2022年新高考數(shù)學模擬題分項匯編：平面解析幾何解答題（第四期）解析版

專題13平面解析幾何解答題

2

1.（2021?江蘇如皋一中高三月考）已知雙曲線］_=1,點尸的坐標為（0,6）,過尸的直線/交雙曲線

C于點A,8.

（1）若直線/又過C的左焦點尸，求|4尸卜忸耳的值;

（2）若點M的坐標為，，-乎］

，求證：為定值.

【答案】

(1)8；

（2）證明見解析.

【解析】

2______

⑴由雙曲線C:一一］~=1可得。=1,b=yfl，所以0=，/+/=Jl+2=V5，

所以川-石,0）,設A（x，yJ,3（%,必）,

.A/3—0

『0十同="所以直線’的方程為y=%+G，

y=x+j3田、，口r-

由22八聯(lián)乂得：x2-2^x-5=0,

2%—y—2

所以西+馬=2A/3,xxx2=-5

2k9+后(%+^2)+3|=2X|-5+A/3X2A/3+3|=8.

（2）由題意知直線/的斜率存在，不妨設直線/:y=fct+A，

’2日：有可得：儼_2*+2百米+5=0,

由

2x—y—2

//

所以再+9=，XiX2=72^_=

9%，%+,MB=%2，%+

2-kK-z

—X|X+(左］++

=%九2+%+叵2

MA-MB4

=(1+尢2)玉%+^^后(玉+x))+需

=(1+國+遍.2/%+冬父

「)"242"16"16'

所以舷4.朋5=需為定值.

2.（2021?江蘇海安高級中學高三月考）如圖，已知直線y=2x與橢圓E：/+2;/=1交于A,8兩點（點A

在第一象限），點尸（Yr,。在橢圓E內部，射線AP,8尸與橢圓E的另一交點分別為C,D.

（1）求點A到橢圓左準線的距離；

（2）求證：直線CZ）的斜率為定值.

【答案】

（1）1+30

-3-

（2）證明見解析

【解析】

（1）因為橢圓/+2/=1中，/=1,Z>2=|,所以H="-〃=）,故左準線為尤=一枝.

由卜"1'得才=±2，因為點A在第一象限，所以故所求距離為

[y=2x333

(2)設尸(%,%),A。”%),B(x2,y2),C(x3,y3),￡>(%/),

222

則無o+4%=O,占+2必=1,x2+2y2=l,

又設上=4元，彘=4訪，其中4，4eR,

丫_(4+1)/-X]

An-，

則一:代入橢圓尤2+29=1并整理得，

22

(4+1)2(%2+2y0)+(x1+2%2)-2(4+l)(xox1+2%%)=看,

從而有（4+1）（V+2%2）-2（毛%+）=4-1,①

同理可得，（%+1）（尤（）2+2%2）-2（毛尤2+2%%）=4：-1,②

結合％=-4r,y0=t,48兩點均在直線〉=2彳上，

①—②得，（4-4）（%2+2%2-1）=0,

因為%2+2%2<1,所以4=4，

從而AB//CD,故kCD=kAB=2.

故直線8的斜率為定值.

3.（2021廣東福田一中高三月考）已知拋物線C：V=2/（p>0）上的點尸（1,%）（%>0）到其焦點的距離

為2.

（1）求點尸的坐標及拋物線C的方程；

（2）若點M、N在拋物線C上，且除機?%,=-：，求證：直線MN過定點.

【答案】

（1）P（l,2）,y1=4x

（2）證明見解析

【解析】

⑴拋物線的焦點（多。｝準線為x=/,

因為點尸。,%）（%>。）到其焦點的距離為2,

所以1+點=2,解得p=2,

所以拋物線的方程為9=4x,

因為點尸（1,%）（%>。）在拋物線上，

所以短=4,解得y0=2,

所以尸（1,2）,

綜上，尸點坐標為。,2）,拋物線的方程為丁=4尤.

（2）證明：設直線的方程為x="y+”,

[x=my+n.

聯(lián)立|y2_4%，得y-4my-4九=0,

所以％+%=4m，乂%=-4",

一%一24

所以心材

-y；-l%+2，

41

同理可得％PN=——,

%+2

因左PM，kpN=_；，

16_1

所以（,+2）（丫2+2）=一，，

所以％%+2（%+%）+36=0,

所以一〃+2加+9=0,即〃=2m+9（滿足A＞0）,

直線MN的方程為x=〃9+2%+9=7"（y+2）+9,

所以直線MN過定點（9,-2）.

4.（2021廣東龍崗中學高三期中）已知圓O：f+/=4和定點A（-2,0）,動點C、D在圓。上.

（1）過點尸（3,2）作圓。的切線，求切線方程；

（2）若滿足心空"=-；，設直線的＞與直線x=4相交于點N.

①求證：直線CO過定點；

②試探究Kc和1V的定量關系.

【答案】

（1）y=2或12x-5y-26=0

（2）①證明見解析；②&CQN=T

【解析】

（1）當過點尸的直線方程為尤=3時，直線與圓。不相切,

故可設切線方程為＞=&（x-3）+2,即Ax-y-3左+2=0

|-3左+2|

圓心到直線的距離d==2,整理得5左2-124=0

VF+T

19

解得上=0或人

切線方程為>=2或12x-5y-26=0.

（2）①由題意可知，直線CO斜率不為零，可設直線8的方程為x=〃v+〃，其中H-2C（玉，M）,D（x2,y2）,

將直線和圓的方程聯(lián)立

[x=my+n

jf+‘2_4，整理得(rnn+l)y+2mny+幾n-4=0,

2mn

M+%=—-f

A>0,由韋達定理得：2，

n-4

Im+1

由題意知kACkAD=?—三二-J,得+(玉+2)(%+2)=。

代入韋達定理并化簡得：

3yly2+(占+2)(%+2)=(m2+3)丫跖+m{n+2)(%+%)+("+2)2

/n2—4/八、一2mri,仆2〃+2一八八

=(m2+3)---Fm(n+2)---1-(ji+2)2=--(4〃—4)=0

'7m+1m+1m+1

所以〃=1,a＞的方程為％=沖+1,經過定點（L0）.

②設AD的方程為》=。(尤+2),得N4,弋，即N4,三

%+21X2+2)(kAC)

—~y.-2一-一2一4^

Kn=-—^AC—=_-1?—2—-=_-1?-----玉--+--2_1‘?-----演--+--2_ZZZ--1

4—石kAC4一石kAC4—%kAC4—x1kAC

則3人N=-1

5.(2021?廣東中山中學模擬)已知橢圓C：W+W=l(a>6>0)的離心率為也，且點(1,坐)在橢圓C上,

ab22

〃，N是橢圓C上的兩個不同點.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）若直線。河,ON的斜率之積為一；，點尸滿足OP=2OM（。為坐標原點），直線NP與橢圓C的另一

個交點為。（與N不重合），若NQCNP,求幾的值.

【答案】

(1)—+/=1

2'

⑵2=|

【解析】

(1)由題知力=巴?=!，所以片=2〃，

2

"a2

所以橢圓方程為9+，=1,代入點(L與得J+一=1，

解得"=1,/=2,所以橢圓方程為;+y2=l；

(2)設/(占,乂),以三,%),由0尸=20同得尸(2匹,2%),

由NQ=2NP得-%-％)=4(2%-％，2%-%,

所以%=24&+(1-4)%，yQ=22yl+(1-/I)%，

又點。在橢圓C上，所以已肛+(「悶2+叩+(—)0=],

22

即422(^-+712)+(1-2)2(-^-+yf)+42(l-2)(—^-+=1,

由M,N是橢圓C上得4儲+(1-㈤2+4和一田(苧+%%)=1―①

又因為直線OM，ON的斜率之積為所以"=-；，即乎+%%=?！?/p>

2%元2/2

2

把②代入①得版、。-㈤2=1,解得彳=：或4=0(舍去，因為N,。不重合).

22

6.(2021?廣東惠州一中高三月考)已知橢圓上+多=1(0<6<3)的左右焦點分別為￡(-*0),月(G。)，過

9b

Q

點月且不與X軸重合的直線/與橢圓相交于A,B兩點.當直線/垂直X軸時，=1

(1)求橢圓的標準方程；

(2)求A2月內切圓半徑的最大值.

22

【答案】(D工+匕=1；(2)最大值為1.

94

【解析】⑴由已知條件可設1-")’

/16?

----1------=1

由199/,

Z?2+c2=9

解得「b=⑹2

22

所以橢圓的標準方程為土+工=1.

94

(2)設及藥,％),Ww，%)，

由題意，直線/的斜率不為0,設直線/的方程為x=0-百,

x=ty-小

聯(lián)立Y2消去X并化簡得(4產+9)9-8島-16=。,

——+—=1

[94

A=(-8扃2+64(4產+9)>0

由韋達定理得乂+%=?粵16

%%

4r+9

8百Y,1624x24x(r+1)

那么(X-%)2=(%+%)2-=—7—+4x———

4產+9J41+9(4/+9丫

所以"一為卜有錚

而=S4MF2+S△明%=]x2cx|%-%|二百僅一1為|

=2462=246.￡=—246

4產+94(廠+1)+54歷1+二

24出24A/5,

京=6

2Mr2+1-^J=

V#71

當且僅當為即,=±3時等號成立.

又因為右.瑪=：x(|A司+|&A|+|&B|)xr=gxl2xr=6"6,

所以AB8內切圓半徑的最大值為1.

22

7.(2021廣東湛江一中高三月考)已知橢圓C：,+與=1(〃＞匕＞0)的離心率6=且C經過點尸(-2,0).

ab

ci)求橢圓C的標準方程；

(2)過點尸的直線/交C于另一點A,若|PA卜竽，求直線/的斜率.

22

【答案】(1)—+^=1；(2)±1.

43

【解析】

11

(1)因為橢圓的離心率e==,所以r上=即/=4。20/=4(/一62)=34=/

2a2

因為C經過點尸(-2,0),所以有，=1,即6=4,所以〃=3,

22

因此橢圓C的標準方程為：—+^=1；

43

(2)因為2(-2,0)是橢圓的左頂點，所以由過點尸的直線/交C于另一點A可知，該直線存在斜率，設為屋

即直線/的方程為：y=k(x+2),與橢圓方程聯(lián)立為:

y=々(x+2)

"丫2=>(3+4%2)爐+16%，+16左2-12=0,設A(X[,%),

—+—=1

143

c16k2-*4126-8k2

所以有-2X|=-------=>%=-----,

13+4左-13+4左~7

因為歸A卜竽，

所以油…心華n內需+2*n需L竽

=32右一左2_31=0n3=i或F=_豆(舍去)，即后=±1.

8.(2021?湖南永州一中高三月考)已知離心率為不的橢圓E：1+2=1("6＞0)的左頂點及右焦點分別

/ab

為點A、F,且|”|=3.

(1)求E的方程；

(2)過點尸的直線/與E交于M,N兩點，P是直線/上異于尸的點，且|同|忖叫=|阿卜|尸回，證明：

點戶在定直線上.

22

【答案】(1)—+^=1;(2)x=4

43

【解析】

(1)因為橢圓的離心率為左頂點及右焦點分別為點A、F,且|A^=3

C1

e=---

a2

所以＜〃+c=3,解得〃=2,c=l,b=g,

a2=b2+c1

22

所以橢圓E的方程是±+±=1；

43

(2)易知過點尸的直線/的斜率存在，設直線方程為＞尤-1),

y=k(^x-X)

與橢圓方程聯(lián)立*/,消去y得：(3+4〃)/—8/%+4〃—12=0,

--1=1

14---3

設Mx.yJ'N值,%),「(%,%),

8424^-12

貝lj%1+X=

2wf=3+4/

因為PWFHPN|=|NFHPM],

所以（1—芯）?（5—無2）=（匕-1）?（龍o—爸），

整理得2%=（占+三）（1+%）-2±?%2,

re.八、、4k2-12

所以2%=五充（°）不記’

解得％=4,

所以點尸在定直線x=4上.

22

9.（2021?湖南郴州一中高三月考）已知橢圓C：3+2=1（。>6>0）的左、右焦點分別為耳、入，點P、。、

ab

R分別是橢圓C的上、右、左頂點，且PQ7R=-3,點S是尸鳥的中點，且|OS|=L

CD求橢圓C的標準方程；

19

（2）過點7（-1,0）的直線與橢圓C相交于點M、N,若.-.QMN的面積是不，求直線MN的方程.

【答案】（1）證明見解析；（2）尤-y+l=0或x+y+l=0.

【解析】

（1）由題意知PQ=（。,-匕），PR=（-a,-b）,

22

貝ljPQPR=-a+b=-3,

???點S是P&的中點，且|OS|=1,

；/。司=JP用=g"=i，

:?〃=2,b=',

故橢圓方程為《+/=1.

4

(2)設N(x2,y2),直線跖V：x=ty-l,

x=ty—l

聯(lián)立方程組二2_,得(4+/b2_29_3=0,

彳+y一

2t3

4+?%%=一4+?

2

|%一%|=j(x+%)_4x%=4[_4.鼻=4#7j；

y(4+/)4+t4+?

?c1e??1o4#+312

??S△刎=--\TQ\-\y]-y2\=-x3x^—^=—,

r=±1.

直線AW的方程為y=x+l或y=-x-l,

即直線MN的方程為x-y+l=O或尤+y+l=O.

22

已知尸是橢圓G：鼻+當=1(〃>Z?>0)的左焦點，A是G的上

ab

頂點’直線”與Ci的另一個交點為8,點C與B關于y軸對稱‘兩+叩2gG的離心率為普.

(1)求橢圓Ci的方程;

(2)二次曲線C2：y=fN經過尸(一1,2),直線〃/AB與C2相交于Af,N不同兩點，Pel,直線PM,PN的

斜率分別為ki,左2.求怎+fe的值.

22

【答案】(1)—+^=1；(2)0.

1716

【解析】

(1)設橢圓G的右焦點為耳CO),由于瓦。關于y軸對稱，???1尸。1=14例.

V|FB|+|FC|=2A/T7,???|5/|+|明|=2而\；?a=拒.

:橢圓G離心率為姮，，￡=姮，???c=L

17a17

b=_]=4.

22

所以，橢圓G的方程為土+J=i.

1716

(2)由(1)得尸(-1,0),40,4),??.直線AB的斜率為4.

VMN//AB,???可設直線肱V的方程為y=4x+機.

???二次曲線G：y=〃經過尸(-1,2),???2二人即二次曲線G的方程為y=2一.

[y=4x+m,

設N(x2,y2).由方程組<2得

[y=2x.

2x2—4x—m=0.

??A=16+8根>0,玉+x?—2.

又==2%一2，k2=2x「2,

以k、+k?=2再一2+29—2=2（玉+）—4=0.

11.(2021?湖北武漢二中高三期中)如圖所示，已知拋物線無2=4〉的焦點為R過尸的直線交拋物線于A,

8兩點，A在y軸左側且AB的斜率大于0.

(2)已知尸(1,0)為x軸上一點，弦AB過拋物線的焦點尸，且斜率%>0,若直線孫，P8分別交拋物線于

C、。兩點，問是否存在實數(shù)2使得AB=2C。，若存在，求出入的值；若不存在，說明理由.

【答案】

(1)8

(2)存在，2=5

【解析】

(1)設A(%,yJ,鞏%，%)，.

由題意知，點尸坐標為(0」)，

直線4B方程為y=x+l,

聯(lián)立匕y.I得y2-6y+l=0,

[x=4y

所以％+%=6,

貝1j|AB|=yi+%+2=8.

(2)設4卜田，3卜，亍]，。(七,%)，。(程乂)，

其中尤2>%,顯然尤1<0<々，

由AB=XC力知AB〃CD,且而=幾，

十口ABPA口口

于是而=正，即尸A=2PC，

,22Y

???玉—_A1%3，???人Y3————F—二J—~，

44〃

同理…金,顯然寸金，則q/，小

設九：丁=丘+1,代入爐=4y得％2一46一4=0,

于是左二/H義4k,/.Z=1,舍去.

②若％3=-金，則《令言，

此時=

/.k=-^=｛（馬+網）2-4尤2“I,

即％=」=.，16y+16,

4A/I

/.dk~+1=k,；./,=k2+l

由尸A=XPC得%_1=九1一/_1],

即占=1—A/A,?'?=1---"~+1.

k

由一4kx一4=0,得％1=2左一2y1k2+1,

1-4'+1=2k-2正+1

k

：.42+17（2k-l）=0,

\k7

由知2左一1=0,

k

12.（2021?湖北武漢二中高三期中）已知雙曲線C:二-與=1（4>0/>0）的左焦點為尸，右頂點為A（l,。）,

ab

點尸是其漸近線上的一點，且以尸尸為直徑的圓過點A,|PQ|=2,點。為坐標原點.

（1）求雙曲線C的標準方程;

（2）當點尸在x軸上方時，過點尸作y軸的垂線與>軸相交于點B,設直線/：、=履+m（幻〃竽0）與雙曲線C

相交于不同的兩點“、N,若忸M=|3N],求實數(shù)優(yōu)的取值范圍.

【答案】

2

(1)(2—匕=1

3

zx4Gt3\/3

(2O)m<----或0<相<----

34

【解析】

（1）產（—GO）,A（a,0）,雙曲線C的漸近線方程為y=±2》,

a

以P分為直徑的圓過點A,所以，PA±AF,

_b上，設點尸,bt

不妨取點?在y=—xAP=a,—,E4=(Q+C,0),

aa

因為24_LAF,則APE4=?—q)(〃+c)=O,可得力=a,則點尸(〃/),

|尸。|=2,貝1|Q2+/?2=4,a=l,則〃=3,

2

所以，雙曲線C的標準方程為尤2一匕=1.

3

（2）由題意可知5（石,0卜設”（%,%）、N（%2，%）,

y=kx+m

22

線段時V中點聯(lián)立2y2_^(3-k)x-2kmx-nr-3=0,

13

3-k2w0[3-k2w0

依題意｛/\2/2、/2\，即、2,2八①，

b=(-2km)一4(3—左2)(2_3)>°[3+m2—A:2>0

OIciTI2

由韋達定理可得占+z=丹m+3

J-K

kmj3m

貝心產y=kx+m=^-^

3-k2Q0

3m

11

,\BM\=\BN\,BQ1MN,3-k

kmI

3-k2

所以，3-k?=m②,

3

又去2=3/"m>0③,由①②③得：機<一生8或0<根<之叵.

334

22

13.（2021?山東昌樂二中高三月考）已知橢圓C：。+與=1（。>6>0）的長軸長為4,且點（l,e）在橢圓C上,

ab

其中e是橢圓C的離心率.

（1）求橢圓C的方程;

(2)若斜率為3的直線/與橢圓C交于M、N兩點，且點M在第一象限，點A、B分別為橢圓C的右頂點和

上頂點，求四邊形4WBN面積S的最大值.

【答案】

(1)—+/=1

4

(2)26

【解析】

22

(1)橢圓C：芯+方=1(〃＞人＞0)的長軸長為4,且點(Le)在橢圓。上，設橢圓。的焦距為2c,

f2〃=4

〈2122，解得1=2,b=l,c=\/3，

a=b+c

c

e=—

、a

.??橢圓C的方程為：—+/=1.

4

(2)由題意可設/：y=^x+m,

?點M在第一象限，；.-1＜機＜1,

設N(N，%),點A,8到直線/的距離分別為4〃2，

2

(X2_,

=i

由，],消V可得f+2如:+2/-2=0,

y=—x+m

12

2

玉+/=-2m,x1x2=2m-2,

222

\MN\=+(^-)+x2)-4x^2-4(2m-21=y[52—m2,

VA(2,0),3(0,1),直線/的一般式方程：x-2y+2m=0,

2+2m2-2m

：,d,=F，&二k，

,z4

4+%=,

?**S=S&AMN+S4BMN=5|MN|.(4+4)=/X亞-A/2-m2X—J==2yj2-m2,

當根=0時，S有最大值為2血.

14.（2021?福建泉州科技中學高三月考）已知點尸（L0）,點。是圓a：（x+l）2+V=16上的動點，線段尸Q的

垂直平分線與QOi相交于點C,點C的軌跡為曲線E.

（1）求E的方程;

（2）為曲線E上不同兩點，。為坐標原點，線段A3的中點為M,當^AO3面積取最大值時，是否存

在兩定點G,X,使為定值？若存在，求出這個定值；若不存在，請說明理由.

22

【答案】（1）土+匕=1;（2）存在，定值為2vL

43

【解析】

（1）-C在線段尸。的垂直平分線上，

：.CP=CQ,又C在QQ上，

:.O,Q=OlC+CQ=OlC+CP=4,則C的軌跡是以。?,尸為焦點的橢圓，

22

222

2a=4,即〃=2,c=lfb=a—c=3,故E的方程為土+匕=1;

43

（2）當直線AB的斜率存在時，設A3直線的方程為>=立+加，聯(lián)立直線A5和橢圓C的方程消去,得,

3x2+4（x+m）2-12=0,（3+4^2）x2+8bnx+4m2-12=0,

—8kmW-12

X]/3+4F

22

SAAOB=:|"小民」凡|=g|M-8km4m-12

3+4423+4嚴

二帆.的一3療+12左2

2|m|.I4k2m2_fm2_3\i3+4k2\=2

3+4公V'八'3+小

2四時m2m4

-yj3+4k2-m2=2"

3+4k23+43一（3+4燈2'

當上二=工時，S取得最大值班，此時2瘍=3+4左2,

3+4左22

又%+%=左（玉+々）+2根=黑2，貝?加（^4^，,

一4km2k

一4km3m3+4Pm

R彳記令3m3，則叫+§一1

y—------=--2

[-3+4左22m

因此平面內存在兩點G（等,0）,H（-孝,。），使得+k2&.

當直線A3的斜率不存在時，設A（2cos，,gsin，），則2（2cosa-6sin。），

，=2Gsin，cos，=J5sin2〃，即當夕=/取得最大值g.

《￡=1

此時A5中點M的坐標為（夜,0）,滿足方程萬十百一,^\GM\+\HM\=2y[2.

2

15.（2021?福建福州三中高三月考）已知點A（-2,0）,3（2,0）,設動點P滿足直線以與尸8的斜率之積為七，

記動點尸的軌跡為曲線￡.

（1）求曲線E的方程；

（2）若動直線/經過點（1,0）,且與曲線E交于C,D（不同于A,B）兩點，問：直線AC與8。的斜率之

比是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.

r221

【答案】（1）—+^=1（x^±2）；（2）直線AC和80的斜率之比為定值

433

【解析】

⑴設尸（％y）,依題意可得%?%=-：,所以*?*=[（.±2）,

今-XI乙-X乙r

22

所以曲線E的方程為L+上=1（XW±2）.

437

（2）依題意，可設直線/：x=my+l,。（%,兇），Z）（x2,y2）,

x=my+1

9

由（尤2y2,可得（3/+4）9+6陽-9=0,則%+%=??，,71y2=2.

一+匚=l（xw±2）'）3/77+43*+4

14311

因為直線4c的斜率左=」、，直線BQ的斜率網=弋7，因為陽跖==5+%），

石十/Xy十，2

313

由一%（%一2）_，孫%-%一，（%+%）-%一5"+，%_1

h%（占+2）%（畋1+3）+3%：5+為）+3%飛+|為3

所以直線4c和BD的斜率之比為定值g.

16.（2021?重慶八中高三月考）橢圓具有如下的光學性質：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經過橢圓反射后,

22

反射光線會交于橢圓的另焦點上.已知焦距為2的橢圓C:斗+2=1（。>6>0）的左、右焦點分別為耳,F2,

從后發(fā)出的一條不與X軸重合的光線，在橢圓上依次經M,N兩點反射后，又回到點入，這個過程中光線

所經過的總路程為8.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設直線MN:x-樞y+r=0,且滿足耳聞=九耳N,若-gwXW-L,求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】

(1)—+^=1

43

【解析】

4〃=8

（1）由橢圓的光學性質知過橢圓左焦點小由橢圓定義知。），即。=2,c=l,

[2c=2

22

所以/=/-C2=3,所以橢圓方程為工+匕=1;

43

（2）由已知片（一1,0）,設M（%,y）,N（X2，y2），

x-my+1=0

貝。直線MV方程為無一"y+l=o,聯(lián)立方程組，fy2可得（3機2+4）>2-6;改一9=0,

[43

lI6m9

則X+%=Q2.，=一42;，

3m+43m+4

因為耳M=X耳N,所以（占+1,%）=幾伍+1,%）,所以％=幾%，

4/(^+1)2_1

則（用"-高，消去為可得一

2%=-------------------AH---------rZ'

3m2+42A

54144m2

--<2<-1,<A+-+2<0,BP-—<—-<0,解得病K,

3152153m2+4

..-----<m<——.

33

17.（2021?重慶一中高三月考）已知拋物線￡：爐=2外（°>0）上有兩點M,N,。是坐標原點，△MON是

正三角形且邊長為4』.

（1）求拋物線E的方程；

（2）若正方形越CD的三個頂點A,B,C都在拋物線E上（如圖），求正方形A3CZ）面積的最小值.

【答案】

(1)V=2y

（2）8

【解析】

（1）由對稱性知，軸，故點“（2B,6）在拋物線E上，其方程為-=2y.

、

B|X,^-|,C|x,^,直線5C的斜率為％,不妨則顯然有左＞0,且

（2）設奇23

27

k_“3_%2_芯3+%2

2(X3—X2)2

-_玉+x

因AB,BC,所以、2

K乙IyC-i*^2)2

由IAB|=忸。得1+7TH-玉)2=(1+陰(七一馬)2,即(尤2-玉)2=/(尤3-%)2,

2]

即犬2—石=左（曰一芯2），將玉=----尤2'X3=2%_%2代入得％2+_=左（左_%2）-

kk

因為（左+1）無2=廿-《，所以羽=與二，故正方形ABCD面積為

kk+k

22

24代+1)4+1

22222k+1

S=|BC|=(l+^)(x3-x2)=(l+^)(2^-2x2)=4(1+^)2

k2+kkx(左+1)2,

因1+/22左，所以?！埃ó斍覂H當人1時取等）,

又因歸口之外！，所以嚴+12色巫,即（當且僅當上=1時取等）.

\222（%+1）2

從而SN16xg=8,當且僅當上=1時取得