2024-2025學(xué)年福建省福州市閩侯縣高三年級(jí)上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市閩侯縣高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

一、單選題（本大題共8小題）

L已知"=N/gE},則,）

A.RB.[°'+8）c.（2，+°°）D,（一叫11（2,+00）

2.已知aeR,若（2+1）0+①）為純虛數(shù)，則。=（）

_11

A.2B.2C.-2D.2

3.如圖，在四邊形/BCD中，DC=2AB,BE=2EC,設(shè)。。=a,DA=2,則詼等

于（）

1

/一。一1

—a+—b—a+—br—a+—br-a+-b

A.62B.32C.63D.33

aGI0,—jBG0,—tana+tanB=--------

4.設(shè)［2）,l2人且cos/,則（

）

~71

2a+/=：2a-/3=-2/3-a=-2〃+a=5

A.B.2C.2D.

3b+a

（）

/x=lg----若-”“）+/0）=°,則工^的最小值為（

5.設(shè)函數(shù)J%

A.4+26B.4+2^2C.1+4近D.2+473

6.對(duì)于命題“若x'z,y'z,則x/"”，要使得該命題是真命題，X,九Z可以是

（）

A.x,y,z是空間中三個(gè)不同的平面

B.x,了，z是空間中三條不同的直線

C.x,z是空間中兩條不同的直線，y是空間的平面

D.x,了是空間中兩條不同的直線，z是空間的平面

_ln44-In4_Ve

7.設(shè)“-4,一e2,2e,則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

Q-___=1

8.如圖，已知片，外是雙曲線,/b2的左、右焦點(diǎn)，p,。為雙曲線C上兩點(diǎn),

滿足片尸伍°,且內(nèi)。卜2|瑪尸|=5閨尸則雙曲線C的離心率為（）

叵M

C.2D.3

二、多選題（本大題共3小題）

A>Q,a）>0,--<^<—]

9.已知函數(shù)AX）=asin（3x+卬）122J的部分圖象如圖所示，則

C.將函數(shù)""I的圖象向右平移％個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)gG）=sin2x的圖象

D.將函數(shù)/（X）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的

函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（6J對(duì)稱

_71兀

10.己知等差數(shù)列｛""｝中，a，~4,公差為5,"=tana"，記'為數(shù)列應(yīng)｝的前〃項(xiàng)

和，則下列說(shuō)法正確的是（

A.，=（R

i+r-ir1

b+b

l2+63+…+2=--------1

B.2

（-If）

C,若g=a“b",則123“4

,,,,2n2+n

D.若d"=b凡,則4+w+&+~+&“=———"

11.已知函數(shù)，=/（x）在R上可導(dǎo)且/（°）=-2,其導(dǎo)函數(shù)/‘（X）滿足:

/'（X）-2"x）「X1

e2t,則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)/（X）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

B.函數(shù)80）=/（"）+2^有且僅有三個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)0〈x<2時(shí)，不等式"x"3e4（x-2）恒成立

D./CO在必2］上的值域?yàn)椋?2e2,0］

三、填空題（本大題共3小題）

L+4

12.I"的展開(kāi)式中無(wú)3的系數(shù)為20,則“的值為_(kāi)_____.

13.已知一道解答題有兩小問(wèn)，每小問(wèn)5分，共10分.現(xiàn)每十個(gè)人中有六人能夠做出

第一問(wèn)，但在第一問(wèn)做不出的情況下，第二問(wèn)做出的概率為0.1；第一問(wèn)做出的情況

下，第二問(wèn)做不出的概率為06用頻率估計(jì)概率，則此題得滿分的概率是；

得0分的概率是.

2

14.若曲線>Tnx在點(diǎn)°（叼,為）處的切線與曲線y=e，相切于點(diǎn)以叼必），則再一1'

四、解答題（本大題共5小題）

15.如圖，斜三棱柱"8C-42G的底面是直角三角形，N/C8=90°,點(diǎn)片在底面

ABC內(nèi)的射影恰好是2C的中點(diǎn)，且8C=C4=2.

(1)求證:平面ACCiAi■平面BGCB；

(2)若斜棱柱的高為G,求平面與平面夾角的余弦值.

2sin

16.己知凡6"分別為三角形/8C三個(gè)內(nèi)角43,C的對(duì)邊，且有

(1)求角A-.

(2)若。為邊8c上一點(diǎn)，且2C。=4)=,求sinC.

17.某市航空公司為了解每年航班正點(diǎn)率'%對(duì)每年顧客投訴次數(shù)y(單位：次)的

影響，對(duì)近8年(2015年?2022年)每年航班正點(diǎn)率x%和每年顧客投訴次數(shù)V的數(shù)

據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.

8888、

登E（x,-x）

Z=1i=\i=lZ=1

60059243837.293.8

(1)求V關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

(2)該市航空公司預(yù)計(jì)2024年航班正點(diǎn)率為84%,利用(1)中的回歸方程，估算

2024年顧客對(duì)該市航空公司投訴的次數(shù)；

(3)根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，該市所有顧客選擇乘坐該航空公司航班的概率為2,現(xiàn)從該市所有

顧客中隨機(jī)抽取4人，記這4人中選擇乘坐該航空公司航班的人數(shù)為X,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望.

附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線步=加+。的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：

WX%一"亞

A-1二_77_A.

18.已知,(一2，°),8(2,0),尸為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)直線/P,取的斜率分別為匕,

Jk.-k=

與，且滿足?一4.記p的軌跡為曲線r.

(1)求r的軌跡方程；

(2)直線PN,P8分別交動(dòng)直線x=f于點(diǎn)C,。，過(guò)點(diǎn)C作心的垂線交x軸于點(diǎn)a.

麻?麗是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說(shuō)明理由.

19.若W〃eN*,都存在唯一的實(shí)數(shù)%,使得/值)=”,則稱函數(shù)/(x)存在，，源數(shù)列

匕｝已知"x)=G-lnx,xe(O,l]

(1)證明：I。)存在源數(shù)列；

f(x)-^p-0

(2)(i)若C恒成立，求彳的取值范圍；

s<3

(ii)記/(")的源數(shù)列為包｝,證明："J前"項(xiàng)和"3.

答案

1.【正確答案】A

2<]x-2〉0

【詳解】由x<,得X>,即x(x-2)>0,解得x>2或x<o,

所以{?。?或無(wú)＜0},所以Me（-8,0）。（2,+oo）,

N=

所以MuN=R

故選：A.

2.【正確答案】D

【詳解】Q+i)°+"i)=2-"+0+2")i,

因?yàn)閍eR,且（2+i）0+ai）為純虛數(shù),

2—〃=0

所以l+2a*0,解得a=2

故選：D

3.【正確答案】C

【詳解】因?yàn)镈C=24B，BE=2EC,

DE=DC+CE=DC+^CB=DC+^^B-DC^=DC+^(DA+AB

所以

—■1—2----1—1—.51-

DA+-AB=-DC+-DA+-DC=-a+-b

333663

故選：C.

4.【正確答案】A

sina+sin1sina_1-sin(3

tana+tan0=

【詳解】cosacosPcos(3,cosacosP

/.sinacos0=cosa(1-sin夕)二cosa-cosasin0

/.cosa=sinacos(3+cosasin,=sin(a+夕)

sin=sin(a+,)

,：a:.a+/3&(O,7r),^-6ze10,^

匹。弓2

71c71c7171

—a-a-\-p----a+a+p=TI2a+B=—B=—

2或2，即2或2(舍去).

故選：A.

5.【正確答案】A

/(x)=lg^_/(a)+/(b)=lg——+lg——=0

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)1-工，所以,

ab1

-----------=1

即,解得a+6=l,

^i^=-+-=f-+-Va+Z))=4+—+->4+273

所以abab\ab)ab,

當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí)取等號(hào).

故選：A

6.【正確答案】D

【詳解】對(duì)于A：若x,了，z是空間中三個(gè)不同的平面，且xlz,則平面

x和平面了的位置不確定，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若x,V,z是空間中三條不同的直線，且xlz,y'z,則直線x和直線

丁的位置不確定，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：x,z是空間中兩條不同的直線，了是空間的平面，且x'z,則直線

x和平面了的關(guān)系為直線x〃平面P或直線xu平面》，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：x,了是空間中兩條不同的直線，z是空間的平面，且x'z,y'z,則無(wú)〃y,

故D正確，

故選：D.

7.【正確答案】D

【分析】構(gòu)建函數(shù)，6)=丁，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，注意

〃=/(4)=/(2)

74-In4M萬(wàn)

b=---=——

_In4_In2e2e2Ve_InVe

【詳解】由題意可得“一丁一吃一，萬(wàn)2eVe

設(shè)心手，…/,。)=手

則

故當(dāng)xe(O,e)時(shí)，/(x)>0，/(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(e，+°°)時(shí)，/'(x)<0,“X)單調(diào)遞減；

因?yàn)椤?"4)="2),1國(guó)，⑻，且。<G2<e<94

可得Q=/（2）>fc'。=/(4)V/b,所以c<a<b.

故選D.

8.【正確答案】B

【詳解】延長(zhǎng)少2與雙曲線交于點(diǎn)P1,因?yàn)槠槭鶕?jù)對(duì)稱性知陽(yáng)尸口叱,

設(shè)國(guó)尸|=內(nèi)尸1=%則內(nèi)P卜夕，困0|=10/,

2

可得內(nèi)尸H與尸1=3/=2.,即

所以闿=12/=g,則則=|/+2a=爭(zhēng)M=M=

所以|尸'0「+|￡P(guān)「=地用2,可知&FQ=4盟=90。，

在“中沖，由勾股定理得怩舛+麻’/=忸可,

故選：B.

9.【正確答案】AD

【詳解】對(duì)于A：由圖可知：（126J，故A正確，

T=—a）=—=—=2/伍］=1sin（2x?+，=l

由。，知T71，因?yàn)棰剩訧6J

兀_.71.-兀

一+0=2左兀+—,KeZcp=2kn+一,左wZ

所以3,2,即6

--<(p<-0=2/(x)=sin|2x+-|

又因?yàn)?2,所以6,所以函數(shù)為I6

71771

XG0,—2x+.esin2x+-e

12」時(shí),6'6」，所以I

對(duì)于B：當(dāng)6故B錯(cuò)誤,

71

對(duì)于C,將函數(shù)/（X）的圖象向右平移7個(gè)單位長(zhǎng)度,

g（x）=sin|-2fx--—=sinj2x一色]

得到LI6J6JI6J的圖象，故c錯(cuò)誤，

對(duì)于D：將函數(shù)/（X）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變,

y=sinx+—

得到I6J的圖象，

5冗.（兀、.八

x=—>=smx+—=sin7i=0

因?yàn)楫?dāng)6時(shí)，I6）,

y=sinp+^^，o]

可得到I6J的圖象關(guān)于點(diǎn)16J對(duì)稱，D正確.

故選：AD.

10.【正確答案】BCD

7171

【詳解】???數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，“'一彳，公差為'，一””

仁兀〃（九一1）兀m2

S=—n+—^-----^x—=——

〃n4224,

：伽-1）rm兀1,幾=2k-l,kEN

bn=tanan-tan二tan

T-4-l,n=2k,kGN*

當(dāng)〃=1時(shí)，4=1,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，4+4+4+…+d=°；當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，4+與+4+…+〃=i,

[/1、"一1

4+a+4+??,+“--------------

故2,選項(xiàng)B正確;

〃，幾=

a2k-l,kwN*71

-a.,n=2k,keN?**C2k-\+C2k=a2k-\~aik~~~^

4+仇+4+…+〃=_:八

???當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

兀（"T）?兀（2〃-1）=兀,

b[+Z?2+&+,,,+”=----

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),444

.Y+C-…+加

4,選項(xiàng)C正確;

S〃，九二2左一1,左￡N*

dbSa

n=??=-eN*，"21+d-S2k=-2k=一；（4左—1）

-Sn,n=2k,左u=

4+汗2+4+.?.+d2n=（4+）+??.++d2n）

（3+4及-1）_2n2+〃

=一；[3+7H----F（4〃-1）]=--^x—------71

24,選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

11.【正確答案】AC

…令……

故〃G)=/_x+c(C為常數(shù))

2

寧^=-2,-,c=-2,h(x)=x-x-2

f(x)=(x2-x-iyx=(x-2)(x+l)e2x

令/(x)=(x—2)(%+19、=0,解得%=2或%=-1,

故函數(shù)/(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)A正確；

???/,(x)=(2x2-5)e2x

(,VToWVio)rVw

XG_QO,-----U-----,+oOXG-----

...令，(久)>0得I2>V2)令/⑶<0得(2

Vio屈、

2'?

???/(%)在1上單調(diào)遞減.

"”『一［當(dāng)卜…"

(Vio屈、

...存在112,2A使得"網(wǎng))=32；

又"2)=0,...存在2I2'［使得/G)=-2e2；

Vw21使得/O-Ze?

X<-----/(x)>0

當(dāng)2時(shí),不存在

綜上所述，"x)=-2e2有且僅有兩個(gè)根，即g(x)=/(x)+2e2有兩個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)

誤；

,/f(x)>3e4(x-2).(x-2)(x+l)e2x>3e4(x-2)

2x4

當(dāng)XE［0,2)時(shí)，x-2<0,-*-(^+l)e<3e

m(x)=(x+l)e2x貝1J，(x)=(2%+3)。2》〉o

故做x)=G+l)e"在［0,2)上單調(diào)遞增，m(x)<m(2)=3e\滿足題意；

當(dāng)x=2時(shí)，〃2)=0也滿足不等式/(x)>3e4(x-2),

綜上所述，當(dāng)04x(2時(shí)，不等式/(x"3e4(x-2)恒成立，故選項(xiàng)?正確;

由知（）在-

B-'X上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且

匕巫e廂＜-2e2

2"1）=一2e:/（2）=0,故函數(shù)/CO在［1,2］上的值域?yàn)?/p>

i-Vioe.,0

2

」，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.【正確答案】4

（x+父&］=（3產(chǎn)⑶=C產(chǎn)"

【詳解】因?yàn)镮"展開(kāi)式的通項(xiàng)為（04"5且reN）

令5-2r=3,解得r=l,

所以豈=C*%=5a依題意5a=20,解得°=4.

故4

69

13.【正確答案】0.24/250.36/25

【詳解】設(shè)“第一問(wèn)做出”為事件/,“第二問(wèn)做出“為事件B,

由題意可得：「⑷丁"'呻㈤WP?/）"

則尸G）=04尸01A）=0.9,P（BIA）=0.4

所以尸（0=尸⑷尸（3⑷=0.24,即此題得滿分的概率是

0.24；

所以咋2）=蛆"3"）=°叫即此題得滿分的概率是0.36.

故0.24；0.36.

14.【正確答案】T

..(]口N)__^QX)_QXk——

【詳解】7—一》、尸，，曲線了=在點(diǎn)P(x】yi)處的切線斜率玉

y='(%―石)+必=—x+InXj-1

???切線方程為百項(xiàng)，

成了=(x—3)+%=d%+(1-%)e%,

1X

—=eX2

xx-InXj=x2

2

In%]-1=(1-工前,即x1(inxj-l)=l-x2

—1

<%=____

X](12+])=,易知%2+lW°,'X2+I,

------F/=----；----F%2=ZFX?—―+1）+12=-]

再一]x2-l]-2-

x2+1x2+1

故答案為.7

15.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；

2

⑵7.

【分析】（1）2C中點(diǎn)為連接用.，由毋WC且/C'BC,證得NC，平面

,可證平面/CC/i，平面BgCB.

（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，向量法求兩個(gè)平面夾角的余弦值

【詳解】（1）取2C中點(diǎn)為連接2眼，

,,,巴在底面內(nèi)的射影恰好是8c中點(diǎn)，平面/8C,

又ACu平面ABC,B[M_LAC

又?.?N/C5=90°,:.ACLBCf

?.?印平面4GC5,二4。,平面4GC5,

又〈ZCu平面.,.平面/CC/1，平面B￡CB

（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，口，以分別為x軸，7軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

?：BC=CA=2,斜棱柱的高為也,

：.4(2,0,0),8(0,2,0),M(0,1,0),q(0,1,百),G(0,-1,6)

福=(-2,1,73),18=(-2,2,0),南=(0,-2,0),

設(shè)平面用的一個(gè)法向量為n=(x,y,z\

n-AB=-2x+y+6z=0

<{

則有〔"/3=-2x+2y=0,令z=拒,則x=y=3,:.而=(3,3,5,

設(shè)平面/3C的法向量為m=(a,b,c\

m-ABX=-2a+b+VJc=0

則有［比,用。1=-26=0,令q=6,則b=0,c=2,.,.比=(VJ,0,2)

V9+9+3xV3+0+47

5

所以平面/網(wǎng)與平面陽(yáng)￡夾角的余弦值為7.

16.【正確答案】(1)3

⑵sinC=1

2sinfc+^-瓜inC+cosC=‘歷而。

【詳解】(1)由161a，有siiL4,.

gpV3siiL4sinC+siiL4cosc=sinB+sinC=sin(/+C)+sinC

所以gsirUsinC=sinCcos/+sinC,因?yàn)閟inCw0所以V3silL4-COS/=1,

2sinQ--)=1=>sin(2

即：662,

又因?yàn)棰?故=i,

ZBAD=6,0^,^7T2元

ZADC=2仇NDAC=——仇NACD=——0

(2)解法一：設(shè)則33

4DDC

在△4℃中，由正弦定理知,

V37i2兀7i

tan<9=—6=—,NACD=——3=-

化簡(jiǎn)得，3,則632,

即sinC=1

解法二：如圖所示,

取N3中點(diǎn)河，延長(zhǎng)“。與NC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)"，連接N8,

—■1—■2—■—?1—.1—.

ND=-NB+-NCNM=—NB+—NA

由28=加有33,由22

1——?2——?2——?2—??-32?2―?2—?

—.-.-NB+-NC=-NB+-NA---------NB=—NA——NC

設(shè)ND=ANM，則3322,即623

故一3,所以褥=2配，即C為NN中點(diǎn).

又4D=BD,M為AB中點(diǎn)、,所以月3,

A=一

又3,所以a/BN為正三角形，

又BC平分AN,所以8CL/N,所以sinC=l

17.［正確答案］⑴？—X+524

(2)20

(3)分布列見(jiàn)解析，"(X)=2

-600ru-592?

x=-----=75,y=-----=74

【詳解】(1)88

n

^x^-nxy

43837.2-8x75x74

b=^-------------

Z(x,-x)293.8

則Z=1

所以&二歹一反=74+6x75=524

所以>-6x+524；

(2)當(dāng)尤=84時(shí)，尸20,

所以2024年顧客對(duì)該市航空公司投訴的次數(shù)為20次;

(3)X可取。，123,4,

4

xl+4x1

816

22

—+—=1,(xW±2)

18.【正確答案】(1)43

(2)存在，12

【分析】(1)設(shè)點(diǎn)P(x")，(x*±2),由題意列出等式，化簡(jiǎn)即可求得答案;

(2)分別設(shè)直線尸4網(wǎng)的方程，求出點(diǎn)C，。的坐標(biāo)，即可得出直線S的方程，繼而

求出〃點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出麻?麗的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)，即可得結(jié)論，并求得

最大值.

k?k—

【詳解】(1)由題意設(shè)點(diǎn)P(x/)，(x/土2),由于'2-4,

O22

-->------y--_--3-X--I1--了--1

故x-2x+24,整理得43,

22

--I---=1,(XN+2)

即「的軌跡方程為43；

k也=_1

(2)由題意知直線"R8P的斜率分別為尤，右,且滿足>2—4,

設(shè)直線尸/的方程為了=左0+2),令x=t,則可得y=%C+2),即c8C+2)),

直線尸8:昨右(x-2),同理求得"(r&(-2)),

y~K(%+2)=_1(XT)

又直線CH的方程為12,

故而.麗=丁普22)1(號(hào)4(”2))=^^+幽(產(chǎn)一4)

2

(%+6)23(產(chǎn)一4)_3(?-6)

----------------------------r1Z

16416

3("6)2

--——人+12

當(dāng)"6時(shí)，16取到最大值12,

即石乙麗存在最大值，最大值為12.

19.【正確答案