=-=12-,·=12-·=12-·=12-||·||cosθ=12-||·2||·14=12-12=0,所以⊥.【總結(jié)升華】關(guān)于向量法證明幾何問(wèn)題(1)選擇基底的原則一是不共線;二是已知模和夾角,以方便表示出相關(guān)向量后運(yùn)算、證明;(2)利用向量共線可以證明線段平行,向量數(shù)量積為0可以證明線段垂直,利用模的運(yùn)算可以證明線段相等等問(wèn)題.【即學(xué)即練】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,E是AB的中點(diǎn),F是BC的中點(diǎn),求證:DE⊥AF.【證明】因?yàn)椤?(+12)·(+12)=12-12+14·+·,而AD⊥AB,AD=AB,所以·=0,所以⊥,即DE⊥AF.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·大理高一檢測(cè))如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),F,G是AD,BC的三等分點(diǎn)(AF=23AD,BG=23BC).設(shè)=a,=b.(1)用a,b表示,;(2)如果|a|=43|b|,用向量的方法證明:EF⊥【解析】(1)根據(jù)題意,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),F,G是AD,BC的三等分點(diǎn),且AF=23AD,BG=23=-=23-12=23b-12a,=+=12+23=12+23=12a+23b;(2)根據(jù)題意,若|a|=43|b則·=23b-12a·23b+12a=49|b|2-14|a|2=0,則⊥,所以EF⊥EG.6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助平面直角坐標(biāo)系,理解平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.2.掌握兩個(gè)向量加減運(yùn)算的坐標(biāo)表示.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算一、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1.正交分解:把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量.2.基底:設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i,j,取{i,j}作為基底.3.向量的坐標(biāo):向量a=xi+yj,有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y).4.特殊向量:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).二、平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則有項(xiàng)目符號(hào)表示加法a+b=(x1+x2,y1+y2)減法a-b=(x1-x2,y1-y2)2.一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).例如,已知A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1).【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果a=xi+yj,那么向量a的坐標(biāo)為(x,y),即a=(x,y).(×)提示:i,j不一定是與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量.(2)向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)一致.(×)提示:向量的起點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)一致;否則不一致.(3)平面上一個(gè)向量對(duì)應(yīng)平面上唯一的坐標(biāo).(√)(4)設(shè)i=(1,0),j=(0,1),向量a=2i-3j,則向量a的坐標(biāo)為(2,-3).(√)類型一平面向量的坐標(biāo)表示(直觀想象)【典例1】(1)(教材提升·例3)如圖所示,e1,e2為單位正交基底,則向量a,A.(3,4),(2,-2) B.(2,3),(-2,-3)C.(2,3),(2,-2) D.(3,4),(-2,-3)【解析】選C.根據(jù)平面直角坐標(biāo)系,可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2,所以a=(2,3),b=(2,-2).(2)在直角坐標(biāo)系xOy中,向量a,b,c的方向如圖所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分別計(jì)算出它們的坐標(biāo).【解析】設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),則a1=|a|cos45°=2×22=2,a2=|a|sin45°=2×22=b1=|b|cos120°=3×(-12)=-3b2=|b|sin120°=3×32=3c1=|c|cos(-30°)=4×32=23c2=|c|sin(-30°)=4×(-12因此a=(2,2),b=(-32,332),c=(2【總結(jié)升華】求向量坐標(biāo)的方法(1)定義法:根據(jù)平面向量坐標(biāo)的定義得a=xi+yj=(x,y),其中i,j分別為與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量.(2)平移法:把向量的起點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn),終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).(3)求差法:先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo),再用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)即得該向量的坐標(biāo).提醒:向量a=(x,y)中間用等號(hào)連接,而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x,y)中間沒(méi)有等號(hào).【即學(xué)即練】1.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在第二象限,||=2,∠xOA=120°,則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______.

【解析】由∠xOA=120°可得∠yOA=30°,由于||=2,所以A(-1,3),故=(-1,3).答案:(-1,3)2.如果將=(32,12),繞原點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°得到,則的坐標(biāo)是()A.(-12,32) B.(32,-12) C.(-1,3) D.(-【解析】選D.向量與x軸正向夾角的正切值tanα=33,則α=30°.繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到,OB與x軸正向夾角為120°+30°=150°,可見(jiàn)OB與OA相對(duì)y軸對(duì)稱.因此B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-32,12).類型二平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(1)設(shè)i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,則a+b與a-b的坐標(biāo)分別為_(kāi)_________,__________.

【解析】因?yàn)閕=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,所以a=3i+4j=(3,4),b=-i+j=(-1,1),所以a+b=(2,5),a-b=(4,3).答案:(2,5)(4,3)(2)已知2024個(gè)向量的和為零向量,且其中一個(gè)向量的坐標(biāo)為(8,15),則其余2023個(gè)向量的和的坐標(biāo)為_(kāi)_________.

【解析】設(shè)其余2023個(gè)向量的和的坐標(biāo)為(x,y),則(x,y)+(8,15)=(0,0),解得(x,y)=(-8,-15),所以其余2023個(gè)向量的和的坐標(biāo)為(-8,-15).答案:(-8,-15)【總結(jié)升華】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則可先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.【即學(xué)即練】1.已知=(2,-1),=(-4,1),求的坐標(biāo).【解析】=-=(-4,1)-(2,-1)=(-6,2).2.在?ABCD中,AC為一條對(duì)角線.若=(2,4),=(1,3),求的坐標(biāo).【解析】因?yàn)?(1,3),=(2,4),所以==-=(-1,-1),所以=-=(-3,-5).類型三平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1求參數(shù)的值(范圍)【典例3】已知點(diǎn)A(λ,3),B(5,2λ)(λ∈R),C(4,5).若=+,試求λ為何值時(shí),(1)點(diǎn)P在第一、三象限角平分線上;(2)點(diǎn)P在第一象限內(nèi).【解析】(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則=(x,y)-(λ,3)=(x-λ,y-3),又因?yàn)?(5,2λ)-(λ,3)=(5-λ,2λ-3),=(4,5)-(λ,3)=(4-λ,2),所以=+=(5-λ,2λ-3)+(4-λ,2)=(9-2λ,2λ-1),所以x-λ若P在第一、三象限角平分線上,則9-λ=2λ+2,解得λ=73(2)由(1)知,x若P在第一象限內(nèi),則9所以-1<λ<9.【總結(jié)升華】向量坐標(biāo)運(yùn)算中求參數(shù)值(范圍)的步驟(1)表示出向量或者點(diǎn)的坐標(biāo);(2)利用點(diǎn)或者坐標(biāo)的性質(zhì)構(gòu)造方程或者不等式.【即學(xué)即練】(2023·蘇州高一檢測(cè))已知向量=(m,5),=(4,n),=(7,6),則m+n的值為()A.6 B.8 C.10 D.12【解析】選B.因?yàn)?(m,5),=(4,n),則=(7,6)=-=(4-m,n-5),所以4-m=7n-5=6,即m=-3,n角度2求點(diǎn)的坐標(biāo)【典例4】(易錯(cuò)·對(duì)對(duì)碰)(1)已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為A(3,7),B(4,6),C(1,-2),求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).(2)已知一個(gè)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(3,7),B(4,6),C(1,-2),求此平行四邊形頂點(diǎn)D的坐標(biāo).【解析】(1)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)?,所以(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y),所以1-x所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-1).(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí),=,所以(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(