廣東省清遠(yuǎn)市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 含解析

清遠(yuǎn)市2024～2025學(xué)年第一學(xué)期高中期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置．3．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無(wú)效．4．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．5．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由集合交、補(bǔ)運(yùn)算求解即可；【詳解】全集，而，則，又，所以．故選：A．2.已知角，則角的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)終邊相同的角的性質(zhì)即可求.【詳解】，故與的角終邊相同，其中在第三象限，故角的終邊在第三象限．故選:C．3.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若且，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷A、B；根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷C，D，【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若且，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，D正確．故選：D．4.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由二次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意得，解得或．故選：B．5.已知，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用單調(diào)性得到，，結(jié)合的單調(diào)性比較出大小.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，，又，所以，即．故選：D．6.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，弦切互化和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解；【詳解】因?yàn)?，所以，即，得．所以．故選：B．7.已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A.16 B.18 C.22 D.26【答案】C【解析】【分析】變形得到，，由基本不等式求出最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)的最小值為22．故選：C8.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】因?yàn)椋曰蛑恍璧膱D象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合即可得【詳解】因?yàn)椋曰蛞驗(yàn)殛P(guān)于的方程共有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．所以的圖象與直線和直線共有5個(gè)不同的交點(diǎn)．如圖，的圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)，所以只需的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題是真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若，且，則【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，舉出反例；BC選項(xiàng)，由不等式性質(zhì)得到BC正確；D選項(xiàng)，判斷出，D正確.【詳解】對(duì)于A，若，取，，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，B正確；對(duì)于C，，兩邊同乘以得，，C正確；對(duì)于D，由知，則，故，D正確．故選：BCD．10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A.B.直線是圖象的對(duì)稱軸C.在區(qū)間上只有2個(gè)零點(diǎn)D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】由對(duì)稱中心代入即可判斷A，由的函數(shù)值可判斷B，通過(guò)計(jì)算的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像、單調(diào)性可判斷CD.【詳解】將代入，得，，即．又，故A正確；由上知，則，則直線是圖象的對(duì)稱軸，故B正確；由，得，又在上有3個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；處于余弦函數(shù)的遞增區(qū)間內(nèi)，D正確．故選:ABD．11.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若滿足，且在上單調(diào)遞增，則以下說(shuō)法一定正確的是（）A.B.為周期函數(shù)C.D.在上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】由，確定函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱，再結(jié)合奇偶性、單調(diào)性逐個(gè)判斷即可；【詳解】對(duì)于A，由，得的圖象關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，，，所以的一個(gè)周期為8，故B正確；對(duì)于C，由于周期性和奇偶性，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)槭桥己瘮?shù)且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞減，由于周期為8，在上的單調(diào)性與上的單調(diào)性相同，所以在上單調(diào)遞減，故D不正確．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則此扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】由弧長(zhǎng)公式，即可求解；【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，由扇形的弧長(zhǎng)公式，可得．故答案為：13.已知，且為第三象限角，則______．【答案】##0.75【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出正弦，再求正切即可.【詳解】解：因?yàn)?，且為第三象限角，所?所以.14.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，，則滿足的的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由題意得到，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)單調(diào)性、奇偶性即可求解；【詳解】因?yàn)?，所以，所以，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以對(duì)，所以函數(shù)為上的奇函數(shù)，且．由，可得，即，所以或，解得．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由，得到，構(gòu)造函數(shù).四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.已知函數(shù)的最小正周期．（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】（1）（2）最大值為，最小值為．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)周期公式代入計(jì)算可得結(jié)果；（2）利用整體代換法以及正弦函數(shù)單調(diào)性即可求得最值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以．【小?wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，．所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為．16.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)解析式；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解；（2）根據(jù)（1）中解析式，分和兩種情況，結(jié)合二次不等式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】若，則，由題意可得，所以．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，令，即，解得，則；當(dāng)時(shí)，令，即，解得，則．綜上所述，不等式的解集為．17.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某供應(yīng)商某產(chǎn)品的售價(jià)定為元時(shí)，銷(xiāo)售量可達(dá)到萬(wàn)件．已知該產(chǎn)品的供貨價(jià)格分為固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分．其中固定價(jià)格為40元/件，浮動(dòng)價(jià)格（單位：元/件）與銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)件）成反比，比例系數(shù)為20．假設(shè)不計(jì)其他成本，即銷(xiāo)售每件產(chǎn)品的利潤(rùn)=售價(jià)供貨價(jià)格．（1）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)定為80元時(shí)，求該供應(yīng)商銷(xiāo)售該產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)；（2）該產(chǎn)品的售價(jià)定為多少元時(shí)，單件產(chǎn)品的利潤(rùn)最大？并求出該最大值．【答案】（1）620（萬(wàn)元）．（2）該產(chǎn)品的售價(jià)定為150元時(shí)，單件產(chǎn)品的利潤(rùn)最大為100元．【解析】【分析】（1）由題意先求得銷(xiāo)售量，再結(jié)合每件產(chǎn)品的利潤(rùn)即可求解；（2）設(shè)該商品的售價(jià)為元，由題意得到，再結(jié)合基本等式求解即可；小問(wèn)1詳解】當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)定為80元時(shí)，銷(xiāo)售量為萬(wàn)件，該供應(yīng)商可獲得的總利潤(rùn)為（萬(wàn)元）．【小問(wèn)2詳解】設(shè)該商品的售價(jià)為元，由得．設(shè)單件商品的利潤(rùn)為元，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以該產(chǎn)品的售價(jià)定為150元時(shí)，單件產(chǎn)品的利潤(rùn)最大為100元．18.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義進(jìn)行證明；（3）已知函數(shù)，函數(shù)且．若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析（3）．【解析】【分析】(1)將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，可得關(guān)于的方程組，解出的值，即可求出的解析式；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行證明即可；(3)先求出的值域，將對(duì)任意，總存在，使得成立轉(zhuǎn)化為任意，在上的恒成立問(wèn)題即可求解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，，解得，；【小問(wèn)2詳解】在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，，且，，，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．【小問(wèn)3詳解】，由（2）可得在上單調(diào)遞增，所以的值域?yàn)椋驅(qū)κ沟贸闪?，所以只需在上恒成立．?dāng)時(shí)，，設(shè)，則在上是減函數(shù)，所以，所以．當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則在上為減函數(shù)，所以，所以，此不等式組無(wú)解．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．19.若對(duì)定義域內(nèi)任意，都有，則稱函數(shù)“步長(zhǎng)”增函數(shù)．（1）已知函數(shù)，判斷是否為“2步長(zhǎng)”增函數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)是“步長(zhǎng)”增函數(shù)，求的最小值；（3）若函數(shù)為上的“2024步長(zhǎng)”增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）“2步長(zhǎng)”增函數(shù)，理由見(jiàn)解析（2）（3）．【解析】【分析】（1）由單調(diào)性及新定義即可判斷；（2）由恒成立，得到恒成立，進(jìn)而可求解；（3）結(jié)合新定義，由和兩類(lèi)情況討論求解；【小問(wèn)1詳解】函數(shù)是“2步長(zhǎng)”增