數(shù)學(xué)計算機《第6-8章》課件-第7章

第7章無窮級數(shù)7.1常數(shù)項級數(shù)的概念7.2常數(shù)項級數(shù)的審斂法7.3冪級數(shù)7.4函數(shù)展開成冪級數(shù)本章小結(jié)

第7章無窮級數(shù)

內(nèi)容提要：無窮級數(shù)是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的一種工具。本章介紹無窮級數(shù)的概念和性質(zhì)，重點討論常數(shù)項級數(shù)的收斂、發(fā)散判別法,冪級數(shù)的概念及初等函數(shù)的冪級數(shù)展開。學(xué)習(xí)要求：了解級數(shù)的概念、性質(zhì),掌握正項級數(shù)的比較判別法、比值判別法、根值判別和交錯級數(shù)的判別法，掌握求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的方法，能用五個基本函數(shù)展開式間接展開冪級數(shù)。

7.1常數(shù)項級數(shù)的概念

7..1.1常數(shù)項級數(shù)的概念定義1

給定有序數(shù)列u

1,u

2,…,un,…，則式

u

1+u

2

+…+un+…

習(xí)題7－1

1.根據(jù)級數(shù)收斂的定義求下列級數(shù)的和：2.判別下列級數(shù)的斂散性：

7.2常數(shù)項級數(shù)的審斂法

習(xí)題7－2

1.判斷下列數(shù)項級數(shù)的斂散性：

2.判斷下列數(shù)項級數(shù)是否收斂：

3.判斷下列數(shù)項級數(shù)的斂散性：

4.判定級數(shù)的斂散性，是條件收斂還是絕對收斂？

7.3冪級數(shù)

前面討論了常數(shù)項級數(shù)，但是在實際中應(yīng)用得更多的是冪級數(shù)。下面討論冪級數(shù)的情況。

由該定理可知，冪級數(shù)的收斂域具有三種情

形：

(1)僅在x=0時收斂，收斂域只有一點，x

=0。

(2)在(-∞,+∞)內(nèi)處處絕對收斂，收斂域為(-∞,+∞)。

(3)存在一個正數(shù)R

，當(dāng)|x|<R

時，絕對收斂；

當(dāng)|x|>R

時，發(fā)散；在x=±R時，可能收斂也可能發(fā)散，需將x=±R

代入冪級數(shù)中轉(zhuǎn)化成常數(shù)項級數(shù)加以判定。

上述(3)中的正數(shù)R

叫做冪級數(shù)的收斂半徑。下面給出求冪級數(shù)收斂半徑的方法。

7.3.2冪級數(shù)的性質(zhì)

設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為R>0，則在其收斂區(qū)域D

上就確定了一個和函數(shù)S

(x)，即

下面給出冪級數(shù)的和函數(shù)S

(x

)在收斂區(qū)間內(nèi)的一些運算性質(zhì)。

設(shè)冪級數(shù)的和函數(shù)分別為S

1

(x

)和S

2(x

)，收斂半徑分別為R1

、R2

，并記R=min(R1

、R2

)，則在(-R,R)內(nèi)有以下運算性質(zhì)：

性質(zhì)1(加法運算)

性質(zhì)2(連續(xù)性)

性質(zhì)3(可導(dǎo)性)

性質(zhì)4(可積性)

習(xí)題7－3

1.求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間：

2.利用逐項求導(dǎo)數(shù)或逐項積分或逐項相乘的方法，求下列級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)。

7.4函數(shù)展開成冪級數(shù)

上節(jié)我們討論了冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域及和函數(shù)的性質(zhì)，可知冪級數(shù)在收斂域內(nèi)具有連續(xù)性、逐項可導(dǎo)與逐項可積性，而很多實際問題是研究給定函數(shù)f

(x)，考慮是否能找到這樣一個冪級數(shù),它在收斂域內(nèi)以f

(x

)為和函數(shù)的問題。怎樣才能求得這樣的冪級數(shù)呢?這就是把函數(shù)展開成冪級數(shù)的問題。

7.4.1泰勒公式與泰勒級數(shù)

1.泰勒公式與麥克勞林公式

定義1設(shè)函數(shù)f

(x)在含有x

0

的某區(qū)間內(nèi)具有直至n+1階的導(dǎo)數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)f(x)關(guān)于(x

-x

0

)的

n次多項式與一個余項Rn

之和的表達式，即

稱為n

階泰勒公式，其中,稱為f(x)的拉格朗日余項(ξ

介于x

與x

0之間)。

在f(x)的n階泰勒公式中，當(dāng)x

0

=0時，則ξ

介于0與x

之間，記ξ=θx,(0<θ<1)。則泰勒公式就變?yōu)檩^簡單的如下形式

上式稱為n階麥克勞林公式。

2.泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)

定義2設(shè)函數(shù)f(x)在含有x

0的某區(qū)間內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)f(n)(x

)(n=1,2,…)，則級數(shù)，

稱為f(x)在x=x

0處的泰勒級數(shù)，即為關(guān)于x-xx

0的冪級數(shù)。特別地，當(dāng)x

0=0時，

稱為f(x

)的麥克勞林級數(shù)，即為關(guān)于x

的冪級數(shù)。

7.4.2將函數(shù)展開成冪級數(shù)

1.直接展開法

直接展開法就是利用泰勒級數(shù)或麥克勞林級數(shù)公式直接求取。其步驟是

(1)求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)：

f′(x)，f″(x)，…，

f(n)(x)，…；

(2)求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在展開點處的值：

f

′(x

0)，f″(x

0)，…，

f(n)(x

0)，…；

(3)寫出冪級數(shù)并求出收斂半徑R；

(4)考察在區(qū)間(-R,R

)

是否為零。

例1將函數(shù)f

(x

)=ex展開成關(guān)于x-1的冪級數(shù)。

解

x-1的冪級數(shù)也就是在x

0

=1處的泰勒級數(shù)。所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為

f(n)(x

)=ex(n

=1,2,3,…)

因此

f(n

)(1)=e

，(n=1,2,3,…)。于是得級數(shù)

它的收斂半徑

R=+∞，對于任何有限的數(shù)x、ξ(ξ介于1與x之間)，有

而從而有展開式

例2將函數(shù)f

(x

)=sinx

展開成x

的冪級數(shù)。

解

這是在x

0

=0處展開的麥克勞林級數(shù)，因為

所以f

(n

)(0)順序循環(huán)地取0,1,0,-1,…(n=0,1,2,3,…)，于是得級數(shù)

它的收斂半徑為R=+∞。

對于任何有限的數(shù)x、ξ

(ξ

介于0與x之間)，有

因此得展開式

2.間接展開法

間接展開法是指從已知函數(shù)的展開式出發(fā)，利用冪級數(shù)的運算法則得到所求函數(shù)的展開式的方法。下面六個基本函數(shù)展開式可以作為公式使用，需要熟記。

例3

將函數(shù)f

(x

)=cosx展開成x

的冪級數(shù)。

解

已知

由于(sinx)′=cosx

，對上式兩邊求導(dǎo)可得

習(xí)題7－4

本章小結(jié)

一、數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)

1.常數(shù)項級數(shù)的概念式子：

u1

+u2+…+un+…=

稱為無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)，其中u1稱為級數(shù)的首項，un稱為級數(shù)的通項或一般項。由于級數(shù)的每一項都是常數(shù)，故亦稱為常數(shù)項級數(shù)。

性質(zhì)2：如果級數(shù)

，則級數(shù)

也收斂，且收斂于s±t。

性質(zhì)3：刪去、添加或改變級數(shù)的有限項，不會改變級數(shù)的斂散性。

常被用來做比較的級數(shù)有：等比級數(shù)，當(dāng)|q|<1時收斂；當(dāng)q≥1時發(fā)散。P－級數(shù)，當(dāng)p>1時收斂；當(dāng)p≤1時發(fā)散。

它們的斂散性必須熟記。

3.比值判別法

(1)當(dāng)ρ<1時，級數(shù)收斂；

(2)當(dāng)ρ>1時，級數(shù)發(fā)散；

(3)當(dāng)ρ=1時，不能用此法判定級數(shù)的斂散性。

當(dāng)正項級數(shù)的通項中含有連乘積的形式an

、nn或n!等因子時，考慮用比值判別法。

4.根值判別法

(1)當(dāng)ρ<1時，級數(shù)收斂；

(2)當(dāng)ρ>1時，級數(shù)發(fā)散；

(3)當(dāng)ρ=1時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

2.絕對收斂和條件收斂

將級數(shù)的各項取絕對值后得到的正項級數(shù)

如果收斂，則稱原級數(shù)絕對收斂：如果發(fā)散，但級數(shù)

收斂，則稱該級數(shù)為條件收斂。

四、冪級數(shù)

1.函數(shù)項級數(shù)

設(shè)函數(shù)un(x

)(n=1,2,…)的定義區(qū)間都是I

，則稱級數(shù)為區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù).最簡單的函數(shù)項級數(shù)就是冪級數(shù)。

2.冪級數(shù)及其收斂性

形如或的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)。

冪級數(shù)中的x

取定一值x

0

時，就得到一個常數(shù)項級數(shù)：若此常數(shù)項級數(shù)收斂，則稱冪級數(shù)

在x

=x

0處收斂，

x

0稱為冪級數(shù)的收斂點;若此常數(shù)項級

數(shù)發(fā)散，則稱冪級數(shù)在x=x

0處發(fā)散，

x

0稱為該冪級數(shù)的發(fā)散點。冪級數(shù)的所有收斂點組成的集合稱為冪級數(shù)的收斂域；所有發(fā)散點組成的集合稱為冪級數(shù)的發(fā)散域，冪級數(shù)的收斂區(qū)域可以由收斂半徑取得。

3.