2024-2025學(xué)年北京市高二年級上冊統(tǒng)練三數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市高二上學(xué)期統(tǒng)練三數(shù)學(xué)檢測試題

一、單選題（本大題共10小題）

1.直線乂+島+2=°的傾斜角是（）

A.30。B.60。C.120°D.150。

2.已知直線/的方向向量"=（一2/）且過點"（T，-2）,貝!p的方程為（）

A2x+y+4=0B2x—y=0

Cx+2）+5=0D%—2y—3=0

3.過點,（3,5）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）

Ax—y+2=0Bx+y—8=0

C5x-3y=0或x+y-8=0p5x-3y=0或x-y+2=0

4.下列說法中正確的有（）

A.若兩直線平行，則兩直線的斜率相等

B.若兩直線的斜率相等，則兩直線平行

C.若兩直線的斜率乘積等于T,則兩直線垂直

D.若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于-1

5.兩平行直線加-2=0與4彳-6了-7=0之間的距離為（）

V13V133屈5屈

A.26B.13C.26D.26

6.己知直線/1：辦+了+1=°與直線即一1=°,貝是“九〃小，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.己知一條光線從點（4°）發(fā)出被直線x+〉-l°=°反射，若反射光線過點（°」），則反

射光線所在的直線方程為（）

Ax—2〉+2=0B3x—2jv+2=0Q2X—3y+3=0D2x—y+l=0

8.已知圓初經(jīng)過尸°』），°（一7,一5）兩點，且圓心M在直線/：》-2了-1=0,則圓加的

標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.6-2）"一3）2=5B.&-3）2+5一4）2=13

22

C（X+3）+（V+2）=25D（X+3）2+（一）2=25

兀

9.如圖，二面角a->6的大小為3,棱/上有42兩點，線段/Cue,ACLI,

BDu0,BDLl若4c=3,BD=4,8=7,則線段的長為（）

C.7D.8

10.若直線去一〉一3左+2=°與直線x+如-2左-1=°交于點尸，則P到坐標(biāo)原點距離的最

大值為（）

A.20B,2^2+1c.2GD.26+1

二、填空題（本大題共5小題）

11.已知直線機(jī)：（a+2）x+ay+3=0,n:ax+2y-4=0；若加J_“，則實數(shù).=.

12.已知點工（2,1），8（3,-2）,若直線/：N="（XT）與線段N8相交，則直線1的傾斜角的

取值范圍是.

13.已知直線小、回x+y-2=°與直線/2：2&x-y-4=°交于點人，過點A且與直線

4：2x-4y+正=°平行的直線方程為

14.已知實數(shù)網(wǎng),々,必,%滿足x；+y；=4,x：=4,%工2+“%=2,則

卜+乂-2|+反+%-2|的最大值為

15.已知正方體/BCD-4與G2的棱長為2,E為C。的中點，點尸在正方體的表面上

運動，且滿足平面44f平面8區(qū)E.給出下列四個結(jié)論：

①-4P的面積的最大值為石；

②滿足使“4°的面積為2的點尸有且只有4個；

③點P可以是C。的中點；

④線段/P的最大值為3.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

DiC.

三、解答題(本大題共4小題)

16.已知VABC的頂點為，02),8(6,4),C(4,0).

(1)求邊4c的垂直平分線的一般式方程；

(2)求VN8C的外接圓的方程.

17.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形,

AB=2AD=2EF=4,AE=DE=也

(1)求證：4B//EF.

(2)從下面三個條件中選擇一個作為已知，使五面體ABCDEF存在.求直線AE與平

面BCF所成角的正弦值.

條件①：平面CZ)E/，平面/3CD,

條件②：平面平面48。，

條件③

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個條件分別解答，按第一個解

答計分.

,,(1,<2)|<2>—]

18.如圖，設(shè)直線4：x=°,d3x-4y=0.點A的坐標(biāo)為I*過點A的直

線1的斜率為k,且與4,‘2分別交于點M,N(/，N的縱坐標(biāo)均為正數(shù))-

111

(2)是否存在實數(shù)a,使得依朋1的值與k無關(guān)？若存在，求出所有這樣的實數(shù)

a；若不存在，說明理由.

19.已知集合戶的元素個數(shù)為'("€"*)且元素均為正整數(shù)，若能夠?qū)⒓螾分成元素

個數(shù)相同且兩兩沒有公共元素的三個集合A、B、C,即P=/口8。0,/口8=0,

4cC=0,5HC=0；其中/={%，%，…,。“},8=也也，…也},C={C1,c2,---,c?)；且

滿足％<C2<-YC",%+4=Cj左=1、2、L、〃，則稱集合尸為“完美集合”.

(1)若集合尸={123},0={1,234,5,6},判斷集合P和集合°是否為“完美集合”？

并說明理由；

(2)已知集合尸={S34,5,6}為“完美集合力求正整數(shù)x的值；

(3)設(shè)集合p=M"x"3〃,〃eN*},證明：集合尸為“完美集合”的一個必要條件是

〃=4左或"=4左+l,eN*)

答案

1.【正確答案】D

V3273

x+A/3V+2=0=y=---------X------------

［詳解】33

tan…且。。

設(shè)其傾斜角為a，則3,又°<?<180,

則a=150。,即傾斜角為150°,

故選：D

2.【正確答案】A

【詳解】由題意知直線/的方向向量是式=（一2,4）,可得其斜率為一2,

所以直線/的方程為了+2=-26+1）,即2x+y+4=0.

故選.A

3.【正確答案】D

【詳解】當(dāng)直線過原點時在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0,滿足題意，

5-05

又因為直線過點“@5）,所以直線的斜率為3^0~3,

所以直線方程為刀=5x,即5x-3y=0,

當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為a-a~,因為點/GA）在直線上，

所以。，解得。=-2,所以直線方程為無-V+2=°,

故所求直線方程為5、-32或無-y+2=°.

故選：D.

4.【正確答案】C

【詳解】對于A,兩直線平行，可以是斜率都不存在，所以A錯誤；

對于B,若兩直線的斜率相等，則兩直線平行或重合，所以B錯誤；

對于C,若兩直線的斜率乘積等于T,則兩直線垂直，故C正確；

對于D,若兩直線垂直，可能是一條直線斜率為0,另一條直線斜率不存在，則不是

兩直線的斜率乘積等于T,故D錯誤；

故選：C

5.【正確答案】C

m-3-2

—=—*—

【詳解】由題意知4-6-7,所以機(jī)=2,

/久7a2x—3y=0

貝產(chǎn)x-6廣7=°化為-2

3V13

所以兩平行直線2=°與4x-6y-7=°之間的距離為匯+㈠了26.

故選：C.

6.【正確答案】C

【詳解】當(dāng)。=1時，直線4：龍+>1=°與直線4：x+yT=o的斜率均為-1,所以4〃4,

充分性成立；

a

當(dāng)4〃72時，awO,由a解得a=±l,

又當(dāng)a=_]時/1'-x-y-l=0與4：x_）T=0重合

所以。=1,必要性成立，

故“a=l”是的充要條件，

故選：C

7.【正確答案】A

【詳解】設(shè)點G°）關(guān)于直線、+>一1°=°的對稱點為（。力），則L-4一1,解得

a=10

b=6

v—_____1+]

因此反射光線所在直線過點（1°，6）,方程為-10-0,即》-2了+2=0

故選：A

8.【正確答案】C

【詳解】設(shè)圓心為“（2加+1"）,

由題意得,即J（2-+l-iy+（加-1）2=J（2TM+1+7）2+3+5）2,

解得m=-2,故圓心"（T-2）,

故圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為6+3）2+3+2）一=25

故選：C

9.【正確答案】B

71

【詳解】：二面角］一/一"的大小為3,ACLl,BDLI,

.AC,BD=-U,RD=—

由題意得，CD=CA+AB+BD,

---2z-----?-------\2----->2----->2-------2-----------?-----<------------?-----?

CD=^A+AB+BDj^CA+AB+BD+2CA-AB+2CA-BD+2ABBD

I-----n22TT

49=9+45+16+0+2x3x4xcosFO

??3,

：\AB\=6,即線段NB的長為6.

故選：B.

10.【正確答案】B

【詳解】因為h1+（一1）后=°,所以兩直線垂直，

又直線區(qū)--3左+2=0過定點出3,2）,直線x+劃一2"1=°過定點8（1,2）,

所以尸N_LP8,

故交點尸的軌跡是以為直徑的圓C（挖去點/G，2））,

如圖所示，其中圓心。（2乂），半徑為1,

所以線段3的最大值為1℃|+1=20+1.

故選：B.

11.【正確答案】°或-4

［詳解】直線機(jī)：（"+2）”+即+3=°,n:ax+2y-4=0由加_L〃，得。（。+2）+2。=0

所以。=。或。=T.

故°或一4

兀3兀）

0,—U—,71

12.【正確答案】L4JL4）

【詳解】直線》y=Hx-i）過定點尸。,0）,

如圖，要使直線/：y=Mx-D與線段ZB相交,

則直線1的的斜率左應(yīng)滿足-14左41,

八兀3兀

0,—D---,71

所以直線1的傾斜角的取值范圍是L4」L4

兀［「3兀）

0,iD---,71

故答案為：L4」14

13.［正確答案］2x-4y-25/2=0

【詳解】設(shè)與直線％：21歹+應(yīng)=0平行的直線方程為2x-4y+t=0（t^V2）^

直線4與直線4交點

將3,°）代入2x-4y+f=0

得2y/2-4x0+t=0故t=-2V2,

則滿足題意的直線方程為.2x-4y-20=°

故2x4y—2V2—0

14.【正確答案】4+2巫

【詳解】設(shè)"（外為），/外為），

因為x；+"=4,考+只=4,所以A、8為圓/+V=4上的兩點如圖:

又無好2+%％=2,所以O(shè)A-OB=2x2xcosZAOB=2ZAOB=60°,

取45中點M,則3|=百.

作直線/：x+y_2=o,作/4'/,BBJI,MN±l,OHU,垂足分別為4,A

N,H,

所以|幽+|㈣=2|MV|<2（OM+|O叫）

又|。叫卷=也所以陷|+|陽歸2笛+亞）

卜+%-2|/々+%-2|<?/片4萬、

所以h+M-2|+卜+%-2區(qū)2行即+收）=4+2"

故4+2指

15.【正確答案】①④

［詳解］取2c4G的中點為H，G,連接AH,GAVGH,

因為￡為。的中點，所以8H=CE,NABH=NECB,AB=BC,

所以A4BH*BCE,所以ZEBC=ZHAB,又ZAHB+AHAB=90°,

所以//HS+/E8C=90。，所以4H■，匹，

又44J平面/BC。，又EBu平面4BCD,所以“4，股，

又/4仆/〃=4,44］,///u平面44。"，所以8E_L平面，

BBE

BEu平面i,所以平面N4G“，平面BB、E,又平面AAXP1平面BB、E,

所以尸的軌跡為線段AH,HG，AG,

對于①，由圖可知，當(dāng)尸在G”上時，此時三角形"4尸面積最大，

因為AHJBLBHJM+I2=*,所以面積的最大值為2MX^=2X2X^

故①正確；

對于②，由圖可知，當(dāng)/P=l或4尸=1時，△/吊尸的面積為2,

所以滿足使的面積為2的點尸有且只有2個，故②錯誤；

對于③，由圖易知，點尸不可能在線段0G上，所以點P不可能是CG的中點，故③錯

誤；

對于④，由圖易知，當(dāng)尸與G重合時，此時/P長度最大，最大值為

AP=U*HGy@—,故④正確.

故①④.

16.【正確答案】62》一"3=0

⑵(x-3)2+(y_3)2=io

定+4,2+0]

【詳解】⑴設(shè)NC中點為。，所以12'2人即"(2』),

,0-21

=----二—

由題意得4-02,所以邊ZC上高的斜率為2,

又因為我的垂直平分線過點"(2/)，

所以"C的垂直平分線的方程為：了-1=2G-2),即2x-y-3=0.

(2)設(shè)VN2C的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0

2E+b+4=0,D=—6

<6D+4E+尸+52=0<E——2

將A,B,C三點坐標(biāo)代入上式得〔4。+尸+16=0,,解得仍=8

所以圓M的方程為/+/-6》-6了+8=0,即(X-3)2+(^-3)2=10.

17.【正確答案】(1)證明見解析；

(2)見解析.

【分析】(1)根據(jù)題意可得ABIICD,利用線面平行判定定理證明N8//平面C￡>皮"

結(jié)合圖形即可證明ABHEF.

(2)選擇①，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得線面垂直，進(jìn)而可判斷線線垂直，進(jìn)而判斷五面

體不存在，若選擇②③，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即

可求出線面角的正弦值.

【詳解】(1)證明：因為四邊形/8CO為矩形，所以AB//CD,

又AB9平面CDEF,CDu平面CDEF,

所以N2//平面CDEF,

又平面ABEFc平面CDEF=EF,4gU平面ABEF,

所以/8//EJ

(2)若選條件①：平面CZ)E尸,平面/BCD,

則平面CDE產(chǎn)n平面/BCD=CD,ADVCDt40匚平面48。。,

所以4DL平面CDEF,￡DU平面COM，所以ADVED,

但是NE=D￡=e，因此NDJ_ED不可能，所以選擇條件①的五面體不存在,

若選擇條件②：平面如由，平面/8C。，

取的中點°,8C的中點M,連接°￡,OM,

則OM1AD,由/￡=Z)E=0，得OE_L，且OE=1,

因為平面/DE，平面48c。，平面4DEn平面/8CD=/。，OEu平面4DE,

所以平面/BCD,由(Wu平面48CD,得OE_L(W,

建立如圖空間直角坐標(biāo)系0-x》z,

6?(0,0,0)川,0,0)8(1,4,0)Cj1,4,0)￡(0,0,1)尸(0,2,1),

則近=(-1,0,1),，=(-2,0,0),麗=(-1,-2,1),

設(shè)萬=(x,y,z)為平面8C尸的一個法向量，

?-5C=-2x=0

<

貝?［萬.8k=_x_2y+z=0,令'=1,得x=0,z=2,所以元=(°，L2),

向〈瓦語上抽=熹=半，

sina=---

設(shè)直線/E與平面2c尸所成角為?,則5

Vio

所以直線NE與平面8c廠所成角的正弦值為5.

?.b....\..*/

v...........\7M

若選擇條件③：CDLAE,

由于CD1AE,CD1AD,4DcAE=A,AD,u平面AED,

所以CO,平面CQu平面Z5CQ,所以平面ZOE_L平面Z3CQ,

以下如選擇條件②相同.

18.【正確答案】(1)5；(2)存在；”2.

【分析】(1)利用直線的點斜式方程直線1的方程，再利用兩條直線的交點坐標(biāo)得

N(4.一4。左<3

M(0,"明口(4"3’4"3l再結(jié)合題目條件得<4,當(dāng)。=1時，得直線0A

的方程為x7=°,

J4k-43--3]

"(°'1一無)和〔必-3‘4左-以及|。4|=正，再利用點到直線的距離公式得點M和

T2。-一

N到直線0A的距離，從而得△MON面積3-4k,令t=3-4k,則"0,從而得

S

A再利用基本不等式求最值，計算得結(jié)論；

.,5(〃_左)

(2)利用(1)的結(jié)論，結(jié)合兩點間的距離公式得1°朋1="-后和I"-3-4k,計算

11_4(2-*)

國+網(wǎng)=5(”左),由2/>0得結(jié)論.

3

A(lfa)(a>—)

【詳解】(1)因為直線1過點4,且斜率為k,

所以直線1的方程為了=MXT)+"

,3

；/k豐一

因為直線1與4,4分別交于點M,N,所以4,

x=0卜=0

因此由=得1了=。-左，即"(G"k),

4k—4a

x=---------

I4左-3

|3x-4y=01_3k-3a飲-4a3左-3a)

由]夕=)6_1)+4得產(chǎn)=4k-3,即[4k-3'44—3J

又因為M,N的縱坐標(biāo)均為正數(shù)，

a-k>0

<3k-3a八\a-k>0

所以〔4k-3,即[4左一3<。

a>一3左7<一3.

而4,因此4

又因為當(dāng)。=1時，直線OA的方程為

(4左一43左一3、

M(0,l-左)，N14”3’4"3|且|。聞=行，

|/c-l|_72(1-^)

所以點M到直線OA的距離為行2

4-一43k-3

4k一34后一3_后|左_1|_血（1一左）

點N到直線0A的距離為及2|44-3|2（3-4左）,

20-力

因此△MON面積3-4A-

j3-t

k=---

令yt=3—4k，則,>°且4,

當(dāng)且僅當(dāng)t,即f=l時，等號成立，

21

所以S的最小值為2,即△MON面積的最小值為2

1?1

（2）存在實數(shù)。=2,使得\OM\DM的值與k無關(guān).

f4k-4a3k-3a\\a-k>0

由⑴知：見0,"k）,且［4"3<0'

,?5（a-