江西省九江市高中數學 第一章 計數原理 1 分類加法計數原理和分步乘法計數原理（一）教學實錄 北師大版選修2-3

江西省九江市高中數學第一章計數原理1分類加法計數原理和分步乘法計數原理（一）教學實錄北師大版選修2-3授課內容授課時數授課班級授課人數授課地點授課時間設計意圖本節(jié)課以江西省九江市高中數學第一章“計數原理”中的分類加法計數原理和分步乘法計數原理（一）為主要內容，旨在幫助學生掌握計數原理的基本概念和方法，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和解決問題的能力，為后續(xù)學習打下堅實基礎。核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象和數學運算的核心素養(yǎng)。通過探究分類加法計數原理和分步乘法計數原理，學生能夠發(fā)展抽象思維能力，學會運用邏輯推理解決實際問題，提升構建數學模型的能力，增強空間想象力和提高數學運算的精確性。學情分析本節(jié)課面向的高中一年級學生，他們在初中階段已經接觸過基礎的數學知識，具備一定的數學思維能力和解決問題的能力。然而，由于個體差異，學生的知識層次存在一定差異：

1.知識方面：部分學生可能對組合數學的概念理解不夠深入，對排列組合的基本原理掌握不牢固，這會影響他們對計數原理的理解和應用。

2.能力方面：學生的邏輯推理能力和抽象思維能力存在差異，部分學生可能難以從具體情境中抽象出數學模型，影響他們對計數原理的運用。

3.素質方面：學生的數學學習興趣和自主學習能力有所不同，部分學生可能對數學學習缺乏興趣，需要教師激發(fā)他們的學習積極性。

4.行為習慣：學生的課堂參與度和合作學習習慣各異，部分學生可能缺乏主動提問和思考的習慣，這會影響課堂互動和教學效果。

-需要根據學生的知識基礎調整教學難度，確保教學內容的適宜性。

-注重培養(yǎng)學生的邏輯推理和抽象思維能力，通過實例和練習幫助他們理解和應用計數原理。

-激發(fā)學生的學習興趣，鼓勵他們積極參與課堂討論，提高課堂互動效果。

-培養(yǎng)學生的自主學習能力，引導他們養(yǎng)成良好的學習習慣，為后續(xù)數學學習打下堅實基礎。教學資源準備1.教材：確保每位學生都有北師大版選修2-3《計數原理》教材。

2.輔助材料：準備與分類加法計數原理和分步乘法計數原理相關的圖片、圖表和教學視頻，以幫助學生直觀理解概念。

3.教學工具：準備計算器、計數器等工具，以便學生在課堂上進行實際操作和練習。

4.教室布置：設置分組討論區(qū)，方便學生進行小組合作學習，并確保教室環(huán)境安靜、整潔，有利于學生集中注意力。教學流程一、導入新課（用時5分鐘）

1.教師通過提問的方式，引導學生回顧初中階段學過的排列組合知識，如“從5個不同的球中取出3個，有多少種不同的取法？”

2.學生回答后，教師總結并引出本節(jié)課的主題：“計數原理”，強調計數原理在解決實際問題中的重要性。

3.展示生活中的實例，如購物抽獎、體育比賽等，讓學生體會計數原理在實際生活中的應用。

二、新課講授（用時15分鐘）

1.講解分類加法計數原理：

-教師通過實例（如將一本書分為封面、封底和中間部分）引導學生理解分類加法計數原理的概念。

-通過列舉不同分類方法，讓學生體會分類加法計數原理的應用。

-舉例說明如何運用分類加法計數原理解決實際問題。

2.講解分步乘法計數原理：

-教師通過實例（如從A地到B地有三種交通工具：步行、騎自行車、開車，每種交通工具又有兩種不同的路線）引導學生理解分步乘法計數原理的概念。

-通過列舉不同步驟，讓學生體會分步乘法計數原理的應用。

-舉例說明如何運用分步乘法計數原理解決實際問題。

3.講解計數原理的應用：

-教師展示一些實際生活中的問題，如“從5個不同的球中取出3個，有多少種不同的取法？”

-學生運用分類加法計數原理和分步乘法計數原理進行解答，教師點評并總結。

三、實踐活動（用時15分鐘）

1.學生獨立完成教材中的練習題，鞏固所學知識。

2.教師挑選幾道具有代表性的題目，讓學生上臺講解解題思路，其他學生進行點評。

3.教師針對學生解答中存在的問題進行講解和示范。

四、學生小組討論（用時10分鐘）

1.教師提出問題：“如何運用計數原理解決實際問題？”

2.學生分組討論，舉例回答：

-問題1：班級有5個男生和4個女生，從中選出2名男生和1名女生參加比賽，有多少種不同的選法？

學生回答：運用分類加法計數原理，先從5個男生中選出2個，有C(5,2)種選法；再從4個女生中選出1個，有C(4,1)種選法。所以總共有C(5,2)×C(4,1)種選法。

-問題2：一個班級有8名學生，他們分別參加籃球、足球和乒乓球三個運動項目，每個項目至少有1名學生參加，有多少種不同的參加方式？

學生回答：運用分步乘法計數原理，先確定每個項目至少有1名學生參加，有3種選法；再考慮剩余的5名學生如何分配到這三個項目，有C(5,1)×C(4,1)×C(3,1)種選法。所以總共有3×C(5,1)×C(4,1)×C(3,1)種選法。

-問題3：一個班級有10名學生，他們分別參加籃球、足球和乒乓球三個運動項目，每個項目至少有1名學生參加，有多少種不同的參加方式？

學生回答：運用分類加法計數原理，先確定每個項目至少有1名學生參加，有3種選法；再考慮剩余的7名學生如何分配到這三個項目，有C(7,1)×C(6,1)×C(5,1)種選法。所以總共有3×C(7,1)×C(6,1)×C(5,1)種選法。

3.教師點評學生的回答，并總結計數原理在解決實際問題中的應用。

五、總結回顧（用時5分鐘）

1.教師總結本節(jié)課所學的分類加法計數原理和分步乘法計數原理，強調它們在解決實際問題中的重要性。

2.教師舉例說明本節(jié)課的重難點，如如何運用計數原理解決實際問題。

3.教師鼓勵學生在課后繼續(xù)練習，鞏固所學知識。

用時總計：45分鐘學生學習效果學生學習效果主要體現在以下幾個方面：

1.知識掌握：

-學生能夠準確理解并掌握分類加法計數原理和分步乘法計數原理的基本概念和原理。

-學生能夠熟練運用這兩種計數原理解決實際問題，如排列組合問題、概率問題等。

-學生能夠將計數原理應用于生活中的實際問題，如購物抽獎、體育比賽等。

2.能力提升：

-學生在邏輯推理能力方面得到提升，能夠從具體情境中抽象出數學模型，并運用計數原理進行推理。

-學生在數學建模能力方面得到增強，能夠將實際問題轉化為數學問題，并運用計數原理進行解決。

-學生在空間想象能力方面得到鍛煉，能夠通過計數原理理解并描述空間關系。

3.學習興趣：

-學生對數學學習產生濃厚興趣，能夠主動參與課堂討論，積極提問和思考。

-學生在學習過程中體會到數學的趣味性和實用性，增強了對數學學習的自信心。

4.自主學習能力：

-學生能夠自主學習，通過查閱資料、合作學習等方式，獨立解決計數原理相關的問題。

-學生養(yǎng)成良好的學習習慣，如按時完成作業(yè)、主動復習鞏固知識等。

5.課堂參與度：

-學生在課堂上積極參與討論，能夠主動分享自己的解題思路，與同學進行互動。

-學生在小組討論中能夠傾聽他人意見，尊重他人觀點，形成良好的團隊合作精神。

6.實踐應用：

-學生能夠將計數原理應用于實際生活中，解決實際問題，提高生活技能。

-學生在參加數學競賽、科技創(chuàng)新等活動中，能夠運用所學知識展示自己的能力。板書設計①計數原理概述

-分類加法計數原理

-分步乘法計數原理

②分類加法計數原理

-基本概念：將問題分為若干個互斥的類別，每類計數方法獨立，各類計數方法的總和即為問題的總數。

-例子：從A地到B地有三種交通工具：步行、騎自行車、開車，每種交通工具又有兩種不同的路線。

③分步乘法計數原理

-基本概念：將問題分解為若干個相互獨立的步驟，每步計數方法獨立，各步驟計數方法的總乘積即為問題的總數。

-例子：從5個不同的球中取出3個，有多少種不同的取法？

④應用實例

-排列組合問題

-概率問題

-生活中的實際問題（如購物抽獎、體育比賽等）

⑤計數原理公式

-分類加法計數原理：C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]

-分步乘法計數原理：P(n,m)=(n!)/[m!*(n-m)!]

⑥討論與練習

-舉例說明如何運用計數原理解決實際問題

-學生自主練習，鞏固所學知識教學反思教學反思

今天上了這一節(jié)“計數原理”的課，我覺得整體上效果還不錯，但也有些地方需要改進。

首先，我覺得課堂的導入做得不錯。通過生活中的實例，如購物抽獎、體育比賽等，讓學生感受到計數原理的實際應用，激發(fā)了他們的學習興趣。但是，我發(fā)現有些學生對于這些實例的理解還不夠深入，他們可能更習慣于抽象的數學問題。因此，我需要在今后的教學中，更加注重將抽象的數學知識與實際生活相結合，讓學生在具體情境中理解數學概念。

在新課講授環(huán)節(jié)，我按照分類加法計數原理和分步乘法計數原理的順序進行了講解。對于分類加法計數原理，我通過具體的例子，如從5個不同的球中取出3個，有多少種不同的取法？引導學生理解其概念和應用。對于分步乘法計數原理，我也用了一個類似的例子來講解。我覺得這些例子都比較貼近學生的生活，能夠幫助他們更好地理解這兩個原理。

然而，在講解過程中，我發(fā)現部分學生對分類加法計數原理的理解不夠透徹。他們往往只看到問題的表面，而沒有深入挖掘問題的本質。這就需要我在今后的教學中，更加注重培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，引導他們從多個角度思考問題，從而更好地理解計數原理。

實踐活動環(huán)節(jié)，我讓學生獨立完成教材中的練習題，并挑選了幾道具有代表性的題目讓學生上臺講解解題思路。這個環(huán)節(jié)我覺得效果不錯，學生的參與度很高，能夠積極地參與到課堂活動中來。但是，我也發(fā)現有些學生的解題思路不夠清晰，他們在闡述問題時缺乏邏輯性。這提示我在今后的教學中，需要加強對學生解題能力的培養(yǎng)，教會他們如何清晰、有條理地表達自己的思路。

在學生小組討論環(huán)節(jié)，我提出了幾個問題，如如何運用計數原理解決實際問題？學生們積極參與討論，舉例回答了各種問題。這個環(huán)節(jié)讓我看到了學生的潛能，他們能夠將所學知識靈活運用到實際問題中。但是，我也發(fā)現有些學生對于復雜問題的分析能力還不夠強，他們往往只能停留在表面，難以深入挖掘問題的本質。這需要我在今后的教學中，更加注重培養(yǎng)學生的分析問題和解決問題的能力。

總的來說，今天這節(jié)課