2024-2025學年北師大版九年級數學上冊壓軸題型專訓：圖形的相似50道（10大題型）解析版

圖形的相似50道壓軸題型專訓（10大題型）

旨【題型目錄】

題型一黃金分割壓軸題型

題型二平行線分線段成比例壓軸題

題型三相似多邊形壓軸題

題型四相似三角形的判定與性質綜合

題型五相似三角形的動點問題

題型六相似三角形的應用

題型七圖形的位似壓軸

題型八相似三角形的模型問題

題型九相似三角形的綜合

題型十相似三角形的新定義問題

二31經典例題一黃金分割壓軸題型】

A「D/~,

1.（2023?寧夏銀川?一模）如圖①，點C把線段42分成兩部分（/C>8C）,若告=受，那么稱點C為

ABAC

線段的黃金分割點.

類似的，可以定義“黃金分割線”：直線/把一個面積為S的圖形分成面積為岳和邑的兩部分（鳥>邑），如果

那么稱直線/為該圖形的黃金分割線.

JD.

①②③

（1）如圖②，在△/BC中，若點。是線段48的黃金分割點（3D>/。），線段CD所在直線是△ABC的黃金分

割線嗎？為什么？

（2）在（1）的條件下，如圖③，過點C作一條直線交AD邊于點E,過點。作。尸〃EC交△/BC的一邊于

點尸，連接收，交。于點G,回答問題.

①S@GSAEDG（填“>”“〈”或“=

②E尸是△4BC的黃金分割線嗎？為什么？

【答案】（1）線段8所在直線是A/BC的黃金分割線；理由見解析

（2）?=；②E尸是△ABC的黃金分割線，理由見解析

【分析】本題考查了相似形的綜合應用，解題關鍵在于讀懂題意，了解黃金分割線的定義.

（1）過點。作加于點點。是線段的黃金分割點，（8D>根據定義即可求解.

(2)@DF//EC,可知以遁=S^EFD?S^CFD-S&DGF=^EFD—/^DGF，即可求解;

②）由題意可知，S^BOC=S四邊形BEGC+S^EDG，再結合（1）即可求解.

【詳解】（1）解:線段CD所在直線是WBC的黃金分割線,

理由如下：如圖,過點C作功1加于點

??,點D是線段AB的黃金分割點,（BD>AD）,

-BD-CM-ADCM

.22

--11

-ABCM-BD-CM

22

：

即S^BDCS4ABe=S4Aoe：S^BDC,

.??線段CD所在直線是MBC的黃金分割線;

(2)解：①???DF//EC,

??^ACFD=S4￡FD，

-S4CFD-S4DGF~i^EFD-^DGF，

<?

即SACFG

故答案為:

②EF是IXABC的黃金分割線,

理由：由題意可知,

S^BDC=S四邊形BEGC+S4EDG,

■■e_c

?°ACFG-04EDG，

「S4BDC=S四邊形BEGC+^&EDG=S四邊形BE”,

同I理,S、ADC=SJEF,

由（1）知，S^BDC?S^ABC=S&ADC:$4BDC?

貝I有S四邊形BE”?S4ABC=S^AEF:S四邊形團（?

.?.EF是/\ABC的黃金分割線.

2.（23-24九年級上?江蘇連云港?期末）（1）在圖①中按下列步驟作圖：

IIII

ACAB

圖①圖②

第一步：過點C畫CCNC,使CD=g/C；

第二步：連接4D,以點。為圓心，0c的長為半徑畫弧，交AD于點、E；

第三步：以點N為圓心，4E的長為半徑畫弧，交NC于點8.

（2）在所畫圖中，點8是線段4c的黃金分割點嗎？為什么？

（3）如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個等腰三角形就叫做黃金三角形.請你在圖②

中以線段為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個黃金三角形/3C.（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】（1）見解析；（2）點5是線段/C的黃金分割點，理由解析；（3）見解析.

【分析】本題考查了黃金分割以及尺規(guī)作圖，理解黃金分割點是解題的關鍵.

（1）根據幾何語言畫出對應的幾何圖形；

（2）設NC=。,則DE=DC=\a,利用勾股定理得到AD=^-a,再得到AB=或二工利用黃金分割點的定

222

義可判斷點B是線段/C的黃金分割點；

（3）以8為圓心力廠長為半徑畫弧，以A為圓心，22長為半徑畫弧，交點為C,則△N5C即為所求.

：.DE=DC=-a,

2

：.AE=AD-DE=—a--a=^^a,

222

??AB-a,

2

即AB=^^~AC,

2

???點3是線段/C的黃金分割點.

（3）按（1）中作點￡的方法作點尸，以8為圓心/月長為半徑畫弧，以A為圓心，42長為半徑畫弧，交點為

C,則△NBC即為所求，如圖：

3.（22-23八年級下?浙江溫州?期中）根據以下素材，探索完成任務.

素

定義：如圖1,點G將線段4。分成兩部分，如果當=空，那么點G稱為線段4。的黃金分割點.

材

1

某興趣小組在進行研究性學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出黃金分割線的定義：

素

直線/將一個面積為S的圖形分成面積分別為E，邑的兩部分，如果1k=今，那么直線/稱為該圖形

材

2

的黃金分割線.

素平行四邊形是中心對稱圖形：在同一平面內，一個三角形繞其中一邊的中點旋轉180。，其余兩邊與旋

材轉后相對應的兩邊組成一個平行四邊形，例如，圖2中的△N3D繞2。的中點旋轉180。后與原三角形

3組成一個平行四邊形ABCD（如圖3）.

BgHe

"UuAGDAGD

圖1圖2圖3

問題解決

任問題1：如圖3,邊上黃金分割點G旋轉后的對稱點”是否也是8C邊上的黃金分割點？請寫出你

務的判斷結論，并說明理由.

1問題2：直線是不是四邊形/BCD的黃金分割線？請寫出你的判斷結論：______.

任

請在圖3探索：8c邊上是否存在點使得直線GW是四邊形/BCD的黃金分割線？如果存在，請

務

說明點M的位置；如果不存在，請說明理由.

2

任

興趣小組探索圖2時猜想：在△/AD中，若點G為AD邊上的黃金分割點，連接2G,則直線BG是

務

△NAD的黃金分割線，你認為對嗎？為什么？

3

任

興趣小組探索圖2時還發(fā)現：若點G是△/AD的邊ND的黃金分割點，過點8任意作一條直線交GZ)

務

于點E,再過點G作G尸〃BC交于點尸，則直線E尸是△450的黃金分割線，請你給出證明.

4

【答案】任務1：問題1：是，見解析；問題2：不是；任務2：存在，過點G作GM〃45交于點則

GM是四邊形的黃金分割線；任務3：對，見解析；任務4：見解析

【分析】任務1：問題1：由旋轉可得：CH=AG,BH=DG,AD=BC,又G為/。的黃金分割點，知

AGDG?CHBH

---=----,故----=---點H是BC上的黃金分割點;

DGADBHBC

問題2：根據C"="G,BH=DG,可得S四邊%IBHG=S四邊形CDGH，由黃金分割線的定乂可知直線GH不是四

邊形/BCD的黃金分割線,

任務2：

過點G作GM〃/3交8c于點M,則點M即為所求的點;

任務3：

由G是4D的黃金分割點，得怒=空，又沁AG?！鱒

DBG_Q^DBG，從而BG是三角

~DGVAD，故SDBGV

DGAD、ADBGABDQ“BD

形的黃金分割線;

任務4：

連接5G,由GF〃BE,得S^BGF=S&EGF'S.BEF~S.GEF'故S“BG=S"EF，二S四邊形，根據點G是

sss

△45。的邊/O的黃金分割點，可得甘蟠=產，即得"一直線石尸是的黃金

、4DBG、"BD，四邊形5Z組尸

分割線.

【詳解】解：任務1：

問題1

點”是5C的黃金分割點，理由如下：

由旋轉可得：CH=AG,BH=DG,AD=BC,

???G為4。的黃金分割點，

.AGDG

,?而一而‘

.CHBH

.??點”是5c上的黃金分割點；

問題2：

直線GH不是四邊形ABCD的黃金分割線，

理由：?;CH=AG,BH=DG,

在口/BCD中，BC//AD,

…S四邊形45HG=S四邊形CDG”，

°四邊形43HG=]土°四邊形CQG”

S四邊形CDGH

S四邊形43C。

???直線G"不是四邊形ABCD的黃金分割線，

故答案為：直線G"不是四邊形/5CQ的黃金分割線；

任務2：

5C邊上存在點用,使得直線GN是四邊形/5CD的黃金分割線，

過點G作GM〃AB交BC于點、M,則GM是四邊形ABCD的黃金分割線,

如圖：

BMHC

在口48cZ）中，BC//AD,

又?；GM〃AB,

四邊形ZBMG是平行四邊形,

又，；CD〃AB,

/.GM//CD,

1?四邊形COGW是平行四邊形,

???G為4。的黃金分割點,

AGDG

DGAD

Q四邊形Z8MG_0四邊形C0GM

則GM是四邊形480的黃金分割線,

點、M即為所求的點；

任務3：

正確，理由如下：

如圖：

是的黃金分割點,

AGDG

DG-AD

V

U"BGAGSDBG=DG

C法,

2ADBGSMBD4D

Vc

?△ABGQADBG

VV

n^DBG口“BD

BG是三角形ABD的黃金分割線;

任務4：

證明：連接5G,如圖:

-vc

…Q"BG=-U"EF'S^DBG=s四邊形瓦）即，

???點G是AABD的邊AD的黃金分割點,

.AGDG

,?而-

cc

.Q"BG_Q&DBG

3DBGQ"BD

.S“EF_S四邊形助印

S四邊形也乃戶S“BD

???直線EF是AABD的黃金分割線.

【點睛】本題考查黃金分割，涉及新定義，平行四邊形，中心對稱等知識，解題的關鍵是讀懂題意，理解

黃金分割點，黃金分割線的定義.

4.（2022九年級上?浙江?專題練習）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：

公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》系統地論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論

著.黃金分割（gHd"sa力5:）是指把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較

大部分的比值.

如圖①，在線段上找一個點C,。把/。分為4C和CZ）兩段，其中4。是較小的一段，如果

AC:CD=CD:AD,那么稱線段4。被。點黃金分割，點。叫做線段4。的黃金分割點，與CD的比值

叫做黃金分割數.

為簡單起見，^AD=l,CD=x,則ZC=1—x.

?；AC:CD=CD:AD,??....

任務：

(1)請根據上面的部分解題過程，求黃金分割數.

(2)如圖②，采用如下方法可以得到黃金分割點：

①設是已知線段，過點8作3。1/8且使2。=；/3；

②連接D4,在ZM上截取?！?/p>

③在48上截取/C=/￡；

則點C即為線段黃金分割點.你能說說其中的道理嗎？

(3)已知線段48=1,點C,。是線段48上的兩個黃金分割點，則線段CD的長是

【答案】(1)黃金分割數為'

(2)能，道理見解析

⑶回2

【分析】(1)設40=1,8=x,則/C=l-x.根據黃金分害U的定義，構建方程求出即可.

(2)設/2=2%，根據勾股定理求出/。=右加，再證明/C：C3=Y1二1即可.

2

(3)利用黃金分割的定義求出血,8C,再根據=+求解即可.

【詳解】(1)設ND=l,CD=x,貝|/C=l-x.

AC-.CD^CD.AD,

-CD1=AC-AD,

X2=1-X，

2

x>0,

V5-1

??X-

2

???CB:AB=

2

即黃金分割數為止匚

(2)能，道理如下:

設45=2次，則3D=冽，

BD1AB,

/.ZABD=90°,

???AD=y/AB2+BD2=7(2m)2+m2=有m,

???AE=AD-DE=y/~5m-m=(V5-l)m,

：.AC=AE=(45-l)m,

???心)3=(追-1)加=墾1,

2m2

???點。是線段的黃金分割點.

(3)如圖，設4B=1,C5=〃,/C=1—〃，

_____I______|______

ACDB

：AC:CB=CB:AB,

??.CB?=ACAB,

?.?n2=l1-w,

???〃〉0,

■■■CD=AD+BC-AB=45-2,

故答案為：V5-2.

【點睛】本題考查黃金分割，解題的關鍵是掌握黃金分割的定義，學會利用參數構建方程解決問題，屬于

中考常考題型.

5.(23-24八年級下?廣西南寧?階段練習)【背景知識】

寬與長的比等于避匚的矩形稱為黃金矩形.黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感.世界上很多著名建筑,

2

為了取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計，如希臘帕特農神廟等.

（1）經測量帕特農神廟的長約為30米，求它的寬度是多少米？（結果保留根號）

【實驗操作】

折一個黃金矩形

第一步：在矩形紙片的一端利用圖1的方法折出一個正方形MVCB,然后把紙片展平;

第二步：如圖2,將正方形折成兩個相等的矩形，再將其展平;

第三步：折出內側矩形的對角線并將4B折到圖3所示的/D處;

第四步：展平紙片，按照所得的點。折出。尸，得到矩形BCD尸（如圖4）.

ME_B__F

III

III

III

III

N'A'C'D

圖4

【問題思考】

（2）若的長為2,請證明：矩形BCDF是黃金矩形；

（3）在（2）的條件下，以圖3中的折痕為邊，構造黃金矩形，直接寫出這個矩形的面積.

【答案】（1）1575-15（米）；（2）見詳解；（3）4石或66+10.

【分析】（1）由題意得帕特農神廟寬的與長的比等于叵口，已知長為30,則可以求出寬.

2

（2）若的長為2,由折紙的過程可知NC=2,EA=BC=2,AC=；NC=\.求得"=布,則

AD=E則可得進而可求得02=@二L即可得證.

BC2

（3）分為黃金矩形的長和黃金矩形的寬，兩種情況，進行討論求解即可.

本題考查黃金分割，掌握黃金矩形的定義，是解題的關鍵.

【詳解】（1）由題意得帕特農神廟寬與長的比等于苴二1,

2

它的寬為：30x^^=1575-15(米).

2

(2)證明：,:MN=2,

由題意得NC=2,EA=BC=2,AC――NC—1,

2

AB=y)AC2+BC2=Vl2+22=也，

■1-AD=AB=>/5,

：.CD=AD-AC^4S-\,

,CD45-1

..---=-----,

BC2

??.矩形BCD尸是黃金矩形.

(3)由折疊的性質可得/以。=/。40,

又???BQ〃AD,

ABQA=ADAQ,

ABAQ=NBQA

BQ=BA=V5,

又?；EB=AC=1,

/.EQ=-\/5+1,

:.AQ=^AE2+EQ2=?+(6+1)2=710+275.

當為黃金矩形的長時，則寬為與1■40,

貝！1面積為^==存工(10+2后)=46.

當為黃金矩形的寬時，則長為叵1一2

2

貝!1面積為/03^/0=斗^/02=3^x(10+26)=66+10.

綜上，矩形的面積為：4石或6石+10.

「31經典例題二平行線分線段成比例壓軸題】

6.（24-25九年級上?黑龍江哈爾濱?開學考試）如圖，在中，ZABC=90°,

//C8=a"<a<45。）.將線段C/繞點C順時針旋轉90。得到線段CD,過點。作DEL5C,垂足為E.

（圖1）（圖2）（圖3）

（1）如圖1,求證："BC三ACED.

（2）如圖2,44co的平分線與的延長線相交于點尸，連接。尸，。尸的延長線與C8的延長線相交于點

P,猜想PC與的數量關系，并加以證明.

（3）如圖3,在（2）的條件下，將沿4尸折疊，在a變化過程中，當點尸落在點E的位置時，連接

EF.若CD=20,求△CEF的面積.

【答案】（1）見詳解

Q）PC=PD,見解析

（3）30

【分析】（1）利用“AAS”即可證明；

（2）可知//=90°-a,證明A/C尸也ADCF,則/CDE=//=90°-a,可得Z8CD=90°-a,貝U

ZBCD=ZCDF,故尸C=PO；

（3）翻折得=根據等角的余角相等得到=故FE=FD,則尸P=ED,即點/是尸。

中點；過點尸作FA/〃C尸交CD于點“，連接EW,設CE=m,DE=CB=n,貝l|BE=C3-CE=〃-小，

由翻折得尸3=BE="-加，故PE=2n-2m,因此尸C=2〃-加=尸。，在Rt△尸。E中，由勾股定理得：

（2?-m）2=（2n-2,H）2+n2,解得:〃=3加或"=加（舍，此時a=45。），在RtZsCDE中，由勾股定理得:

機2+（3加『=20"解得：/=40,則28￡=］?！??！?：機2=60,由皈〃2。，得到器=器=1，

22PrCM

SMEM=S&CEF，即可得出結果.

【詳解】（1）證明：如圖,

由題意得，CA=CD,/ACD=90。，

.-.Zl+Z2=90°

,；DEIBC,

ZDEC=90°,

/.Zl+ZD=90°,

Z2=ZZ),

vZASC=90°f

NB=/DEC,

.-.△^C^ACED(AAS)；

(2)猜想：PC=PD

證明：???/ZBC=90。，ZACB=a

：.ZA=90°-a,

???C產平分N/O

??.ZACF=/DCF,

?；CA=CD,CF=CF,

.-.△^CF^ADCF(SAS),

：.ZCDF=ZA=90°-a,

???N/CQ=90。，ZACB=a,

ZBCD=90°-a,

??./BCD=NCDF,

PC=PD；

(3)解：由題意得"=

??.ZP=ZFEP,

???ZDEC=90°,

.?.APED=90°,

/.ZP+ZFDE=90°,/FEP+/FED=9。。,

???/FED=NFDE,

；.FE=FD,

；?FP=FD,即點尸是尸Q中點;

過點尸作同欣〃。尸交于點連接EM,

???LABCdCED,

；.DE=CB,

設CE=m,DE=CB=n,

BE=CB-CE=n-m,

由翻折得PB=BE=n-m,

PE=2n-2m,

.?.PC=PE+CE=2n—m=PD,

在Rt△尸DE中，由勾股定理得：（2〃—加『=（2〃—2加『+",

整理得,3m2-4mn+n2=0,

解得：〃=3加或〃=加（舍，此時。=45。），

在Rt^COE中，由勾股定理得：m2+（3m）2=202,

解得：加之=40,

113

：?=—CE?DE=—mx.3m=—m2=60,

△3222

???FM//BC,

DFDM

?*~—1''△CEM—'△CM，

PFCM

.?.點M為CD中點，

,'1S&CEM=5S&CED=3°，

SXCEF=30.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，翻折的性質，勾股定理解三角形，平

行線分線段成比例定理，正確添加輔助線是解題的關鍵.

7.（22-23九年級下?遼寧盤錦?開學考試）（1）如圖1,E是正方形48。邊48上的一點，連接2D、DE,

將NADE繞點。逆時針旋轉90。，旋轉后角的兩邊分別與射線2c交于點尸和點G.

①線段DB和DG的數量關系是二

②線段8E,8戶和。3之間的數量關系是

（2）當四邊形/BCD為菱形，/4DC=60。，點E是菱形48CD邊所在直線上的一點，連接BO、DE,

將NADE繞點。逆時針旋轉120。，旋轉后角的兩邊分別與射線3c交于點尸和點G.

①如圖2,點E在線段上時，請?zhí)骄烤€段BE、郎和5。之間的數量關系，寫出結論并給出證明；

②如圖3,點E在線段N3的延長線上時，DE交射線3C于點若BE=1,AB=2,直接寫出線段GM

的長度.

【答案】（1）①DB=DG；@BF+BE^41BD-（2）@BF+BE=y[3BD,見解析；②了

【分析】（1）①根據旋轉的性質解答即可；

②根據正方形的性質和全等三角形的判定和性質解答即可；

（2）①根據菱形的性質和全等三角形的判定和性質解答即可；

②作輔助線，計算5。和即的長，根據平行線分線段成比例定理可得期的長，根據線段的差可得結論.

【詳解】解：（1）①DB=DG,理由是：

-.?NDBE繞點5逆時針旋轉90°,如圖1,

?.?四邊形488是正方形,

ZCBD=45°，

，NG=45。，

/G=NCBD=45°,

DB=DG；

故答案為：DB=DG；

②BF+BE=?BD，理由如下：

由①知：ZFDG=ZEDB,ZG=Z.DBE=45°,BD=DG,

陽G絲AEQB(ASA),

BE=FG,

:.BF+FG=BF+BE^BC+CG,

RtZXDCG中，?.?/G=NCDG=45°,

CD=CG=CB,

■：DG=BD=42BC，

即BF+BE=2BC=41BD：

(2)①如圖2,BF+BE=y/3BD,

理由如下：在菱形中，AADB=ZCDB=-ZADC=1x60°=30°,

22

由旋轉120°得ZEDF=ZBDG=120°,ZEDB=ZFDG,

在△Z)8G中，ZG=180o-120°-30o=30°,

:.ZDBG^ZG=30°,

DB=DG,

:△EDBOFDGg*,

:.BE=FG,

:.BF+BE=BF+FG=BG,

過點。作。MLBG于點N,如圖2,

G

BG=2BM,

在Rt△即〃）中，ZDBM=30°,

BD=2DM.

設DM=a,貝I]BD=2a,

BM=，

BG=2yl3a,

BD_2a_1

BG2y[3ay/3'

/.BG=CBD,

:.BF+BE=BG=6BD；

②過點A作于N,過。作。尸，BG于P,如圖3,

G

Rt^ABN中，/ABN=30。，AB=2,

AN=1,BN=6

:.BD=2BN=2y/3,

???DC//BE,

.CDCM_2

一左一俞一T'

,：CM+BM=2,

BM=—,

3

RSB?！钢校琙DBP=30°,BD=26,

BP=3,

由旋轉得：BD=DF,

:.BF=2BP=6,

219

GM=BG-BM=6+1——=—.

33

【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理，正方形

和菱形的性質，直角三角形30度的角性質等知識，本題證明△戶DG2△ADE是解本題的關鍵.

8.(23-24八年級下?江蘇南京,期末)定理：三角形內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應

成比例.

圖1圖2圖3

(1)探究說理

BDAB

如圖1,已知△4BC中,4D平分N2/C,求證:~CD~~AC

請根據提示完成證明.

BD

證明:顯然^-

Q*ArnCD

作DE/4B于點E,DFJ.AC于點、F,...

(2)問題解決

①如圖2,已知正方形ABCD的邊長為1,E為48邊上的一點，ZADE=^ZADC,求4E的長.

②如圖3,在矩形中，4E平分NBAC,將NE沿直線E尸折疊，使點/落在邊4D上的點4處，

分別交/C于點G、H,若GH=2,HC=8,則5E=_.

【答案】(1)見解析

⑵①/￡=拒-1;②苧

【分析】此題考查了角平分線的性質、平行線分線段成比例定理、正方形的性質、矩形的折疊等知識，熟

練掌握相關判定和性質是解題的關鍵.

(1)由底不等高相等的三角形可得沁=等，作。E1N8于點￡,。尸/4C于點尸，由角平分線性質得

到。E=Q尸，由三角形面積公式可得不一=丁，即可得到結論;

AV)

(2)①連接50,求出血，證明。E平分NZQ5,由(1)的結論可知，—=代入數值即可

BDEB

7ACLAJ-T7Arz?7

得到答案；②推導出個=y四邊形/尸的是矩形，則筆=烏「,□=BE,求出4G=H，得

GCrzC10o

至IJ/G=EG=W,由勾股定理求出。￡=型亞，由BE:EC=4尸：EC=4G:

=1:3即可得到答案.

33

CDTy

【詳解】（1）證明：顯然產=而，

?AACD

作DEJ.AB于點E,DF人AC于點、F,

?*-DE=DF,

,:S*=g4B?DE,S》D=；AC,DF,

c-AB-DE/o

、AABD2AB

SMDLAC-DFAC

2

BDAB

,?五一就；

(2)①如圖2,連接50,

??,四邊形ABCD是正方形，

AB=AD=1,Z^=ZADC=90°,AB〃CD,

???BD=dAB?+AD?=V2，24BD=NADB=45°，

vAB//CD,

??./ABD=ZCDB=45。，

/./ADB=ZCDB=-ZADC,

2

?.?NADE=L/ADC

4

.-.ZADE=-ZADB,

2

即DE平分N4D8,

./、s一人一jADAE

由（1）的結論可知，—,

BDEB

1_AE

l-AE?

解得4E=行-1

②???四邊形/BCD是矩形，

AD//BC,NB4C=NB=90°,

AFAGAA'AH

"~EC~~GC，^C~1K'

由折疊可知，AA'=2AF,E尸垂直平分44',

2AFAAr

------=—,EF//AB//CD,ABAC=AB=ZAFE=90°,

ECEC

74GAH

,四邊形4尸仍是矩形，

GCHC

2AGAG+2

,AF=BE,

解得/G=g

???AE平分NBAC,

/.NBAE=/CAE,

?：EF〃AB,

/BAE=/AEG,

/AEG=/C4E,

20V2

CE=y/CG2-GE2=

3

；,BE:EC=AF:EC=AG:CG=1:3,

故答案為：型交

9

9.（23-24九年級上?吉林長春?開學考試）如圖①，在正方形/5S中，AB=4.點尸從點。出發(fā)，沿折

線。以每秒2個單位長度的速度向點5運動，同時點。從點5出發(fā)，沿5C以每秒1個單位長度的

速度向點C運動.點尸關于直線。8的對稱點P,當點尸不與點。、2重合時，連結尸P、P'Q、PQ.設

點尸的運動時間為/秒.

圖①圖②

(1)當尸。〃/3時，求f的值；

(2)當點口與點0重合時，求才的值；

(3)當尸'。=1時，/的值為」

(4)如圖②，點￡為尸。中點，連接PE,當PE與正方形/BCD的邊平行時，則1的值為一

4

【答案】⑴]

⑵I

7

⑶1或3

(4)1咤

【分析】(1)由題意知，DP=2t,則/尸=4-2/,證明四邊形/PQ3是平行四邊形，則/P=B。，即

4-2t=t,計算求解即可；

(2)由點尸關于直線D8的對稱點P,可知8。垂直平分尸P,當點尸'與點。重合時，由題意知，P在BC

上，如圖1,則尸在48上，PB=BQ,即8-2/=人計算求解即可；

(3)由題意知，當尸'0=1時，分P在CD上，P在2c上兩種情況求解；當P在。上，0<?<2,如圖

2,由垂直平分線的性質可得，DP'=DP=2t,即4-2乙由勾股定理得，P'Q2=DP'2+CQ2,即

22=(2Z)2+(4-?)2,整理得，5/-8/+12=0,由△=(-8)2-4X5X12=-176<0,可知方程無解，此情況不

成立；當P在5c上，2<t<4,分P在。上方，P在。下方兩種情況求解；當P在。上方，如圖3,同

理，PB=BP'=BQ+P'Q,即8-2/—+1,計算求解即可；當尸'在。下方時，如圖4,同理，

PB=BP'=BQ-P'Q,即8-2=/-1,計算求解即可；

(4)由題意知，分P在C。上，尸'在2C上分兩種情況求解；當P在C。上時，PE//AD,如圖5,過E

作MN〃CD交AD于M,交BC于N,則四邊形CDMN是矩形，證明AME尸會ANEQ(AAS),則

==證明四邊形的是矩形，貝UDP=Affi=ga)=2,即2/=2,計算求解即可；當P在BC

上時，P'E//BC,如圖6,則然=器=1,即QP=8P,則8。=28P=8尸，即:8-2t,計算求解即可.

BPPE

【詳解】(1)解：由題意知，DP=2t,

:/尸=4一2/,

?.,正方形48cD,

:.AD//CB,44=90°,

yC-.-PQ/ZAB,

???四邊形NP0B是平行四邊形,

:.AP=BQ,即4-2仁人

4

解得，t

3

■■-t的值為］4；

(2)解：?.?點尸關于直線的對稱點P,

.?.BO垂直平分PP,

當點P與點。重合時，由題意知，P在3c上，如圖1,則尸在48上,

PB=BQ,

?*-8—2r=t,

Q

解得，

."的值為

(3)解：由題意知，當尸'。=1時，分口在8上，尸，在3c上兩種情況求解;

當P在CD上，0<t<2,如圖2,

圖2

由垂直平分線的性質可得，DP'=DP=2t,

*e*4—2t,

由題意知，。。=4一，

由勾股定理得，P'Q2^DP'2+CQ2,即整理得，5產一8/+12=0,

.-.A=(-8)2-4x5x12=-176<0,

方程無解，此情況不成立;

當P在BC上，2<t<4,分P在。上方，尸'在。下方兩種情況求解;

當尸’在。上方，如圖3,

圖3

即8-2=+1,

7

解得，，=§;

當尸’在。下方時，如圖4,

圖4

即8-—1,

解得，￡=3；

綜上所述，%的值為（7或3；

7

故答案為：§或3；

(4)解：由題意知，分P在C。上，P在2C上分兩種情況求解;

當尸，在8上時，PE//AD,如圖5,過E作跖V〃CD交/。于M,交BC于N,則四邊形CZMW是矩形,

圖5

=NENQ,

又,：ZMEP=ZNEQ,PE=QE,

.-.^MEP^NEQ(AAS),

：.ME=NE=-CD,

2

■.-P'E//AD,ME//CD,

.??四邊形DMEP'是平行四邊形,

又???ZEMP=90°,

.??四邊形DMEP是矩形，

.-.DP'=ME=-CD=2,

2

2t=2,

解得，f=1;

當P在BC上時，P'E//BC,如圖6,

：.BQ=2BP'=BP,即f=8-2f,

o

解得，

綜上所述，f的值為1或I;

故答案為：1或5.

【點睛】本題考查了正方形的性質，軸對稱的性質、垂直平分線的性質，勾股定理、全等三角形的判定與

性質，矩形的判定與性質、平行線分線段成比例，是四邊形的綜合題.理解題意找到題目中的數量關系，

并分情況求解是解題的關鍵.

10.（2024?安徽合肥?一模）四邊形48CD的兩條對角線/C,3。相交于點。，4840=90。.

(1)如圖1,已知4C=C〃.

①求證：NACD=2/BAC；

-++-℃24

②右了方求防O的B值,,..;

AT

(2)如圖2,若/BCD=9。。,AB=AD,CD=3BC,求——的值.

BD

【答案】（1）①見解析；②g

（2）言

【分析】（1）過C作于交8。于N,①根據平行線的判定得出和CM平行，再根據等腰

三角形的性質即可求解；②根據平行線分線段成比例，求出05和ON的比，再根據中位線定理得出配和

的關系，從而得解;

（2）延長CD到￡,使得DE=3C,連接/E,根據三角形全等得出/￡=/C,從而求得ZC和3c的關系,

再根據勾股定理求出8。和的關系，從而得解.

【詳解】（1）解：過C作CN_L4D于交,BD干N,如圖：

A

M

①證明：設N/CQ=〃,

?/AC=CD,

ZACD=2ZACM,

?/ADLAB,ADVCM,

/.AB//CM,

ZACM=ABAC,

NACD=2ZBAD；

②解：-AB//CM,〃為40中點,

BN=DN,

OC2

OA5

ON2

OB5

OB5

OD9

(2)解：延長S至E,使得DE=BC,連接/石，如圖:

A

E；/BAD=9。。,AB=AD,

c

/ABD=/ADB=45°,

???ZBDE=/ADE+ZADB=/BCD+NCBD,

:.ZADE=45°+ZCBDf

又?「/ABC=/ABD+ZCBD=45°+ZCBD,

.../ADE=/ABC.

在△/5C和石中，

AB=AD

</ABC=/ADE,

BC=DE

.△ABC=^ADE（SAS）,

:.AE=AC,ZDAE=ABAC,

vZBAD=90°,

/CAE=90。,

.?.△4CE為等腰直角三角形，

：.CE=4IAC即，BC+CD=CE=6AC,

?：CD=3BC,

ABC=?AC,

AC=2gBC.

在直角△BCD中.BD=ABC,

.AC2V5

??--=---.

BD5

【點睛】本題主要考查了相似形綜合題，合理運用全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、

勾股定理以及等腰直角三角形的判定與性質是本題解題的關鍵.

-31經典例題三相似多邊形壓軸題】

11.（23-24九年級上?江蘇南京?階段練習）形狀相同（即長與寬之比相等）的矩形是相似矩形，已知一個矩

形長為,寬為1.

（圖1）（圖3）

一分為二

（1）如圖1,將矩形分割為一個正方形（陰影部分）和小矩形，小矩形恰與原矩形相似，則”的值為

（2）如圖2,將矩形分割為兩個矩形，使每個小矩形均與原矩形相似，則“的值為.

一分為多

（3）有同學說“無論。為何值，該矩形總可以分割為幾個小矩形，這幾個小矩形都與原矩形相似”，你同意

這個說法嗎？若同意，在圖3中畫出一種可行的分割方案；若不同意，舉出反例.

一分為三

（4）將矩形分割為三個矩形，使每個小矩形均與原矩形相似.畫出所有可能的分割方案的示意圖，并在每

個示意圖下方直接寫出對應的。的值.

【答案】（1）叵*；（2）日（3）同意，見解析；（4）見詳解

2

【分析】（1）先求得小長方形的長和寬，再根據小矩形與原矩形長寬比相等列方程求解即可；

（2）由小矩形的長以及長寬比求得小矩形的寬，再根據兩個小矩形的寬之和為。列方程求解即可；

（3）通過連接矩形的四條邊的中點可將矩形分為4個一樣的小矩形，再求小矩形的長寬比便可驗證；

（4）分四種情況：①沿原矩形的長3等分為三個矩形，②先將矩形分割為兩個小矩形，再將右邊矩形兩等

分使寬都為g，③先將矩形分割為兩個小矩形，再將右邊矩形兩等分使長都為g,④先將矩形分割為兩個

小矩形，再將右邊矩形分割為兩個小矩形使兩個矩形的長與寬的和為1;根據相似矩形的長寬比，利用原矩

形的長和寬建立方程求解即可；

【詳解】解：（1）由圖可知陰影正方形的邊長為1,

???小長方形的寬為長為1，

???小矩形與原矩形相似，

CL—C1—1=0,

解得：0=31或0=匕，1（邊長不能為負舍去）,

（2）???兩小矩形的長都為1,且與原矩形的長寬比相同,

--1---d,

aa

解得：a=6或a=（舍去）,

?*-a=V2;

（3）同意，如下圖連接矩形的四條邊的中點，將矩形分為4個小矩形,

四個小矩形的長和寬都為5和;，長寬比為■!：；=0：i與原矩形長寬比相同;

（4）共有四種情況：

①如下圖沿原矩形的長3等分，

小矩形和原矩形的長寬比都為a,

小矩形的長為1,則寬為1，

a

111

—I---1—=a,

aaa

???a