6類解三角形公式定理解題技巧（海倫、射影、角平分線、張角、倍角、恒等式）-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納

題型136類解三角形公式定理解題技巧

（海倫、射影、角平分線、張角、倍角、恒等式）

技法01海倫公式的應(yīng)用及解題技巧

技法02射影定理的應(yīng)用及解題技巧

技法03角平分線定理的應(yīng)用及解題技巧

技法04張角定理的應(yīng)用及解題技巧

技法05倍角定理的應(yīng)用及解題技巧

技法0610類恒等式的應(yīng)用及解題技巧

技法01海倫公式的應(yīng)用及解題技巧

喟3?常見題型解讀

海倫-秦九韶公式能夠解決已知三邊的三角形的面積求解，是解三角形中必不可少的解題利器，也會作為

材料題在高考及模考中出現(xiàn)，需加以練習(xí).

知識遷移海倫-秦九韶公式

三角形的三邊分別是。、b、c,則三角形的面積為S=，？（P—a）（p—/?）（〃一c）

Z7—I—b-4-「

其中p=z,這個(gè)公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學(xué)家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。

我國南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式：

S—abL-

4、2J

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例1.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把

這種方法稱為"三斜求積"，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫成公式，就是

s=lj,其中q,6,c是三角形的三邊，s是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊

a=A/2,b=V3,c=2,則該三角形的面積S二

技巧點(diǎn)撥o

【詳解】因?yàn)镾=*一『+?。?，所以s=：4乂2-［七『)=孚.故答案為：亭.

睛條練?知識遷移強(qiáng)化

1.(2022?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測)在古希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，利用

三角形的三邊長求三角形的面積.若三角形的三邊分別為a,b,c,則其面積5=Jp(p_a)(p_b)(p_c),

〃+/?+6

這里P=.已知在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=6,b+c=10,則AABC

的面積最大值為().

A.6A/3B.8A/2C.10D.12

2.(2023上?河北石家莊?高三?？茧A段練習(xí))海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長a,b,c直接求三角

形面積S的公式，表達(dá)式為：S〈p(p-a)(p-b)(p-c)(其中°=a+；+c)；它的特點(diǎn)是形式漂亮，便

于記憶.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨(dú)立提出了"三斜求積術(shù)"，但它與海倫公式完全等價(jià)，因此海

倫公式又譯作海倫-秦九韶公式.現(xiàn)在有周長為10+2/7的AABC滿足sinA:sinB:sinC=2:3：V7,則用以上

給出的公式求得"RC的面積為()

A.8A/7B.4A/7C.6石D.12

3.(2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)(多選)古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《測地術(shù)》中最早記錄了"海倫

公式"：S=Qp(p-a)(p-b)(p-c),其中pJ+'c,a,b,c分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的

邊，該公式具有輪換對稱的特點(diǎn).已知在AABC中，sinA:sinB:sinC=8:7:3,且AABC的面積為126，

則()

A.角A,B,C構(gòu)成等差數(shù)列B.dBC的周長為36

C.AABC的內(nèi)切圓面積為與D.8C邊上的中線長度為回

技法02射影定理的應(yīng)用及解題技巧

喟1?常見題型解讀

三角形中隱藏著許多性質(zhì)，比如三角形射影定理就能夠在解三角形中簡化計(jì)算過程，但是在考試中解答

題不能直接使用，需要推導(dǎo)。不少高考原題用射影定理可以快速化簡得出答案，在一些小題中，應(yīng)用三

角形射影定理能夠快速得到答案，需強(qiáng)化練習(xí)

知識遷移射影定理a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例2.（全國?高考真題）AABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,"c,若2bcosB=acosC+ccosA，則3=

解題

技巧點(diǎn)撥o

在0A3C中，acosC+ccosA=b,團(tuán)條件等式變?yōu)?bcosB=b,團(tuán)cos3=J.

n

又0<B<R,[?]B=—.

唁磊福?知識遷移強(qiáng)化

1.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）在團(tuán)ABC中，角A、B、C的對邊分別記為a、b>c,5acosA=bcosC+ccosB,

貝Isin2A=.

2.（全國?高考真題）AABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為o,b,仁已知285。（々355+尻054）=。.

⑴求角c；⑵若C="S"當(dāng),求A^C的周長.

Z.22_2

3.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）記“WC的內(nèi)角A氏C的對邊分別為6,c,已知巴士V=2.

cosA

⑴求be；

,…acosB—bcosAbq

⑵若——不一r一一二1，求AABC面積?

acos6+匕ocsAc

rA3

4.（上海虹口?高三上外附中校考期中）在AABC中，acos2—+ccos2-=-b,貝|（）

222

A.a,b,c依次成等差數(shù)列

B.b,a,c依次成等差數(shù)列

C.a,c,b依次成等差數(shù)列

D.a,b,c既成等差數(shù)列，也成等比數(shù)列

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在AABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,若“LBC的

r,/acosB+bcosA八八…

面積S?BC=26，a+b=6,------------------=2cosC,貝i]c=.

技法03角平分線定理的應(yīng)用及解題技巧

?常見題型解讀

在解三角形中，應(yīng)用角平分線定理及其變形公式能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的高頻考點(diǎn),

需重點(diǎn)學(xué)習(xí).

知識遷移

角平分線定理

4R

（1）在A45C中，AD為NA4c的角平分線，則有一

BD

ciZBAC

2bxexcos------

(2)AD=-------------2_

b+c

AD*2^ABxAC-BDxCD(庫斯頓定理)

ABSARn

(4)

ACS^ACD

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例3.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）在AABC中，ABAC=60°,AB=2,BC=y/6,/SAC的角平分線交8c于

D,則AD=.

技巧點(diǎn)撥o

由余弦定理可得，2?+/-2x2xZ?xcos6CT=6,因?yàn)閎＞。，解得：b=1+A/3,

”2b/BAC

An_計(jì)算即可，故答案為：2.

b+c

睛條練?知識遷移強(qiáng)化

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）△ABC中，邊5c內(nèi)上有一點(diǎn)。，證明：A。是NA的角平分線的充要條件

日

口_A___B_____B__D

AC-DC

2.（2023春嚀夏銀川?高三校考階段練習(xí)）在“IBC中，角A的角平分線交3C于點(diǎn)。，且AB=4,AC=2,

則而等于（）

1?2^5—?2—?

A.-AC+-ABB.-AB——AC

3333

2—>1—、2—-1—.

C.-AC——ABD.-AC+-AB

3333

3.（2023春?湖北?高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,

若4=手，a=7,b=3,則角A的角平分線AD=.

4.（2023春?安徽滁州,高一統(tǒng)考期末）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知

asinA-bsmB-csinC—bsinC=O.

⑴求角A的大??；

⑵若AB=5,AC=3,是0ABe的角平分線，求的長.

技法04張角定理的應(yīng)用及解題技巧

需高?常見題型解讀

在解三角形中，應(yīng)用張角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的高頻考點(diǎn)，需重點(diǎn)學(xué)習(xí).

知識遷移

張角定理期2+隨4=迦空0

ABACAD

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例4-1.(內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考一模)如圖，已知AD是AABC中一胡C的角平分線，交8C邊于點(diǎn)￡>.

AB_BD

(1)用正弦定理證明:

~\C~~DC

(2)若NB4c=120。，AB=2,AC=1,求AD的長.

技巧點(diǎn)撥o

9

先用面積之和來證明張角定理，然后直接由張角定理求得AD的長為冷.

例42在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知點(diǎn)。在邊上,

AD1AC,sinABAC=^^,AB=3&,AD=3,則CD=

3------------

解題

技巧點(diǎn)撥o

解：如圖

sin"AC='一

3

cosABAC=Vl-sin2ZBAC=-

3

sinZBACsinZBADsinZDAC

由張角定理得:---------1---------

ADACAB

272

sin〔ZBAC—；sm.——7C

即三+—春

AC372

2yfl-cosABAC1

9AC372

_1

2」「3?1

9~AC372

AC=36

.-.CD=y/AD2+AC2=3石

唱篇j?知識遷移強(qiáng)化

1.在4ABe中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=2,c=4,ABAC=120°,ABAC的角平分線交邊

BC于點(diǎn)D,貝IAD=

2.在“ABC中，角A、AC所對的邊分別為a、Ac,AD是ZBAC的角平分線，若

ZBAC=女.I1=2百，則2Z?+c的最小值為

3

3.（2023上?河南信陽?高二河南宋基信陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀〢ABC中，角48,C所對的邊分別為。，瓦c,

ZABC=120°,8D_L8C交AC于點(diǎn)。，且BD=1,2a+c的最小值為（）

8R8百

A.-D.----------C.8D.8A/3

33

技法05倍角定理的應(yīng)用及解題技巧

?常見題型解讀

在解三角形中，應(yīng)用倍角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的重要考點(diǎn)，需重點(diǎn)學(xué)習(xí).

知識遷移

倍角定理

在AABC中，三個(gè)內(nèi)角4B、C的對邊分別為a、b、c,

(1)如果4=25,則有:/=/+Z?c,(2)如果C=2A,則有:。2=儲+"，⑶如果3=2。則有仍2=。2+近

倍角定理的逆運(yùn)用

在AABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,

(1)如果/=〃+次,則有：A=2§,(2)如果°?=儲+出7,則有：。=24/3)如果/72=02+4<:,則有：5=2。。

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例5.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若B=2A,a=l,b=V3,則c=

技巧點(diǎn)撥

B=24由倍角定理得：廬=。2+ac

2

即（⑹=I2+1XC

c=2

你來練?知識遷移強(qiáng)化

1.在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知8b=5c,C=2B,則cosC=

2.在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若A=2B,則聲信)的最小值為

3.△力BC中，角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,若a?-6?=兒,且sirM=V5sinB,則角A=

4.(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在銳角0ABe中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,滿足。2=c(c+a).

(1)證明：B=2C；

(2)求」不一——+3sinB的取值范圍.

tanCtanB

技法0610類恒等式的應(yīng)用及解題技巧

喟3?常見題型解讀

在解三角形中，應(yīng)用恒等式能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的重要考點(diǎn)，需重點(diǎn)學(xué)習(xí).

知識遷移

三角恒等式

在AABC中，

?sinA+sinB+sinC=4cos—cos—cos—；

222

ABC

?cosA+cosB+cosC=l+4sin-sin一sin一；

222

③sin?A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC；

④cos2A+cos2B+cos2C=l-2cosAcosBcosC；

行「A.,B.,C.A.B.C

（5）sin-——l-sin-——l-sin--=l-2sin-sin-sin一；

222222

角2A2B2cA.B.C

@cos——Feos——Feos一=2+2sin—sin—sin一；

222222

⑦tanA+tan5+tanC=tanA-tanB?tanC；

⑧cotA-cotB+cotA-cotC+cotBcotC=l；

小ABCABC

（9JCOt——I-COt——FCOt一=COt-COt-COt一;

222222

ABBC