解答題專題突破空間向量與立體幾何(學(xué)生版)

解答題專題突破：空間向量與立體幾何題型一、異面直線夾角的求解1.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，，，，分別是，的中點(diǎn).（1）證明：；（2）設(shè)為線段上的動點(diǎn)，若線段長的最小值為，求直線與直線所成的角余弦值.2.在三棱柱中，平面平面，，，，.（1）證明：平面；（2）若異面直線所成角的余弦值為，求解法指導(dǎo)：1、求異面直線所成角一般步驟：(1)平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線．(2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角．(3)尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角．2、可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：(1)直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；(2)中位線平移法；(3)補(bǔ)形平移法(在已知圖形中，補(bǔ)作一個相同的幾何體，以便找到平行線)．3、異面直線所成角：若,分別為直線,的方向向量，為直線,的夾角，則.題型二、直線與平面夾角的求解1．如圖，在長方體中，已知，.(1)若點(diǎn)是棱上的中點(diǎn)，求證：與垂直；(2)求直線與平面的夾角的正弦值.2.已知三棱錐，平面平面.（1）求證:;（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.3.在四棱錐中，底面是正方形，若，，，（1）求四棱錐的體積；（2）求直線與平面夾角的正弦值．4.如圖，四棱錐的底面為矩形，平面平面，是邊長為2等邊三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，直線與平面所成的角最大？5.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過作，交AD于，連PO.（1）求證：平面；（2）在線段上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長.解法指導(dǎo)：1、垂線法求線面角(也稱直接法)：(1)先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)為斜足；找線在面外的一點(diǎn)，過點(diǎn)向平面做垂線，確定垂足；(2)連結(jié)斜足與垂足為斜線在面上的投影,投影與斜線之間的夾角為線面角；(3)把投影與斜線歸到一個三角形中進(jìn)行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。2、公式法求線面角(也稱等體積法)：用等體積法，求出斜線在面外的一點(diǎn)到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解。公式為：，其中是斜線與平面所成的角，是垂線段的長，是斜線段的長。3、向量法求線面角：設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，直線與平面的夾角為.則.題型三、平面與平面夾角的求解1.在四棱錐中，底面是菱形，，，，底面，，點(diǎn)在棱上，且．（1）證明：平面；（2）求二面角的大?。?．如圖所示，，分別為半圓錐的底面半圓弧上的兩個三等分點(diǎn)，為中點(diǎn)，為母線的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若為等邊三角形，求平面與平面的夾角的余弦值．3.如圖，四棱錐中，為等邊三角形，四邊形為直角梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）若與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.4.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面所成角的正弦值.5.在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，.（1）求證：平面平面；（2）平面于點(diǎn)，求二面角的余弦值.6.如圖，在三棱柱中，平面平面，平面.（1）求證：；（2）若二面角的正弦值為，且，求.7.如圖所示，四邊形是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，是圓柱的底面直徑，是圓柱的母線，是與的交點(diǎn)，.（1）記圓柱的體積為，四棱錐的體積為，求；（2）設(shè)點(diǎn)在線段上，且存在一個正整數(shù)，使得，若已知平面與平面的夾角的正弦值為，求的值.解法指導(dǎo)：1、幾何法(1)定義法(棱上一點(diǎn)雙垂線法)：在二面角的棱上找一個特殊點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作垂直于棱的射線．(2)三垂線法(面上一點(diǎn)雙垂線法)：自二面角的一個面上一點(diǎn)向另外一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)(即斜足)，斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角(3)垂面法(空間一點(diǎn)垂面法)：過空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。(4)射影面積法求二面角2、向量法：若,分別為平面,的法向量，為平面,的夾角，則.題型四、空間點(diǎn)、線、面間的距離求解1．如圖，在四棱錐中，平面，平面平面．(1)證明：；(2)若為的中點(diǎn)，，求到平面的距離．2.如圖，在直三棱柱中，，，，M為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)A到平面的距離.3.如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，，直線與平面相交于點(diǎn).(1)證明：；(2)求直線與平面的距離.4.如圖所示，正六棱柱的底面邊長為1，高為.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面間的距離.解法指導(dǎo)：1、幾何法求點(diǎn)面距(1)定義法(直接法)：找到或者作出過這一點(diǎn)且與平面垂直的直線，求出垂線段的長度；(2)等體積法：通過點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應(yīng)的點(diǎn)線距離；(3)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點(diǎn)到面的距離．2、向量法求空間距離：(1)點(diǎn)面距：已知平面的法向量為,是平面內(nèi)的任一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn),過點(diǎn)作則平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為(2)平行平面的直線與平面之間的距離：，其中,，是平面的法向量。(3)兩平行平面,之間的距離：，其中,，是平面的法向量。題型五、空間幾何體的體積求解1．在三棱錐中，，平面，點(diǎn)在平面內(nèi)，且滿足平面平面，．

(1)求證：；(2)當(dāng)二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積．2．如圖，為邊長為2的等邊三角形，為菱形，，為的中點(diǎn)，平面平面，為棱上一點(diǎn)，（1）證明：平面平面；（2）若平面，求三棱錐的體積。解法指導(dǎo)：1、處理空間幾何體體積的基本思路(1)轉(zhuǎn)：轉(zhuǎn)換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高；(2)拆：將一個不規(guī)則的幾何體拆成幾個規(guī)則的幾何體，便于計(jì)算；(3)拼：將小幾何體嵌入一個大幾何體中，如有時將一個三棱錐復(fù)原成一個三棱柱，將一個三棱柱復(fù)原乘一個四棱柱，還臺位錐，這些都是拼補(bǔ)的方法。2、求體積的常用方法(1)直接法：對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算；(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算；(3)等體積法：選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換。題型六、空間幾何體的翻折問題1.如圖甲，在梯形中，，為中點(diǎn)．將沿折起到位置，連接，，得到如圖乙所示的四棱錐．（1）證明：平面；（2）當(dāng)二面角為時，求點(diǎn)到平面的距離．2.如圖，在中，角，，所對的邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，，將沿折成直二面角，求直線與平面所成角的正弦值.3.已知如圖①，在菱形中，且，為的中點(diǎn)，將沿折起使，得到如圖②所示的四棱錐.（1）求證：平面平面；（2）若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.4.在平面四邊形中，，，將沿AC翻折至，其中P為動點(diǎn).（1）設(shè)，三棱錐的各個頂點(diǎn)都在球O的球面上．（i）證明：平面平面；（ii）求球O的半徑（2）求二面角的余弦值的最小值.解法指導(dǎo)：翻折問題的兩個解題策略：1、確定翻折前后變與不變的關(guān)系：畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會發(fā)生變化；對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決。2、確定翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置：所謂的關(guān)鍵點(diǎn)，是指翻折過程中運(yùn)動變化的點(diǎn)．因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動，會帶動與其相關(guān)的其他的點(diǎn)、線、面的關(guān)系變化，以及其他點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化．只有分析清楚關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照點(diǎn)，確定其他點(diǎn)、線、面的位置，進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與計(jì)算。題型七、空間動點(diǎn)存在性問題的探究1.如圖，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且．(1)設(shè)線段中點(diǎn)為，證明：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離等于，如果存在，求的長．2.如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面.

(1)求證：；(2)若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得四棱錐的體積為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.3.如圖，在多面體中，四邊形為平行四邊形，且平面，且,點(diǎn)分別為線段上的動點(diǎn)，滿足.（1）證明：直線平面；（2）是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為？請說明理由.4.如圖，四邊形是邊長為1的正方形，平面，平面，且.(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)(不含端點(diǎn))，使得平面與平面的夾角為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．5.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.6．如圖1，在中，，，，，分別為，上的點(diǎn)，且∥，，將沿折起到的位置，使