2025年高考數(shù)學(xué)二輪備考策略講座

2025高考二輪備考策略淺探（數(shù)學(xué)）一、備考方向二輪復(fù)習(xí)需要從宏觀進(jìn)入到微觀！居高臨下的看問(wèn)題，作規(guī)劃。（一）從國(guó)家政策要求中來(lái)?。ǘ难芯空n標(biāo)中來(lái)！（三）從研究高考試卷中來(lái)！（四）從深研適應(yīng)測(cè)試中來(lái)!（五）從師生學(xué)情調(diào)查中來(lái)！（一）從國(guó)家政策要求中來(lái)！明晰國(guó)家政策要求：教育部頒布的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》已成為我國(guó)高考內(nèi)容和命題改革的核心指導(dǎo)文件，高考評(píng)價(jià)體系的全面實(shí)踐，意味著自2014年啟動(dòng)的高考綜合改革正式落地，它將為深化高考內(nèi)容改革和指導(dǎo)命題實(shí)踐提供長(zhǎng)效機(jī)制，同時(shí)將促進(jìn)高中育人方式的底層邏輯變革。“一核四層四翼”構(gòu)成了高考評(píng)價(jià)體系的基本內(nèi)涵，分別規(guī)定了高考的考查目的（為什么考）、考查內(nèi)容（考什么）和考查要求（怎么考），并在此基礎(chǔ)上明確了考查載體（試題情境）。高考評(píng)價(jià)體系在考查內(nèi)容上實(shí)現(xiàn)了高考由傳統(tǒng)的“知識(shí)立意”向“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”綜合考查的轉(zhuǎn)變，在考查模式上實(shí)現(xiàn)了由傳統(tǒng)“考查內(nèi)容”一維模式向“考查內(nèi)容、考查要求、考查載體”三位一體模式的轉(zhuǎn)變。u

基礎(chǔ)知識(shí)u

基本技能u

基本方法u

基本經(jīng)驗(yàn)l 數(shù)學(xué)各分支l 自然科學(xué)l 社會(huì)科學(xué)形式創(chuàng)新方法創(chuàng)新思維創(chuàng)新基礎(chǔ)性應(yīng)用性創(chuàng)新性綜合性解釋生活中現(xiàn)象解決生產(chǎn)中問(wèn)題闡釋社會(huì)中熱點(diǎn)數(shù)學(xué)科四翼考查要求（二）從研究新課標(biāo)中來(lái)!《課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)范了課程的性質(zhì)與理念、課程的設(shè)計(jì)思路以及課程目標(biāo)、內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)

(各個(gè)模塊章節(jié)知識(shí)范圍、能力層次)。不僅是編寫(xiě)教材的依據(jù)，而且是教學(xué)、評(píng)估的依據(jù)，同時(shí)也是制定《高考評(píng)價(jià)體系》、命題的重要依據(jù)。（三）從研究高考試卷中來(lái)！2019--2022教育部考試中心對(duì)高考數(shù)學(xué)試卷評(píng)析一、貫徹高考評(píng)價(jià)體系，創(chuàng)新試卷結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)（一）減少全卷題量，留出更多思考時(shí)間（二）打破常規(guī)模式，創(chuàng)設(shè)全新試卷結(jié)構(gòu)（三）聚焦主干內(nèi)容考查，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)框架二、突出思維能力考查，助力創(chuàng)新人才選拔（一）創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)，增強(qiáng)試題的選拔功能（二）突出整體設(shè)計(jì)，注重思維考查（三）強(qiáng)調(diào)綜合性，強(qiáng)化考查知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系三、加強(qiáng)考教銜接，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)（一）嚴(yán)格依標(biāo)命題，引導(dǎo)依標(biāo)教學(xué)（二）深化基礎(chǔ)性考查，引導(dǎo)減少機(jī)械刷題（三）科學(xué)設(shè)置難度結(jié)構(gòu)，助力學(xué)生發(fā)揮水平落實(shí)高考評(píng)價(jià)體系總體要求持續(xù)深化基礎(chǔ)性考查不斷拓展綜合性考查引導(dǎo)教學(xué)回歸課標(biāo)突出考查思維品質(zhì)減少繁難運(yùn)算,強(qiáng)化思維考查創(chuàng)設(shè)新穎情境,強(qiáng)調(diào)靈活思考培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí),助力素養(yǎng)提升合理調(diào)控難度結(jié)構(gòu)精準(zhǔn)施策,做到難度合適多措并舉,降低感受難度一、貫徹高考改革要求，創(chuàng)建統(tǒng)一考試體系（

一

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學(xué)

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養(yǎng)

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查（三）創(chuàng)建學(xué)科化考查要求和實(shí)施策略（四）優(yōu)化試卷難度結(jié)構(gòu)二、研究新問(wèn)題，直面新挑戰(zhàn)（一）考生群體數(shù)學(xué)水平差異擴(kuò)大（二）試題難度存在年度間波動(dòng)問(wèn)題（三）考試對(duì)中學(xué)教學(xué)的有效導(dǎo)向有待提升（四）服務(wù)拔尖創(chuàng)新人才的選拔功能有待加強(qiáng)三、堅(jiān)持問(wèn)題導(dǎo)向，探索改革路徑（一）完善考試目標(biāo)和命題原則，助力拔尖創(chuàng)新人才選拔（二）開(kāi)發(fā)新題型，加強(qiáng)對(duì)中學(xué)教學(xué)的正確引導(dǎo)（三）深入研究考生群體水平，開(kāi)發(fā)、設(shè)計(jì)新卷種（四）增強(qiáng)考查針對(duì)性，研究差異化的試卷結(jié)構(gòu)（五）研究難度調(diào)控措施，有效控制難度波動(dòng)教育部教育考試院高考試題評(píng)價(jià)體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化突出實(shí)踐能力2020年2015年 2016年突出實(shí)踐性和創(chuàng)新性實(shí)現(xiàn)高考的選拔功能2019年2017年加強(qiáng)理性思維考查突出創(chuàng)新應(yīng)用2018年以評(píng)價(jià)體系引領(lǐng)內(nèi)容改革

以真情實(shí)景落實(shí)“五育并舉”

素養(yǎng)導(dǎo)向新舉措以科學(xué)情境考查關(guān)鍵能力

以理性思維踐行“立德樹(shù)人”

能力考查新突破2021年

2022年2023年聚焦核心素養(yǎng)考查關(guān)鍵能力創(chuàng)設(shè)情境

發(fā)揮育人作用深化基礎(chǔ)

考查核心素養(yǎng)深入考查基礎(chǔ)知識(shí)和能力助力人才選拔和“雙減”落地2024年優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)突出思維能力考查基礎(chǔ)、思維、素養(yǎng)、創(chuàng)新、選拔（四）從深研適應(yīng)測(cè)試中來(lái)!八省聯(lián)考—結(jié)構(gòu)有延續(xù)與創(chuàng)新八省聯(lián)考T1-7：起點(diǎn)低、重視核心，落實(shí)四基八省聯(lián)考T8：突出思維能力、多想少算T11、爭(zhēng)議最大的題，話題1：如何看待測(cè)試卷中的新題型？

如何看待新題型？

如何看待新題型？ T16：解答題采用三問(wèn)的設(shè)置T17：第17題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題T18：解析幾何計(jì)算量大，不好得滿分一題多解光學(xué)性質(zhì)T19：立體幾何壓軸題多項(xiàng)選擇題部分答對(duì)得部分分?jǐn)?shù)，每題得分分為三個(gè)或四個(gè)層次，相對(duì)于單項(xiàng)選擇題非對(duì)即錯(cuò)的單一設(shè)置，對(duì)數(shù)學(xué)思維的考查更加深入，對(duì)考生的區(qū)分更加精細(xì)。新定義題通過(guò)新定義創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)新語(yǔ)境和話語(yǔ)體系；通過(guò)新情境搭建試題框架；通過(guò)新設(shè)問(wèn)設(shè)置思維梯度，逐步深入，準(zhǔn)確區(qū)分不同層次的學(xué)生；通過(guò)解題過(guò)程展現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和探究過(guò)程，實(shí)現(xiàn)對(duì)分析、推理、判斷、論述等關(guān)鍵能力的考查。結(jié)構(gòu)不良題結(jié)構(gòu)不良試題具有較好的開(kāi)放性，突破了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)試題條件確定的固化模式，無(wú)論在試題條件還是解題過(guò)程上都更加多元、靈活，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了自由發(fā)揮的空間。題量調(diào)整試題總數(shù)由過(guò)去的

22

題減少到

19

題，同時(shí)增加了多項(xiàng)選擇題的單題分值和解答題的總分值，解答題分為13分、15分、17

分三個(gè)檔次，強(qiáng)化了對(duì)學(xué)生思維過(guò)程和解答步驟的賦分。突出數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng)考查（五）從師生學(xué)情調(diào)查中來(lái)!一輪復(fù)習(xí)后出現(xiàn)的問(wèn)題（一）學(xué)生問(wèn)題基礎(chǔ)不扎實(shí)，運(yùn)算不準(zhǔn)確，理解不透徹，步驟不規(guī)范，落實(shí)不到位，心態(tài)不穩(wěn)定。

師生雙向調(diào)查 （二）老師問(wèn)題１．課標(biāo)學(xué)習(xí)浮于表面２．真題研究不夠到位３．教學(xué)手段存在慣性４．典例分析缺乏深度師生雙向調(diào)查1.周密計(jì)劃，統(tǒng)籌安排4.指導(dǎo)學(xué)法，規(guī)范習(xí)慣2.錘煉課堂，提高效率3.團(tuán)隊(duì)備考，精細(xì)管理二、備考策略分析基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)基本解題技能基本學(xué)科素養(yǎng)解題能力解題質(zhì)量解題速度規(guī)范解題考試能力考試素質(zhì)考試技巧規(guī)范應(yīng)試1.周密計(jì)劃，統(tǒng)籌安排會(huì)考試,考好試 能得分,得高分教學(xué)：二輪三輪交融走，一主多輔整合用學(xué)生：會(huì)解題,解對(duì)題會(huì)讀、會(huì)寫(xiě)、會(huì)算、會(huì)反思基于教材，幫助學(xué)生理解知識(shí)2.錘煉課堂，提高效率考：一些源自教材的考題無(wú)法掌握，成績(jī)不理想。教：有的教師輕視教材，不鉆研教材，也沒(méi)有讓學(xué)生閱讀教材，以教輔資料為依據(jù)進(jìn)行教學(xué)。學(xué)：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法的掌握不系統(tǒng)，知識(shí)碎片化現(xiàn)象比較嚴(yán)重。2.錘煉課堂，提高效率高考試題背景源于教材的常見(jiàn)類(lèi)型1.來(lái)源于教材正文高考試題背景源于教材的常見(jiàn)類(lèi)型2.來(lái)源于教材的例題重視教材（有不少學(xué)生高三從未畫(huà)過(guò)類(lèi)似圖象?。?/p>

高考試題背景源于教材的常見(jiàn)類(lèi)型

高考試題背景源于教材的常見(jiàn)類(lèi)型

3.來(lái)源于教材的習(xí)題

高考試題背景源于教材的常見(jiàn)類(lèi)型

4.來(lái)源于教材的圖則。許多高考試題的背景材料往往取材于教材中的例題、習(xí)題，充分隨著考試改革的不斷深入，《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》提出的“價(jià)值引領(lǐng)，素養(yǎng)導(dǎo)向，能力為重，知識(shí)為基”已成為新高考數(shù)回歸教材

礎(chǔ)；要重視教材情景引入中的一些典型問(wèn)題和思考、探究、閱讀等欄目中的一些典型素材，充分挖掘他們?cè)诩ぐl(fā)學(xué)習(xí)興趣、引發(fā)學(xué)生思考、培養(yǎng)學(xué)生能力等方面的價(jià)值；要加強(qiáng)對(duì)教材典型例習(xí)題的深化研究，加強(qiáng)一題多解、一題多變與適度的拓展延伸，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)與解題能力；要善于將平時(shí)復(fù)習(xí)備考中遇到的各種各樣的問(wèn)題回歸到教材最基本、最本質(zhì)的問(wèn)題中去，使學(xué)生能從紛繁復(fù)雜的問(wèn)題中抓住關(guān)鍵、把握本質(zhì)，達(dá)到“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的境界。學(xué)的啟命題示原體現(xiàn)數(shù)學(xué)教材在鞏固知識(shí)、培養(yǎng)能力、拓展知識(shí)、深化理解和應(yīng)用的功能，以及其在達(dá)成學(xué)業(yè)要求上的評(píng)價(jià)功能。教材上的每一道題都是

經(jīng)過(guò)教材編寫(xiě)者反復(fù)研磨、論證的，要高度重視教材上每一道例題、

習(xí)題（包括復(fù)習(xí)參考題），這是鞏固新知、形成技能、提升能力的基

重視回歸教材，實(shí)施深度教學(xué)——知識(shí)串講

知識(shí)串講：結(jié)合課本進(jìn)行知識(shí)串講，弄清重點(diǎn)知識(shí)的來(lái)龍去脈、相互聯(lián)系，結(jié)合知識(shí)設(shè)計(jì)問(wèn)題，使知識(shí)問(wèn)題化，引導(dǎo)學(xué)生參與解決。案例1：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.概念形成方法1：觀橢圓——切割法導(dǎo)入方法2：畫(huà)橢圓——交軌法導(dǎo)入方法3：做橢圓——折紙法導(dǎo)入方法4：想橢圓——壓縮法導(dǎo)入案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方法1

觀橢圓人教A版選擇性必修一P104章引言湘教版選擇性必修一P111數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方法1

觀橢圓在一個(gè)透明的圓柱形桶內(nèi)裝一定體積的水,將圓柱形桶傾斜放置時(shí),觀察圓柱形桶內(nèi)的水平面所呈現(xiàn)出的幾何形狀.把這一動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”,即用一個(gè)平面去斜截一個(gè)水平放置的圓柱,那么所得截口曲線是什么?

經(jīng)直觀觀察和空間想象,不難發(fā)現(xiàn)截口曲線是橢圓形曲線.如果改換成圓錐,那么截口曲線還會(huì)是橢圓嗎?

為什么?案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方法1

觀橢圓有的教師基于數(shù)學(xué)文化史,直接利用丹德林雙球模型進(jìn)行導(dǎo)入,效果往往并不理想.這是因?yàn)?一方面,課堂導(dǎo)入應(yīng)自然,雙球模型構(gòu)思精妙,常人難以想到;另一方面,課堂導(dǎo)入應(yīng)簡(jiǎn)潔,雙球模型稍顯復(fù)雜,教學(xué)用時(shí)過(guò)多.但把丹德林雙球模型作為一種驗(yàn)證工具,利用它對(duì)直觀觀察所獲得的猜想進(jìn)行嚴(yán)格論證,可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方法2

畫(huà)橢圓人教A版選擇性必修一P105案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方法2

畫(huà)橢圓案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方法2

畫(huà)橢圓人教A版選擇性必修一P116信息技術(shù)應(yīng)用思考案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方法3

做橢圓人教A版選擇性必修一P115習(xí)題第6題以此習(xí)題為基礎(chǔ),通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生把折紙實(shí)驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”,可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律,可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方法4

想橢圓人教A版選擇性必修一P108例268

重視回歸教材，實(shí)施深度教學(xué)——活用例題

活用例題：教師在設(shè)計(jì)各節(jié)復(fù)習(xí)例題時(shí)，應(yīng)多選用、引用課本例題、習(xí)題以及它們的變式，有的講解剖析，有的指導(dǎo)自學(xué)，有的變化延伸。橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方程建立方法1：移項(xiàng)平方法方法2：直接平方法方法3：分子有理化法方法4：等差中項(xiàng)法方法5：三角代換法方法6：待定系數(shù)法案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方法1：移項(xiàng)平方法（略）方法2：直接平方法案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方法4：等差中項(xiàng)法方法3：分子有理化法案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方法6：待定系數(shù)法方法5：三角代換法案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程由方程推導(dǎo)中想到的...焦半徑公式案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程由方程推導(dǎo)中想到的...橢圓的第二定義案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程由方程推導(dǎo)中想到的...橢圓的第三定義案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程案例：

橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方

程 案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程3.拓展探究（1）從定義出發(fā)拓展與探究之積——卡西尼卵形線；之比——阿波羅尼斯圓.（2）從例題出發(fā)拓展與探究動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積為定值.案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程人教A版選擇性必修一P108例3人教A版選擇性必修一P109練習(xí)4周玉寶

蔡海濤

盧妮.以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

促教學(xué)“生”動(dòng)——一道教材例題探究的課堂實(shí)錄

與思考[J].理科考試研究，2022(12)12-14.案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程人教A版選擇性必修一P145第9題人教A版選擇性必修一P139第11題人教A版選擇性必修一P121探究案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程推廣1：已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是（－a，0），（a，0）(a>0)，直線AM,BM相交于M，且它們的斜率之和為m，求點(diǎn)M的軌跡方程．案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程推廣2：已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是（－a，0），（a，0）(a>0)，直線AM,BM相交于M，且它們的斜率之差為m，求點(diǎn)M的軌跡方程．案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程推廣3：已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是（－a，0），（a，0）(a>0)，直線AM,BM相交于M，且它們的斜率之積為m，求點(diǎn)M的軌跡方程．案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程推廣4：已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是（－a，0），（a，0）(a>0)，直線AM,BM相交于M，且它們的斜率之商為m，求點(diǎn)M的軌跡方程．案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程探究5：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)的距離比為定值m的軌跡．案例：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程探究6：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)的距離積為定值m的軌跡．訓(xùn)練落實(shí)：作業(yè)和單元測(cè)試中，注重選用課本習(xí)題、復(fù)習(xí)題及其變式或引伸，使學(xué)生不斷與課本打交道。教學(xué)中，

教師以該習(xí)題為例，

推導(dǎo)并證明三垂線定理及其逆定理.人教A版《數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)第164頁(yè)拓廣探索第19題

重視回歸教材，實(shí)施深度教學(xué)——訓(xùn)練落實(shí)本題利用三垂線定理，易得正確答案為BC.

重視回歸教材，實(shí)施深度教學(xué)——追本溯源追本溯源：對(duì)于部分的高考題和資料、考卷中試題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生一起追本溯源，尋

找它們與課本題的聯(lián)系和演化，

加深對(duì)這些典型題的理解層次。案例2：雙曲正余弦函數(shù)3.團(tuán)隊(duì)備考，精細(xì)管理.資源共享.規(guī)范考試.集體備課.培優(yōu)輔差組編原則、科學(xué)高效資料組編、突出基礎(chǔ)3.團(tuán)隊(duì)備考，精細(xì)管理01.資源共享“三定”，“五統(tǒng)一”“三定”是一定時(shí)間，二定備課內(nèi)容，三定中心發(fā)言人.

經(jīng)備課

組討論并加以修訂，確定最佳教學(xué)方案.

中心發(fā)言內(nèi)容包括：課時(shí)安排、教

學(xué)目的、重點(diǎn)、難點(diǎn)、課題引入、例題、課堂練習(xí)、課外作業(yè)等等.“五統(tǒng) 一”，即統(tǒng)一進(jìn)度、統(tǒng)一重點(diǎn)難點(diǎn)、統(tǒng)一課外作業(yè)、統(tǒng)一測(cè)試、統(tǒng)一評(píng)卷.02.集體教研借鑒復(fù)備備注修改意見(jiàn)，備換題目3.團(tuán)隊(duì)備考，精細(xì)管理集體備課主備人主持討論，定稿印制個(gè)人主備主線，

框架，

題型，

備選題庫(kù)團(tuán)結(jié)協(xié)作，完善備課體系課題（1）親自做題的過(guò)程中感悟?qū)W生難點(diǎn)，尋找難點(diǎn)解決的突破口；（2）相互聽(tīng)課的過(guò)程中學(xué)習(xí)知識(shí)和能力如何進(jìn)行落實(shí)；（3）重視積累為自己、為學(xué)生搜集大量的專(zhuān)題講座

素材；3.團(tuán)隊(duì)備考，精細(xì)管理（4）研究歷年高考試題，提煉規(guī)律，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，上升理論；對(duì)高考命題方向得研究（做高考題），方向一定要穩(wěn)準(zhǔn)狠…………命制高質(zhì)量試題，及時(shí)評(píng)閱試卷，做好考后分析、試卷講評(píng)，錯(cuò)題更正，反饋跟蹤.3.團(tuán)隊(duì)備考，精細(xì)管理3.規(guī)范考試基于學(xué)情，幫助學(xué)生找準(zhǔn)問(wèn)題1.①重技巧，輕通性通法

②重做題，輕方法③重結(jié)果，輕過(guò)程

④重運(yùn)算，輕審題

⑤重資料，輕課本2.運(yùn)算能力欠缺3.在考試行為能力方面讀

閱讀理解---表現(xiàn)為沖動(dòng)的期望解題，錯(cuò)誤理解題意、找不到最佳（簡(jiǎn)）解法。新情境題、應(yīng)用題、開(kāi)放題等寫(xiě)

思想表達(dá)---顛三倒四說(shuō)不清，抓不到關(guān)鍵步驟。立幾證明題目標(biāo)不明確、自造條件、沒(méi)有“因?yàn)椤薄ⅰ八浴?。?/p>

技能能力---運(yùn)算出錯(cuò)、不會(huì)動(dòng)手。如三角、概率、求導(dǎo)運(yùn)算，解析幾何中式的變形.想

分類(lèi)討論---分不清對(duì)什么分類(lèi)、如何分類(lèi)。思維不嚴(yán)謹(jǐn)，發(fā)揮

考場(chǎng)上心理過(guò)度緊張?jiān)斐蛇z忘與筆誤（低級(jí)錯(cuò)誤比比皆是）4.指導(dǎo)學(xué)法，規(guī)范習(xí)慣規(guī)范示例，要求學(xué)生形成習(xí)慣解題的規(guī)范性應(yīng)該是一個(gè)常抓不懈的課題。粗心大意，跟著感覺(jué)走，會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全，

都是學(xué)生容易出現(xiàn)的問(wèn)題。建立錯(cuò)題本，對(duì)常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行

總結(jié)，應(yīng)該是一個(gè)必須的要求。必須重視書(shū)寫(xiě)規(guī)范，抓住關(guān)鍵點(diǎn)，注重推理，邏輯嚴(yán)密，仔細(xì)計(jì)算，重視過(guò)程。在解題過(guò)程中形成學(xué)生良好的審題、解題習(xí)慣。在這一過(guò)程中，我們老師要率先垂范，

要求學(xué)生做到的，老師首先要做到

,

要求學(xué)生書(shū)寫(xiě)規(guī)范，老師的板書(shū)就不能龍飛鳳舞、天馬行空！老師的板書(shū)也應(yīng)該每堂課至少有一個(gè)題有完整的步驟，展現(xiàn)給學(xué)生一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)。4.指導(dǎo)學(xué)法，規(guī)范習(xí)慣態(tài)度感染，引燃學(xué)生學(xué)習(xí)激情重視情感態(tài)度，

不為教學(xué)而教學(xué)。心理學(xué)研究表明，

人在愉悅的時(shí)候，

反應(yīng)相對(duì)靈敏，想象力比較活躍，對(duì)知識(shí)吸收得快而且牢固。反之則反應(yīng)遲鈍、思

維受阻甚至“厭學(xué)”。因此，忽視情感因素，一味地為了教學(xué)而教學(xué)，

往往欲速則不達(dá)?！坝H其師，信其道”。只我們和學(xué)生建立起積極的情感溝通，學(xué)生內(nèi)心深處的學(xué)習(xí)激情即被點(diǎn)燃，成績(jī)提高就指日可待！4.指導(dǎo)學(xué)法，規(guī)范習(xí)慣有舍有得，引導(dǎo)學(xué)生盡量提分1、基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)要注重“舍得”主動(dòng)舍棄短時(shí)間內(nèi)難以突破的知識(shí)與技巧，

舍棄靈活多變的題型，舍棄低頻考點(diǎn)，專(zhuān)注于攻克基本公式、通性通法；2、基礎(chǔ)扎實(shí)的同學(xué)要注重“突破”要重視突破死板的解題模式，體會(huì)知識(shí)的活學(xué)活用，注重對(duì)錯(cuò)題的反思、小結(jié)、歸類(lèi)、感悟，讓知識(shí)成為靈活使用的工具而非不得不帶的包袱；3、學(xué)有優(yōu)勢(shì)的同學(xué)要注重“超越”學(xué)有優(yōu)勢(shì)的同學(xué)一定要翻看歷次考試的錯(cuò)題，做縱向?qū)Ρ?，將錯(cuò)誤（含粗心大意）具體化，提高針對(duì)性。4.指導(dǎo)學(xué)法，規(guī)范習(xí)慣我們一定要教給學(xué)生如何答卷?。?）分解分步

——

缺步解答.（2）引理思想

——

跳步解答.（3）以退求進(jìn)

——

退步解答.（4）正難則反

——

倒步解答.（5）掃清外圍

——

輔助解答.高考評(píng)分，采用“分段評(píng)分、踩點(diǎn)記分”原則強(qiáng)化訓(xùn)練

規(guī)范應(yīng)試

力爭(zhēng)高分4.指導(dǎo)學(xué)法，規(guī)范習(xí)慣分段得分的主要技術(shù)三、備考措施從2024年開(kāi)始，數(shù)學(xué)科高考全面進(jìn)人以素養(yǎng)為導(dǎo)向的新高考模式。很多學(xué)校對(duì)此還沒(méi)有做好準(zhǔn)備，突出表現(xiàn)為“教學(xué)趕進(jìn)度，課上講題型”。教學(xué)趕進(jìn)度的主要目的是增加復(fù)習(xí)輪次。這種學(xué)模式已經(jīng)不能適應(yīng)新高考要求，甚至與高考評(píng)價(jià)體系背道而馳。一個(gè)前提：以學(xué)生學(xué)習(xí)情況作為二輪復(fù)習(xí)的前提。一個(gè)重視：高度重視一輪復(fù)習(xí)中的薄弱點(diǎn)?；痉绞剑何?zhuān)題+小課題?；纠砟睿鹤⒅卣w性和全局性。在知識(shí)點(diǎn)交匯處下功夫。在深度、廣度、精細(xì)度等各方面下功夫度?；驹瓌t：刷百題，不如精一題。二輪要求（一）、選擇核心專(zhuān)題專(zhuān)題選擇的原則．可從五個(gè)方面去選擇專(zhuān)題：① 一階段中的弱點(diǎn)；② 教材體系中的重點(diǎn)；③ 高考試題中的熱點(diǎn)；④ 學(xué)數(shù)學(xué)的解題方法體系；⑤應(yīng)試的技術(shù):針對(duì)性、實(shí)用性、系列化。數(shù)列1

、函數(shù)視角下的數(shù)列：

主要為單調(diào)性、最值、含參，周期性、函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、中心對(duì)稱（倒序相加）2、離散數(shù)學(xué)視角下的數(shù)列：

主要為遞推、迭代、累加累乘，

相鄰項(xiàng)、隔項(xiàng)分奇偶討論?！唬?/p>

不

宜過(guò)難，

不要求涉及斐波那契數(shù)列、不動(dòng)點(diǎn)法等）三角1

、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。2、三角形中的分邊、分角模型。3、三角應(yīng)用問(wèn)題。立體幾何1

、空間幾何體：

球體、臺(tái)體。2、立體幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題。3、空間點(diǎn)線位置的確定。4、建系和含參。5、投影向量、點(diǎn)線、線線距離。概率統(tǒng)計(jì)1

、獨(dú)立性、條件概率。2、全概率公式。3、概率問(wèn)題結(jié)合函數(shù)數(shù)列。4、圖表和閱讀。r 解析幾何微專(zhuān)題1、圓錐曲線的切線處理技巧相關(guān)內(nèi)容：隱函數(shù)求導(dǎo)、阿基米德三角形、蒙日?qǐng)A、彭賽列閉合定理、極點(diǎn)極線。2、弦長(zhǎng)

中點(diǎn)問(wèn)題：

點(diǎn)

差法 。3

、

極點(diǎn)極線結(jié)構(gòu)及非對(duì)稱韋達(dá)定理。4、與斜率和，斜

率

積有關(guān)

的定點(diǎn)定值。5、圓錐曲線中的四點(diǎn)共圓。6、雙曲線漸近線幾何性質(zhì)研究

（求離心率）7、仿射變換、圓幕定理。8、圓和橢圓參數(shù)方程、焦點(diǎn)弦、焦半徑、焦點(diǎn)三角形相關(guān)結(jié)論。

（二）高效實(shí)施教學(xué)活動(dòng) 教師的授課方式1.授課方法一：學(xué)生先自主復(fù)習(xí)在前，小組提出問(wèn)題，老師上課針對(duì)性講解。2.授課方法二：盡可能讓優(yōu)生講課、講題。學(xué)生相互討論分析—優(yōu)生講課、講題成為常態(tài)。3.授課方法三：以考代練。強(qiáng)化限時(shí)訓(xùn)練，專(zhuān)題練習(xí)到位：特別是對(duì)學(xué)生規(guī)范化、速度性、準(zhǔn)確性訓(xùn)練。4.授課方法四：穿插高考題訓(xùn)練最有效的訓(xùn)練——?dú)v年高考試題分類(lèi)，特別是對(duì)優(yōu)生進(jìn)行難題集錦訓(xùn)練。5.有效方法五：每次月考后，優(yōu)生試卷都要面批面改，針對(duì)性指導(dǎo)。6.分層培養(yǎng)六：優(yōu)生，盡可能讓其在課堂講解錯(cuò)題，誰(shuí)出錯(cuò)誰(shuí)講題，達(dá)到錯(cuò)題不錯(cuò)的目的。上好兩類(lèi)課程：試卷評(píng)講課和微專(zhuān)題復(fù)習(xí)課如何上試卷講評(píng)課?重視“錯(cuò)解”資源，注重試卷講評(píng)。（二）高效實(shí)施教學(xué)活動(dòng)1、圍繞復(fù)習(xí)重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)設(shè)計(jì)微專(zhuān)題，2、通過(guò)典例分析，抽象出數(shù)學(xué)思想方法3、設(shè)置變式探究，內(nèi)化新的思想方法4、遷移應(yīng)用，拓展思維能力，以點(diǎn)帶面，見(jiàn)微知著微專(zhuān)題課的四個(gè)步驟：形成思維導(dǎo)圖（三）、周考月考，知識(shí)細(xì)目表閉環(huán)滾動(dòng) 復(fù)診限時(shí)練——每周滾動(dòng)：已經(jīng)復(fù)習(xí)過(guò)的所有內(nèi)容和沒(méi)有復(fù)習(xí)到的內(nèi)容復(fù)診：原題重考閉環(huán)：做好落實(shí)周練——每?jī)芍軝z測(cè)近期掌握情況（四）、小題限時(shí)練，大題規(guī)范練，錯(cuò)題重新練01、狠抓限時(shí)練滾動(dòng) 復(fù)診限時(shí)練——每周滾動(dòng)：已經(jīng)復(fù)習(xí)過(guò)的所有內(nèi)容和沒(méi)有復(fù)習(xí)到的內(nèi)容復(fù)診：原題重考閉環(huán)：做好落實(shí)閉環(huán)周練——每?jī)芍軝z測(cè)近期掌握情況02、消化錯(cuò)題，變式再練（五）培優(yōu)補(bǔ)弱校本+校外校本：補(bǔ)弱+拔高補(bǔ)弱：優(yōu)生弱科，班級(jí)化、個(gè)性化，也有后浪班。拔高：鯤鵬，組建培優(yōu)班，由本年級(jí)培優(yōu)教師團(tuán)隊(duì)進(jìn)行授課。組內(nèi)+組外名師助力高三培優(yōu)團(tuán)隊(duì)邀請(qǐng)組外老師加入培優(yōu)落實(shí)——優(yōu)生對(duì)戰(zhàn)大爭(zhēng)霸一學(xué)期培優(yōu)或是一假期的培優(yōu)結(jié)束之后，會(huì)組織爭(zhēng)霸賽，內(nèi)容基本是培優(yōu)的原題，以督促尖子生做好培優(yōu)的落實(shí)、反思工作。周對(duì)抗周練時(shí)同步組織尖子生對(duì)抗賽（五）培優(yōu)補(bǔ)弱（五）培優(yōu)補(bǔ)弱學(xué)生范圍：根據(jù)學(xué)生綜合排名確定尖子生培優(yōu)名單，名單確定后，各班可按照本班名額數(shù)在班內(nèi)調(diào)整學(xué)生。教師安排：年級(jí)組組建培優(yōu)團(tuán)隊(duì)，每科一名教師。高三沖刺階段，邀請(qǐng)組外優(yōu)秀老師加入。授課內(nèi)容：團(tuán)隊(duì)教師自行準(zhǔn)備培優(yōu)資料，每節(jié)課后要和學(xué)生交流，根據(jù)反饋及時(shí)調(diào)整，精準(zhǔn)備課。培優(yōu)落實(shí)——優(yōu)生對(duì)戰(zhàn)大爭(zhēng)霸一學(xué)期培優(yōu)或是一假期的培優(yōu)結(jié)束之后，會(huì)組織爭(zhēng)霸賽，內(nèi)容基本是培優(yōu)的原題，以督促尖子生做好培優(yōu)的落實(shí)、反思工作。周對(duì)抗周練時(shí)同步組織尖子生對(duì)抗賽（五）培優(yōu)補(bǔ)弱（六）落實(shí)細(xì)節(jié)審題心審算書(shū)建——非智力因素的培養(yǎng)計(jì)算書(shū)寫(xiě)審題要點(diǎn)文理科分開(kāi)草稿紙的使用簡(jiǎn)便計(jì)算答題區(qū)域字體大小整體布局計(jì)算能力大賽暨草稿紙?jiān)u比（六）落實(shí)細(xì)節(jié)實(shí)戰(zhàn)型作業(yè)本（六）落實(shí)細(xì)節(jié)實(shí)戰(zhàn)型作業(yè)本（六）落實(shí)細(xì)節(jié)與其大量做題,不如抽出時(shí)間認(rèn)真研究

往年的試題，往年的試題是精雕細(xì)磨的產(chǎn)

物，它反映了對(duì)考試內(nèi)容的深思熟慮、對(duì)

設(shè)問(wèn)和答案的準(zhǔn)確把握、對(duì)學(xué)生水平的客

觀判斷．研究這些試題,就如同和命題者對(duì)

話．——教育部考試中心

劉芃（七）真題研究教考銜接成套做分解做分類(lèi)做整合做反復(fù)做限時(shí)做全真模擬，考試氛圍，原汁原味，全面感受。選擇填空，因需而練，

實(shí)驗(yàn)計(jì)算，專(zhuān)題專(zhuān)練。題型知識(shí)，方法思維，情景模型，細(xì)做活分。典型真題，因需而整，多維變式，因變而通。一遍品其味，二遍得其魂，三遍能前瞻?？捎孟迺r(shí)練，亦能當(dāng)周測(cè)，還能全真做。（七）真題研究教考銜接1.1.1穩(wěn)定：

突出基礎(chǔ)性要求

，全面考查/深入考查基礎(chǔ)（七）真題研究教考銜接1.試題易中難比例：52:76:22;2.選填題難度設(shè)置明顯降低，沒(méi)有難題，而且比2023年少了一題多選題，一道填空題，對(duì)考生相當(dāng)友好，選填的答題準(zhǔn)確率和速度，應(yīng)該是2021年以來(lái)發(fā)揮最好的一次；3.解答題變化較大，減少了一個(gè)答題，而且每一題的賦分也有相應(yīng)的增加，大題的第二題考查導(dǎo)數(shù)不再是壓軸題，難度降低很多；18題是概率加載了較大的運(yùn)算，最后的19題是解析幾何與數(shù)列共舞，綜合性強(qiáng)難度較大，考生考場(chǎng)上不易完整做出來(lái)。（七）真題研究教考銜接1.1.2穩(wěn)定：突出主干知識(shí)題序12345678910111213141516171819202122難度易易易易易中中中中中中難易易中中中中中中難難2022年高考試題難度示意圖題序12345678910111213141516171819202122難度易易中易易易中難中中難難易易中難中中中中難難2023年高考試題難度示意圖題序12345678910111213141516171819難度易易易易易中中中易中中易中中易中中難難2024年高考試題難度示意圖1.2.1變化：合理控制試題難度，科學(xué)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)2022年高考試題難度示意圖（七）真題研究教考銜接1.2.2變化：摒棄八股，不斷尋求新突破（七）真題研究教考銜接1.2.3變化：素養(yǎng)導(dǎo)向，不斷尋求新突破（七）真題研究

教考銜接1.2.3變化：選拔導(dǎo)向，不斷尋求新突破（七）真題研究教考銜接2.1.1

解構(gòu)經(jīng)典題目，注重素養(yǎng)培養(yǎng)（七）真題研究教考銜接真題研究真題y

真題2.1.1

解構(gòu)經(jīng)典題目，注重素養(yǎng)培養(yǎng)

（七）真題研究教考銜接 2.1.1

解構(gòu)經(jīng)典題目，注重素養(yǎng)培養(yǎng)（七）真題研究 教考銜接2.1.1

解構(gòu)經(jīng)典題目，注重素養(yǎng)培養(yǎng)（七）真題研究教考銜接2.1.2

解構(gòu)壓軸題目，加強(qiáng)算法指導(dǎo)和訓(xùn)練（七）真題研究教考銜接在（1）問(wèn)計(jì)算時(shí)，最好轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)計(jì)算，及時(shí)約分，減小數(shù)值；在（2）問(wèn)計(jì)算時(shí)，要及時(shí)提取公因式，因式分解，減少雍繁的字母；在（3）問(wèn)計(jì)算時(shí)，要善于用二項(xiàng)分布的期望公式，減少計(jì)算環(huán)節(jié)。課堂示范到位，加強(qiáng)算法的指導(dǎo)和訓(xùn)練在（1）問(wèn)計(jì)算時(shí)，最好轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)計(jì)算，及時(shí)約分，減小數(shù)值；課堂示范到位，加強(qiáng)算法的指導(dǎo)和訓(xùn)練在（2）問(wèn)計(jì)算時(shí)，要及時(shí)提取公因式，因式分解，減少雍繁的字母；課堂示范到位，加強(qiáng)算法的指導(dǎo)和訓(xùn)練在（3）問(wèn)計(jì)算時(shí)，要善于用二項(xiàng)分布的期望公式（多想少算），減少計(jì)算環(huán)節(jié)。2.1.2

解構(gòu)壓軸題目，一題多解，注重分步踩分和思維（七）真題研究教考銜接2 22（1）若

k

1

，求

x

，y

；（2）

證明：求{

xn

－yn

}是公比為

1

k

的等比數(shù)列；1

k（3）

設(shè)

Sn

為△PnPn＋1Pn＋2的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，Sn

＝Sn＋1.【2024年新高考Ⅱ】已知雙曲線C：x2－

y2＝m

(m＞0)，點(diǎn)P1(5

,

4)在C上，k為常數(shù)，0＜k＜1．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)Pn

(n＝1,2,3,…)，過(guò)Pn－1作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn－1，令Pn

為Qn－1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，記Pn的坐標(biāo)為(

xn

,

yn).【分析】利用直線與曲線C的交點(diǎn)，構(gòu)造點(diǎn)列！由

P1→Q1，Q1是過(guò)點(diǎn)P1

，斜率為k的直線與曲線C的不同于P1

的交點(diǎn).由

Q1→P2，P2是

Q1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn).由曲線C的對(duì)稱性知，P2在曲線C上.由此類(lèi)推，有Pn→

Qn→

Pn＋1【解析】（1）依題意，52－

42＝m，

即

m＝9，所以曲線C：x2－

y2＝9，1當(dāng)

k

1

時(shí)，過(guò)點(diǎn)P

(5

,

4)的直線方程為：x－2y＋3＝0，聯(lián)立

x2

y2

92

x

2

y

3

01，可得

Q

(

3,0)，因?yàn)?/p>

P2與

Q1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn).所以P2

(3,0)，所以x2＝3，y2＝0.【2024年新高考Ⅱ】已知雙曲線C：x2－

y2＝m

(m＞0)，點(diǎn)P1(5

,

4)在C上，k為常數(shù)，0＜k＜1．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)Pn

(n＝1,2,3,…)，過(guò)Pn－1作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn－1，令Pn

為Qn－1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，記Pn的坐標(biāo)為(

xn

,

yn).n n1

k（2）

證明：求{

x

－y

}是公比為

1

k

的等比數(shù)列；【分析】利用直線與曲線C的交點(diǎn)，構(gòu)造點(diǎn)列！由

P1→Q1，Q1是過(guò)點(diǎn)P1

，斜率為k的直線與曲線C的不同于P1

的交點(diǎn).由

Q1→P2，P2是

Q1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn).由曲線C的對(duì)稱性知，P2在曲線C上.由此類(lèi)推，有Pn

→Qn →

Pn＋1【解析】（2）∵過(guò)點(diǎn)Pn(xn,yn)的直線方程為：y－yn＝k(x－xn)，聯(lián)立

x2

y2

9

k(x

x)

y

ynn，消去y整理得：所以xn與－xn＋1是方程（*）的兩個(gè)解.n所以

x＋(－xn＋11

k

2)＝

2k

(

yn

kxn

)

，2ky

x

k2x

)所以

xn＋1

＝

n n n

，(1

k

2

)x2

2k

(

y

kx)x

(

y

kx)2

9

0（*）n n n n依題意，點(diǎn)

Pn，Qn都在曲線C上，

且Qn(－xn＋1

，yn＋1)，n＋1怎么求y ?1

k

2又點(diǎn)Qn在直線：y－yn＝k(x－xn)上，【2024年新高考Ⅱ】已知雙曲線C：x2－

y2＝m

(m＞0)，點(diǎn)P1(5

,

4)在C上，k為常數(shù)，0＜k＜1．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)Pn

(n＝1,2,3,…)，過(guò)Pn－1作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn－1，令Pn

為Qn－1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，記Pn的坐標(biāo)為(

xn

,

yn).（2）

證明：求{

xn

－yn

}是公比為

1

k

的等比數(shù)列；1

k【解析】（2）∵過(guò)點(diǎn)Pn(xn,yn)的直線方程為：y－yn＝k(x－xn)，聯(lián)立

2 2

x

y

9

y

yn

k

(x

xn

)，消去y整理得：（*）2 2 2n n n n(1

k )x

2k

(

y

kx)x

(

y

kx

)

9

0所以xn與－xn＋1是方程（*）的兩個(gè)解.所以

xn

＋(－xn＋1

)＝，

n n

1

k

22k

(

y

kx

)所以

xn＋1

＝，1

k

22kyn

xn

k

x2n依題意，點(diǎn)

Pn，Qn都在曲線C上，

且Qn(－xn＋1

，yn＋1)，又點(diǎn)Qn在直線：y－yn＝k(x－xn)上，所以

yn＋1－yn＝k[(－xn＋1)－xn]，kxn

yn則yn＋1＝

k

21

k2ky

x

k2x

)n n n＝

n

n

n1

k

2y

k

2

y

2kx1

k

22ky

x

k

2

x所以

xn＋1

－

yn＋1

＝

n

n

n－

n

n

n1

k

2y

k

2

y

2kx＝1

k

2(k2

2k

1)x

(k

2

2k

1)

yn n1

k1

k＝

(xn

yn

)1

k所以{

xn

－yn

}是公比為

1

k

的等比數(shù)列.x1－y1

＝1OxyBPnPn+1Pn+2

Pn+3PnPn+1Pn+2Pn+3三角形面積表達(dá)式的選擇！△

PnPn＋1Pn＋2 △

Pn＋1Pn＋2Pn＋312法一：

SP |

d

1|

Pn

1 n

2

PnPn

1Pn

222SP |

d

1|

Pn

1 n

2

Pn

1Pn

2

Pn

3等價(jià)于證明：

PnPn＋3∥Pn＋1Pn＋2Pn

1法二： Pn

1Pn

(xn

xn

1,yn

yn

1)Pn

2Pn

1

(xn

1

xn

2,yn

1

yn

2

)2n

1n

2

nn

1

n

1

n

2

n

1n)(y

y )

|)(y

y )

(x

x

1|(x

xS

PnPn

1Pn

2OxyBPnPn+1Pn+2

Pn+3PnPn+1Pn+2Pn+3三角形面積表達(dá)式的選擇！△

PnPn＋1Pn＋2 △

Pn＋1Pn＋2Pn＋312法一：

SP |

d

1|

Pn

1 n

2

PnPn

1Pn

222SP |

d

1|

Pn

1 n

2

Pn

1Pn

2

Pn

3等價(jià)于證明：

PnPn＋3∥Pn＋1Pn＋2Pn

1法二： Pn

1Pn

(xn

xn

1,yn

yn

1)Pn

2Pn

1

(xn

1

xn

2,yn

1

yn

2

)2n

1n

2

nn

1

n

1

n

2

n

1n)(y

y )

|)(y

y )

(x

x

1|(x

xS

PnPn

1Pn

2【解析】（3）要證：Sn

＝Sn＋1，即證：PnPn＋3∥Pn＋1Pn＋2，即證：(xn＋3

－xn)(yn＋2

－yn＋1

)－(xn＋2

－xn＋1

)(yn＋3－yn)＝0（*）

kxn

xn

1 xn

1

xn

2依題意，

yn

yn