數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)《第1-5章》課件-第4章

第4章不定積分4.1不定積分的概念4.2換元積分法4.3分部積分法

本章小結(jié)

第4章不定積分

內(nèi)容提要：微積分學(xué)主要研究微分和積分，微分學(xué)的基本問題是：已知一個函數(shù),求它的導(dǎo)數(shù)。積分學(xué)的基本問題是：已知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出這個函數(shù)；積分分為不定積分和定積分兩大部分。本章將研究不定積分的概念、性質(zhì)和基本積分方法。學(xué)習(xí)要求：能復(fù)述原函數(shù)的定義，知道不定積分的概念、性質(zhì)，掌握基本積分方法，記住基本積分公式，會求簡單函數(shù)的不定積分。

4.1不定積分的概念4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念設(shè)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動,其運(yùn)動的方程為s=s

(t)，那么質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度v=s′(t)，這就是已知一個函數(shù)，求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的問題。但是，在物理學(xué)中經(jīng)常需要解決相反的問題：已知作直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)在任一時刻的速度v

(t)，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程s=s(t)，即由s′

(t)=v(t)求函數(shù)s(t

)。這就是由已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求原來函數(shù)的問題，從而引出原函數(shù)的概念。

定義1

如果在區(qū)間I

上,對任一x∈I，都有

F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx

則稱F

(x

)是f(x)在區(qū)間I

上的一個原函數(shù)，

例如，(sinx)′

=cosx

，那么sinx

就是cosx

的一個原函數(shù)。又如(x

2)′

=2x

，那么x

2是2x

的一個原函數(shù)。

研究原函數(shù)，首先要解決原函數(shù)的存在性問題，如果存在，原函數(shù)是否唯一?事實(shí)上，并不是每個函數(shù)都存在原函數(shù)，我們有如下定理：

原函數(shù)存在定理

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間

I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x

)，使對任一x∈I都有

F

′

(x)=f(x)

也就是說：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

關(guān)于原函數(shù)有以下兩點(diǎn)說明：

(1)如果f(x)有一個原函數(shù)，那么f(x)就有無窮多個原函數(shù)。事實(shí)上，如果函數(shù)

f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x

)，那么

[F

(x)+C]‘=F’(x)=f(x)

故F

(x

)+C(C

是任意常數(shù))也是f(x)的原函數(shù)，即f(x)有無窮多個原函數(shù)。

(2)f(x)的任意兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)。

如果函數(shù)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，而G(x)是f(x)在I上的另一個原函數(shù)。由于

[G(x)-F(x

)]′=G′(x)-F′

(x)=f(x)-f(x)=0

所以

G(x)-F(x)]=C0(C0為某個常數(shù))

這表明f(x)的任意兩個原函數(shù)只相差一個常數(shù)。因此F(x

)的全體原函數(shù)可表示為

F(x

)+C(C

是任意常數(shù))

由此我們引進(jìn)不定積分的概念。

定義2

函數(shù)f

(x)的全體原函數(shù)F(x)+C

稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx，

即

∫f(x)dx=F(x)+C

其中記號“∫”稱為積分號，

f(x)稱為被積函數(shù)，x

稱為積分變量，f

(x)dx稱為被積表達(dá)式，

C

稱為積分常數(shù)。

由定義知，上述求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程問題，就是求速度v

(t

)的不定積分,即

s

(t)=∫v

(t)dt

根據(jù)定義，要求函數(shù)f(x)的不定積分，就是求函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)。實(shí)際上只要求出f(x)的一個原函數(shù)，再加上任意常數(shù)C

即可。

4.1.2不定積分的幾何意義

函數(shù)f

(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線。因此

不定積分∫f(x)dx=F(x)+C

，在幾何上表示一族積分曲

線,這族積分曲線中的任何一條曲線對應(yīng)于橫坐標(biāo)x處的點(diǎn)

的切線都互相平行，且切線的斜率等于f(x)，如圖4－1所示。

圖4－1

例4

設(shè)曲線過點(diǎn)(1,2)，且其上任一點(diǎn)處的切線斜率

為2x

，求此曲線的方程。

解設(shè)所求的曲線方程為y=f(x)，依題意，曲線上任一點(diǎn)(x,y)處的切線斜率為2x

，因此y′=f′(x

)=2x

，即f(x)是2x的一個原函數(shù)。所以

∫2xdx=x2+C

故f

(x)=x2

+C

即曲線方程為y=x2+C.又曲線過點(diǎn)(1,2),所以C

=1.

因此,所求曲線方程為

y

=x2++1

函數(shù)f(x

)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線.例4就是求函數(shù)2x

的一條過點(diǎn)(1,2)的積分曲線.如圖4－2所示.

圖4－2

4.1.3不定積分的性質(zhì)

設(shè)下列被積函數(shù)的原函數(shù)均存在，則不定積分有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1

[∫f

(x)dx]

′

=f(x)或d[∫f(x)dx]=f(x)dx

性質(zhì)2∫f′(x

)dx=f(x)+C

或∫df(x)=f(x)+C

性質(zhì)3∫[f(x)±g(x)]dx

=∫f(x)dx±∫g

(x)dx

性質(zhì)4∫kf(x)dx

=k∫f

(x)dx

(k≠0為常數(shù))

4.1.4不定積分的基本積分公式

不定積分運(yùn)算與求導(dǎo)運(yùn)算一般是可逆運(yùn)算，因此根據(jù)基本導(dǎo)數(shù)公式可以得到相應(yīng)的積分公式，羅列如下(通常稱為基本積分表)，它們是不定積分的基礎(chǔ)，必須熟記。

習(xí)題4－1

1.填空題:

(1)函數(shù)sinx是函數(shù)

的原函數(shù),函數(shù)sinx的一個原函數(shù)是

。

(2)若∫f

(x)dx=xlnx+c

，則f'(x

)=

.

(3)d∫e-x2dx

=

.

(4)∫(sinx)'dx=

.

(5)∫cosx

dx=

.

2.求下列不定積分:

3.已知某質(zhì)點(diǎn)在時刻t的速度v=5t+2，且當(dāng)t=0時路程

s=8。

求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程。

4.求經(jīng)過點(diǎn)(2,5)，且其切線斜率為2x的曲線方程。

4.2換元積分法

利用基本積分表中的公式和不定積分的性質(zhì)只能求出一些比較簡單的不定積分，本節(jié)介紹一種利用中間變量的代換求不定積分的方法，稱為換元積分法,簡稱換元法。

我們給出第一類換元積分法,也稱湊微分法.

定理1設(shè)

f(u)具有原函數(shù),u=φ(x)可導(dǎo),則有換元公式

可見,第一類換元法的關(guān)鍵在于將被積函數(shù)的一部分湊到微分里,選擇一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)φ

(x

)=u

作為新的積分變量,把所求的積分變形為基本積分表中已有的形式.

4.2.2第二類換元積分法(去根號法)

定理2設(shè)x=φ

(t)單調(diào)可導(dǎo),且φ′(t)≠0,若∫f

[φ(t)]φ′(t)dt=F(t)+C,則

∫f(x)dx=∫f[φ(

t)]φ

′(t)dt=F(t)+C=F[φ-1(x

)]+C

第二類換元法的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇一個x=φ

(t)，將x

的微分寫出來,使被積函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榛痉e分表中已有的形式.

圖4－3圖4－4圖4－5

下面一些積分可以由換元積分法求出，它們可以作為基本積分公式使用(為統(tǒng)一記憶，編號接4.1.4小節(jié)積分公式編號)：

習(xí)題4－2

1.填空題:

2.求下列不定積分:

4.3分部積分法

通過前面內(nèi)容的學(xué)習(xí)，利用基本積分法和換元積分法可以解決大量的不定積分計(jì)算問題，但是諸如∫x

cosxdx，∫xexdx

，∫xlnxdx等不定積分就無法用上述方法求出。本節(jié)將介紹另一種基本積分方法———分部積分法。

定理設(shè)函數(shù)u=u

(x)，

v=v(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則∫udv=uv

-∫vdu。

事實(shí)上，由于(uv)‘=u’v+uv‘，即

uv’=(uv)‘-u’v(1)

上式兩邊求不定積分，得

∫uv'dx=uv-∫u'vdx(2)

這就是分部積分公式,也可寫成

∫udv=uv-∫vdu

(3)

分部積分公式表明：當(dāng)我們求∫uv‘dx=∫udv有困難時，可以轉(zhuǎn)化為求∫u’vdx=∫vdu；使用分部積分公式的關(guān)鍵在于，恰當(dāng)?shù)剡x擇u與dv。

通常是把欲求的被積函數(shù)分成兩部分：一部分作為u，另一部分與dx湊在一起作為dv。

下面舉一些例子說明如何運(yùn)用這個重要公式。

習(xí)題4－3

求下列不定積分:

本章小結(jié)

一、不定積分的概念

1.原函數(shù)的概念如果在區(qū)間I

上,對任一x∈I

，都有F′(x)=f(x)(或dF(x)=f(x)dx)，則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I

上的一個原函數(shù);如果函數(shù)f(x)有原函數(shù),那么它就有無窮多個原函數(shù),并且其中任意兩個原函數(shù)的差為常數(shù)；如果函數(shù)f(x)在某一個區(qū)間上連續(xù),則函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的原函數(shù)必定存在。也就是說,連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù),并且原函數(shù)也是連續(xù)的。

2.不定積分的概念

函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx，即∫f

(x)dx=F(x)+C

；它在幾何上表示一族積分曲線，這族積分曲線中的任何一條曲線對應(yīng)于橫坐標(biāo)x處的點(diǎn)的切線都互相平行,且切線的斜率等于f(x)。

導(dǎo)數(shù)與積分互為逆運(yùn)算,由導(dǎo)數(shù)基本公式即可得到基本積分公式。

二、不定積分的性質(zhì)

1.不定積分的性質(zhì)

2.直接積分法

直接積分法是直接應(yīng)用積分性質(zhì)與基本積分公式求得積分.它是其他一些積分法的基礎(chǔ),直接積分法的實(shí)質(zhì),就是直接利用基本運(yùn)算法則把被積表達(dá)式化為基本積分公式直接

寫出結(jié)果.但在具體運(yùn)算時,常要對被積函數(shù)經(jīng)過適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)或三角的恒等變形才能實(shí)現(xiàn).三、換元積分法

換元積分法的實(shí)質(zhì)是把一個不能直接運(yùn)用基本積分公式的被積函數(shù),通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,使它變成可以直接運(yùn)用積分公式的形式,然后再由積分公式求出積分.

1.第一類換元法(湊微分法)

設(shè)F

(u

)為f(u)的原函數(shù),u=φ(x)可微,則

“湊微分法”的特點(diǎn)是先“湊”微分再求積分,即將被積函數(shù)看做兩部分的乘積,其中一部分與dx湊起來稱為中間變量u

的微分du,而另一部分可以表示為u

的函數(shù)f

(u

),使∫f(u)du可以用積分公式求出