2024-2025學(xué)年重慶市黔江區(qū)高三年級(jí)上冊(cè)1月期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市黔江區(qū)高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

注意事項(xiàng)：

1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在

本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)符合題目要求.

1.設(shè)全集0=2,集合

Z={x|x-4#七1,左eZ}8={xx=4左+3左eZ}AuB=（）

Ax=4A:A:eZ}B{吊x=2左一1左eZ}

C{xlx=4左一1左eZ}D{Mx=8左+4左eZ}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

3.如圖，在正四棱錐尸—/8四中，E為棱力的中點(diǎn)，設(shè)DA=G,DC=BDP=E,則用

落b己表示而為（）

AB

—a+—b-c——a+—b+c

A.22B.22

--a-b+-c--d-b+c

C.22D.2

4.已知某班級(jí)將學(xué)生分為4個(gè)不同的大組，每個(gè)大組均有14名學(xué)生，現(xiàn)從這個(gè)班級(jí)里抽取5

名學(xué)生參加年級(jí)活動(dòng),要求每個(gè)大組至少有1名同學(xué)參加，則不同的抽取結(jié)果共有（）

B.GJ"種

A.?)種

C,4?)C種D.2GJC種

5.已知能〉1,如〉11g機(jī)=log,100，則加〃的最小值為（）

A.10后B叱

c.io4D.100

6.已知函數(shù)/（“）的定義域?yàn)榉病▁）=/（2-x）/（x）=/（x+4）,則下列選項(xiàng)一定正確

的是（）

/(l-x)+/(l+x)=0

JO"。B

c/(3+2x)=/(3-2x)D./G）的圖象關(guān)于直線

x=2k(kwZ)七

'/對(duì)稱

,3AB

COS/4=____

7.在銳角A45C中，,-5,則NC的取值范圍為()

/

人加-25_

-_

-||_

-_

-52_

卬(<O(H)D,(H)

_4與。］2中，4用=2,4B=4,

8.在正四棱臺(tái)“BCD且正四棱臺(tái)存在內(nèi)切球，則此正

四棱臺(tái)外接球的表面積為（）

654965V130

——7T——n--------------71

A.2B.2C.24D.8I

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.

TC717C

—<(p<—X=-------

9.已知函數(shù)I22的圖象關(guān)于直線12對(duì)稱，則（）

2乃

A.JU）的最小正周期為3B./G）的圖象關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱

C."x）在I4J上有最小值D."x）在I612J上有兩個(gè)極值

點(diǎn)

10.設(shè)等差數(shù)列｛""｝的前〃項(xiàng)和為S",公差為d,已知“7〈°，%+生）0,則下列說(shuō)法正確

的是（）

A.$0的最小值為$7B.滿足5，>°的最小〃值是14

[Xi

C.滿足S"<°的最大〃值是14D.數(shù)列1""J的最小項(xiàng)為第8項(xiàng)

11.在棱長(zhǎng)為4的正方體/BCD—4用G"中，"為棱2。中點(diǎn)，N為側(cè)面8℃百的中心,

P為線段MN（含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，平面A""交于Q,則（）

245

ABP

A.三棱錐4—的體積為定值B.P3的最小值為5

C.80=l口.平面01〃乂將正方體分成兩部分，這兩部分的體積之比為3：2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

a

-(a,b\=-(a+b,a-b\=—TTb

12.己知非零向量乙滿足：'/2,且'/3,則

13若(3X—1)5=%+qx++生/+。4一+%/則q+2外+3%+4%+5%=

14.已知點(diǎn)尸（3,0）,點(diǎn)M8為圓C:（x-2）+/=4上的動(dòng)點(diǎn)，且莎?麗=0.記線段

4B中點(diǎn)為。，則KO的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）

已知函數(shù)/（x）="?（?+x+a）在（0,/（0））處的切線與直線"_,_3

=°平行，其中

Q￡R

(1)求。的值；

(2)求函數(shù)"x)在區(qū)間12,2］上的最值.

16.(15分)

某科技公司研發(fā)了一種新型的AI模型，用于圖像識(shí)別任務(wù).為了測(cè)試該模型的性能，對(duì)其進(jìn)

行了500次試驗(yàn)，并記錄了每次試驗(yàn)中模型正確識(shí)別圖像的數(shù)量，得到如下的樣本數(shù)據(jù)頻率

分布直方圖.

(1)估計(jì)這500次試驗(yàn)中該AI模型正確識(shí)別圖像數(shù)量的均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點(diǎn)值作代表)；

(2)以頻率估計(jì)概率，隨機(jī)對(duì)該模型進(jìn)行3次試驗(yàn)，用X表示這3次試驗(yàn)中正確識(shí)別圖像

數(shù)量不少于20個(gè)的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

在空間幾何體.―NBC。中，底面N8CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，其中

ZDAB=60°,BE,/l,DFDF=2BE=2CF=2叵EF=#>

(1)求證：。/,平面48。。；

(2)求二面角幺―EE—C的正弦值.

18.（17分）

C：~?---^=1(Q>0,b>0)77/9I

已知雙曲線。b的右焦點(diǎn)為「*，u人漸近線方程為V=±A/3X.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設(shè)直線/與雙曲線C、圓。：/+/=〃相切，切點(diǎn)分別為4B,與漸近線相交于

M，N.兩點(diǎn).

(1)證明：IIII為定值；

(ii)若M3=2二,求直線/的方程.

19(17分)

集合7為集合N*的子集，若數(shù)列｛4｝｛'"｝滿足：V〃eT'，恒為左的倍數(shù)，則稱

｛%｝與也｝“T一左相關(guān)“

⑴若4=2〃-1,請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)不同于數(shù)列｛4｝且首項(xiàng)為1的等差數(shù)列也J,使得㈤｝與

｛，｝“乂-4相關(guān)，，.(無(wú)需證明)；

⑵若數(shù)列也｝滿足.%=3,42=21人=7%-10%(〃”)

(i)證明：數(shù)列｛""+「"“｝為等比數(shù)列，并求出4；

(ii)若"=12〃+3,｛%｝與也｝,八9相關(guān)”，求所有滿足條件的集合T.

數(shù)學(xué)試題答案與評(píng)分細(xì)則

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.B/=?=2x2左+1,左￡工},5=g|x=2x（2左+

二./U3=?=2左一1,左￡Z}.

2D_（l_i）（2-i）」_3i

'-2+i-（2+i）（2-i）-5

3.C5E=A4+AE=-DC+-（DP-A4）=-6+-C--G=--G-6+-C

2、72222

4.C由題，其中1個(gè)大組抽取2名學(xué)生，剩下3個(gè)大組各抽取1名學(xué)生不同的抽取結(jié)

果共有C>C：?（c；J=4（。4）?G：.

2

5.Bvlgm=21og10=——Igm-lg/z=2,則

wlg〃?

lg（mn^=Igm+Ign>2Jig掰?lg〃=2后,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=10^時(shí)取等，

/.mn>IO?亞.

6.C/（3+2x）=/（2-（3+2x））=/（-l-2x）=/（-l-2x+4）=/（3-2x）.

7.C由余弦定理可知：a2=b2+c2--bc,在銳角三角形中又有I：+',>：,即

5[c2+a2>b2

b2+c2--bc+b2>c2

<5,解得_<工<一.

。2+62+/_物,〉〃5b3

[5

8.A作過(guò)內(nèi)切球切點(diǎn)的截面如下：

由圖可知￡E=EN=EG,則ML=MN+NL=GL+ME=3,過(guò)M作

MK上JL于K.EG=MK=732-1=272.即四棱臺(tái)的高為2企.

設(shè)上下底面的中心分別為a,外接球球心為。，半徑為R.

則

002=。。+0。2=-4。；+yjo^-AOl=卜_(物2+《R2—Q亞)2=242

，解得用=竺.則外接球表面積為4兀氏2=%.

82

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

-「兀、兀兀3兀77”.兀兀

9.ABD3x-----|+0=-------(p——F￡Z,即0=-----FATC,keZ,而<"<一,

I12j42422

故k=-l,q)=C.

4

271971

對(duì)于選項(xiàng)A：最小正周期7=總=」，正確.

W3

5兀7L

對(duì)于選項(xiàng)B：%=正時(shí)，31一1=兀,(兀,0)為y=sinx的對(duì)稱中心，正確.

對(duì)于選項(xiàng)c：時(shí)，3x—楙］,無(wú)最小值，錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)D：xe［—巳,卷］時(shí)，3x—結(jié)合y=sinx的圖象可知，有兩個(gè)

極值點(diǎn)，正確.

10.ABD由%<0,%+/〉0可知/<0,t/>0,a8>0.

對(duì)于選項(xiàng)A:由4,。2,…,。7為負(fù)，。8，。9,…為正可知，$7最小，正確.

對(duì)于選項(xiàng)B：S13=—~~-=\3a-j<0,S14=—~----=7(a7+ag)>0,則滿足

S“〉0的最小值為14,故B正確，C錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)D：由%,電，…，。7為負(fù)，a8M9,…為正，且E，S，…,百3為負(fù)，S",S15,…為正可

知:為負(fù).考慮到網(wǎng)>網(wǎng)>…>|513|,|?8|<|^9|<<??<|a13|,故-―如最大,

^,Q^^13

即邑最小，正確.

。8

11.AC對(duì)于選項(xiàng)A：取AB1中點(diǎn)E,可證明四邊形NENA/為平行四邊形，則肱V〃/￡,

即MN//平面A.AB.則點(diǎn)P到平面ABBA的距離恒為直線MN到平面ABB4的距

正確.

對(duì)于選項(xiàng)B：連接BM,BN,計(jì)算可知BM=2也,BN=2也.,MN=2出,作出平面三角

形a可知BPLTW時(shí)，取得最小值述.不正確.

5

對(duì)于選項(xiàng)C：由平面44QQ〃平面ABCG，而平面AW與兩個(gè)平面分別交于QACQN,

則。］M〃QN.作NKLBC,則△4MNQK,則K0=1,.?.30=1.正確.

對(duì)于選項(xiàng)D：連接0N延長(zhǎng)至與gG交于〃，則截面為連接A。.記幾何體

QM0C的體積為匕.則

14x1x(2+3)x4+4x|x(l+3)x4=24.則另一部分的

匕二—D「MDCQ+^D-HQCC二一X

{}3

體積匕=4x4x4—匕=40.則2=竺=3.不正確.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

123

3

COS(5+B,萬(wàn)一=COSyTl.

512-612

\a+b\\a-b\~a^+b^2

解得|B|2=3忖「，散土=旦.

1*1b3

234

13.240對(duì)(3x-l)s=旬+axx+a2x+a3x+tz4x十%/兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得:

234

15(3x一I)，=%+2a2、+3a3x+4a4x+5a5x,再令x=1可得:

%+2a2+3%+4%+5a5=15x2，=240.

■.■PA-PB=0,:.PA±PB,而。為45中點(diǎn)，故|0?卜|諼|，因止匕:

|ec|2+\QP[=|e3|2+|ec|2=|^c|2=4,設(shè)。(…)，則

(x-2)2+/+(%-3)2+y24.

故點(diǎn)。在以C，o］為圓心，半徑為事的圓上?

2

,5、V7_V7+1

故國(guó)s—z-\-----=--------

222

四、解答題：本題共5小題，共77分.

15.解：(1)/'(%)=e*G?+3x+a+1)，

而/'(O)=a+l=2,故a=l.

(2)/")=e*G?+3x+2)=e*(x+l)(x+2),

當(dāng)xe(-2,-1)時(shí)，/'(x)<OJ(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(—l,2)時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞

增.

3e/</(2)=7e2,/(-l)=e/,

.../(x)的最大值為7e2,最小值為：.

16.解:(1)

0.01x10x5+0.02x10x15+0.015x10x25+0.03x10x35+0.025x10x45=29,

故均值為29.

(2)設(shè)1次試驗(yàn)中正確識(shí)別圖像數(shù)量不少于20個(gè)的概率為夕，則

^=0.015x10+0.03x10+0.025x10=0.7,則X?8(3,0.7).X=0,1,2,3

P(X=0)=Cfx0.7°x0.33=0.027;尸(X=l)=C]x0.71x0.32=0.189；

213

P（X=2）=C；X0.7X0.3=0.441;尸（X=3）=C；x0.7x0.3°=0.343

列X的分布列如下:

X0123

P0.0270.1890.4410.343

￡（X）=3xO.7=2.1

17.解：在中，DC2+DF2^FC2=>DFLDC.

取。尸中點(diǎn)連接ME,DB.

FM=MD=BE=\

BE//DF,:.MD幺BE,四邊形為平行四邊形

ME=BD

又?.?四邊形4BCD為菱形，ZDAB=60°

:.ME=BD=AB=2.

在△用展中，ME-+MF-EF2=>FMA.ME.

■：BD//ME,:.DFLDB.

。8<2平面^^￡）,。。匚ABCD

<DBCDC=D

DFVDB,DFLDC

DF±平面ABCD.

（2）取48中點(diǎn)N,連接DN.

?.,四邊形Z8CD為菱形，ADAB=60°.

DN1DC.

由（1）,。廠，平面48CZX

.?.ON,DC,。尸兩兩垂直.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，而為x軸正方向，反為y軸正方向，礪為z軸正方向，如圖所示建

立空間直角坐標(biāo)系.

^（73,-l,0）E（73,l,l）F（0,0,2）,C（0,2,0）

設(shè)平面4EF的法向量〃1=(再,必，4)

運(yùn)=(0,2,1),/=3百,1,2)

.---?--?

AE?〃1=()2%+為=0

<-._=>=>n,=^/3-1,2)

AF?〃1=()0

設(shè)平面EEC的法向量〃2=（x2,y2,z2）

EF=q?-1,1)反=^A/3,1-1)

EF?%=0一-%+22=0

=%=(0,1,1)

EC-=0Z2=0

-1+21

COS”1，％

A/8,V24

記二面角A-EF-C的平面角為。，

sin。=

，二面角A-EF-C的正弦值為—.

4

c=2

18.解：（1）由<2=6,

a

c1=a2+/

c-2

解得］6=百，故雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為—-或=1.

3

a=1

（2）①當(dāng)/與X軸垂直時(shí)，r.x=\,解得MQ,也）NXON=4.

②當(dāng)/與％軸不垂直時(shí)，設(shè)沿小,必）,不（工2，%）,4（%3，%），3（x4，34）?

設(shè)/:y=Ax+加與/=1聯(lián)立可得：（3-k2y）c2-2kmx-m2-3=0,

且有3—左2w0,A=4t2m2+4(3—k2+3)=12^m2—左？+3)=0,故加？=/—3,

rkmk7m2-k23

且13=~—TV=-生+加=-------------

3-kmmm

將/:y=丘+加與/一］-二0聯(lián)立可得：g-左之卜2_2kmx-m=0.

2km2k—m1.

M+巧=----不=-----,xx=-----丁=1,

123—rm1923-k2

2

OM-ON=xxx2+yxy2=xxx2+(kxx+m)(fcr2+加)=(1+左？為％+左加(西+、2)+加之=1+k+km

2k+m=]—k2+加2__2

m

G1

而西.麗=\OM\\ON\cos=j-=~\ON\[OM\,故|ON|pM=4.

綜上所述，|0N||(W|=4.

加

(3)由/與圓相切可知：r=^=J=.

設(shè)直線0B為k：y=_%,與/:y=履+機(jī)聯(lián)立解得

由(1)可知幺1—8,—2],則|A8|