2024-2025學年浙教版七年級數(shù)學下冊復習：分式方程

第七講分式方程

知識梳理

方程包括整式方程和分式方程，整式方程指一元一次方程、二元一次方程和一元二次方程（八年級下冊學習），

分式方程指分母里含有未知數(shù)的方程。本講學習分式方程及其應用，同學們要善于找到它和整式方程的區(qū)別，牢固

掌握這一中考熱點。

1.分式方程及其解法。

⑴分母里含有字母的方程叫作分式方程。

⑵解分式方程：去分母，轉化為整式方程，得根，驗根。

⑶增根：使得分母等于零的根；在解分式方程時一定要驗根，方法是將得到的根代入最簡公分母中，使最簡公

分母為零的根是增根（增根應舍去），否則不是；解分式方程最后一定要寫出檢驗過程，這是重中之重。

（4）與增根有關的參數(shù)問題（參數(shù)指的是另一個“干擾”字母）：將原方程化為整式方程；確定增根；將增根代入所

得到的整式方程中，求出參數(shù)的值。

2.分式方程的應用：其中的步驟和整式方程的應用題步驟一樣，區(qū)別在于解出分式方程后，一定要對方程本身

和實際問題驗根，并且寫出檢驗過程，切記不可忘了這一步。

【例1】解分式方程：=+二=言+=。

x+7,x+9x+10,x+6

【變式訓練1］解分式方程:------1------=---------1------O

x+6x+8x+9x+5

【變式訓練2］解分式方程：+號7-=0。

X+11X—oX+Z%—oXLoX—o

【例2］若關于x的分式方程分-三=的解為負數(shù),求a的取值范圍。

X—ZX+X（X—ZIi-J

【變式訓練3］若關于x的分式方程當=昌-2有非負數(shù)解，求a的取值范圍。

x-12x-2

【變式訓練4］若關于x的分式方程4=2-5的解為非負數(shù)，則滿足條件的非負整數(shù)k的值為一。

1—xX—1

2

【例3］用換元法解方程：(五)+6=0。

【變式訓練5］解方程：/+3x-8=蔡。

【變式訓練6】方程高+要=爭勺實數(shù)根是」

【例］解關于的方程*-=時產(chǎn)生了增根，請求出所有滿足條件的的值。

4xX+ZX+Z，室1)\X、-rZ.)k

【變式訓練7］a為何值時，關于x的方程吃+告=吃會產(chǎn)生增根？

x-2xz-4x+2

【變式訓練8］若關于x的方程表-表=黑有增根，求增根和k的值。

【例5】“復興號”是我國具有完全自主知識產(chǎn)權、達到世界先進水平的動車組列車。“復興號”的速度比原來列

車的速度快了40km/h,提速后從北京到上海運行時間縮短了30mino已知從北京到上海全程約1320km,求復興

號”的速度。設“復興號”的速度為xkm/h，依題意，可列方程為。

【變式訓練9】“綠水青山就是金山銀山?！蹦彻こ剃牫薪恿?0萬m2的荒山綠化任務，為了迎接雨季的到來，

實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了25%,結果提前30天完成了這一任務。設實際工作時每天綠化的面積

為x萬m2,則下列方程中正確的是()。

A.--60=305,—^—--=30

x(1+25%)%(1+25%)%x

c60x(1+25%)60ccn6060x(1+25%)

C.-------------=30D.-------------=30

XXXX

【變式訓練10】2020年5月1日，北京市正式實施《北京市生活垃圾管理條例》，生活垃圾按照廚余垃圾、

可回收物、有害垃圾、其他垃圾進行分類。小紅所住小區(qū)5月和12月的廚余垃圾分出量和其他三種垃圾的總量的

相關信息如下表所示：

類別月份5月12月

廚余垃圾分出量(千克)6608400

7

其他三種垃圾的總量(千克)X

10

如果廚余垃圾分出率=廚余垃圾分出量X100%(生活垃圾總量=廚余垃圾分出量+其他三種垃圾的生活垃圾總量

總量),且該小區(qū)12月的廚余垃圾分出率約是5月的廚余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正確的是()。

A華X14#R6608400

X裊'660+x8400+—%

10io

7

660_8400660+x_8400+五％

C.-7D■X14-

660+x8400+—X6608400

io

［例6］近幾年我省高速公路的建設有了較大的發(fā)展，有力地促進了我省的經(jīng)濟建設，正在修建中的某段高速

公路要招標：現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊，若甲、乙合作，24天可以完成，需要費用120萬元；若甲單獨做20天后，

剩下的工程由乙做，還需40天才能完成，這樣需費用110萬元。問：

(1)甲、乙兩隊單獨完成此項工程，各需多少天？

(2)若甲、乙兩隊單獨完成此項工程，從節(jié)約資金的角度來講，應該選擇哪個工程隊？

【變式訓練H】某項工程，甲、乙兩隊合作6天可以完成。若甲隊單獨做4天后，剩下的工程由乙隊單獨做9

天才能完成。問：甲、乙兩隊單獨完成這項工程，各需要多少天？

【變式訓練12】在我市南沿海公路改建工程中，某段工程擬在30天內(含30天)完成?，F(xiàn)有甲、乙兩個工程隊,

從這兩個工程隊的資質材料可知：若兩隊合做，24天恰好完成；若兩隊合做18天后，甲工程隊再單獨做10天，也

恰好完成。請問：

（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需多少天？

（2）已知甲工程隊每天的施工費用為0.6萬元，乙工程隊每天的施工費用為0.35萬元，要使該工程的施工費用最

低，甲、乙兩隊各做多少天（同時施工即為合做）?最低施工費用是多少萬元？

【例7】甲、乙兩人沿圓形跑道勻速跑步，他們分別從直徑AB兩端同時相向出發(fā)，第一次相遇時離點A（弧形

距離）80m,第二次相遇時離點B（弧形距離）60m,求圓形跑道的周長。

圖1

【變式訓練13】甲、乙兩人沿著圓形跑道勻速跑步，他們分別從直徑AB兩端同時相向起跑。第一次相遇地

點P距離A點100m,第二次相遇地點Q距離B點60m,兩次相遇的地點在直線AB的同側且順序如圖2所示,

求圓形跑道的周長。

【變式訓練14】甲、乙兩人沿著圓形跑道勻速跑步，他們分別從直徑AB兩端同時相向起跑。第一次相遇時

離A點100m,第二次相遇時離B點60m,求圓形跑道的總長。

【例8］我們定義：如果兩個分式A與B的差為常數(shù)，且這個常數(shù)為正數(shù)，則稱A是B的“雅中式”，這個常

數(shù)稱為A關于B的“雅中值二

如分式4=三，3=含,4-3=三-(言)==2則A是B的“雅中式”,A關于B的“雅中

值”為2。

⑴已知分式C=吃,。=嚶二判斷C是否為D的“雅中式”，若不是，請說明理由；若是，請證明并求出C

x+2xz+4x+4

關于D的“雅中值”。

⑵已知分式P=4，Q=?,P是Q的“雅中式”，且P關于Q的“雅中值”是2,x為整數(shù)目雅中式”P的值也

9—3-x

為整數(shù)，求E所代表的代數(shù)式及所有符合條件的x的值之和。

⑶已知分式M==,N=j3(a,b,c為整數(shù)),M是N的“雅中式”，且M關于N的“雅中值”是1,求

XX

a-b+c的值。

【變式訓練15】對x、y定義一種新運行T,規(guī)定：T(x，y)=翳(其中a、b均為非零常數(shù))，這里等式右邊

是通常的四則運行，例如：7(0,1)=嗖等=b。

(1)已知T(1,-1)=-2,T(4,2)=1,求a、b的值;

⑵若T(x,y)=T(y,x)對任意實數(shù)x、y都成立(這里T(x,y)和T(y,x)均有意義)，則a、b應滿足怎樣的關系式?

【變式訓練】對兩實數(shù)、定義一種新運算，規(guī)定十=篝，例如：十(1+2)3

16xy.Xy212==3。

12-22+6

⑴填空:22十(-3)=.V5?V2=_;

⑵若a十2=1,求a的值;

(3)若m、n為整數(shù)，且m十n=l,求滿足條件的所有m、n的值。

【例9］先閱讀下面的材料，然后回答問題：

方程x+-=2+?的解為=2,?=?；方程x+工=3+?的解為=3,&=1；方程x+--4+為勺解為

XLzXo3X4

.1

與=4,%2=￡；,??

(1)觀察上述方程的解，猜想關于X的方程X+：=5+爭勺解是一；

(2)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關于x的方程％+工=a+%的解是—；

xa

(3)由(2)可知，在解方程y+=?時，可變形轉化為久+(=a+：的形式求值，按要求寫出你的變形求解

過程。

【變式訓練17］觀察下列方程以及解的特征：

?x+^=2+1的解為%!=2,X2=|;H-i=3+爭勺解為xt=3,x2=

物+；4+前勺解為X1=4,X2=^;-

(1)猜想關于x方程x+工=爪+工的解，并利用“方程解的概念”進行驗證。

xm

⑵利用⑴結論解分式方程：

加+產(chǎn)；②%+套=安。

【變式訓練18］先閱讀下列一段文字，然后解答問題：

已知方程子=子，解為久1=2,K2=：；方程子=子的解為%I=3,X2=方程?=可的解為

“1

X1=4,%2=7°

問題：(1)觀察上述方程及其解，再猜想出方程?=黑的解；

⑵請你再按照上述格式命制一個方程。

【例1。】觀察下面的變形規(guī)律：三=:后；*=A9；白=A3…

_LXZJ.NZXoN33X4j4

解答下面的問題:

(1)若n為正整數(shù)，若寫成上面式子形式，請你猜想

⑵說明你猜想的正確性；

(3)計算:+白+甘…+2015;2016

⑷解關于n的分式方程：三+*+白+…+嵩n+7

_LXZZXJ1.Jn+9

【變式訓練19】觀察下列各式:一4===熹號一；字=羨噌與表=短

11

56,.一

(1)請猜想出表示上面各式的特點的一般規(guī)律，用含x(x表示正整數(shù))的等式表示出來：；

(2)請利用上述規(guī)律計算：|+J+^+-+-2-+高(x為正整數(shù))；

⑶請利用上述規(guī)律，解方程：自+9%+Uli=擊

\_X_A2—*1)\X~1JXXT1JXTI

【變式訓練20】觀察下列等式：三=1-

J.XZZ.ZX3Zj3X4j4

將以上三個等式兩邊分別相加得+e=1-5+5一[―3=1-5

⑴計算：a+*+三+…+而%=-；

(2)猜想并寫出：高=%

⑶探究并解方程：x(x+3)+(x+3)(x+6)+(x+6)(x+9)-x2+9x°

答案

【例1】解:

(5-高)+(1+用=,+㈢+(2一日,

即二....-=-——

x—9x—19x—6x—8

-10-10

0-9)(%-19)-(x-6)(x-8)f

???(x-6)(x-8)=(x-9)(x-19),gp14x=123,

123

???X=——,

14

經(jīng)檢驗X=等是原方程的解,

14

*故式=——123

14

【變式訓練1】解：原方程移項得胃-甯=胃-三,兩邊同時通分整理得：i兩個

x+8x+9x+5x+6X2+17X+72

分式分子相同，分式值相同，則分式分母相同，???久2+17%+72=%2+11%+30,解得:x=-7,經(jīng)檢驗，x=-7是原方

程的解。

19x+2y_1

【變式訓練2】解：令x2+2x-8=y，方程化為人+；=。，即:,解得:y=9x或.y=-5x,當y=9x

y-15xy(y+9x)y-15xJ

22

時,x+2x-8=9x,解得:X1=8,x2=-1；當y=-5x時，x+2x-8=-5居解得：g=-8/4=1,經(jīng)檢驗都是分式方

程的解,

［例2］解:分式方程去分母得：:(x+l)(x-l)-(x-2)2=2x+a,

整理得%2—1—X2+4%—4=2%+0解得X=苫^,

根據(jù)題意得等<0,解得:a<-5,

再將x=2代入方程得:a=-l,

將x=-l代入得:a=-7,

則a的取值范圍為a<-5且a齊7。

【變式訓練3】解：弋;三-2,

X—LZX—Z

分式方程去分母得：2x=3a-4(x-1),

移項合并得:6x=3a+4,

解得；x=F，

O

???分式方程的解為非負數(shù),

...修"且修一1彳0,解得心一汨a豐三

6633

【變式訓練4】解：?.?片=2-二；,

1-xX-1

/.x=2-k,

Vx>0,

.*.2-k>0,

Ak<2,

..?滿足條件的非負整數(shù)k的值為0、1、2,

k=0時.解得x=2,符合題意，

k=l時，解得x=l,不符合題意，

k=2時.解得x=0,符合題意，

滿足條件的非負整數(shù)k的值為0或2。

故答案為：0或2。

【例3】解(缶￥-含+6=。.

設備="

2

則原方程可化為y-5y+6=0,解得yi=2,y2=3,

當：%=2時舟=2,解得x=當上，

經(jīng)檢驗x=當豆是原方程的解；

當y2=3時懵=3,解得X=2亙，

經(jīng)檢驗%=當亙是原方程的解;

O

?■工口iVi名刀石.1+V171—V171+V371—V37

??原方程的斛為?=――,X=――%=

424oO4

【變式訓練5】解：令/+3久=%方程化為y-8=第

去分母得：于_8y_20=。，即(y-10)(y+2)=0,

解得:y=10或y=-2,

%2+3x=10或x2+3x=-2,

解得xi=-5,x2=2,x3=-1,X4=-2,

經(jīng)檢驗：Xi=~5,X2=2,%3=-1,%4=-2都是原方程的根。

則原方程的根是%i=-5,x2=2,久3=-1,久4=-2。

【變式訓練6】解：?.?告+號=12,；.&+立！=?；

x2+lx2-3xxz+lx3

設品=/則y+y=T解得%=3,%=

???當門=3時3,無解舍去；

、1，l-|-X13±V5

當乃=§n時a==丁，

故答案為：萼。

【例4】解：方程去分母后得：(k+2)x=-3,分以下兩種情況：

令x=l,k+2=-3,則k=-5

令x=-2,-2(k+2)=3則k=-i

綜上所述，k的值為-5,或-卜

【變式訓練7］解方程兩邊都乘(x-2)(x+2),

得x+2+ax=3(x-2)

??,原方程有增根，

???最簡公分母(x-2)(x+2)=0,解得x=2或-2,

x=2時,a=-2,

當x=-2,a=6,

當a=-2或a=6時，關于x的方程二2會產(chǎn)生增根。

【變式訓練8］解:去分母得:3x+3-x+l=x+kx,

由分式方程有增根得到3x(x-l)=0,解得:x=0或x=l,

把x=0代入整式方程得：4=0，矛盾，舍去，

把x=l代入整式方程得：k=5。

【例5】解：設“復興號”的速度為xkm/h，則原來列車的速度為(x-40)km/h,

根據(jù)題意得：30

60

故答案是：詈30

60

【變式訓練9】解：設設實際工作時每天綠化的面積為x萬m2,則原計劃工作每天綠化的面積為三%萬nA

依題意得：60x(1+25%)絲=30。

Xx

故選:C。

660YA8400

【變式訓練10］解：根據(jù)題意知_____x14=_________

660+x________8400+—X

10

故選:B。

【例6】解：⑴設甲隊獨做需a天，乙隊獨做需b天，

1」一1

a+b-7i

建立方程組

竺+竺=1'

lab

解得（a=30

斛［守lb=120'

經(jīng)檢驗a=30,b=120是原方程組的解。

答：甲隊獨做需30天，乙隊獨做需120天。

（2）設甲隊獨做需x萬元，乙隊獨做需y萬元，

24（±+*）=120

建立方程組\301207

膽+膽=110

30120

%=135

解得：

y=60

答：甲隊獨做需135萬元，乙隊獨做需60萬元，應該選擇乙工程隊。

【變式訓練11］解：甲、乙兩隊單獨完成這項工程分別需要x天和y天，

由題意：+；=；，解得卮二二

\Xy

經(jīng)檢驗C二二是分式方程組的解，

答：甲、乙兩隊單獨完成這項工程分別需要10天和15天。

【變式訓練12】解：（1）設：甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需x天、y天，

f—+—=1

由題意得方程組（18*18'10，解之得：x=40,y=60,經(jīng)檢驗x=40,y=60均是方程的根。

匕+歹+=1

答：甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需40天，60天。

（2）?.?工程必須在規(guī)定時間30天內完成，

甲、乙兩個工程隊均不能單獨完成且工作時間不超過30天，又：甲工程隊每天的施工費用為0.6萬元，完成

整個工程需要0.6x40=24（萬元），

乙工程隊每天的施工費用為0.35萬元，完成整個工程需要0.35x60=21（萬元），

24>21,

要使施工費用最低，需使乙工程隊施工30天，其余工程由甲工程隊完成，

由⑴知，乙工程隊30天完成工程的=

甲工程隊需施3+親=20（天），

最低施工費用為0.6x20+0.35x30=22.5（萬元）。

答：（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需40天和60天。

（2）要使該工程的施工費最低，甲、乙兩隊各做20天和30天，最低施工費用是22.5萬元。

［例7］解：如圖：設圓形跑道總長為2S,甲乙的速度分別為V,V、兩人第一次在C點相遇，第二次相遇

有以下兩種情況:

(1)甲乙第二次相遇在B點下方D處,

-80_S-80

VV仆總彳曰8°_S-8°

由題意，有?S+60_2S60'匕1曰寸^60-2S^60J

VV'

解此方程，得S=0或S=180,

經(jīng)檢驗S=0或S=180都是原方程的解，但S=0不合題意，舍去，所以S=180,2S=360mo

(2)若甲乙第二次相遇在B的上方D處，

（80_S-80

由題意，有vV化簡得言=黑,

S-60_2S+60,

V'

解此方程，得S=0或S=300,

經(jīng)檢驗S=0或S=300都是原方程的解，但S=0不合題意，舍去，所以S=300,2S=600mo

這樣，兩人可能在D點處相遇，也可能在D點處相遇，故圓形跑道總長為360m或600m。

【變式訓練13】解：設圓形跑道周長為Sm,

■=遇，化簡得S2-720SR,

解得％=720&=0（舍去）,

經(jīng)檢驗，Si=720是原方程的解。

故圓形跑道周長為720m。?

【變式訓練14］解：如圖，

設圓形跑道總長為2S,又設甲乙的速度分別為V,V,再設第一

次在C點相遇，則第二次相遇有以下兩種情況：

(1)甲乙第二次相遇在B點下方D處，此時有方程組

j等二卡工=牝竺

%+6O_2S-6OS-1002S-60

（~vV~~

解此方程得S=0（舍去）,S=240,

所以2S=480m，經(jīng)檢驗是方程的解。

100_S-100

⑵若甲乙第二次相遇在B的上方D處，當D在BC間則有方程組s二1ZL/解此方程組得S=0（舍去）,S=360,

所以2s=720m,經(jīng)檢驗也是方程的解,

⑶當D在AC之間，在AC之間的，則乙共跑了60m,

也就是第一次相遇時乙跑了20m,也就是半周長為120m,全長為240m，（注：甲乙兩人一共才跑了1.5圈，所

以有些一個人超過1.5圈的情況就不要考慮了）

這樣，兩人可能在D點處相遇，也可能在D點處相遇，故圓形跑道總長為240m、480m或720m。

【例8】（1）C是D的“雅中式”，理由如下,

「卜1X2+5X+6

C—L)=--------------；----------

x+2X2+4X+4

_X+2-(X2+5X+6)

X2+4X+4

_X2+4X+4

X2+4X+4

=-lo

即:c不是D的“雅中式”。

ODn—E2x_￡'-2x(34-x)_E-2X2-6X

⑷"-Q=9T2—=-9^2—=9-x2-1

：P是Q的雅中式，

又.；P關于Q的雅中值為2,

2

E-2X2-6X^2(9-x),

/.E=6x+18,

...p=上=6久+18=_6_

9-x29-x23-x

VP的值也為整數(shù)，且分式有意義，

故3-x=±l,或3-x=±2,或3-x=±6,或3-x=±3,

.?.X的值為:-3,1,2,4,5,9,0,6

Vx#±3,

???x的值為:0,1,2,4,5,6,9。

符合條件的x的值之和為0+1+2+4+5+6+9=27。

⑶YM是N的“雅中式”，且M關于N的“雅中值”是1,M-N=

X

整理得(?b?c+a+4)x+bc-5a=0,

由上式子恒成立，則:「”c+：+4=0,

Ibe-5a=0

消去a得:bc-5b-5c+20=0,

/.b(c-5)-5(c-5)=5,

A(b-5)(c-5)=5,

a、b、c為整數(shù)

；.b-5、c-5也是整數(shù)，

當b-5=l、c-5=5時,b=5,c=10,此時a=12,

a-b+c=16,

當b-5=5、c-5=l時,b=10,c=6,止匕時a=12,/.a-b+c=8,

當b-5=-l、c-5=-5時,b=4,c=0,止匕時a=0,/.a-b+c=-4,

當b-5=-5xc-5=-l時,b=0,c=4,止匕時a=0,/.a-b+c=4o

綜上:a-b+c的值為:16或8或-4或4。

【變式訓練15］解：(1:7(x，y)=翳(其中a、b均為非零常數(shù))，

又?；T(1,-D=-2,T(4,2)=1,

.axl+￡)x(-l)_2ax4+bx2_1

*>2xl+(-l)-'2X4+2-'

解得a=l,b=3,

(2)皿)=翳")=把，

：T(x,y)=T(y,x),

.ax+by_ay+bx

2x+y2y+x'

???T(x,y)=T(y,x)對任意實數(shù)x,y都成立(這里T(x,y)和T(y,x)均有意義),

a=2bo

【變式訓練16］解：⑴根據(jù)題中的新定義得：

7+2V107+2V10

2十(-3)==1;逐十魚=

4—y+o5-2+69

7+2V10

故答案為1

9

(2)已知等式利用新定義化簡a十2=1得：

華言=1,即(a+2)2=a?+2,解得a=—上

4+62

故答案為-L

⑶根據(jù)題中的新定義得：

m十九二"+?=1,化簡得mn=3—n2

mz—nz+6

3

???m=——nn

,?'m,n為整數(shù),

?*.n的值為:±l,±3,m的值為:±2。

【例9】⑴解:關于x的方程％；5+節(jié)勺解是:X1=5,X2=g故答案為/=5,犯=巳

(2)解：關于x的方程x+-=a+工的解是-CL,%2=二故答案為%i=a,x=i

XCLCL2CL

(\3)K解T：y/+—y+l=—3

(y+D+W=3+a

-1

即y+1=3,y+1=-,

解得：yi=2,y2=-jo

【變式訓練17］解：

⑴關于x方程x+^=m+5的解為xx=m,x2=

驗證：當時,左邊=m+—=右邊，

x=mm

??.x=m是該分式方程的解；

當％=工時，左邊=