高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)2.1　第2課時(shí)　不等式的性質(zhì)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)2.1第2課時(shí)不等式的性質(zhì)含答案第2課時(shí)不等式的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握不等式的性質(zhì).2.能利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行不等式的證明.3.能利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的范圍.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象邏輯推理邏輯推理一、等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a=b,那么b=a性質(zhì)2如果a=b,b=c,那么a=c性質(zhì)3如果a=b,那么a±c=b±c性質(zhì)4如果a=b,那么ac=bc性質(zhì)5如果a=b,c≠0,那么ac=版本交融(人BP48嘗試與發(fā)現(xiàn))能直接在等式ax=2的兩邊同時(shí)除以a,從而得到x=2a提示:不能.當(dāng)a=0時(shí),x=2a不存在二、不等式的性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意性質(zhì)1對(duì)稱性a>b?b<a可逆性質(zhì)2傳遞性a>b,b>c?a>c同向性質(zhì)3可加性a>b?a+c>b+c可逆性質(zhì)3的推論移項(xiàng)法則a+b>c?a>c-b可逆性質(zhì)4可乘性a>b,c>0?ac>bca>b,c<0?ac<bcc的符號(hào)性質(zhì)5同向可加性a>b,c>d?a+c>b+d同向性質(zhì)6同向同正可乘性a>b>0,c>d>0?ac>bd同向同正性質(zhì)7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2)同正版本交融(人BP63嘗試與發(fā)現(xiàn))a>b是a+c>b+c的什么條件?a>b是ac>bc的什么條件?提示:a>b是a+c>b+c的充要條件,a>b是ac>bc的既不充分也不必要條件.版本交融(北師大版P26例3(1))若a>b,ab>0,則1a,1提示:若a>b,ab>0,則1a<1b,證明如下:因?yàn)閍b>0,所以1ab>0,因?yàn)閍>b,所以a·1ab>b·1ab【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若ab>1,則a>b.提示:a,b為負(fù)數(shù)時(shí)不成立.(2)一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘一個(gè)數(shù),不等號(hào)方向不變.(×)提示:不等式兩邊同乘一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),不等號(hào)的方向改變.(3)同向不等式相加與相乘的條件是一致的.(×)提示:相乘需要看是否a>b(4)如果a≥b,b>c,那么a≥c.(√)提示:如果a≥b,b>c,可以得到a>c.又“a≥c”包含“a>c”或“a=c”,所以a≥c是一定成立的.類型一利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假(邏輯推理)【典例1】已知a,b,c,d∈R,則下列命題中必成立的是()A.若a>b,c>d,則a+b>c+dB.若a>-b,則c-a<c+bC.若a>b,c<d,則ac>D.若a2>b2,則-a<-b【解析】選B.選項(xiàng)A,取a=1,b=0,c=2,d=1,則a+b<c+d,A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,因?yàn)閍>-b,所以-a<b,所以c-a<c+b,則B正確;選項(xiàng)C,不滿足倒數(shù)不等式的條件,如a>b>0,c<0<d時(shí)不成立;選項(xiàng)D,只有a>b>0時(shí)才成立,否則如a=-1,b=0時(shí)不成立.【總結(jié)升華】與不等式有關(guān)的命題真假的判斷(1)利用不等式的性質(zhì);(2)特殊值驗(yàn)證.【即學(xué)即練】(2024·鄭州高一檢測(cè))若a>b>0,c<d<0,則一定有()A.ad>bc B.aC.ac>bd D.a【解析】選B.因?yàn)閏<d<0,所以1d<1c<0,所以-1d>-1c>0,與a>b>0對(duì)應(yīng)相乘得-ad>-b教材深一度糖水不等式(鏈接教材P43習(xí)題2.1T10)若a>b>0,m>0則ba<b+ma+m;ba>【典例2】某高校在2023年9月初共有m名在校學(xué)生,其中有n(m>n)名新生,在9月底,又補(bǔ)錄了b名學(xué)生,則新生占學(xué)生的比例_______(選填“變大”“變小”或“不變”),其理論依據(jù)用數(shù)學(xué)形式表達(dá)為__________________.

答案:變大若m>n>0,b>0,則nm<【解析】由題意補(bǔ)錄了b名學(xué)生,新生人數(shù)增多,而原有學(xué)生人數(shù)不變,由此知,新生所占的比例必增大.由于補(bǔ)錄后新生人數(shù)變?yōu)閚+b,在校生人數(shù)增加為m+b,故所對(duì)應(yīng)的不等式模型是nm<n即若m>n>0,b>0,則nm<n類型二利用不等式的性質(zhì)證明不等式(邏輯推理)【典例3】(一題多解)已知c>a>b>0,求證:ac-a【思路引領(lǐng)】想算思作差法作差,變形,判號(hào)分式的差需要怎么變形,變形的最終結(jié)果是什么形式性質(zhì)法利用不等式的性質(zhì)證明注意性質(zhì)的應(yīng)用條件轉(zhuǎn)化法證明其倒數(shù)形式c-a其倒數(shù)形式有何特點(diǎn),轉(zhuǎn)化后如何證明【嘗試解答】【證明】方法一:作差法ac-a-=ac-ab-因?yàn)閏>a>b>0,所以a-b>0,c-a>0,c-b>0,所以ac-a方法二:性質(zhì)法因?yàn)閏>a>b>0,所以0<c-a<c-b,所以0<1c-b即1c-a又因?yàn)閍>b>0,所以ac-a方法三:轉(zhuǎn)化法因?yàn)閍>b>0,所以1a<1因?yàn)閏>0,所以ca<c所以ca-1<cb-1,即c-因?yàn)閏>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0.所以ac-a【總結(jié)升華】證明不等式的方法(1)利用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式的證明其實(shí)質(zhì)就是利用性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形,變形要等價(jià),同時(shí)要注意性質(zhì)適用的前提條件.(2)用作差法證明不等式和用作差法比較大小的方法原理一樣,變形后判斷符號(hào)時(shí)要注意充分利用題目中的條件.【即學(xué)即練】(一題多解)已知a>b>0,c<0,求證:ca>c【證明】方法一:ca-cb=因?yàn)閍>b>0,c<0,所以ab>0,b-a<0,c(b-a)>0,所以ca-cb>0,所以ca方法二:因?yàn)閍>b>0,所以1b>1因?yàn)閏<0,所以cb<ca.即ca類型三利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的范圍(邏輯推理)【典例4】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)已知-π2<β<α<π2,求2α-β【解析】(1)因?yàn)?π2<α<π2,-π2<β所以-π2<-β<π所以-π<α-β<π.又因?yàn)棣?lt;α,所以α-β>0,所以0<α-β<π,又2α-β=α+(α-β),所以-π2<2α-β<32(2)已知實(shí)數(shù)x,y滿足,-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,求9x-y的取值范圍.【解析】(2)令m=x-y,n=4x-y,則z=9x-y=83n-53m,得-1≤z即-1≤9x-y≤20.【總結(jié)升華】利用不等式求指定代數(shù)式的關(guān)注點(diǎn)(1)要充分利用性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)變形求范圍,注意變形的等價(jià)性;(2)要注意整體使用所給條件.【即學(xué)即練】1.已知1<a<6,3<b<4,則a-b的取值范圍是_______,ab的取值范圍是_______答案:-3<a-b<314<a【解析】因?yàn)?<b<4,所以-4<-b<-3.所以1-4<a-b<6-3,即-3<a-b<3.又14<1b<13,所以14<ab<632.已知1≤a-b≤3,3≤a+b≤7,求5a+b的取值范圍.【解析】1≤a-b≤3,3≤a+b≤7,所以2≤2(a-b)≤6,9≤3(a+b)≤21,則5a+b=2(a-b)+3(a+b),得11≤5a+b≤27.2.2基本不等式第1課時(shí)基本不等式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解基本不等式的幾何意義及其推導(dǎo)過(guò)程.2.能利用基本不等式比較代數(shù)式的大小、求最值及證明簡(jiǎn)單的不等式.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算一、重要不等式與基本不等式教材挖掘(P44)你能說(shuō)出“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義嗎?提示:當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),即a=b?a+b2=ab;僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),即a+b2版本交融(蘇教P57)當(dāng)a,b≥0時(shí),不等式ab≤a+提示:成立.二、基本不等式的應(yīng)用已知x,y都為正數(shù),(1)若x+y=S(和為定值),則當(dāng)x=y時(shí),積xy取得最大值S2(2)若xy=P(積為定值),則當(dāng)x=y時(shí),和x+y取得最小值2P.【教材深化】基本不等式的常見變形(1)a+b≥2ab(a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立);(2)ab≤(a+b2)2≤a2+b22(a∈R,【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)基本不等式ab≤a+b2中的a,b提示:a,b既可以是具體的某個(gè)數(shù),也可以是代數(shù)式.(2)重要不等式a2+b2≥2ab與基本不等式ab≤a+b2提示:不同,前者要求a,b是實(shí)數(shù)即可,而后者要求a>0,b>0.(3)不等式m2+1≥2m中等號(hào)成立的條件是m=1.(√)提示:當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)等號(hào)成立.(4)若a+b=2,則ab≤1.(×)提示:若成立,需要增加條件a>0,b>0.如當(dāng)a=-1,b=3時(shí),a+b=2,但ab無(wú)意義.類型一利用基本不等式比較大小(邏輯推理)【典例1】(1)若0<a<b,則下列不等式一定成立的是()A.a>a+b2>ab>b B.b>ab>C.b>a+b2>ab>a D.b>a>【解析】選C.因?yàn)?<a<b,所以2b>a+b,所以b>a+b2又因?yàn)閎>a>0,所以ab>a2,所以ab>a.故b>a+b2>(2)已知a>b>c,則(a-b)(b答案:(a-【解析】因?yàn)閍>b>c,所以a-b>0,b-c>0,所以a-c2=(當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b-c時(shí),等號(hào)成立.【總結(jié)升華】利用基本不等式比較大小的關(guān)注點(diǎn)(1)應(yīng)用公式:重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)和基本不等式a+b2≥ab(a>0,(2)題目原型:給出的數(shù)(式子)涉及兩個(gè)正數(shù)的和、積或兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和.(3)特別提醒:應(yīng)特別注意能否取到等號(hào).【即學(xué)即練】已知m=a+1a(a>0),n=(1-x)(1+x)(-1<x<1),則m,n之間的大小關(guān)系是(A.m>n B.m≥nC.m<n D.m≤n【解析】選A.因?yàn)閍>0,所以m=a+1a≥2a當(dāng)且僅當(dāng)a=1a,即a=1時(shí),等號(hào)成立因?yàn)?1<x<1,所以n=(1-x)(1+x)≤1-x+1+x22=1,當(dāng)且僅當(dāng)1-x=1+x,即x【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a,b是不相等的正數(shù),x=a+b2,y=a+b,則x答案:x<y【解析】x2=a+b+2ab2,y2=a因?yàn)閍+b>2ab(a>0,b>0,a≠b),所以x2<y2,又因?yàn)閤,y>0,所以x<y.類型二利用基本不等式求最值(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)已知x>0,則x+4x的最小值為_______【解析】(1)因?yàn)閤>0,所以x+4x≥2x當(dāng)且僅當(dāng)x=4x,即x=2時(shí)等號(hào)成立,因此所求的最小值為4(2)已知0<x<12,則2x(1-2x)的最大值為_______【解析】(2)由題意知1-2x>0,則2x(1-2x)≤(2x+1-2x2)2=14,當(dāng)且僅當(dāng)2x=1-2x,即x(3)已知4x+ax(x>0,a>0)在x=3時(shí)取得最小值,則a的值為_______【解析】(3)因?yàn)閤>0,a>0,所以4x>0,ax>0,4x+ax≥24x·ax=4a,當(dāng)且僅當(dāng)4x=ax,即a答案:(1)4(2)14【總結(jié)升華】在利用基本不等式求最值時(shí)要注意三點(diǎn)(1)一正:各項(xiàng)均為正值;(2)二定:求和最小值時(shí)應(yīng)使積為定值,求積最大值時(shí)應(yīng)使和為定值(恰當(dāng)變形,合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧);(3)三相等:考慮等號(hào)成立的條件是否具備.【即學(xué)即練】1.若1≤x≤3,則x(4-A.53 B.2 C.5 D.【解析】選B.因?yàn)?≤x≤3,所以4-x>0,所以x(4-x)≤x+(42.x+2+16x+2(x>-2)取最小值時(shí),x的值為答案:2【解析】因?yàn)閤>-2,所以x+2>0,(x+2)+16x+2≥2當(dāng)且僅當(dāng)x+2=16x+2,即x【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知x>0,y>0,且x+y=8,則(1+x)(1+y)的最大值為()A.16 B.25 C.9 D.36【解析】選B.因?yàn)閤>0,y>0,且x+y=8,所以(1+x)(1+y)=1+x+y+xy=9+xy≤9+(x+y2)2=9+42=25,因此當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時(shí),(1+x)(1+類型三利用基本不等式證明不等式(邏輯推理)【典例3】已知a,b,c均為正實(shí)數(shù),且a+b+c=1.求證:(1)(1a-1)(1b-1)(【證明】(1)因?yàn)閍,b,c均為正實(shí)數(shù),a+b+c=1,所以1a-1=1-aa=同理1b-1≥2acb,1上述三個(gè)不等式兩邊均為正,分別相乘,得(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥2bca·2acb·2abc=8.當(dāng)且僅當(dāng)(2)1a+1b+1【證明】(2)(1a+1b+1c)(a+b+c)=a+=3+(ba+ab)+(ca+ac)+(≥3+2+2+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13時(shí),等號(hào)成立【總結(jié)升華】用基本不等式證明不等式的注意事項(xiàng)(1)多次使用基本不等式時(shí),要注意等號(hào)能否成立;(2)巧用“1”的代換證明不等式;(3)對(duì)不能直接使用基本不等式的證明可重新組合,創(chuàng)造使用基本不等式的條件再使用.【即學(xué)即練】已知a>0,b>0,求證:(a3+b3)(b2a+a2b)≥4a【證明】因?yàn)閍>0,b>0,所以(a3+b3)(b2a+a2b)≥2a3·=4a2