等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2025/3/78:46鄒文婷學(xué)數(shù)學(xué)逆天改命！2025/3/78:461.等比數(shù)列定義：2.等比數(shù)列通項(xiàng)公式：

3.等比中項(xiàng)4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式那么等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式又會(huì)是怎樣的？復(fù)習(xí)回顧國(guó)際象棋起源于古代印度.相傳國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他想要什么.發(fā)明者說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥粒，依次類(lèi)推，每個(gè)格子里放的麥粒都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子.請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”國(guó)王覺(jué)得這個(gè)要求不高，就欣然同意了。情境導(dǎo)入你想得到什么樣的賞賜？陛下賞小人幾粒麥子就搞定.OK第一格放1粒麥子，以后每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的的2倍，直到第64個(gè)格子西薩國(guó)王情境導(dǎo)入

問(wèn)題2：國(guó)王答應(yīng)獎(jiǎng)賞給發(fā)明者西薩的總麥粒數(shù)用式子怎么表示？

探究新知

探究新知可將兩式相減，消去這些相同項(xiàng)，得

等式兩邊乘上的2是此數(shù)列的什么？反思：縱觀全過(guò)程，式子兩邊為什么要乘以2？乘以3會(huì)有同樣的效果嗎？探究新知

新知探究

①②1-q是否為零？討論公比q是否為1①×q

得探究新知①-②錯(cuò)位相減法證明：首項(xiàng)末項(xiàng)公比前n項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)注意

(3)步驟:乘公比，錯(cuò)位寫(xiě)，對(duì)位減.生成概念等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列求和公式

首項(xiàng)公比項(xiàng)數(shù)末項(xiàng)

知三求二

生成概念問(wèn)題3：回歸故事情境，到底要多少粒麥粒？

1000粒麥子的質(zhì)量約為40g發(fā)明者要求的麥粒的總質(zhì)量超過(guò)了7000億噸

是2023~2024年世界小麥年產(chǎn)量（7億多噸）的981倍，按每年7億噸計(jì)算都要用1000多年才能滿足西薩的要求；如果按人均每天吃______糧食計(jì)算,此棋盤(pán)上的糧食可供全世界_____億人吃上約_____年.1千克80240所以國(guó)王兌現(xiàn)不了他的承諾.就算國(guó)王湊齊了小麥，這些小麥可以從地球到太陽(yáng)累積成一個(gè)長(zhǎng)10米、寬8米的“巨柱”.糧食湊不齊棋盤(pán)不夠大指數(shù)爆炸式增長(zhǎng)的“威力”！不貪小利，目光長(zhǎng)遠(yuǎn)；學(xué)好數(shù)學(xué)，理性思考！回歸情境

例題解析

C

當(dāng)堂練習(xí)3.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

方程思想，知三求二典例分析3.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.典例分析3.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.典例分析

在等比數(shù)列{an}中．(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；大本例1當(dāng)堂練習(xí)(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q；(4)(2024·北京順義高二期中)若S3＋S6＝S9，求其公比q.法二：由a4＋a6＝(a1＋a3)q3，又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，當(dāng)堂練習(xí)(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q；解：因?yàn)閍2an－1＝a1an＝128，且a1＋an＝66，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的兩個(gè)根．當(dāng)堂練習(xí)(4)(2024·北京順義高二期中)若S3＋S6＝S9，求其公比q.解：若q＝1，則S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，顯然滿足S3＋S6＝S9，所以q＝1符合題意；整理得(q6－1)(q3－1)＝0，解得q＝－1(q＝1舍去)．綜上，公比q的值等于1或－1.當(dāng)堂練習(xí)

變式探究(變條件)本例(4)中，若將條件改為”數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且S3＝3a3“，求其公比q的值．解：法一：當(dāng)q＝1時(shí)，S3＝3a1＝3a3，符合題意；所以1－q3＝3q2(1－q)，法二：由S3＝3a3可知a1＋a2＋a3＝3a3，即a1＋a1q－2a1q2＝0.當(dāng)堂練習(xí)規(guī)律方法等比數(shù)列前n項(xiàng)和運(yùn)算的技巧1．在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，q，Sn，其中首項(xiàng)a1和公比q為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來(lái)解答．2．對(duì)于基本量的計(jì)算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元，有時(shí)會(huì)用到整體代換，如qn，

都可以看作一個(gè)整體．注意：在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先要對(duì)公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類(lèi)討論．√√當(dāng)堂練習(xí)問(wèn)題導(dǎo)思新知構(gòu)建A(qn－1)na1等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)即qn的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)．微提醒(一題多解)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n－2.求{an}的通項(xiàng)公式，并判斷{an}是否是等比數(shù)列．解：法一：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝31－2＝1不適合上式．例2由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，顯然a1，a2，a3不是等比數(shù)列，即{an}不是等比數(shù)列．法二：由等比數(shù)列{bn}的公比q≠1時(shí)的前n項(xiàng)和Sn＝Aqn＋B滿足的條件為A＝－B，對(duì)比可知Sn＝3n－2，1≠2，故{an}不是等比數(shù)列．變式探究1．(變條件，變?cè)O(shè)問(wèn))若將本例改為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且其前n項(xiàng)和為Sn＝3n＋1－2k，則實(shí)數(shù)k＝___.因?yàn)镾n＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}為等比數(shù)列，所以3－2k＝0，即k＝

.2．(變條件，變?cè)O(shè)問(wèn))若將本例改為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且其前n項(xiàng)和為規(guī)律方法1．已知Sn，通過(guò)an＝

求通項(xiàng)公式an，應(yīng)特別注意當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，需驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)是否滿足此式．2．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，則{an}是等比數(shù)列．對(duì)點(diǎn)練2.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝tn－1(t∈R)，則此數(shù)列是A．等差數(shù)列

B．等比數(shù)列C．等差數(shù)列或等比數(shù)列

D．以上說(shuō)法均不對(duì)√當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝t－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝tn－tn－1＝tn－1(t－1)，當(dāng)t＝1時(shí)，an＝0，所以{an}是等差數(shù)列；當(dāng)t＝0時(shí)，{an}為非等差數(shù)列，非等比數(shù)列；當(dāng)t≠1，且t≠0時(shí)，an＝tn－1(t－1)，所以{an}是等比數(shù)列．故選D.當(dāng)堂練習(xí)應(yīng)用一利用an與Sn的關(guān)系判斷等比數(shù)列例3(－2)n－1典例講解規(guī)律方法解決Sn和an的關(guān)系的方法對(duì)點(diǎn)練3.(多選題)(2024·江蘇鎮(zhèn)江高二期末)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝2an＋1(n∈N