湖南省長沙麓山國際實驗學(xué)校2025屆高三上學(xué)期第一次學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試卷含答案

2025屆麓山國際高三第一次學(xué)情檢測試卷高三年級數(shù)學(xué)試卷總分：150分時量：120分鐘一、單選題（每小題5分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)，則z的虛部為（）．A.3 B. C.i D.3.已知向量，則在上投影向量為（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A B. C. D.5.已知函數(shù)存在兩個零點，則實數(shù)t的取值范圍為（）A B. C. D.6.將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A. B. C. D.7.如圖，在中，C是的中點，P在線段上，且.過點P的直線交線段分別于點N，M，且，其中，則的最小值為（）A. B. C.1 D.8.已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題（每小題6分，共18分，每題全對得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分）9.下列說法中，正確的命題有（）A.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則B.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和0.3C.在做回歸分析時，殘差圖中殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越好D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為1610.已知函數(shù)，若將的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于點對稱D.在上單調(diào)遞增11.如圖，正方體的棱長為1，P是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.平面C.的最小值為D.當(dāng)，C，，P四點共面時，四面體的外接球的體積為三、填空題（每小題5分，共15分）12.記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則________.13.數(shù)列的前項和為，若，則_____________．14.已知橢圓：的左、右焦點分別為，點是軸正半軸上一點，交橢圓于點A，若，且的內(nèi)切圓半徑為1，則該橢圓的離心率是______．四、解答題（共77分）15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．（1）求；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．16.某機(jī)構(gòu)為了了解某地區(qū)中學(xué)生的性別和喜愛游泳是否有關(guān)，隨機(jī)抽取了100名中學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：喜歡游泳不喜歡游泳合計男生25女生35合計已知在這100人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為.（1）請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（2）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)聯(lián)；（3）將樣本頻率視為總體概率，在該地區(qū)的所有中學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，計抽取的3人中喜歡游泳的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望．附：.0.1000.0500.01000012.7063.8416.63510.82817.如圖所示，在三棱錐中，與AC不垂直，平面平面，．（1）證明：；（2）若，點M滿足，求直線與平面所成角的正弦值．18.已知直線與拋物線交于兩點，且．（1）求；（2）設(shè)F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．19.南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為求離散變量的垛積問題”.在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式.如圖，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第層球數(shù)比第層球數(shù)多，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列an.（1）求數(shù)列an（2）求最小值；（3）若數(shù)列bn滿足，對于，證明：.

2025屆麓山國際高三第一次學(xué)情檢測試卷高三年級數(shù)學(xué)答案一、單選題（每小題5分，共40分）1.B解析：因為，，所以.故選：B.2.B解析：復(fù)數(shù)，所以的虛部為故選：B.3.A解析：根據(jù)題意，在上的投影向量為：.故選：A4.C解：由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則“同增異減”得：在上單調(diào)遞減，且，所以且，解得：.故的取值范圍是故選：C.5.C解析：由，，可得：，令，依題意，函數(shù)存在兩個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.又，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故時，取得極大值，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，故要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.，需使，解得.故選：C.6.C解析：將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.7.C解：，則，，又P，M，N共線，∴.又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：C.8.B解析：因為，當(dāng)時，因為，則，因為函數(shù)在上存在最值，則，解得，當(dāng)時，，因為函數(shù)在上單調(diào)，則，所以其中，解得，所以，解得，又因為，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．又因為2，因此的取值范圍是．故選：B．二、多選題（每小題6分，共18分，每題全對得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分）9.ABC解析：對于A，因，且，于是得，故A正確；對于B，由得，依題意得，即，故B正確；對于C，在做回歸分析時，由殘差圖表達(dá)的意義知，C正確；對于D，依題意的方差為，故D不正確．故選：ABC.10.BC解析：因為，所以，所以，而將的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，所以，解得，故A錯誤，此時，向右平移個單位長度后，設(shè)得到的新函數(shù)為，，由正弦函數(shù)性質(zhì)得是奇函數(shù)，故B正確，令，解得，當(dāng)時，，所以圖象關(guān)于點對稱，故C正確，由題意得，，，所以在上不單調(diào)，故D錯誤.故選：BC11.ABD解析：對于A，因為不在平面內(nèi)，平面，所以平面，又，所以點到平面的距離為，又為定值，故定值，A正確；對于B，因為，平面，平面，所以平面，同理可知平面，又，平面，所以平面平面，由于平面，故平面，B正確.對于C，展開兩線段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，連接，交于點，此時最小，最小值即為的長，過點作⊥，交的延長線于點，其中，故，又勾股定理得，C正確；對于D，點P在點B處，，C，，P四點共面，四面體的外接球即正方體的外接球，故外接球的半徑為，所以該球的體積為，D正確.故選：ABD三、填空題（每小題5分，共15分）12.95解析：因為數(shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則故答案為：.13.解析：①，②，兩式相減得，故，，令中得，，所以，而不適合上式，故答案為：.14.##解析：如圖，的內(nèi)切圓與三邊分別切于點，若，則，因為，則，可得，則，可得，因為，即，可得，又因為，即，可得，且，解得，所以橢圓的離心率是．故答案為：.四、解答題（共77分）15.（1）由題意得，因為為鈍角，則，則，則，解得，因為為鈍角，則.（2）選擇①，則，因為，則為銳角，則，此時，不合題意，舍棄；選擇②，因為為三角形內(nèi)角，則，則代入得，解得，,則.選擇③，則有，解得，則由正弦定理得，即，解得，因為為三角形內(nèi)角，則，則，則16.（1）喜歡游泳不喜歡游泳合計男生252550女生351550合計6040100（2）零假設(shè):假設(shè)是否喜歡游泳與性別無關(guān)，，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為是否喜歡游泳與性別無關(guān).（3）X的可能取值為0，1，2，3，，.的分布列為X0123P.17.（1）證明：在平面中，過點P作的垂線，垂足為D．因為平面平面ABC，且平面平面，平面，所以平面．又因為平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，故．（2）由（1）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，又因為，所以即．設(shè)平面ACM的一個法向量，則令，則．又因為，設(shè)直線AP與平面ACM所成角為，則，所以直線AP與平面ACM所成角的正弦值為．18.（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因為，解得：．（2）因為，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，