安徽省江南十校2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.1.設(shè)復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，然后求出其共軛復(fù)數(shù)，從而可求出的虛部.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的共軛?fù)數(shù)的虛部為.故選：D2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過(guò)解不等式化簡(jiǎn)集合，根據(jù)集合的基本運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】由題意得，，，∴.故選：B.3.已知是直線的一個(gè)方向向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先由直線方向向量定義結(jié)合直線方程求出直線的一個(gè)方向向量，再利用向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的一個(gè)方向向量為，所以若，則，解得.故選：A.4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，若，則的值為（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】先由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合下標(biāo)性質(zhì)求出，進(jìn)而求出等比數(shù)列的公比即可計(jì)算求解.【詳解】由題得，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，則.故選：B5.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊與圓交于點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)以為起點(diǎn)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)為，當(dāng)角的終邊為射線時(shí)，（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由題意結(jié)合三角函數(shù)、弧長(zhǎng)公式等依次求出、圓O的半徑和，再由結(jié)合兩角和正切公式即可求解.【詳解】由題得，且圓O的半徑為，所以，所以.故選：C6.已知雙曲線虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，左?右焦點(diǎn)分別為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合倍角公式以及即可求解.【詳解】由題，所以，即，所以，即.故選：A7.若函數(shù)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可得，利用求出的取值范圍驗(yàn)證取舍可得結(jié)果.【詳解】由題意得，函數(shù)定義域?yàn)?∵，∴，∵且，∴，則，∵，∴，解得，當(dāng)時(shí)，，，不合題意，∴的取值范圍是.故選：B8.已知，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)得出，再應(yīng)用基本不等式計(jì)算的最小值即可求解.【詳解】已知，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為1，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)據(jù)的方差為4B.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17C.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差大于1D.若數(shù)據(jù)中位數(shù)為分位數(shù)為，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)方差性質(zhì)計(jì)算判斷A，根據(jù)平均數(shù)及方差計(jì)算求解判斷B，C，特例法，先從小到大排列，計(jì)算中位數(shù)及分位數(shù)判斷D.【詳解】對(duì)于A：數(shù)據(jù)的方差為，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C：數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：若取數(shù)據(jù)，平均數(shù)為10，方差為1，則中位數(shù)為，因?yàn)椋缘?個(gè)數(shù)為分位數(shù)，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.10.如圖，已知圓臺(tái)的軸截面為，其中為圓弧的中點(diǎn)，，則（）A.圓臺(tái)的體積為B.圓臺(tái)母線所在直線與平面所成角的最大值為C.過(guò)任意兩條母線作圓臺(tái)的截面，截面面積的最大值為D.過(guò)三點(diǎn)的平面與圓臺(tái)下底面的交線長(zhǎng)為【答案】ABD【解析】【分析】求出圓臺(tái)的高，根據(jù)體積公式可得選項(xiàng)A正確；把圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，根據(jù)母線與平面所成的角最大可得選項(xiàng)B正確；利用兩條母線所在直線夾角為時(shí)截面面積最大可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；找出過(guò)三點(diǎn)的平面與圓臺(tái)下底面的交線，結(jié)合垂徑定理可得選項(xiàng)D正確.【詳解】A.∵，∴圓臺(tái)上底面圓半徑為，下底面圓半徑為，∴圓臺(tái)的高，∴圓臺(tái)的體積，A正確.B.由，，得，由得，.如圖，將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，頂點(diǎn)記為，底面圓的圓心記為，連接，∵為圓弧的中點(diǎn)，∴.∵平面，平面，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，此時(shí)母線所在直線與平面所成的角最大，最大為，，B正確.C.由得，，∴，當(dāng)兩條母線所在直線夾角為時(shí)，截面面積最大，最大值為，C錯(cuò)誤.D.如圖，在梯形中，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交底面圓于點(diǎn)，則為截面與底面圓的交線.由得，，，∴，，取中點(diǎn)，則，∴，D正確.故選：ABD.11.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，設(shè)在上的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先由題設(shè)結(jié)合奇偶性和對(duì)稱性性質(zhì)、求導(dǎo)運(yùn)算依次求出是奇函數(shù)、、函數(shù)和是周期為6的函數(shù)和即可依次分析判斷ABC，由題設(shè)依次求出即可判斷D.【詳解】由題得，所以即，所以是奇函數(shù)，故，又由得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，所以，故，所以，即函數(shù)是周期為6的函數(shù)，所以也是周期為6的函數(shù)，即，由求導(dǎo)得即，所以，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，由函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由上也是周期為6的函數(shù)，即，C正確；對(duì)于D，由得，且即，且即，且即，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)和是周期為6的函數(shù).三?填空題；本題共3小題，每題5分，共15分.12.曲線C：在點(diǎn)M（1，e）處的切線方程為_(kāi)____________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以切線斜率為，切線方程為，考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)幾何意義13.已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，直線的方程為，且的平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的半徑分別為，則__________.【答案】5【解析】【分析】先由題意依次求出即可由求出，接著由正切函數(shù)定義和兩角和的正切公式結(jié)合點(diǎn)P求出直線的方程，進(jìn)而求出直線過(guò)點(diǎn)，再聯(lián)立橢圓方程求出即可同理求出得解.【詳解】由題意可知，所以由，由上得，且所以，所以，所以即，令得，故直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，聯(lián)立，所以，所以同理可得，所以.故答案為：5.14.程大位（1533-1606）是明代珠算發(fā)明家，微州人.他所編撰的《直指算法統(tǒng)宗》是最早記載珠算開(kāi)平方、開(kāi)立方方法的古算書(shū)之一，它完成了計(jì)算由籌算向珠算的轉(zhuǎn)變，使算盤(pán)成為主要的計(jì)算工具.算盤(pán)其形長(zhǎng)方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”.現(xiàn)有一種算盤(pán)（如圖1）共三檔，自右向左分別表示個(gè)位、十位和百位，檔中橫以梁，梁上一珠，下?lián)芤恢橛涀鲾?shù)字5：梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1.例如：圖2中算盤(pán)表示整數(shù)506.如果撥動(dòng)圖1中算盤(pán)的3枚算珠，則可以表示不同的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.【答案】26【解析】【分析】分“百位”撥動(dòng)3枚算珠、“百位”撥動(dòng)2枚算珠、“百位”撥動(dòng)1枚算珠三種情況羅列出可表示的數(shù)據(jù)即可得解.【詳解】由題“百位”撥動(dòng)3枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：300、700；“百位”撥動(dòng)2枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：210、250、201、205，610、650、601、605；“百位”撥動(dòng)1枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：120、102、160、106、111、151、115、155；520、502、560、511、551、515、555.則符合條件的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)為26.故答案為：26.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是理解題意，將問(wèn)題拆分“百位”撥動(dòng)3枚算珠、“百位”撥動(dòng)2枚算珠、“百位”撥動(dòng)1枚算珠三種簡(jiǎn)單情況進(jìn)行分析再整合即可得解.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.一個(gè)不透明的盒子中裝有規(guī)格完全相同的3個(gè)小球，標(biāo)號(hào)分別為，現(xiàn)采用有放回的方式摸球兩次，每次摸出1個(gè)小球，記第一次摸到的小球號(hào)碼為，第二次摸到的小球號(hào)碼為.（1）記“”為事件，求；（2）完成兩次摸球后，再將與前面3個(gè)球規(guī)格相同的4號(hào)球和5號(hào)球放入盒中，并進(jìn)行第三次摸球，且將第三次摸到的小球號(hào)碼記為，號(hào)碼中出現(xiàn)偶數(shù)的個(gè)數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析；.【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的計(jì)算公式即可求得答案.（2）先確定X的取值，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘積公式及組合數(shù)求得每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，繼而求得數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】?jī)纱蚊?，摸出的小球?hào)碼的所有情況共種，其中，滿足“”的情形有：時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；共5種情況，故；【小問(wèn)2詳解】X的可能取值為，則，，，，故X的分布列為：X0123P故16.已知函數(shù).（1）若，求在上的極大值；（2）若函數(shù)，討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（1）極大值為0，（2）答案見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，列表分析隨變化情況，根據(jù)單調(diào)性和極值定義求解；（2）化簡(jiǎn)得，令，得或，分或，，，討論判斷方程解得個(gè)數(shù)得解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，得或或，因此，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表所示：0+00單調(diào)遞減

單調(diào)遞增

單調(diào)遞減

單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，有極大值，極大值為.【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，由，得或，其中，，則，當(dāng)或時(shí)，方程無(wú)解，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，方程只有一解為，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解且均不等于，此時(shí)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，方程有一解且不等于，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).17.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，為等邊三角形.（1）若分別是棱的中點(diǎn)，證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)線線平行得到平面平面，進(jìn)而證明平面.（2）通過(guò)分析可得兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求兩平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接.∵分別是棱的中點(diǎn)，∴.∵，∴.∵，平面，平面，∴平面，同理可得平面，∵平面，∴平面平面，∵平面，∴平面.【小問(wèn)2詳解】如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，∵且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，故，∵，∴，且，∵，∴，故為等邊三角形，∴，.∵為等邊三角形，∴.中，由余弦定理得，，∴，即，故兩兩互相垂直.以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由得，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故.取平面的一個(gè)法向量，則，∴平面與平面夾角的余弦值為.18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足關(guān)系式.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)上一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，弦的中點(diǎn)為，平行于的直線與相切于點(diǎn).①證明：三點(diǎn)共線；②當(dāng)直線與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②的取值范圍為.【解析】【分析】（1）由雙曲線定義即可求解；（2）①由切線方程和導(dǎo)數(shù)幾何意義依次求出和即可得證；②求出直線的方程，與曲線聯(lián)立，利用判別式結(jié)合焦半徑公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則即，所以由雙曲線定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的下支，且所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】①證明：由（1）曲線:,，設(shè)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以兩切線方程為：，即，又切線過(guò)點(diǎn)P，所以，即滿足，即滿足方程，所以，設(shè)，則由，所以，即三點(diǎn)在直線上，即三點(diǎn)共線；②由上得，所以直線的方程為即，聯(lián)立，因?yàn)橹本€與有兩個(gè)交點(diǎn)，則由題意可知方程有兩個(gè)不等負(fù)根，所以，所以.所以的取值范圍為.19.設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，其前項(xiàng)和為.（1）若對(duì)任意都成立，且.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②已知首項(xiàng)為，公比滿足的無(wú)窮等比數(shù)列，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，其前項(xiàng)和無(wú)限趨近于常數(shù)，則稱該常數(shù)為無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和.現(xiàn)從數(shù)列中抽取部分項(xiàng)構(gòu)成無(wú)窮等比數(shù)列，且的各項(xiàng)和不大于，求的最大值.（2）若對(duì)任意都成立，試證明：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）①應(yīng)用等比數(shù)列及計(jì)算求解得出通項(xiàng)公式；②應(yīng)用求和公式結(jié)合指數(shù)運(yùn)算計(jì)算求解得出最大值即可；（2）先應(yīng)用分析法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，再分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況分別證明即可.【小問(wèn)1詳解】①因?yàn)閷?duì)任意都成立，所以，且，所以，則數(shù)