山西省呂梁市孝義市2025屆高三二月份模擬考試數(shù)學(xué)試題(卷后帶答案解析)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁山西省呂梁市孝義市2025屆高三二月份模擬考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B．C． D．3．已知向量，若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．下列說法錯誤的是（

）A．某校高一年級共有男女學(xué)生500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為50人的樣本，若樣本中男生有30人，則該校高一年級女生人數(shù)是200B．?dāng)?shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位數(shù)為10C．在一元線性回歸方程中，若線性相關(guān)系數(shù)r越大，則兩個變量的線性相關(guān)性越強D．根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.056．在正三棱錐中，棱兩兩垂直，若的邊，則該正三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)，則滿足的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則的周長為（

）A． B． C．13 D．15二、多選題9．一個正四面體形的骰子，四個面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，先后拋擲兩次，每次取著地的數(shù)字．甲表示事件“第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6”，則下列說法正確的是（

）

A．甲發(fā)生的概率為 B．乙發(fā)生的概率為C．甲與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立10．已知，若對，使得成立，若在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的值可能是（

）A． B．1 C． D．11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)為單調(diào)函數(shù)B．時，函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)的圖象與直線有兩個交點D．若，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為三、填空題12．正數(shù)滿足，則的最小值是.13．如圖所示，在棱長為4的正方體中，點分別是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)一點，若平面，則線段長度的取值范圍是.14．已知雙曲線的左、右焦點分別為為坐標(biāo)原點，為雙曲線上一點，且，點滿足，則雙曲線的離心率為.四、解答題15．如圖，已知三角形的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求的大??；(2)若，設(shè)為三角形的角平分線，求的長.16．已知橢圓的焦距為，點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于兩點，且線段的中點的橫坐標(biāo)為，過作直線.證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).17．若數(shù)列中且對任意的恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列為“-數(shù)列”，寫出所有可能的；(2)若“-數(shù)列”中，，求的最大值.18．在底面是菱形的四棱錐中，已知，，過作側(cè)面的垂線，垂足恰為棱的中點.(1)在棱上是否存在一點E，使得側(cè)面，若存在，求的長；若不存在，說明理由.(2)二面角的大小為，二面角的大小為，求.19．設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則稱為D上的“凸函數(shù)”．已知函數(shù)．(1)若為上的“凸函數(shù)”，求a的取值范圍；(2)證明：當(dāng)時，有且僅有兩個零點．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《山西省呂梁市孝義市2025屆高三二月份模擬考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案BCBACDADACABC題號11答案BD1．B【分析】先求出，根據(jù)交集概念求出答案.【詳解】，又，所以.故選：B2．C【分析】利用復(fù)數(shù)乘法法則計算出，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得到答案.【詳解】，故.故選：C3．B【分析】利用垂直關(guān)系的向量表示，數(shù)量積的坐標(biāo)表示列式計算得解.【詳解】向量，則，，由，得，所以.故選：B4．A【分析】利用誘導(dǎo)公式、同角公式及二倍角的余弦公式計算得解.【詳解】由，得.故選：A5．C【分析】利用分層抽樣計算判斷A；求出第75百分位數(shù)判斷B；利用線性相關(guān)系數(shù)的意義判斷C；利用獨立性檢驗的思想判斷D.【詳解】對于A，該校高一年級女生人數(shù)是，A正確；對于B，由，得第75百分位數(shù)為，B正確；對于C，線性回歸方程中，線性相關(guān)系數(shù)絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，C錯誤；對于D，由，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，D正確.故選：C6．D【分析】由正三棱錐是正方體的一個角，補成正方體求解.【詳解】由題意知：正三棱錐是正方體的一個角，補成正方體如圖所示：正方體的對角線長是外接球的直徑，因為，所以，則外接球直徑為，所以，所以外接球的表面積為，故選：D7．A【分析】構(gòu)造函數(shù)，確定奇偶性并利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進而求解不等式.【詳解】令函數(shù)，其定義域為R，，函數(shù)是奇函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式，則，解得，所以所求取值范圍是.故選：A8．D【分析】求出點的坐標(biāo)，利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)，結(jié)合三點共線求出點的坐標(biāo)即可得解.【詳解】拋物線的焦點為，由軸，點，得，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)，得點共線，設(shè)，則，解得，點，于是，，，所以的周長為.故選：D9．AC【分析】由列舉法求解所有基本事件，即可根據(jù)古典概型的概率公式求解概率，結(jié)合選項即可逐一求解.【詳解】設(shè)事件表示事件“第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1”，事件表示事件“第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2”，事件表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5”，事件表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6”，續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的正四面體形的骰子兩次，有共16種等可能的不同結(jié)果，第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1的情況有：，甲發(fā)生的概率為：，故A正確；第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2的情況有：，乙發(fā)生的概率為：，故B錯誤；兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5的情況有：，丙發(fā)生的概率為：，兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6的情況有：，丁發(fā)生的概率為：，，，故事件甲與丙相互獨立，故C正確；，故D錯誤.故選：AC.10．ABC【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，結(jié)合恒能成立的不等式及正切函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的值能取到2求出，再由指定區(qū)間上的值域求得關(guān)于的不等式即可得解.【詳解】依題意，，其中銳角由確定，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，由，使得成立，得，而在區(qū)間上的值域為，則存在，使得，因此，解得，函數(shù)，當(dāng)時，，又在區(qū)間上的值域為，，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，ABC可能，D不可能.故選：ABC11．BD【分析】對于A：對參數(shù)a分情況討論得出單調(diào)性；對于B：利用偶函數(shù)定義判斷即可；對于C：利用單調(diào)性即可得到；對于D：利用導(dǎo)數(shù)即可求得參數(shù)a的取值范圍.【詳解】對于A：因為，，當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，,當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，故，因為是連續(xù)函數(shù)，由零點存在定理得定有使得，故函數(shù)不單調(diào)，當(dāng)時，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，故，因為是連續(xù)函數(shù)，由零點存在定理得定有使得，故函數(shù)不單調(diào)，故A錯誤；對于選項B：因為函數(shù)，當(dāng)時，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故B正確；對于選項C：由選項A分析當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，此時函數(shù)的圖象與直線至多有1個交點；故C錯誤對于選項D：因為，要使恒成立，只需，即，，解不等式，即，解得或，又因為，所以，故D正確；故選：BD【點睛】關(guān)鍵點點睛：求參數(shù)a時，關(guān)鍵是等價條件的轉(zhuǎn)化：恒成立，只需，即，即，解不等式即可.12．16【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由正數(shù)滿足，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，所以的最小值是16.故答案為：1613．【分析】根據(jù)給定條件，確定點的軌跡，進而求出的范圍.【詳解】在棱長為4的正方體中，分別取棱中點，連接，由點分別是棱的中點，得，又平面，平面，則平面，又，則四邊形為平行四邊形，于是，又平面，平面，則平面，又，平面，因此平面平面，又是側(cè)面內(nèi)一點，且平面，則點的軌跡是線段，在中，，同理，即為等腰三角形，當(dāng)為中點時，最短，為，當(dāng)位于、處時，最長，為，所以線段長度的取值范圍是.故答案為：14．【分析】取的中點N，結(jié)合已知可得，再由數(shù)量積為0得垂直平分，利用雙曲線定義及向量數(shù)量運算列出關(guān)于的方程，即可得答案.【詳解】取的中點N，由，得，令與交于，由是的中點，得，則是的中點，由，得，因此垂直平分，令雙曲線的半焦距為c，則，，由，得，因此，化簡得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.【點睛】思路點睛：利用圖形的幾何性質(zhì)探究，再利用數(shù)量積運算建立方程求出離心率.15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，利用兩角和的正弦公式和三角形內(nèi)角和公式求解；（2）利用面積方法和三角形的面積公式計算.【詳解】（1）由得,又因為，所以,又因為，所以,又因為,所以.（2）因為，所以,又因為,所以,所以,故答案為：.16．(1)；(2)證明見解析，定點為.【分析】（1）利用橢圓所過點及焦距建立方程組求出，即可得橢圓的方程.（2）設(shè),，當(dāng)時，利用點差法求出直線的斜率，進而求得直線的方程及所過定點，再討論的情況即可得證.【詳解】（1）由點在橢圓上，得，由橢圓的焦距為，得，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè),，代入橢圓方程得，由題知，當(dāng)時，設(shè),、,，顯然，由，得，即，由為線段的中點，得，直線的斜率，由，得直線的方程為，即，因此直線過定點，當(dāng)時，直線，此時為軸亦過點，所以直線恒過定點.17．(1)或或(2)【分析】（1）利用“數(shù)列”的定義，得到關(guān)于的不等式組，列出所有滿足條件，即可得解；（2）利用“數(shù)列”的定義，推得，進而得到，解得；再取，推得符合題意，由此得解；【詳解】（1）依題意，因為數(shù)列為“數(shù)列”，則，注意到，故所有可能的為或或.（2）一方面，注意到：對任意的，令，則且，故對任意的恒成立（★），當(dāng)時，注意到，得，此時，即，解得，故；另一方面，取，則對任意的，故數(shù)列為“數(shù)列”，此時，即符合題意.綜上，n的最大值為.18．(1)存在，(2)【分析】（1）連接，證明平面，再過作于，證明平面，再根據(jù)三角形中的關(guān)系求解的長即可；（2）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，分別利用向量法求出二面角的平面角的余弦值，二面角的平面角的余弦值，再利用兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】（1）如圖，連接，，是的中點，，又平面，平面，，又，平面，平面，過作于，又，，又平面，，又，平面，平面，在中，，，，得，.（2）以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，由（1）知，，可得，，又平面，所以平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，得，，，由圖可知二面角的平面角為鈍角，則，，由題知，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，得，.，由圖可知二面角的平面角為銳角，則，，.19．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由“凸函數(shù)”定義可得在區(qū)間D上單調(diào)遞減，令，則問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值可得；（2）令，結(jié)合的單調(diào)性與三角函數(shù)的有界性，分區(qū)間討論的單調(diào)性與函數(shù)值的符號變化即可.【詳解】（1）由，則.由題意可知，為上的“凸函數(shù)”，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，設(shè)，則，所以在恒成立，則在恒成立，又當(dāng)時，函數(shù)取最小值，且最小值為，所以有，解得，即a的取值范圍為.（2）當(dāng)時，由得.令，其中，則，其中.①當(dāng)時，則，，所以，則在單調(diào)遞增，則恒成立，即在無零點；②當(dāng)時，令，其中，由在單調(diào)遞增，又，故存在，使得，故當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；由，故存在，使，即，故當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；又，故當(dāng)時，，即在無零點；③當(dāng)時，由，則，故故在單調(diào)遞增，，