2024高考數(shù)學(xué)常考題型 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)6大題型（解析版）

第11講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)6大題型

【題型目錄】

題型一：三角函數(shù)的周期性

題型二：三角函數(shù)對(duì)稱性

題型三：三角函數(shù)的奇偶性

題型四：三角函數(shù)的單調(diào)性

題型五：三角函數(shù)的值域

題型六：三角函數(shù)的圖像

【典例例題】

題型一：三角函數(shù)的周期性

【例1】（2022?全國?興國中學(xué)高三階段練習(xí)（文））下列函數(shù)中，最小正周期為無的奇函數(shù)是（）.

A.y=|tanx|B.y=sin|2x|

C.y=sinxcosxD.y=sinx

【答案】C

【分析】根據(jù)奇偶性可判斷AB錯(cuò)誤，根據(jù)周期公式可判斷C正確D錯(cuò)誤.

【詳解】A選項(xiàng)，y=|tanx|為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng),y=/（x）=sin|2x|,則/（-x）=sin卜2x|=sin|2x|=/（x）,

故丫=如|2乂為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤;

]：27r

C選項(xiàng)，=sinXcosx=-sin2x,最小正周期丁=彳=兀，且為奇函數(shù)，故C正確；

2兀

D選項(xiàng)，y=sinx為奇函數(shù)，最小正周期T=7=2n,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【例2】（2022江西景德鎮(zhèn)一中高一期中（文））下列函數(shù)中①y=sin國；②>=卜皿小③y=kanx|；④

y=|l+2cos^,其中是偶函數(shù)，且最小正周期為萬的函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，>=$皿岡是偶函數(shù)，

但不是周期函數(shù)，，排除①;

②的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y=|sinx|是偶函數(shù),

最小正周期是乃，，②正確；

③的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y=|tanx|是偶函數(shù),

④的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于＞軸對(duì)稱，y=|l+2cosX是偶函數(shù)，最小正周期為2%,.?.排除④.

故選：B.

【例3】（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=si“2尤-的最小正周期是（）

7171

A.—B.—C.兀D.2,71

42

【答案】B

【分析】將/（X）解析式用正余弦的和差角公式展開化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果.

【詳解】13>5fW=sincos^2x+^

n「拒Y1也

=—sin2x------cos29%—cos29x-------sin2x

〔22人22J

1.0o石.2oA/32,3.o

=—sm2xcos2x------sin2x-------cos2ox+—sin2oxcos2x

4444

1..粗

=—sin4x------

24

所以7=與美,

42

故選:B.

【例4】設(shè)函數(shù)/（x）=cos2x+bsinx+c,則/"（x）的最小正周期（）

A.與方有關(guān)，且與c有關(guān)B.與匕有關(guān)，但與c無關(guān)

C.與6無關(guān)，且與c無關(guān)D.與b無關(guān)，但與c有關(guān)

【答案】B

27r27r

【解析】因y=cos2x的最小正周期為T=—=7i:,y=sinx的最小正周期為T=—=2^

所以當(dāng)bwO時(shí)，f（x）的最小正周期為2?；當(dāng)6=0時(shí)，，（x）的最小正周期為萬；

【例5】（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)＞=28$21+?]-1的最小正周期為（）

7171

A.—B.—C.乃D.2兀

42

【答案】C

〃2兀

【分析】由降幕公式和誘導(dǎo)公式即可得到V=-sin2x,再通過T=時(shí)即可求解.

【詳解】因?yàn)?%

y=2cos[x+?-1=cos2x+—=-sin2x,所以T=——=兀.

（22

故選：C

【例6】（2022?廣西桂林?模擬預(yù)測(cè)（文））函數(shù)/（x）=2Mn6x+cos6x|的最小正周期是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)周期的定義對(duì)選項(xiàng)一一檢驗(yàn)即可得出答案.

【詳解】“X)=2kin6x+cos6x|=20sin(6x+?)=20sin[6x+?),

因?yàn)?(x+f=2血sin^x+^+^=2A/2-sin^6x+^=/(x),

所以y(x)的最小正周期為

o

故選：D.

【例7】(2022?全國?高一專題練習(xí))/(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是()

n

A.—B.乃C.2萬D.3萬

2

【答案】A

【分析】化簡(jiǎn)可得〃尤)=庖卬1,根據(jù)正弦函數(shù)的周期可得.

【詳解】因?yàn)?(x)=|sinx|+1cosx|=J(|sinx|+|cosx|)~=[sin2x|+l,

因?yàn)閥=sin2尤的最小正周期為萬，所以y=bin2x|的最小正周期為

所以〃x)的最小正周期為不

故選：A.

【題型專練】

1.(2023全國高三題型專練)在函數(shù)①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos12x+。，@y=tan^2x-^

中，最小正周期為兀的所有函數(shù)為()

A.②④B.①③④C.①②③D.②③④

【答案】C

27r

【解析】Vy=cos12x|=cos2x,T---71；

y=|cosx|圖象是將"cos%在元軸下方的圖象對(duì)稱翻折到x軸上方得到,

所以周期為萬，由周期公式知，y=cos(2x+f)為%，y=tan(2x/^f,故選：C.

2.(2022.河北深州市中學(xué)高三階段練習(xí))下列函數(shù)中，最小正周期為"的奇函數(shù)是()

A.y=sin[x+￡B.y=sin(乃+x)cos(萬一x)

27

C.y=cosx-cosx+jD.y=sin|2x|

【答案】B

【分析】先化簡(jiǎn)各選項(xiàng)，由最小正周期的計(jì)算公式和奇、偶函數(shù)的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可求出答案.

【詳解】對(duì)于A：y=sinlx+最小正周期為2%,故A錯(cuò)誤;

12萬

對(duì)于B：）7=sinxcosx=-sin2x,最小正周期7=下-=?,且為奇函數(shù)，故B正確;

對(duì)于C：y=cos2x-sin2x=COS2A:,最小正周期為萬的偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：_y=/(%)=sin|2x|,則f(-x)=sin|-2x|=sin|2x|=f(x),

故丁=皿|2工為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：B

3.（2022?北京昌平.高一期末）下列函數(shù)中，最小正周期為萬的奇函數(shù)是（）

71

A.y=sinIx+—B.y=sin|2x|

4

C.^=sinxcosxD.y=cos2A:-sin2x

【答案】c

【分析】利用二倍角公式及正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可;

【詳解】解：對(duì)于A：y=sin（x+?）最小正周期為2萬，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：y=/(x)=sin|2x|,則/(-力=5訶-2耳=sin|2x|=/(x),故y=sin|2x|為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤;

124

對(duì)于C：y=sin%cosx=]Sin2x,最小正周期7=《-=乃，且為奇函數(shù)，故C正確;

對(duì)于D：y=cos2x-sin2_x=cos2x,最小正周期為萬的偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤;

故選：C

4.（2022?陜西渭南?高二期末（理））函數(shù)/（x）=sin2x+百sinxcos元的最小正周期是.

【答案】兀

.2兀

【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式將化簡(jiǎn)函數(shù)，再由7=時(shí)即可求解.

2CQS71

【詳解】因?yàn)?(x)=sin%+6sinxcosx=^-+sin2x=sin\2x--\+^,

226

所以7=5-=".

故答案為：兀

5.（2022?全國?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=|gsin6yx-cos0H（。＞0）的最小正周期為萬，則。=

【答案】1

【分析】利用輔助角公式，可得了（力解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期的求法，結(jié)合題意，即可得答

案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃X）=|若sin5-cos磯=2sincox----

I6

12萬

所以最小正周期為：5y解得

故答案為：1

6.（2022?浙江?杭十四中高一期末）函數(shù)y=cos《+xkosx-cos?尤的最小正周期為

【答案】萬

【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、降幕公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，然后由周期公式可得.

2.l+cos2x

【詳解】因?yàn)閥=cos—+xCOSX-cosx=-sinxcosx--------------

2J2

=一；(sin2x+cos2x)~^=一^^sin(2x+?)—g

所以T=—=7l.

故答案為：兀

題型二：三角函數(shù)對(duì)稱性

【例1】（江西省“紅色十?！?023屆高三上學(xué)期第一聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）己知函數(shù)

/（口=$皿8+0]。＞0,0＜。＜3的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)為-則Ax）的一條對(duì)稱軸是（）

1512

AA.x=—B.x=—C.x=-D.x='一

6633

【答案】B

【分析】根據(jù)兩個(gè)相鄰零點(diǎn)的距離求出最小正周期，從而求出。=兀，

代入特殊值后求出。=7=T，求出/（X）的解析式，求出對(duì)稱軸方程為x=Z:+1：（左eZ）,從而求出正確答案.

36

【詳解】設(shè)/（X）的最小正周期為T,則《=]-1-口=1,得T=生=2,所以°=兀，

23ICD

71

71X+—

TT7T

所以/（九）的對(duì)稱軸為?=kn+—{keZ）,解得x=左十二（左GZ）,

取左=-1,得一條對(duì)稱軸為直線x=-2

故選：B.

的圖象（

【例2】（2022全國高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=cos2x+^J

§,o］對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)］K，。）對(duì)稱

A.關(guān)于點(diǎn)

777T

C.關(guān)于直線犬==對(duì)稱D.關(guān)于直線尤=］對(duì)稱

【答案】D

【解析】由題設(shè)，由余弦函數(shù)的對(duì)稱中心為（而+三0）,令2x+J=）br+W，得人竺+二，丘Z,易知A、

232212

JTk7TTC

B錯(cuò)誤；由余弦函數(shù)的對(duì)稱軸為1=左打，令2x+；=%?,得尤=7--7，keZ,

326

7T

當(dāng)左=1時(shí)，x=§,易知C錯(cuò)誤，D正確；故選：D

【例3】（2022?江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)）把函數(shù)y=sin（2x+F］的圖像向右平移。（。>。）個(gè)單位長(zhǎng)度,

所得圖像關(guān)于了軸對(duì)稱，則。的最小值是（）

，5兀一2兀一5兀一兀

A.—B.—C.—D.一

63126

【答案】c

47c

【分析】先利用平移求得〉=$ml（X-（p）+—,再由三角函數(shù)對(duì)稱性即可求解

【詳解】將函數(shù)y=si“2x+號(hào)J的圖象向右平移。（0〉。）個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=sin2（x-^）+y,

???所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

即專—2e=］+E,（左eZ）,

>0,

5兀

.??當(dāng)％=0時(shí)，0的最小值為二.

故選：C

【例4】（2023福建省福州屏東中學(xué)高三開學(xué)考試多選題）已知函數(shù)〃尤）=3sin（2x+0）］-的圖

像關(guān)于直線x=g對(duì)稱，則（）

A.函數(shù)/'1+1）為奇函數(shù)

JTJT

B.函數(shù)/■（*）在---上單調(diào)遞增

C.函數(shù)的圖像向右平移。（。>0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖像關(guān)于x=J對(duì)稱，貝壯的最小值是g

63

D.若方程〃x）=a在上有2個(gè)不同實(shí)根…，則歸-目的最大值為

【答案】AC

【分析】根據(jù)題意得。=-7，/（x）=3sin^2x-^,再結(jié)合三角函數(shù)的圖像性質(zhì)依次分析各選項(xiàng)即可得答

案.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=3sin（2x+°）［-的圖像關(guān)于直線x=寸稱，

TTTTTC

所以，2x——1-67=——Fkjl,左￡Z,解得（P=---Fk/,%￡Z,

326

?—t、r兀TC

因?yàn)?--＜夕＜一,

22

所以夕=-三，即/(x)=3sinf2%--^

6

所以，對(duì)于選項(xiàng)，函數(shù)

Ax+=|=3sin2x是奇函數(shù)，故正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)xe時(shí)，2x-￡e三瀉,由于函數(shù)'=$也尤在三空上單調(diào)遞減，所以函數(shù)了⑺

_32J6\_26JL2O

TT7T

在上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；

對(duì)于c選項(xiàng)，函數(shù)“X）的圖像向右平移。（a>0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的解析式為

g（x）=3sin^2x-2d!--

若g（x）圖像關(guān)于X=2對(duì)稱，則2、2-2。-生=工+核，左eZ,解得。=一匹+紅水eZ,

666262

77

由于a>0,故〃的最小值是故正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)尤時(shí)，

|_63」6OO

-TT2"

故結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，若方程/（力=。在上有2個(gè)不同實(shí)根占，%,不妨設(shè)再＜三,

則R—即取得最大值時(shí)滿足g且2%-J=當(dāng)，

6666

所以，、-司的最大值為?，故錯(cuò)誤.

故選：AC

【例5】（2023江西省高三月考）若函數(shù)y=cos[&x+?J（oGN+）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是仁,0）,則。的

最小值為（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【解析】當(dāng)1=工時(shí)，y=0,即cos（歲+g]=0,.?.處+工=工+而化eZ）,

6166J662

解得①=6k+2,①eN*，故當(dāng)左=0時(shí)，。取最小值2.

冗

【例6】【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】若將函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移五個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的

對(duì)稱軸為（）

紀(jì)

且￡

\)71

A|BX-

7262+-（keZ）

1

旦

府-

C\一D)冗

7X-

22+——（左eZ）

1212

【答案】B

TTTTTT

【解析】由題意，將函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移一個(gè)單位得y=2sin2（%+—）=2sin（2%+/）,則

12126

jrJTJTKTT

平移后函數(shù)的對(duì)稱軸為2工+生=生+左1,左eZ,即x=^+*/eZ,故選B.

6262

【題型專練】

1.（2020?四川省瀘縣第四中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=sin[2x+?|,則函數(shù)/（%）的圖象的對(duì)稱軸

方程為（）

7TC[r

A.x=k7i——.kGZB.x=k,7i-\—,A;eZ

44

C.x='k7i,keZ1兀1r

D.x=—k77r+—.kGZ

224

【答案】C

【解析】由已知，/（x）=cos2x,令2x=k兀,keZ,得x=；左"，左eZ.故選：C.

其中。>0,1。1<兀.若/（等）=2,/（孚）=0,且

2.【2017?天津卷】設(shè)函數(shù)/(犬)=2sin(s+e),XGR,

OO

F（x）的最小正周期大于2兀，則

27121IK

A.a)=—,，(P----B.a)二一，(p--------

312312

1117117兀

C.CD=—,(D=---------D.co——,(p——

324324

【答案】A

5am…K

--------(p—2k]TiH—

8242

【解析】由題意得〈其中左1，左所以G=](42—2kl)——,

Ucon7

—^一+。=自兀

2兀2?1

又7=——>2兀，所以0VG<1,所以口—,(p—2左]兀+71,

co

由網(wǎng)<兀得/=在，故選A.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）將函數(shù)y=sin2x-代cos2x的圖象沿x軸向右平移a個(gè)單位（a>0）所得圖

象關(guān)于y軸對(duì)稱，則。的最小值是（）

A.LcD

12-7-Hi

【答案】C

【分析】由輔助角公式，整理函數(shù)解析式，根據(jù)平移變換，結(jié)合對(duì)稱性，可得答案.

、

【詳解】函數(shù)y=sin2x—Gcos2x=2；sin2x—cos2x=2sin2x--\.

~213J

7

將函數(shù)y=2sin12x-?J的圖象沿x軸向右平移a個(gè)單位（a>0）,

得到的函數(shù)：y=2sin12x-2a-g1?.?所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

/.2a+g=9+左肛（左eZ）,解得a=專+冷，（左eZ））

二。的最小值是去

故選：C.

4.12018?江蘇卷】已知函數(shù)y=sin（2x+0）（—楙<夕<微）的圖象關(guān)于直線x=|對(duì)稱，則cp的值是

7T

【答案】一：

6

（2、2兀jr

【解析】由題意可得sin彳兀+。=±1,所以一兀+°=—+左兀，（p=——+hi（keZ）,

v3J326

I~I、r兀兀r-r*I^I1八兀

因?yàn)椤?lt;（p<一,所以左=0,夕=——.

226

5.（2022?廣西南寧?高二開學(xué)考試多選題）把函數(shù)/（x）=sinx的圖像向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)變

為原來的g倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)雙尤）的圖像，下列關(guān)于函數(shù)g（x）的說法正確的是（）

A.最小正周期為兀B.單調(diào)遞增區(qū)間kTi-—,k7t+—aeZ）

C.圖像的一個(gè)對(duì)移中心為D.圖像的一條對(duì)稱軸為直線式=專

【答案】ABD

【分析】由函數(shù)圖像變換得到g（x）解析式即可判斷A；利用整體代換法求出函數(shù)單調(diào)增區(qū)間即可判斷B；

分別求出和的值即可判斷C和D.

TT1

【詳解】函數(shù)/Q）=sin尤的圖像先向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腏（縱坐標(biāo)

不變），

得到g（x）=sin[2x+。]的圖像，則其最小正周期為/=兀，A正確；

qrqrqr5冗JT

令-g+2farW2x+gv2祈+g（左eZ）解得增區(qū)間是kn---,lat+—（AeZ）,B正確；

當(dāng)X='時(shí)函數(shù)g（x）=sin12x+?j的值為d=sin2d+]=sin^-y^0,故C錯(cuò)誤；

當(dāng)x時(shí)，函數(shù)80）=5布（2工+幻的值為1?\!|=$吊（2*^|+1]=$嗚=1,

故圖像的一條對(duì)稱軸為直線》=曝D正確.

故選:ABD.

題型三：三角函數(shù)的奇偶性

[例1]（2022?全國?清華附中朝陽學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=sin（2x+m+sin2x向左平移。個(gè)單位后

TT,

為偶函數(shù),其中0,-.則。的值為（）

A.-B.-C.-D.1

2346

【答案】D

【分析】先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形，然后利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出平移后的解析式，再利用其為偶函數(shù)可

求出e的值.

[詳解]y（x）=sin[2x++sin2x

.c兀c.兀.c

=sin2xcos—+cos2xsin—+sm2x

33

3「上6°

=—sin2xH-----cos2x

22

=Gsin[2x+（1,

所以，（九）的圖象向左平移e個(gè)單位后，得

y=y/3sin2（元+8）+看=A/3sin+2^+^,

因?yàn)榇撕瘮?shù)為偶函數(shù)，

所以26+二=巴+%兀,左EZ,得6=二十且,ZEZ,

6262

TT

因?yàn)?e0,-,

所以。=F，

6

故選：D

【例2】（2022.廣東.執(zhí)信中學(xué)高一期中）對(duì)于四個(gè)函數(shù)>=忖詡，y=|cosx|,y=sin|x|,y=tan|x|,下列說

法錯(cuò)誤的是（）

A.y=|situj不是奇函數(shù)，最小正周期是萬，沒有對(duì)稱中心

B.y=|co對(duì)是偶函數(shù)，最小正周期是萬，有無數(shù)多條對(duì)稱軸

c.y=sin|x|不是奇函數(shù)，沒有周期，只有一條對(duì)稱軸

D.y=tan|x|是偶函數(shù)，最小正周期是萬，沒有對(duì)稱中心

【答案】D

【分析】利用圖象逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

由圖可知，函數(shù)，Tsinx|不是奇函數(shù)，最小正周期是萬，沒有對(duì)稱中心，A對(duì);

由圖可知，y=|co&x|是偶函數(shù)，最小正周期是萬，有無數(shù)多條對(duì)稱軸，B對(duì);

由圖可知，函數(shù)y=tan國是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，沒有對(duì)稱中心，D錯(cuò).

故選：D.

【例3】(2022?陜西師大附中高一期中)已知函數(shù)/(x)=sin2(x+：)+2,若。=f(lg5),fe=/(lg1),貝U()

A.a+b=QB.a-b=0

C.a+Z?=5D.a—b=5

【答案】C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式化簡(jiǎn)/(x)=sin2(x+：)+2,然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)并比較四

4

的表達(dá)式，可得答案.

71

【詳解】由題意得個(gè)『松+工)+2=匚士?+2=%必+3

4222

故a=/(1g5)=gsin(21g5)+1,=/(lg1)=/(-lg5)=sin(2lg5)+1,

故a+Z?=5,

故選：C

【例4】(2022?江西省銅鼓中學(xué)高二開學(xué)考試)將函數(shù)〃x)=sin2x+指cos2龍的圖象向左平移夕(夕>0)個(gè)

單位長(zhǎng)度得到一個(gè)偶函數(shù)，則夕的最小值為()

A.工B.女C.衛(wèi)D.2

12636

【答案】A

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)/(尤)的解析式，求出變換后的函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于。的

等式，即可求得。的最小值.

【詳解】因?yàn)?(X)=5抽2%+百(：0$2%二2511112工+0］,

將函數(shù)八%)的圖象向左平移(p((p>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，

得到函數(shù)y=2sin2(x+^)+|=2sin(2x+20+。］的圖象，

因?yàn)楹瘮?shù)y=2sin(2x+20+］)為偶函數(shù)，則2(p+^=^^k7r(keZ),

解得O=：|■+與(左￡Z),

”>0,貝IJ當(dāng)左=0時(shí)，。取最小值2

故選：A.

ax

【例5】(2022?四川成都?模擬預(yù)測(cè)(理))函數(shù)〃%)=ln—；+(爐?2%)sin(%-1)+2%+1在［0,2］上的最大值與

x+l

最小值的和為()

A.-2B.2

C.4D.6

【答案】D

【分析】將函數(shù)/(x)左移一個(gè)單位,即g(x)=/(x+l),根據(jù)解析式可判斷g(-x)+g(尤)=6,即

函數(shù)g(x)關(guān)于(0,3)對(duì)稱，即可求解.

【詳解】將函數(shù)/(無)左移一個(gè)單位，得g(無)=/(x+l)=ln1^￡+(尤2-1卜皿工+2》+3,xe[-l,l],

貝Ug(-x)+g(x)=6,

所以函數(shù)g(x)關(guān)于(0,3)對(duì)稱，故最大值與最小值也關(guān)于(0,3)對(duì)稱，其和為6,

故選：D

【例6】(2022?貴州貴陽?高三開學(xué)考試(理))已知函數(shù)/(x)=2cos(2x+e)(0<e<W)的圖象向右平移(個(gè)

單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則。=()

A.-B.—C.-D.—

34612

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)平移關(guān)系求出g(x),再由g。)的對(duì)稱性，即得.

【詳解】由題可知g(x)=2cos[21x—|^+e=2cos12x—g+0|圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以夕——=—+kyi,eZ,因?yàn)?<9<萬，

所以夕=g.

6

故選：C.

【例7】(2022?陜西?定邊縣第四中學(xué)高三階段練習(xí)(理))已知函數(shù)〃x)=asinx-bcosx在x=?處取到最

大值，則小+f()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.關(guān)于點(diǎn)(匹0)中心對(duì)稱D.關(guān)于x軸對(duì)稱

【答案】B

【分析】首先根據(jù)已知條件得到+/sin卜+J],再判斷(x+j的奇偶性和對(duì)稱性即可.

【詳解】因?yàn)?asinx-bcosn=Ja：+6,sin(x-。),其中tan0=—,

因?yàn)?(x)=asinx-匕cosx在x=(處取到最大值，

所以sin(E-o1=l,即二一夕=匹+2左"，kwZ,即e=一三一2左;r,kwZ.

<4J424

所以/(x)=yja2+b2sin]x+?+2上左]=y/a2+b2sin[x+,

貝IJ/[x+?)=\la2+b2sin(x+?=+及cosx為偶函數(shù).

故選:B

【例8】(2023?全國?高三專題練習(xí))寫出一個(gè)最小正周期為3的偶函數(shù)〃x)=

【答案】cos-x（答案不唯一）

【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知函數(shù)性質(zhì)寫出滿足要求的函數(shù)解析式即可.

【詳解】由余弦函數(shù)性質(zhì)知：y=cos（區(qū)）為偶函數(shù)且上為常數(shù)，

又最小正周期為3,則927r=3,即左=2%9,

k3

27r

所以/（X）=cos（—X）滿足要求.

977

故答案為：COS（子x）（答案不唯一）

【題型專練】

1.（2022.全國?高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，既為偶函數(shù)又在1-半0）上單調(diào)遞增的是（

A.y=cosWB.y=|cosx|C.y=sin^x-^D.y=tanx-cosx

【答案】AB

【分析】逐一研究函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可.

【詳解】對(duì)于A,Vcos|-x|=cos|x|,且函數(shù)y=cosW的定義域?yàn)镽,

，函數(shù)V=cos|x|為偶函數(shù)，又%>0時(shí)，cos|x|=cosx,且函數(shù)y=cos%在（0,1

上單調(diào)遞減，.?.函數(shù)丁=85忖在［-go］上單調(diào)遞增，故A符合題意；

對(duì)于B,??[cos(—%)|=|cosx|,且函數(shù)y=|cosx|定義域?yàn)镽,

???函數(shù)y=|cosx|為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y=|cosx|=cosx,

且函數(shù)y=cosx在卜拳oj上單調(diào)遞增，

函數(shù)產(chǎn)由乂在上單調(diào)遞增，故B符合題意；

對(duì)于C,：y=sin[x-^)=-cosx,

.?.函數(shù)'=5.[-[在[-資)上單調(diào)遞減，故C不符合題意；

對(duì)于D,記)=/(%)=121?-(：0次，

貝!I/(-x)=tan(-x)一cos(-x)=-tanr-co&r,/.f(-x)豐/(x),

.,.函數(shù)'=1311彳-8$》不是偶函數(shù)，故D不符合題意.

故選：AB.

2.(2022?陜西?武功縣普集高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)/(力=3-0+sinx+a,若

/(lnm)=l,f^ln^=3,則.=()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

[分析]由利用函數(shù)性質(zhì)計(jì)算+A-x),然后由已知計(jì)算/(lnm)+/(-lnm)從而可求得。值.

【詳解】由函數(shù)〃%)=e*-eT+sinx+a,可得"-龍)+/(x)=2a.

因?yàn)?(ln,]=/(-ln〃7)=3,/(ln〃z)=l,所以/(111力2)+/111工]=1+3=4=24.

mJ\mJ

所以〃=2.

故選：B.

3.(2022?湖南倜南中學(xué)高二期末)函數(shù)為/(x)=sin[2x+o+g)偶函數(shù)的一個(gè)充分條件是()

A.(p=—B.(p=—

63

C.9=5D.(p=k兀GZ)

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性求參數(shù)。，結(jié)合選項(xiàng)確定一個(gè)滿足要求的。值即可.

【詳解】若函數(shù)〃x)=sin[2x+0+g)為偶函數(shù)，

TTTTTT

所以——=k7T-\——,keZ,貝！=■一，女wZ.

326

故選：A

4.（2022?貴州黔東南?高二期末（理））已知函數(shù)〃x）=cos（20"：｝o>O）的最小正周期為兀，將其圖象向

右平移夕（。>0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，則。的最小值為（）

A.-B.-C.-D.-

6432

【答案】C

【分析】根據(jù)周期求。=1,根據(jù)平移可得g（x）=cos12x-20-5），根據(jù)g（x）為偶函數(shù)，滿足-2夕-4=加,

即可求解.

【詳解】r=1^=7t,.-.69=l,f（x）=cos^2x-y^g（x）=f（x-^）=cos^2x-2^-y^

?..函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，.?.-2展4=板,即9=1一”,ZeZ.

362

兀

,”>0，

故選:C

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（無）=（尤2-2尤）sin（尤-口+工;在1⑴⑷⑶上的最大值為加，最小

x-1

值為N,則M+N=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】令=/（尤）轉(zhuǎn)化為g（f）=f2sinf+；-sinf+l,令人⑺=產(chǎn)sinf+；-sinf,根據(jù)奇偶性的定義,

可判斷九⑺的奇偶性，根據(jù)奇偶性，可得入⑺在一2,0）。（0,2]最大值與最小值之和為0,分析即可得答案.

【詳解】由/（尤）=[（左一一1]sin（x—1）+1+工

x-1

令％-1=1,

因?yàn)椴弧闧—1,1）51,3],所以/￡[-2,0）D（0,2]；

那么/（九）轉(zhuǎn)化為g（，）=?sin，+；—sinl+l,re[-2,0）o（0,2],

令力⑺=產(chǎn)sinZ+--sint,zG[-2,0）O（0,2],

貝U/z（一r）=（T）sin（一，）+^--sin~|t2sint---sint|,

（T）It）

所以〃（。是奇函數(shù)

可得入⑺的最大值與最小值之和為0,

那么g⑴的最大值與最小值之和為2.

故選：B.

6.(2022遼寧丹東?高一期末)寫出一個(gè)最小正周期為1的偶函數(shù)〃x)=.

【答案】cos2nx

2兀

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，=8$〃比的周期為「，所以函數(shù)丫=8$2欣的周期為1.

故答案為：cos2兀X.(答案不唯一)

7.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知/(x)=2sin(x+a)+cosx是奇函數(shù)，貝”ina的值為.

【答案】

【分析】首先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)/'(0)=0,求得sina=-；,再代入驗(yàn)證.

【詳解】因?yàn)?*)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0,即2sin(z+cos0=0,解得sina=-；,經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)

sina=-1時(shí)，cosa=±—

22

f(x)=2sinxcosa+2cosA:sina+cos%=2sinxcosa

=±A/3sinx，

不管函數(shù)是y=V^sinx還是y=-V5sinx,都是奇函數(shù).

所以sina=_g.

故答案為：-§

8.(2022?河南?高二開學(xué)考試)將函數(shù)〃"=??(3。|(0>0)的圖像向左平移7個(gè)單位長(zhǎng)度后得到偶函

數(shù)g(x)的圖像，則。的最小值是.

【答案】y

【分析】利用三角函數(shù)的圖像變換以及奇偶性的性質(zhì)求解.

【詳解】由題意，得g(x)=cosHm+,=cos](yx+?(y+j,

因?yàn)間(x)為偶函數(shù)，所以卜+看=%",keZ,

2

解得①=—§+4左，左cZ,又切>0,

所以當(dāng)左=1時(shí)，①取得最小值與■.

故答案為：g.

9.（2022.全國.高一單元測(cè)試）寫出一個(gè)同時(shí)具有性質(zhì)①f（O）=g；②〃x+兀）=〃％）的函數(shù)/"）=

（注：不是常數(shù)函數(shù)）.

【答案】sin2x+；（答案不唯一）

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性以及特殊值求得正確答案.

【詳解】由兀）="》）知函數(shù)以兀為周期，又〃0）=：，

所以〃x）=sin2x+1■滿足條件.

（其他符合題意的答案均可，如〃尤）=cos2x-g,〃尤）=tanx+g等.）

故答案為：sin2A-+1（答案不唯一）

題型四：三角函數(shù)的單調(diào)性

【例1】（湖南省永州市2023屆高三上學(xué)期第一次高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）將函數(shù)

/（x）=V^sinxcosx+cos2xT的圖