2024-2025學(xué)年廣東省韶關(guān)市高三年級(jí)上冊(cè)綜合測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省韶關(guān)市高三上學(xué)期綜合測(cè)試數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、學(xué)校和班級(jí)填寫在

答題卡上.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂

黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答章不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)城內(nèi)相

應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答無(wú)效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)z滿足勿=l+i,則z?亍=()

A.1B.72C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】方法1：根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出z,然后共軌復(fù)數(shù)概念結(jié)合乘法運(yùn)算可得；方法2：利用復(fù)數(shù)模的

性質(zhì)求出目，然后由性質(zhì)Z?噌可得.

【詳解】法1：因?yàn)閦i=l+i,所以z=—=1—i,彳=l+i,所以z?彳=(l+i)(l—i)=2.

法2：因?yàn)閦i=l+i,所以同=+即忖=、/5,2-彳=|z『=2.

故選：C.

2.已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，若q=!，%=3，則｛%｝的前6項(xiàng)和為()

216

6331157

A.—B.—C.—D.一

6432168

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式計(jì)算即得.

31313

【詳解】設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為q,依題意,%=ciq—，解得Qy

x82

%(i-/63

所以§6=

1一4

1--64

2

故選：A

3.已知向量2=(1,0)石=(1,1),若5十九3與日垂直.則實(shí)數(shù)X的值為()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得至!JG+4B=(1+4"),再利用向量垂直的坐標(biāo)表示，即可求

解.

【詳解】由題意，向量方=(1,0)石=(1,1),可得值+4=(1+4刈，

因?yàn)?Q+Xb)_l_Q,所以(〃+2Z?),Q=1+%+0=0,解得a=—1,

所以當(dāng)％=—1時(shí)，僅+花)與日垂直，

故選：A.

4.眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)的分布形態(tài)有關(guān).根據(jù)某小區(qū)

得到如圖所示的頻率分布直方圖，記該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為夕，

B.p<x<m

C.m<x<pD.p<m<x

【答案】D

【解析】

【分析】由頻率分布直方圖結(jié)合中位數(shù)以及眾數(shù)的計(jì)算即可比較大小.

【詳解】觀察頻率分布直方圖，發(fā)現(xiàn)是屬于右邊“拖尾”，所以平均數(shù)元大于中位數(shù)為機(jī)，

由于第一個(gè)小矩形面積為4義0.060=0.24<0.50,

前2個(gè)小矩形面積之和為4x（0.060+0.080）=0.56>0.50,

所以中位數(shù)位于（5,9）之間，故可得0240+（加—5）x0.080=0.5,解得機(jī)=8.25,

5+9

由頻率分布直方圖可知眾數(shù)p==7,

故夕〈機(jī)〈元，

故選：D.

x2-2ax-l,x<1

5.已知函數(shù)/（x）=2在R上是單調(diào)函數(shù)，則。的取值范圍是（）

——6\x>l

A.（一℃,2]B.[1,2]C.（l,+℃）D.[2,+coj

【答案】B

【解析】

2

【分析】由表達(dá)式可知當(dāng)時(shí)，/（%）=-—62是單調(diào)減函數(shù)，故/（X）在R上單調(diào)遞減，則需要X<1時(shí),

X

/（X）單調(diào)遞減，且在斷開位置處也要滿足減函數(shù)的定義.

2

【詳解】因?yàn)閄21時(shí)，/（%）=——62是單調(diào)減函數(shù)，

又因?yàn)?（X）在R上單調(diào)，所以，故x<l時(shí)，/（x）=f-2ax-1單調(diào)遞誠(chéng)，

a>\

則只需滿足〈c，解得

-2a>-4

故選：B.

6.已知函數(shù)/（x）=2sin（0x+。）[0〉0,0<。<|^的部分圖象如圖，48是相鄰的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，

直線AB的方程為y=2x+g,則函數(shù)/（X）的解析式為（）

A.f(x)=2sinB.f(x)=2sin

C./(x)=2sinD.f(x)=2sin

【答案】C

【解析】

【分析】連接48,與x軸交于點(diǎn)C,得C點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)C也在函數(shù)/(x)的圖象上，由直線方程(斜率)

求得2點(diǎn)坐標(biāo)，可得周期，從而求得。，再利用2點(diǎn)坐標(biāo)求得"，從而得解析式.

【詳解】連接AB,與無(wú)軸交于點(diǎn)C,

由圖象的對(duì)稱性，知點(diǎn)C也在函數(shù)/(x)的圖象上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為g,0；

設(shè)8(%,2),由2,得乙=：,

小§3

所以/(x)的最小正周期T滿足7=§一一§=1，

27r7T

解得T=4,即——=4,解得。=一,

co2

/3=25也仁》+“，.因?yàn)辄c(diǎn)臺(tái)七:］是〃x)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，

所以/U=2singxg+、|=2,結(jié)合。＜9苦,

故選：C.

coscu-p

7.已知tana,tan〃為方程必+6%一2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則一^----不=()

1515

A.——B.一C.一D.-

2266

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)韋達(dá)定理求出tana+tan夕,tancrtan",利用三角函數(shù)和與差的正弦和余弦公式將

cos(a-⑶

展開，分子分母同時(shí)除以C0S6TC0S/,代入即可得出答案.

sin(a+￡)

【詳解】因?yàn)閠ana,tan分為方程x2+6%-2=0的兩根,

tana+tana=-6

由韋達(dá)定理，得<

tana?tan，=-2

cos(二一￡)_cosa-cos/?+sin6z?sin/?_1+tana-tan/?_1+(-2)_1

則——

sin(a+/?)sin^z?cos^+cos6z?sin/?tana+tan/?-66

故選：C.

8.橢圓C：W+E=l（a〉b〉0）的左右焦點(diǎn)分別為大，鳥，以片鳥為直徑的圓與橢圓。沒(méi)有公共點(diǎn)，則

ab"

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，可得橢圓短軸的端點(diǎn)在以片名為直徑的圓外，由此求得/<2/，再利用雙曲線

離心率的意義求出范圍.

【詳解】以片鳥為直徑的圓的方程為/+/=/—〃，依題意，橢圓短軸的端點(diǎn)在此圓外，

22

=1的離心率為

<V2.

故選：D

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)&服從正態(tài)分布N（25,<T2）,且尸（J?26）=0.2,現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)取3

件，用X表示這3件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值&位于區(qū)間（24,26）的產(chǎn)品件數(shù)，則（）

A,￡（J）=25B,0（24<J<26）=03

C.P（X=0）=0.064D,D（X）=0.24

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性、概率公式，結(jié)合二項(xiàng)分布的公式，可得答案.

【詳解】由正態(tài)分布的概念可知￡（<）=25,故A正確；

由正態(tài)分布的性質(zhì)得尸（24<J<26）=1—2尸（J>26）=0.6,故B錯(cuò)誤；

則1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值J位于區(qū)間（24,26）的概率為2=0.6

所以X~8（3,0.6）,尸（X=0）=0.43=0.064,故C正確；

￡>（X）=3x0.4x0.6=0.72,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.已知圓錐的頂點(diǎn)為尸,48為底面圓。的直徑，N4P8=120°,PZ=2,點(diǎn)C在圓。上，點(diǎn)G為ZC

的中點(diǎn)，PG與底面所成的角為60。，則（）

A.該圓錐的側(cè)面積為6兀

B.該圓錐的休積為兀

C.^C=—

3

D.該圓錐內(nèi)部半徑最大的球的表面積為12（7-40）兀

【答案】BCD

【解析】

【分析】又圓錐的側(cè)面積、體積公式，及線面角的定義，內(nèi)切球半徑的確定，逐個(gè)判斷即可.

【詳解】由已知，ZDPO,=60°,PA=2,易得等腰三角形尸4s的底邊長(zhǎng)/5=2百，PO=1,

對(duì)于A,該圓錐的側(cè)面積為兀*6x2=2扃，A錯(cuò)誤;

p

對(duì)于B該圓錐的體積為％=；(G)2兀xl=7i,B正確;

對(duì)于C,如圖，取ZC中點(diǎn)為G,連接G。,0G,

則NPG。為PG與底面所成角為60°，故GO=F，C4=2,3—g=?,C正確；

對(duì)于D,當(dāng)球與圓錐內(nèi)切時(shí)，表面積最大，此時(shí)球心在圓錐的高上，

設(shè)為。1，球半徑為廠，過(guò)0向尸8作垂線，垂足為。，則OD=r,又/。尸。1=60°,

所以。。1=爰r,所以r+1r=l=>r=G(2—百)，

球的表面積為4兀[君(2-6)『=12(7-46)兀,D正確，

故選：BCD

11.若/'(x)為函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的x,yeR,恒有2/(x)/(y)—/(x+y)=/(x—y),且

/(0)*0,則()

A./⑼=1B./^+/(0)>0

]2025

c./'(X)為偶函數(shù)D.若/(1)=7,則Z/(〃)=T

2〃=i

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)于A,令x=y=0求解即可；對(duì)于B,令x=>得〃2x)+/(0)?0即可判斷；對(duì)于c,令

x=0得判斷出/(x)為偶函數(shù)即可做出判斷；對(duì)于D,通過(guò)賦值法，分別求出

/(1)-/⑵，/⑶，/(4),/(5),/(6),/⑺，發(fā)現(xiàn)具有周期性，再利用周期性求解即可.

【詳解】原式移項(xiàng)得2/(x>/(y)=/(x+y)+/(x-y),

即/(x+y)+/(x-y)=2/(x)./(y)

對(duì)于A,令x=y=o,則由/(x+y)+/(x-y)=2/(x)./(力可得2/(O)=2/2(O),

故/(。)=0(舍去)或/(。)=1，故A正確：

對(duì)于B,令x=>,則/(2力+/(0)=2/2U),故/(2X)+/(0)N0.

由于xeR,令t=/,則/eR,所以/(7)+/(O"O,即有/1|1+/(0)20,故B正確：

對(duì)于C,令x=0,則/3+/(-田=2/(0>/(力,即/(-y)=/(y),

因?yàn)閤,yeR,所以/(-X)=/(x),所以/(x)為偶函數(shù)，

對(duì)/(r)=/(x)左右兩邊同時(shí)求導(dǎo)得/'(—x)=—/'(x),xeR，所以/'(》)為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由A選項(xiàng)/(0)=1,若

令x=y=l,則/(2)+/(0)=2/2⑴,即/(2)+i=；,,/(2)=_；,

令x=2/=l,則/(3)+/(1)=2/(2>/(1),即/(3)+g=_；,「./(3)=-l,

令x=3,y=l,貝廳(4)+/⑵=2〃3)./(1),即/⑸―；=一1,;J(4)=—g,

令x=4,y=l,則/(5)+〃3)=2/(4)./(1),即/⑸—1=―攝,/⑸=g,

令x=5/=l,貝。/⑹+"4)=2/(5)?/(1),即/(6)—g=；,「./(6)=l,

令x=6,y=l,則/⑺+/(5)=2/⑹./⑴，即/⑺+g=l,;J⑺=；,

令x=7,y=l,則〃8)+/⑹=2〃71/⑴，即/(8)+1=；,,/⑻=—g,

由此可得/(〃)/eN*的值有周期性，且周期為6,

且/⑴+/(2)+/⑶+/(4)+/(5)+〃6)=0,

2025

故￡/(〃)=337x[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)]+/(1)+/(2)+/(3)=—1,故D正確.

n=\

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:若/(x),g(x)的定義域均為R,且g(x)=/'(x),則：

(1)若/(x)為奇函數(shù)，則g(x)為偶函數(shù)；若/(x)為偶函數(shù)，則g(x)為奇函數(shù)，反之未必成立.

(2)若/(x)為周期函數(shù)，則g(x)也是周期函數(shù)，且周期相同，反之未必成立.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合2={-2,0,2,a},3={xlk—l|v3},Zc5=N,寫出滿足條件的整數(shù)。的一個(gè)值

【答案】一1,1,3,4中的任何一個(gè)值.

【解析】

【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，結(jié)合絕對(duì)值不等式的求解，即可求得心

【詳解】因?yàn)?口8=幺，所以415,又因?yàn)?={x||x—1歸3}={》|—2VxV4},

故整數(shù)a所有可能取值為-11,3,4.

故答案為：-11,3,4中的任何一個(gè)值.

13.已知log4a+21og.2=2,則。=.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得到(logz。)？-41og2a+4=0,解出log2a=2,即可求得答案;

另解：可利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合基本不等式求解.

1,2

【詳解】由log4a+210g“2=2,整理得710g2。+^1----=2,

2log2tz

2

W(log2a)-41og2o+4=0,解得log2a=2,所以°=2?=4.

,1c

另解：由題知log4a+_-----7=2，則log,a>0,a>l,

l1og.4

112h2~

利用基本不等式可得-----=-logtz+-------=2>2-log,a---------=2,

log“422log2a\2log2a

1,2

當(dāng)且僅當(dāng)7log2a="1------時(shí)取等號(hào)，解得a=4.

2log26Z

故答案為：4

14.小明參加一項(xiàng)籃球投籃測(cè)試，測(cè)試規(guī)則如下：若出現(xiàn)連續(xù)兩次投籃命中，則通過(guò)測(cè)式；若出現(xiàn)連續(xù)兩

次投籃不中，則不通過(guò)測(cè)試.已知小明每次投籃命中的概率均為2,則小明通過(guò)測(cè)試的概率為.

3

【答案吟

【解析】

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和條件概率求解即可.

【詳解】設(shè)第一次投籃成功為事件3,通過(guò)測(cè)試為事件

21?_421_

則P(Z[5)=-+-x-PUl8),P(Z[B)=-+-X-P(A\B),

所以P(Z|B)=g,P(/5)=1,

所以尸(幺)=尸⑻尸(⑷B)+P(B)P(A\月)=gx：+；x：=||,

故答案為：—

21

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文子說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知分別為△4BC三個(gè)內(nèi)角4比。的對(duì)邊，且bcosC+ccos5=2QCOS/.

(1)求A；

(2)若〃=2,求△Z8C周長(zhǎng)的最大值.

7T

【答案】(1)A=-

3

(2)最大值為6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式，可得sin(8+C)=2siMcosZ,再根據(jù)三角形的內(nèi)

角和公式和誘導(dǎo)公式，可得cosZ=L,進(jìn)而得角A.

2

(2)法一：利用余弦定理，結(jié)合基本不等式可求三角形周長(zhǎng)的取值范圍.

法二：利用正弦定理，表示出6,c,再利用三角函數(shù)的恒等變換，可得三角形的周長(zhǎng)為2+4sin13+：；

再根據(jù)角3的取值范圍，可求周長(zhǎng)的最大值.

法三：數(shù)形結(jié)合，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圓的弦長(zhǎng)中，直徑最大，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求圓的直徑.

【小問(wèn)1詳解】

由ZJCOSC+ccosB=2acosA及正弦定理得

sinScosC+sinCcosS=2siih4cos/所以sin(8+C)=2sin24cos4

因?yàn)锽+C=7i-A

化簡(jiǎn)得sinA=2siiL4cos4

因?yàn)?</<兀，所以siMwO,所以cosZ二，

2

71

所以/=；.

3

【小問(wèn)2詳解】

法一：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA

有4=〃+/一be=(6+。)2一3bc

因?yàn)?/p>

所以(b+c)2—3bc>(b+c)2—3('+°)[=S+c)一

44

即42他土互，所以6+cW4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)等號(hào)成立.

4

所以△45C的周長(zhǎng)C“BC=a+b+c<6.

即△48C周長(zhǎng)的最大值為6.

2473

n_____________v

法二：由正弦定理——=2R,即.?！?

sirUsin—

3

的周長(zhǎng)

"BCC△-a3+b+c=2+3^^smB+-^smC

因?yàn)?+8+。=兀，所以。=----B

3

所以CMBC=2+《lsin8+￥^sin[g—B]

、46(.□.2n2兀./

=2-1------sinfi+sm——cosBD-cos——SIHD

3I33)

=2+4sin[+￡]

因?yàn)?<5<學(xué)，所以當(dāng)8=四時(shí)JABC取得最大值為6

。J

法三：（幾何法）：如圖1所示，延長(zhǎng)氏4到點(diǎn)尸，使得4P=ZC

使得AB+AC=AB+AP=BP,

要使△4SC的周長(zhǎng)最大，則需滿足AP長(zhǎng)度最大

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知一邊a=2,一對(duì)角NP=30°，求另一邊AP的長(zhǎng)度的最大值

由圖2可得.當(dāng)AP為該圓直徑時(shí)，BP最大.

即IBPI=———=-----=4

1IImax.cco

sianrsin3O

所以C^ABC=BC+BP<2+4=6.

圖］圖2

16.如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面4BCQ是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA=PD=①,平面尸4D_L

平面48CD,E為的中點(diǎn).

(1)求證：平面尸平面尸C。；

(2)求平面P2E與平面尸48夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵叵

5

【解析】

【分析】(1)方法一，證明48,平面產(chǎn)得到。48,進(jìn)而證明面尸48,得證；方法

二，根據(jù)二面角平面角定義判斷NDPZ是平面尸4s和平面PCD所成二面角的平面角，由勾股定理可得

ZDPA=90°＞得證；方法三，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面尸CO和平面尸48的法向量判斷?

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面「48和平面P8E的一個(gè)法向量，利用向量法求解.

【小問(wèn)1詳解】

方法一；由PA=PD=C,CD=2,有PA?+PD?=D4?,

DPLAP,因?yàn)?BCD為正方形，故4B_L4D,

又平面PAD1平面ABCD交于AD,ABu平面ABCD,

所以，48，平面產(chǎn)￡%,

又平面PD4,所以。48,

又ABcDA=A,4Bu平面PAB,DAu平面PAB,

故￡（尸，平面尸48,又DPu平面尸CD,

所以平面PAB1平面PCD.

方法二；因?yàn)?5CD為正方形，故CDJ.D4,

而平面PAD1平面ABCD交于AD,CDu平面ABCD,

所以CD1平面尸￡%,又尸Zu平面PZC,

所以尸4。），尸。，

平面PAB和平面PCD交線平行于CD.

故NDPA是平面PAB和平面尸CD所成二面角的平面角.

PA=PD=6,CD=2.有PA2+PD2=DA2,ZDPA=90°,

故平面PAB1平面PCD.

方法三：取8c中點(diǎn)為G,先證明：PELDA,PE：LEG,DALEG,

???PA=PD,點(diǎn)E為4D的中點(diǎn).，尸￡_L4D,

而平面PAD1平面ABCD交于AD,PEu平面PAD,

所以，PEmABCD,又EGu平面48CD,

所以，PELEG,

由已知。4LEG,建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

Zi

因?yàn)镻A=PD=C,CD=2.

故C（2,1,0）,。（0,1,0）,尸（0,0,1）,4（0,-1,0）,

CD=（-2,0,0）,DP=A4=（-2,0,0）,ZP=（0,1,1）,

設(shè)平面尸CD的一個(gè)法向量為4=（m,〃,k）,

^-CD=0—2m=0

則《2-，即，取〃=1,4=1,得為i=（0,1,1）,

4?DP=0一〃+左二0

設(shè)平面尸45的一個(gè)法向量為%=（》#/）,

，—?—?

%-BA=0u=0一

則《，一，即《+/0'取V=1,Q=-1,得〃2=（0,1,-1）,

n2'AP-0

"1."2=（0,1/）,（0[,-1）=0-1+1=0，故〃]_L%，

所以，平面尸48J_平面PC。.

【小問(wèn)2詳解】

取中點(diǎn)為G.由（1）知，PELDA.PE.LEG,DA.LEG,

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則。（0,1,0）,尸（0,0,1）,8（2,-1,0）,￡（0,0,0）,G（2,0,0）,

所以礪=（0,-1,0）,麗=（-2,1,1）,麗=（2,-1,0）,麗=（0,0,1）,

顯然可知平面PAB的法向量為麗=（0,1-1）,

設(shè)平面P8E的一個(gè)法向量為應(yīng)=（生"c）,

in-EB=02a—b=0、

則〈一,\.，取b=2,a=l,得比=((1,2,0)，

m-EP=0〔。二0

/一—\m-PD(1,2,0).(0,1,-1)2V10

刑、/\m\\PD\|1,2,0||0,1,-1|75x725

所以平面PBE和平面PAB所成銳二面角的余弦值為

17.已知拋物線/=8了的焦點(diǎn)為廠，其準(zhǔn)線與V軸相交于點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P滿足直線尸尸，尸M的斜率之積為

---記點(diǎn)P的軌跡為

2

（1）求「的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)/（0,1）且斜率為左的直線/與x軸相交于點(diǎn)8,與「相交于C,。兩點(diǎn)，若的聽(tīng)^.求左的值.

22

【答案】（1）—+^=1（x^0）

84V7

（2）k=+—

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意演尸七根據(jù)斜率公式代入上式，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得曲線方程；

（2）方法一、二，設(shè)出直線/的方程為＞=依+1（左片0）,與曲線r方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得占+々，

結(jié)合向量關(guān)系求解；方法三，由題，4B的中點(diǎn)即CD的中點(diǎn)，由點(diǎn)差法可得弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的

斜率的關(guān)系，列式運(yùn)算得解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)點(diǎn)尸（XJ）,XH0,由題意知?（0,2）,“（0,-2）.

直線PF,PM的斜率分別kpF=匕工,kPM=2土2,

XX

所以上y一―2?-y-+21

xx2

22

化簡(jiǎn)得土+匕=1

84

22

點(diǎn)P的軌跡方程為—+^=1（x^0）.

84v7

【小問(wèn)2詳解】

方法一，設(shè)。（國(guó),必）,。（》2,必），

由題意知直線/的方程為了=依+1（左wo）,所以川―go],

x2/,

—+—=1

聯(lián)立方程組《84,消去N整理得（1+2左2）/+4Ax—6=0,

y=Ax+1

4k6

，A=24+64后2〉0,

121+2左2'121+2公

由麗得，再+和

14左1

故有西+“一工，即“工

解得左=土交.

2

方法二：設(shè)。（苞,必）,。仇/2），由題意知直線/的方程為丁=息+1（左。0），所以3°）

二+匚1

聯(lián)立方程組《84,消去x整理得（1+2左2）/—2^+1—8/=0.

y=Ax+1

2i-8r4

??J+%=E'"2=KA=24k2+64k>0，

由劉得，X+卻

2

故有%+%=i,即K=L

解得左=±交.

2

由題意知直線/的方程為〉=丘+1（左70）,所以!刀]

方法三：設(shè)。（國(guó),乃）,。（》2,必）,

因?yàn)?（0,1）,所以線段48的中點(diǎn)為拉?J

與^=-，7，&產(chǎn)=:,又因?yàn)槎?,所以點(diǎn)M也是CD的中點(diǎn),

(22

二+j①

聯(lián)立方程組《84

名+五=1②

[84

①-②得三+三=。，即^^+(…)2)=。,

o42

所以也興+95+%)=0,

2石一%2

又因?yàn)榘硕?/p>

18已知函數(shù)/(x)=(x-l)e*-ax?-l,aeR.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)/(x)的圖象在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(3)設(shè)g(x)=lnx—e=-+X,若/⑴之且⑴,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)j=ex-e-1

(2)答案見(jiàn)解析(3)(-℃,1]

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

(2)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論即可求解；

(3)由〃x"g(x)參變分離得，心在＞―+二恒成立,設(shè)

X

h(x)=空一此了1+二6〉0,則awA(x)min,利用導(dǎo)數(shù)求出A(x)min即可.

【小問(wèn)1詳解】

f(x)=(x-l)e*-ax2-1,

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=(x-l)ex-l,/,(x)=xeJC,

當(dāng)x=l時(shí)，/(l)=-l，r(l)=e,

函數(shù)/(x)在x=l處的切線方程為〉=合-e-1.

【小問(wèn)2詳解】

函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽J'(x)=泥工—2ax=x3—2a),

①當(dāng)aWO時(shí)，2a〉0恒成立，令/'(x)=0,則x=0,

若/'(x)>0,x>0：若/'(x)<0,x<0,

所以/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+e)單調(diào)遞增；

②當(dāng)?！?時(shí)，/,(x)=x(ex-2a)=x(e';-eln(2fl)j,

令/'(x)=0,則x=0,x=ln(2a),

(i)當(dāng)ln(2a)<0,即0<a<；時(shí)，

若f'{xj>0,x<ln(2a)或x>0：若/'(x)<0,ln(2a)<x<0,

所以/(x)在(-*ln(2a))上遞增，在(ln(2a),0)上遞減，在(0,+動(dòng)上遞增.

(ii)當(dāng)ln(2a)=0,即〃■時(shí)，/(工)20恒成立，/(%)在R上遞增.

(iii)當(dāng)ln(2a)>0,即時(shí)，若/，(x)〉0,x<0或x>ln(2a)：

若/'(%)<0,0<x<ln(2a),

所以/(X)在(7,0)上遞增，在(0,ln(2叫上遞減，在(ln(2a),+s)上遞增，

綜上所述，當(dāng)aWO時(shí)，/(力在(7,0)單調(diào)遞減，在(0,+。)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<；時(shí)，/⑺在(—叫l(wèi)n(2a))上遞增，在(ln(2a),0)上遞減，在(0,+“)上遞增;

當(dāng)a=；時(shí)，/⑴在R上遞增；

當(dāng)時(shí)，/⑴在(-8,0)上遞增，在(0,ln(2a))上遞減，在(ln(2a),+s)上遞增.

【小問(wèn)3詳解】

由/(x)-g(')得xe"—lnx—x+%2一12ax2恒成立

因?yàn)閤>0,即aWxe，-Inx了-1+》2恒成立.

X

x2

、幾7/\xe—lux—x—1+%E1、

設(shè)/2(%)=--------2-------,X〉0，貝1。V〃(x)min，

JC

因?yàn)閤e,=e3x，

「ei-(liu+x)-l]+f

同構(gòu)可得〃(x)=------——丁」-J----

X

令/=lnx+x,因?yàn)閤>0,所以/eR,

下面先證e'2/+l

設(shè)0?)=e'-/-l,/eR,于是"=

令0'(/)=0,貝i]/=0,當(dāng)夕'(f)>0時(shí)，/>0：

當(dāng)。'(7)<0時(shí)，t<0

所以夕(。在(7,0)上單調(diào)遞減，在(0,+。)上單調(diào)遞增,

所以心正(。=。(0)=0,即e'2/+l，當(dāng)且僅當(dāng)t=。時(shí)等號(hào)成立

所以6欣+建(原+力+1,

「*'+'—(lux+x)—]]+x?x2

即=-------'——20=1，

XX

所以〃min(x)=l，即

故實(shí)數(shù)。取值范圍為(-8』]

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：

一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用;

二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理，

19.設(shè)數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和為S0,且E,+a"=2.

(1)求數(shù)列｛4