高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第六章　階段提升課含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第六章階段提升課含答案階段提升課題型一平面向量的線性運(yùn)算1.問題類型:平面向量的線性運(yùn)算和根據(jù)線性運(yùn)算求參數(shù)問題.2.解題關(guān)鍵:掌握平面向量線性運(yùn)算法則、運(yùn)算律,平面向量共線定理與平面向量基本定理;3.核心素養(yǎng):提升學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【典例1】如圖所示,在△ABC中,設(shè)=a,=b,AP的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)為P,則=()A.12a+12b B.13aC.27a+47b D.47a【解析】選C.因?yàn)锳P的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)為P,所以=+=+12=+12(+12)=+12+1412-=+12(-)+18-14=14+12+18,所以78=14+12,所以=27+47=27a+47b【總結(jié)升華】平面向量的線性運(yùn)算(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí),要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的向量或首尾相接的向量,運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算求解.(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外,有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.【即學(xué)即練】在平行四邊形ABCD中,E,F分別為邊AB,BC的中點(diǎn),連接CE,DF,交于點(diǎn)G.若=λ+μ(λ,μ∈R),求λμ的值.【解析】延長DA,CE相交于M點(diǎn),因?yàn)锳E=12DC,AE∥DC所以A是MD的中點(diǎn),所以CF=14DM因?yàn)镃F∥DM,所以△CGF∽△MGD,所以GF=14DG所以=+=12+15=12+15(-)=12+15-15×12=25+15,又=λ+μ,所以μ=25,λ=15,故λμ=1題型二平面向量的數(shù)量積運(yùn)算1.問題類型:平面向量的數(shù)量積、向量的模、向量的夾角、投影向量等;2.解題關(guān)鍵:掌握數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法;3.核心素養(yǎng):提升學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【典例2】(1)(2023·全國乙卷)正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點(diǎn),則·=()A.5 B.3 C.25 D.5【解析】選B.方法一:以為基底向量,可知||=||=2,·=0,則=+=12+,=+=-12+,所以·=12+·-12+=-14+=-1+4=3;方法二:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,則E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得=(1,2),=(-1,2),所以·=-1+4=3;方法三:由題意可得ED=EC=5,CD=2,在△CDE中,由余弦定理可得cos∠DEC=DE2+CE2-DC22DE·CE=5+5-42×5×5=(2)已知向量a和b,則|a|=2,|b|=2,a與b的夾角為60°,求:①a·b的值;②|2a+b|的值;③2a+b與b的夾角θ的余弦值.【解析】①因?yàn)閨a|=2,|b|=2,a與b的夾角為60°,所以a·b=2×2×12②因?yàn)?2a+b)2=4a2+4a·b+b2=16+8+4=28,所以|2a+b|=27;③因?yàn)?2a+b)·b=2a·b+b2=4+4=8,所以cosθ=(2a+b)【總結(jié)升華】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算1.方法①定義法:a·b=|a||b|cosθ;②坐標(biāo)法:a·b=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)).2.應(yīng)用①求模:|a|=a2=x②求夾角:cosθ=a·b|【即學(xué)即練】(2024·麗水高一檢測)已知向量a,b滿足|a|=2,b=(1,2),且|a+b|=|2a-b|,則向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)是______________.

答案:(25,4【解析】|a+b|=|2a-b|兩邊平方得,a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,即a·b=12a2=12|a|2=2,故向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)為(a·b)b|【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·牡丹江高一檢測)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,E,F分別為AB,BC上的點(diǎn),且AE=2EB,CF=2FB.(1)求·的值;(2)求cos∠BEF.【解析】(1)·=·23-=23×16-4×2×cos60°=203.(2)=13,=13+13,||=43,||=1316+4+8=2·=13·13+13=169+49=209,cos∠BEF==20943×題型三余弦定理、正弦定理1.問題類型:解三角形、判斷三角形的形狀、求三角形的面積、實(shí)際應(yīng)用;2.解題關(guān)鍵:掌握正、余弦定理的內(nèi)容及變形,能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形模型;3.核心素養(yǎng):提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.角度1利用正、余弦定理解三角形【典例3】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bsinA+acosB=2a.(1)求B;(2)若b=2,________,求△ABC的周長.

在①C-B=2A,②△ABC的面積為2-1【解析】(1)由正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=2sinA,在三角形中,sinA≠0,所以sinB+cosB=2,所以sinB+cosB=2sin(B+π4)=2即sin(B+π4)=1由B+π4∈(π4,5π4),得B+π所以B=π4(2)選擇條件①:因?yàn)镃-B=2A,A+B+C=π,所以C=7π12,A=π6,所以sinC=sin(A+B)=6+24,sinA=1又因?yàn)閎=2,正弦定理bsinB=asinA=csinC,解得a=所以△ABC的周長為2+3+3.選擇條件②:因?yàn)椤鰽BC的面積為S=12acsinB=2-12,得由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB,即4=a2+c2-2ac,所以4=(a+c)2-2ac-2ac,所以a+c=6,所以△ABC的周長為6+2.【總結(jié)升華】利用正、余弦定理解三角形1.利用正弦定理、余弦定理化角為邊或化邊為角,如sinA=a2R,cosA=2.通過恒等變換得到三角形內(nèi)角之間的關(guān)系,結(jié)合題意進(jìn)行求解;3.對(duì)于面積和周長相關(guān)的范圍與最值問題,可以從函數(shù)或基本不等式兩個(gè)角度認(rèn)識(shí).【即學(xué)即練】1.(2024·焦作高一檢測)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若bcos(A+B)=(c-2a)cosB,則B=()A.π6 B.π3 C.π2 【解析】選B.由題意可得bcos(A+B)=bcos(π-C)=-bcosC=(c-2a)cosB,所以2acosB=ccosB+bcosC,由正弦定理可得2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC,即2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,因?yàn)锳為三角形內(nèi)角,sinA≠0,所以可得2cosB=1,即cosB=12又B∈(0,π),所以B=π32.(2024·合肥高一檢測)在△ABC中,設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且(c+b)sinC=(a-b)(sinA+sinB),a=23,則△ABC面積的最大值為()A.3 B.23 C.2 D.4【解析】選A.因?yàn)?c+b)sinC=(a-b)(sinA+sinB),由正弦定理可得(c+b)c=(a-b)(a+b),即a2-b2=c2+bc,即c2+b2-a2=-bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=-又因?yàn)閎2+c2-a2=-bc,a=23,即b2+c2=12-bc≥2bc,所以bc≤4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取得等號(hào),所以S△ABC=12bcsinA≤3即△ABC面積的最大值為3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取得.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若B=π3,a=4,且該三角形有兩解,則b的范圍是(A.(23,+∞) B.(23,4)C.(0,4) D.(33,4)【解析】選B.由正弦定理得asinA=所以b=asinBsinA=因?yàn)樵撊切斡袃山?故π3=B<A<2π3,A≠故sinA∈(32,1),即b=23sinA∈角度2正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用【典例4】一顆人造地球衛(wèi)星在地球上空1600km處沿著圓形的軌道運(yùn)行,每2h沿軌道繞地球旋轉(zhuǎn)一圈.假設(shè)衛(wèi)星于中午12點(diǎn)整通過衛(wèi)星跟蹤站A點(diǎn)的正上空,地球半徑約為6400km.(1)求人造衛(wèi)星與衛(wèi)星跟蹤站在12:03時(shí)相隔的距離是多少.(2)如果此時(shí)跟蹤站天線指向人造衛(wèi)星,那么天線瞄準(zhǔn)的方向與水平線的夾角的余弦值是多少?(參考數(shù)據(jù):cos9°≈0.988,sin9°≈0.156)【解析】(1)如圖所示,設(shè)人造衛(wèi)星在12:03時(shí)位于C點(diǎn),其中∠AOC=β,則β=360°×3120在△ACO中,OA=6400km,OC=6400+1600=8000(km),由余弦定理得AC2=64002+80002-2×6400×8000cos9°≈3.79×106,解得AC≈1.95×103,因此,在12:03時(shí),人造衛(wèi)星與衛(wèi)星跟蹤站相距約1950km.(2)如圖所示,設(shè)此時(shí)天線瞄準(zhǔn)的方向與水平線的夾角為γ,則∠CAO=γ+90°,由正弦定理得sin9°1故sin(γ+90°)=80001950sin9°≈0.因此天線瞄準(zhǔn)的方向與水平線的夾角的余弦值約為0.64.【總結(jié)升華】正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用(1)關(guān)鍵:作出示意圖,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;(2)方法:將已知元素與未知元素放在同一個(gè)三角形中,利用正余弦定理求解;(3)注意:明確題中的專業(yè)術(shù)語,如視角、仰角、俯角、方向角、方位角等.【即學(xué)即練】如圖,某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口O北偏西30°方向且與該港口相距20nmile的A處,并以30nmile/h的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以vnmile/h的航行速度勻速行駛,經(jīng)過th與輪船相遇.(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30nmile/h,試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向與航行速度的大小),使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇,并說明理由.【解析】(1)如圖,由題意及余弦定理得:OC2=AC2+OA2-2×AC×OA×cos∠OAC,即:v2t2=400+900t2-1200tcos60°=900t2-600t+400=900(t-13)2+300,當(dāng)t=13此時(shí)小艇的航行方向?yàn)檎狈较?航行速度為303nmile/h.(2)要用時(shí)最短,則速度最高,即為:30nmile/h,則由(1)可得:OC2=AC2+OA2-2×AC×OA×cos∠OAC,即:(30t)2=400+900t2-1200tcos60°,解得:t=23,此時(shí)∠BOC=30°,在△OAB中,OA=OB=AB航行方向?yàn)楸逼珫|30°,航行速度為30nmile/h,小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.【真題1】(2023·新高考Ⅰ卷)(一題多解)已知向量a=1,1,b=1,-1,若a+A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1【解析】選D.因?yàn)閍=1,1,b=所以a+λb=1+λ,1-λ,a+由a+λb⊥a+λb·即1+λ1+μ整理得:λμ=-1.【溯源】(教材P60復(fù)習(xí)參考題6T8)已知向量a=1,0,b=1,1a+λb與a垂直?【解析】因?yàn)?a+λb)⊥a,所以(a+λb)·a=0,即(1+λ,λ)·(1,0)=0,即1+λ=0,解得λ=-1.[點(diǎn)評(píng)]真題與教材習(xí)題都是已知向量的坐標(biāo)及垂直關(guān)系,求相關(guān)參數(shù)的值,本質(zhì)均在考查用坐標(biāo)表示向量垂直的充要條件.【真題2】(2023·新高考Ⅱ卷)(一題多解)已知向量a,b滿足a-b=3,a+b=2a答案:3【解析】方法一:因?yàn)閍+b=即a+b2則a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理得a2-2a·b=0,又因?yàn)閍-b=3,即則a2-2a·b+b2=b2=3,所以b=3.方法二:設(shè)c=a-b,則c=3,a+b=c+2b,2a-b=2c+b由題意可得:c+2b2=2c+b2,則c2+4c·b+4b2=4c2+4整理得:c2=b2,即b=c=3【溯源】(教材P23習(xí)題6.2T11(2))已知a=2,b=5,且a·b=-3,求a+b,【解析】a+b=(=a2+2×(-3)a-b=(=a2-2×(-3[點(diǎn)評(píng)]教材例題是已知兩個(gè)向量的數(shù)量積及模,求兩個(gè)向量加、減運(yùn)算后所得向量的模;真題是已知由兩個(gè)向量經(jīng)過加、減、數(shù)乘運(yùn)算后所得向量的模及關(guān)系,求其中一個(gè)向量的模;本質(zhì)均在考查向量模的平方等于向量的平方及向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用.【真題3】(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sinA-C(1)求sinA;(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.【解析】(1)因?yàn)锳+B=3C,所以π-C=3C,即C=π4又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C),所以2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,所以sinAcosC=3cosAsinC,所以sinA=3cosA,即tanA=3,所以0<A<π2所以sinA=310=3(2)由(1)知,cosA=110=10由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=22(31010由正弦定理,csinC=可得b=5×255所以12AB·h=12AB·AC·sin所以h=b·sinA=210×31010【溯源】(教材P54習(xí)題6.4T22)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且acosC+3asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,則△ABC的面積為3,求b,c.【詳解】(1)由正弦定理,可得sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC.即sinAcosC+3sinAsinC=sin(A+C)+sinC,所以sinAcosC+3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC.整理得3sinA-cosA=1,即sin(A-π6)=1A-π6=π6,A=(2)由A=π3,S=12bcsinA=3,故bc由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即4=b2+c2-bc.故b=c=2.[點(diǎn)評(píng)]真題與教材習(xí)題均以解三角形為載體,教材習(xí)題的解決涉及正弦定理、兩角和正弦公式、輔助角公式、面積公式、余弦定理,真題的解決涉及兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、面積公式,本質(zhì)均在考查正、余弦定理與三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用.6.1平面向量的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解平面向量的實(shí)際背景,理解平面向量的概念.2.理解平面向量的幾何意義與幾何表示.3.理解相等向量的含義及共線向量的概念.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理一、向量的概念及表示1.向量的概念既有大小又有方向的量.2.向量的幾何表示(1)有向線段:以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn)的有向線段記作,其大小稱為向量的長度(或稱模),記作||;(2)字母:可以用字母a,b,c,…表示.3.特殊向量零向量的長度為0,單位向量的長度為1個(gè)單位長度.【教材挖掘】(P1)物理學(xué)中常稱向量為矢量,數(shù)量為標(biāo)量,你還能舉出物理學(xué)中的一些向量和數(shù)量嗎?提示:速度、位移、力、加速度等都是既有大小又有方向的量,所以它們是向量.質(zhì)量、路程、密度、功、時(shí)間等都是只有大小,沒有方向的量,所以不是向量.二、相等向量與共線向量1.相等向量長度相等且方向相同的向量,記作a=b.2.共線向量(1)平行向量①方向相同或相反的非零向量,記作a∥b;②規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對(duì)于任意向量a,都有0∥a.(2)共線向量任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫做共線向量.【版本交融】(蘇教P6)若兩個(gè)向量的長度相等、方向相反,則稱它們互為相反向量.相反向量是共線向量.若其中一個(gè)向量為a,則它的相反向量記作-a.零向量的相反向量仍是零向量.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)海拔、溫度、角度都是向量.(×)提示:海拔、溫度、角度都是數(shù)量,只有大小沒有方向,不是向量.(2)若用有向線段表示的向量與不相等,則點(diǎn)M與N不重合.(√)提示:若用有向線段表示的向量與不相等,則終點(diǎn)一定不相同,即點(diǎn)M與N不重合.(3)方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量.(√)提示:方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是方向相反的向量,因而是共線向量.(4)若a與b都是單位向量,則a=b.(×)提示:若a與b都是單位向量,而單位向量方向不一定相同,故不能得到a=b.類型一向量的表示及應(yīng)用(直觀想象)【典例1】(教材提升·習(xí)題T1)在如圖的方格紙中(規(guī)定小方格的邊長為1),畫出下列向量.(1)畫出||=3,點(diǎn)A在點(diǎn)O的正西方向的向量;(2)畫出||=32,點(diǎn)B在點(diǎn)O的北偏西45°方向的向量;(3)求出||的值.【解析】(1)因?yàn)閨|=3,點(diǎn)A在點(diǎn)O的正西方向,故如圖所示:(2)因?yàn)閨|=32,點(diǎn)B在點(diǎn)O的北偏西45°方向,故如圖所示:(3)||==3.【總結(jié)升華】用有向線段表示向量的步驟(1)確定向量的起點(diǎn);(2)確定向量的方向;(3)根據(jù)向量的長度確定向量的終點(diǎn).【即學(xué)即練】如圖,某人從A點(diǎn)出發(fā),向西走了200m后到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向,沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到達(dá)C點(diǎn),最后又改變方向,向東走了200m到達(dá)D點(diǎn),發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方.(1)作出,,(圖中1個(gè)單位長度表示100m);(2)求的模.【解析】(1)根據(jù)題意可知,B點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(-2,0),又因?yàn)镈點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方,所以CD⊥BD,又||=2003,所以||=2002,即D,C兩點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(-2,22),(-4,22),即可作出,,如圖所示:(2)如圖,作出向量,由題意可知,CD∥AB且CD=AB=200m,所以四邊形ABCD是平行四邊形,則||=||=2003,所以的模為2003.類型二相等向量與共線向量(直觀想象)角度1相等向量與共線向量的確定【典例2】(教材提升·例2)O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),四邊形OAED,OCFB都是正方形,在如圖所示的向量中:(1)分別找出與,相等的向量;(2)找出與共線的向量;(3)找出與的模相等的向量;(4)向量與是否相等?【解析】因?yàn)镺是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),四邊形OAED,OCFB都是正方形,所以O(shè)A=AE=OD=DE=OC=CF=BF=BO,AB=CD=BC=AD.(1)由題中圖形可得:=,=;(2)由題中圖形可得,與共線的向量有:,,;(3)與的模相等的向量有:,,,,,,;(4)向量與不相等,因?yàn)樗鼈兊姆较虿幌嗤?角度2相等向量與共線向量的應(yīng)用【典例3】(2024·鄭州高一檢測)已知四邊形ABCD,下列說法正確的是()A.若=,則四邊形ABCD為平行四邊形B.若||=||,則四邊形ABCD為矩形C.若∥,且||=||,則四邊形ABCD為矩形D.若||=||,且∥,則四邊形ABCD為梯形【解析】選A.A選項(xiàng),若=,則||=||且∥,則四邊形ABCD為平行四邊形,故正確;B選項(xiàng),如圖,||=||=2,但是四邊形ABCD不是矩形,故錯(cuò)誤;C選項(xiàng),若∥,且||=||,則四邊形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,故錯(cuò)誤;D選項(xiàng),若||=||,且∥,則四邊形ABCD可以是平行四邊形,也可以是梯形,故錯(cuò)誤.【總結(jié)升華】相等向量與共線向量(1)相等向量與共線向量的確定:要注意利用三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)等平面幾何知識(shí)尋找線線之間的相等與平行關(guān)系;(2)相等向量與共線向量的應(yīng)用:可以判斷線段與線段相等或平行,但判斷直線平行時(shí),除說明向量共線外,還需要說明向量所在的線段無公共點(diǎn).【即學(xué)即練】在如圖所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的邊長為1),分別寫出下列向量.(1)共線向量;(2)相反向量;(3)相同的向量;(4)模相等的向量.【解析】(1)a與d是共線向量,b與e是共線向量;(2)a與d是相反向量;(3)題圖中無方向相同的向量,所以向量a,b,c,d,e中無相同的向量;(4)由題圖可知|a|=|c|=|d|=5,|b|=2,|e|=22,所以模相等的向量為a,c,d.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,O是正六邊形ABCDEF的中心.(1)圖中所示的向量中與的模相等的向量有幾