2024年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)講義：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

第二講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

第一課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

■識(shí)靛理?雙星自測(cè)

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性

1.設(shè)函數(shù)y=/Tx)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若/(x)>0,則於)為增函數(shù)，

若/若<0,則道x)為減函數(shù).

2.求可導(dǎo)函數(shù)人x)單調(diào)區(qū)間的步驟：

⑴確定他)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)/(x)；

(3)令/(x)>0(或/(x)<0),解出相應(yīng)的x的范圍；

⑷當(dāng)f(x)>0時(shí),寅x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)f(x)<0時(shí),小)在相

應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù).

歸納拓展

1.若函數(shù)人x)在(a,A)上單調(diào)遞增，則xG(a,b)時(shí)，/(x)》0恒成立；若

函數(shù)/(x)在(a,A)上單調(diào)遞減，則xG(a,A)時(shí)，/(x)W0恒成立.

2.若函數(shù)作)在(a,6)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則6)時(shí)，，(x)>0有解;

若函數(shù)義x)在(a,①上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則xG(a,b)時(shí)，/(x)<0有解.

雙基自測(cè)

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“?”或“X”)

(1)若函數(shù)道x)在(a,6)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有/(x)>0.(X)

(2)若函數(shù)y=/(x)在(a,3內(nèi)恒有/(x)N0,則.v=/(x)在(a,6)上一定為增函

數(shù).(X)

(3)在(a,6)內(nèi)/(x)W0且/(x)=0的根有有限個(gè)，則｛x)在(a,6)內(nèi)單調(diào)遞

減.(J)

(4)如果函數(shù)加0在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有/(x)=0,則穴x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)

性.(V)

i—ii

(5)因?yàn)榈膶?dǎo)函數(shù)為/=-----Vx>0,：.y'<0,因此v=；的減

Inxx(lnx)2Inx

區(qū)間為(0,+°°).(X)

［解析］(1)有可能/(%)=0,如兀0=》3,它在(一8,+8)上為增函數(shù)，但

f(x)=x2^0.

(2)因?yàn)?gt;=?若為常數(shù)函數(shù)，則一定有/(x)=0滿足條件，但不具備單調(diào)

性.

(3)f(x)=0在伍，6)內(nèi)有限個(gè)不影響了=/)的單調(diào)性，故正確.

(4)如果函數(shù)八%)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有/(x)=0,則此函數(shù)八%)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為

常數(shù)函數(shù)，則函數(shù)八%)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.

(5?=；定義域?yàn)?0,l)U(l,+°°),因此它的減區(qū)間為(0,1)和(1,+°°).

Inx

題組二走進(jìn)教材

2.(選修2P89T3改編)如圖是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/‘(x)的圖象，則下列

判斷正確的是(C)

A.在區(qū)間(一2,1)上寅x)單調(diào)遞增

B.在區(qū)間(1,3)上八x)單調(diào)遞減

C.在區(qū)間(4,5)上道x)單調(diào)遞增

D.在區(qū)間(3,5)上五x)單調(diào)遞增

［解析］在區(qū)間(4,5)上/(x)>0恒成立，

..戎%)在區(qū)間(4,5)上單調(diào)遞增，故選C.

3.(選修2P97Tl改編)函數(shù)寅x)=］的單調(diào)遞增區(qū)間為(B)

2X

A.(―0°,0)B.(0,21og2e)

C.(―0°,21og2e)D.(21og2e,+°°)

［解析］求導(dǎo)得/(x)=x(2-ln2'x),令/(x)>0,即可得出答案.f(x)

2X

2x2“-2”ln2f22x—ln2f2x(2—ln2?x)人"(x)〉0

或

(2*)22X2X2—In2x>0,

解得0<x<21og2e或無解.故選B.

［2-ln2-x<0,

4.(選修2P99Tl2改編)已知函數(shù)八x)=l+x—sinx,則寅2),寅3),義兀)的大小

關(guān)系正確的是(D)

A.型)>gB.義3)?2)>/5)

C.義2)次兀)次3)D.?>^3)>^2)

［解析］f(x)=l—COSX,當(dāng)xG(O,利時(shí)，/'(x)>0,所以加)在(0,兀］上是

增函數(shù)，所以義兀)次3)次2).故選D.

題組三走向高考

5.(2023,新課標(biāo)II,6,5分)已知函數(shù)/(x)=aeA—Inx在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增，

則a的最小值為(C)

A.e2B.e

C.D./

［解析］..7(x)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增，.?/(x)20在(1,2)內(nèi)恒成立，

即/(x)=aeY--0(1<x<2),a^—(l<x<2).

x

4^g(x)=%^(1<x<2),則g'(x)=(x+1)^>0,

g(x)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,g(x)E(e,2e2),

Ue2'e］,，。巳1,即a的最小值為】，故選C.

xe^ee

6.(2022?全國新高考I卷，7)設(shè)。二在短?！?，b=；,c=-ln0,9,貝lJ(C)

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

1x

［解析］設(shè)小)=ln(l+x)—x(x>—1),因?yàn)?(x)=」~—1=-.當(dāng)xG

1+x1+x

(—1,0)時(shí)，/(x)>0,當(dāng)x￡(0,+8)時(shí)F(x)<0,所以函數(shù)人x)=ln(l+x)—X在

(0,+8)上單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，所以JJ<X0)=0,所以In1<0,

故;Tn0.9,即b>c,所以［-1(0</(0)=0,所以也，故高，

所以工1<1,故a<A.設(shè)g(x)=xe"+ln(l-x)(O<x<l),則(x)=(x+l)e^+—

109x~1

---1"+1.令力(%)=心(12—1)+],h'(x)=ex(x2+2x—1),當(dāng)0Vxv也一]時(shí)，

x—1

h'(x)<0,函數(shù)五⑴:廿儼―D+i單調(diào)遞減，當(dāng)也―i<x<l時(shí)，h'(x)>0,函數(shù)

〃(x)=e%x2—D+i單調(diào)遞增，又〃(o)=o,所以當(dāng)0<戶42—1時(shí)，/z(x)<0,所以

當(dāng)0<x<也—1時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)=xex+ln(l—x)單調(diào)遞增，所以g(0.1)>g(0)

=0,即0.1e?！埂狄籌n0.9,所以a>c,故選C.

彎點(diǎn)突破?巨血探界

彎點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性

考向1不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性—自主練透

例求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(1次%)=4/+1；

X

(2g尸白

sinx

(3孫)=

2+cosx'

(4)/(x)=(x—l)ex—x2.

[解析](1)定義域?yàn)閧x|xW0},/(x)=8x—

令/(x)>0，得8x—^>0,即爐>；,

x-8

2

令/(x)<0,得且x關(guān)0.

???八%)的單調(diào)遞增區(qū)間為+°°],

單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0),[0,J.

(2)定義域?yàn)?0,l)U(l,+oo).

(Inx)2(InxA

由/(x)>0,解得x>e.

由/(x)<0,解得0<x<e,且xWl.

?.mx)的單調(diào)遞增區(qū)間是(e,+-),

火x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),(1,e)

(2+cosx)cosx—sinx(—sinx)2cosx+1

(3V(x)=

(2+cosx)2(2+cosx)2

令/(x)>0,得cosx>-g,

QTT

即2左?！?V]v2MiT1(左￡Z)；

令/(x)<0,得cosxv—；,

即2hi+g<x<2E+g(左WZ).

一—2hr+^|

因此寅x)的單調(diào)遞增區(qū)間為I3'3j/?Z),小)的單調(diào)遞減區(qū)間

⑷由於)=(x—1向一好,得/(x)=ev+(x-l)ex-2x=xex-2x=x(eI-2),

令/(x)=0,得沏=0,X2=ln2.

當(dāng)X變化時(shí)，/'(X),小)的變化如下表：

X(—8,0)0(0,In2)In2(In2,+8)

f(x)+0—0+

Ax)極大值極小值

由表可一知，函數(shù)段)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,In2),單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,0),

(In2,+8).

名師點(diǎn)撥：用導(dǎo)數(shù)/(x)確定函數(shù)人x)單調(diào)區(qū)間的三種類型及方法：

1.當(dāng)不等式/(x)>0或/(x)<0可解時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義域，解不等式

/(x)>0或，(x)<0求出單調(diào)區(qū)間.

2.當(dāng)方程/(x)=0可解時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義域，解方程/(x)=0,求出實(shí)

數(shù)根，把函數(shù)人X)的間斷點(diǎn)(即義X)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和實(shí)根按從大到小的順序

排列起來，把定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，再確定了'(X)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從

而確定單調(diào)區(qū)間.

3.當(dāng)不等式/(x)>0或/(x)<0及方程/(x)=0均不可解時(shí)，對(duì)/(x)化

簡，根據(jù)/(X)的結(jié)構(gòu)特征，選擇相應(yīng)的基本初等函數(shù)，利用其圖象與性質(zhì)確定

/(X)的符號(hào)，得單調(diào)區(qū)間.

注意：(1)求單調(diào)區(qū)間一定要在定義域范圍內(nèi).

(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有多個(gè)時(shí)不能用并集，要用“逗號(hào)”或“和”隔開.

考向2含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性一師生共研

例1(2021?全國甲，20)設(shè)函數(shù)義工)=°2/+"一3111工+1,其中a>0.

(1)討論人x)的單調(diào)性；

(2)若y=/(x)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，求。的取值范圍.

［分析］⑴對(duì)函數(shù)加)求導(dǎo)并因式分解得到/(x)=(2"+3)(辦—1),根據(jù)

AO,x>0,可以判斷/(x)的正負(fù)，即可判斷出義x)的單調(diào)性.

(2)根據(jù)題意得到函數(shù)小)在(0,+8)上沒有零點(diǎn).由(1)可得4)min=/U，

使口>0，即可求出。的取值范圍.

［解析］(l)f(x)=a2x2-\-ax—3lnx-\-1,x^(0,+°°),

"(x)=2屋x+a-3=2屋爐+…

XX

(2ax+3)(ax-1)

.2ax-\-3

Va>0,x>0,

X

當(dāng)時(shí)，/(x)<0;

(I,+oo］

當(dāng)xwQJ時(shí)，/'(X)>0,

..?函數(shù)義X)在J上單調(diào)遞減，在I，+s］上單調(diào)遞增.

(2)?.》=於)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，

，函數(shù)義X)在(0,+8)上沒有零點(diǎn),

由(1)可得函數(shù)人X)在卜’j上單調(diào)遞減，在I'上單調(diào)遞增，.?小x)mm

—7^=3—3111l=3+31na>0,/.Ina>~l,解得。>1，

ae

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是I，+°01

名師點(diǎn)撥：

1.研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類

討論.遇二次三項(xiàng)式因式?？紤]二次項(xiàng)系數(shù)、對(duì)應(yīng)方程的判別式以及根的大小關(guān)

系，以此來確定分界點(diǎn)，分情況討論.

2.劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的

點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).

3.個(gè)別導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響在區(qū)間的單調(diào)性，如道x)=x3/(x)=3x22o/(x)

=0在x=0時(shí)取到)，八%)在R上是增函數(shù).

【變式訓(xùn)練】

已知函數(shù)人x)=片土也土4機(jī)三0),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，討論函數(shù)小)

ex

的單調(diào)性.

［解析］由題得.(x)=.+2—2)x+l—(1——)Kx—1),

當(dāng)m=0,即1一加=1時(shí)，f(x)=-----^0,/(x)在R上單調(diào)遞減；

ex

當(dāng)m>0,即1一加<1時(shí)，令，(x)<0得x<\~m或x>l,令f(x)>0得1一

m<x<l,

在(一8,1一機(jī))和(1,+8)上單調(diào)遞減，在(1—切,1)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)機(jī)=0時(shí)，加0在R上單調(diào)遞減，當(dāng)機(jī)>0時(shí)，段)在(一8,1-m)

和(1,+8)上單調(diào)遞減，在(1一切,1)上單調(diào)遞增.

考向3利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用問題——多維探究

角度1比較大小

例已知a=E，c=e，則下列大小關(guān)系正確的是(C)

In2In3

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

［解析］由題，。$=4=總

令加尸左人），則/（x）=*

因?yàn)榻閑,所以，（x）>0,

所以<工）=:為上，+8）上的增函數(shù),

Inx

又。=義4）,6=寅3）,c=/（e）,e<3<4,

故c<b<a.故選C.

角度2解不等式

例已知定義域?yàn)镽的函數(shù)加）,有y（—x）=/（x）且x20,義工尸廿一小一'sin2x,

則人X）歲口的解集為目士.

［解析］因?yàn)閤>0,所以，（%）=廿+?-%—2cos2%22寸晟1三一2cos2x=2（l

—cos2x）20,

/（x）在［0,+8）上為增函數(shù)，

又義X）為偶函數(shù)，所以由義X）JJ,

得四>］，解得或X4,

444

故不等式的解集為［—8,—Tut,+°°］.

名師點(diǎn)撥：

1.利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大

小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較大小.

2.與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)；題目

中若存在義%）與/（x）的不等關(guān)系時(shí)，常構(gòu)造含人x）與另一函數(shù)的積（或商）的函數(shù),

與題設(shè)形成解題鏈條，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式.

角度3已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍

彳列若函數(shù)人x）=Ax—Inx在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（D）

A.(—8,—2］B.(—8,—1］

C.［2,+8)D.［1,+8)

［分析］利用函數(shù)八x)=Ax—Inx在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增等價(jià)于/(x)、o

在(1,+8)恒成立求解.或利用區(qū)間(1,+8)是八工)的增區(qū)間的子集求解.

［解析］解法一：因?yàn)樾?在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(%)>0在(1,+8)上恒成立，

因?yàn)榱xx)=Ax—lnx,

所以/(x)=k--^O,即左》

XX

因?yàn)閤>i,所以

X

所以左N1.所以左?［1,+8).故選D.

解法二：f(x)=^-1=^zl(x>0),

XX

當(dāng)左WO時(shí)，f(X)=^—-<o,人X)在其定義域內(nèi)遞減，不合題意，

X

當(dāng)左>0時(shí)，由/(x)>0知即是山)的增區(qū)間.由題意可知;W1,

即左,1,故選D.

［引申KD本例中若人防的增區(qū)間為(1，+°°)-則左=_L_；

(2)若山)在(1,+8)上遞減，則左的取值范圍是(一8,0］:

(3)若人x)在(1,+8)上不單調(diào)，則一的取值范圍是；

(4)若小)在(1,+8)上存在減區(qū)間，則左的取值范圍是(一8,1)；

rr

(5)若山)在(1,2)上單調(diào)，則上的取值范圍是-----22-1,+8).

［解析］(1)由解法二知:=1,..?左=1;

k

(2)由題意知，(x)=W0在(1,+8)上恒成立即左忘,又旄>1,

XXX

：收0,即左的取值范圍是(一8,0］；

(3)由本例及引申(2)知，義%)在(1,+8)上單調(diào),則一W0或左21,...火x)在(1,

+8)上不單調(diào)，則0<左<1.即左的取值范圍是(0,1)；

----11

(4)由題意可知/(x)=旦」WO在(1,+8)內(nèi)有解即左wtx￡(l,+8)

xx

有解，由0<1<1可知左<1,即左的取值范圍是(一8,1);

X

2x

若義%)在(1,2)上單調(diào)增，則/(%)=殳」20恒成立，即左巳1,.若加)

XX

在(1,2)上單調(diào)減，則/(幻二紅二1^。恒成立，即左W1，

xx2

rr

I—oo—

??"(x)在(1,2)上單調(diào)，則上的取值范圍是I'2ju［l,+8).

名師點(diǎn)撥：已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)取值范圍的兩個(gè)方法

1.利用集合間的包含關(guān)系處理：>=Ax)在伍，b)上單調(diào)，則區(qū)間僅，6)是相

應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

2.轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題：利用“若函數(shù)單調(diào)遞增，則/(%)巳0；若

函數(shù)八%)單調(diào)遞減，則/(x)W0”來求解.

提醒：寅x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的xG(a,A)都有/(x)>0且在(a,

A)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上/(x)不恒等于0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，

否則漏解.

【變式訓(xùn)練】

1.(角度1)(2024?江蘇無錫模擬)已知a=ln小,b=e6c=(9-31n3)e-3,

則a,b,c的大小為(C)

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

［解析］令函數(shù)加)=m*(x》e),

X

當(dāng)x>e時(shí)，求導(dǎo)得/(x)=匕學(xué)WO,

則函數(shù)義X)在［e,+8)上單調(diào)遞減，

又。=?=A3),Z)=-=Xe)，

3e

3

In—e

_3(3-ln3)_3

e3e3

3

顯然e<3<；,則有

所以c<a<b.故選C.

2.(角度2)定義在R上的函數(shù)五x)的導(dǎo)函數(shù)為/(%),若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有

(X),且加)+2021為奇函數(shù)，則不等式40+2021廿<0的解集為(8)

A.(―00,0)B.(0,+8)

?+8]

C.D.

［解析］由題意，構(gòu)造新函數(shù)g(x)=a,則g‘(x)=-a)—>乃,因?yàn)?/p>

ex

Ax)>f(X),所以g‘(x)<0,所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減.因?yàn)槿藊)+2021為

定義在R上的奇函數(shù)，所以人0)+2021=0,所以｛0)=-2021,則g(0)=-2021,

所以不等式義x)+2021ex<0等價(jià)于g(x)<g(0),所以x>0,所以不等式八x)+2

021^0的解集為(0,+8).

3.(角度3)(2024?安徽毛坦廠中學(xué)模擬)已知函數(shù)人x)=一$2—3x+41nx在(/,

f+1)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(0.1).

［解利??.函數(shù)加)一乎-3x+4">0),

4

??f(x)=-x—3d--,

x

函數(shù)")=—；x2—3x+41nx在(7,7+1)上不單調(diào),

(x)=-X—3+4在(/,什1)上有變號(hào)零點(diǎn),

X

?."2+弘一4=0在0/+D上有解,

X

.*.x2+3x—4=0在，+1)上有解，

由x2+3x—4=0得x=1或x=一4(舍去).

1(z,t~\~1),(0,1),

故實(shí)數(shù)/的取值范圍是(0,1).

名師講壇?素養(yǎng)提H

一、構(gòu)造法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的客觀題中，有一類考查熱點(diǎn)，不給出具體的函數(shù)解析式，大多

涉及義X)與/(X)的一些關(guān)系式，利用構(gòu)造法構(gòu)造新函數(shù)，確定其單調(diào)性，然后

解決問題，下面重點(diǎn)突破兩類問題.

題型一利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則構(gòu)造函數(shù)

角度1利用f(x)與ex構(gòu)造

例已知是定義在(-8,+8)上的函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)/(x)滿足，㈤勺(x)

對(duì)于XGR恒成立，則(D)

A.{2)>啾0),火2025)*。2次0)

B./2)<e?,fi2025)>e202?

C.X2)>e?,025)<e2025/(0)

D.犬2)(啾0),人2025)?2。2次0)

［解析］構(gòu)造貝乃川，則/(乃="(?Je%x)J'(x)—Ax),導(dǎo)函數(shù)

/(x)滿足/⑴勺⑴，則/(x)<0,尸(X)在R上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性可知選D.

［感悟提升］遇到，(X)—/)的形式，構(gòu)造函數(shù)尺x)=?;遇到/(X)十危)

ex

的形式構(gòu)造函數(shù)F(x)=/x)e\

角度2利用f(X)與X11構(gòu)造

例已知偶函數(shù)加)(xW0)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且滿足八一1)=0,當(dāng)x>0時(shí)，

2Ax)>xf(x),則使得小)>0成立的x的取值范圍是一(一1.0)U(0」).

［解析］構(gòu)造尸則盧(x)」，(”>：一紈勸,當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)-

X

決x)<0,可以推出當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,尺%)在(0,+8)上單調(diào)遞減.因?yàn)殪?

為偶函數(shù)，戶為偶函數(shù)，所以F(x)為偶函數(shù)，所以網(wǎng)%)在(一8,0)上單調(diào)遞增.根

據(jù)八—1)=0可得F(—1)=0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖象(圖略)，

根據(jù)圖象可知力%)>0的解集為(一1,0)U(0,1).

角度3利用f(x)與sinx,cosx構(gòu)造

T上的函數(shù)人X)，/(X)是五X)的導(dǎo)函數(shù)，且恒有

f(x)sinx—/(x)cosx<0成立則(CD)

A.B,仍￡］>1"

C.D.

［解析］令g(x)=3,0,

則其導(dǎo)數(shù)g'(x)上3^羋匹

sin2x

y一

又由xG

且恒有/(x)sinx—/(x)cosx<0,

則有g(shù)'(x)<0,即函數(shù)g(x)為減函數(shù),

由K,則有

理用

.兀.兀

sm-sm-

63

可得扉m

又由冠,則有

64IO1

sin-sm-

64

可得

［感悟提升］(1)出現(xiàn)/(x)sinx+兀r)cos%構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(x)sinx

(2)出現(xiàn)「(x)sinx-Ax)cosJ構(gòu)造函數(shù)b(x)="')

sin2xsinx

(3)出現(xiàn)f(x)cosx—?r)sinx構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(x)cosx

(4)出現(xiàn)(x)c°sx十加Osinx構(gòu)造函數(shù)內(nèi)》尸&L

cos2xcosX

【變式訓(xùn)練】

1.(角度1)設(shè)段)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x》0時(shí)，/(x)—cosx<0,則不等式

/(x)<sinx的解集為_(0,+8).

［解析］令夕(x)=/(x)—sinx,所以當(dāng)x》0時(shí)，(p'(%)=/(X)—cosx<0,所

以0(%)在［0,+8)上單調(diào)遞減，又八》)為R上的奇函數(shù)，所以e(%)為R上的奇函

數(shù)，所以夕(%)在(-8,0］上單調(diào)遞減，故夕(X)在R上單調(diào)遞減且e(0)=0,不等式

?v)<sinx可化為兀t)—sinx<0,即夕(x)<0,即0(x)<0(0),故x>0,所以原不等式的

解集為(0,+°°).

2.(角度2)(2023?湘豫名校聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)小)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)一^>0,若。=紈1),b=fil),C=4/E),則a,b,。的大小關(guān)

X

系為C<a〈b.

［解析］構(gòu)造函數(shù)g(x)J&x>0),得g’(x)=切(乃一^,

XX2X

口

當(dāng)x>0時(shí)，gz(x)>0,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以修*)>了，即

2

寅2)>賀1)>勺0,即c<a<b.

3.(角度3)(2024?紹興調(diào)研)已知定義在R上的函數(shù)小)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),

對(duì)任意一￡(0,兀)都有(x)cosx次x)sinx,設(shè)a■D，仁以］,c=131

貝1Ja,b,c的大小關(guān)系為一a<b<c.

［解析］構(gòu)造函數(shù)/0)=/2,(：05%，x*kn,左GZ,則xG(0,兀)時(shí)，F(xiàn)'(%)

=f(x)cosx—/(x)sinx>0.所以函數(shù)尸(x)在(0,兀)上單調(diào)遞增，于是思思同

即3息就］國,所以a<b<c.

名師點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)的一些常見結(jié)構(gòu)

1.對(duì)于不等式/'(x)+g'(x)>0,構(gòu)造函數(shù)內(nèi)%)=/3)+8(%).

2.對(duì)于不等式/(x)-g'(x)>0,構(gòu)造函數(shù)/⑴二/⑴一8⑴.

特別地，對(duì)于不等式/(%)>左，構(gòu)造函數(shù)網(wǎng)x)=/(x)—日.

3.對(duì)于不等式/(x)g(x)+/(x)g'(x)>0,構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x>g(x).

4.對(duì)于不等式/*(x)g(x)—/(x)g'(x)>0,構(gòu)造函數(shù)F(x)=^-.

g(x)

5.對(duì)于不等式城(x)+研x)>0,構(gòu)造函數(shù)尸(x)=x";/(x).

6.對(duì)于不等式/'(x)+/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)F(x)=e〉；/(x).

7.對(duì)于不等式/(%)+飲x)>0,構(gòu)造函數(shù)/(%)=*於).

題型二通過變量構(gòu)造具體函數(shù)

例1.若O<X1<X2<1,貝U(C)

A.ex2~exi>ln%2—Inxi

B.ex2-exi<ln%2—Inxi

C.X2exi>xiex2

D.X2exi<xiex2

［解析］構(gòu)造函數(shù)段)=守一111%，(x)=e"一1,在(0,1)上有零點(diǎn)，

x

在(0,1)上有一個(gè)極值點(diǎn)，,山)在(0,1)上不單調(diào)，無法判斷兀V1)與人X2)的大小，

故A,B錯(cuò)誤；令g(x)="，??￡‘(x)=Wx［D<0,，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，又

XX2

??、?小、e*2

?X2>X1,??-->----yC.

XIX2

2.(2023,石家莊一模)若Inx—In產(chǎn)"--J—(x>l,J>1),則(A)

InxInj

A.O1B.e廠y

C.e->lD.ev-x-1<l

［解析］依題意，lnx—J—<lny—J-,令人/)=/—1。關(guān)0),則/(。=1+1>0,

Inx-mytt-

所以寅。在(一8,0),(0,+8)上單調(diào)遞增；又X>1,y>l,得lnx>0,lny>0,

則人Inx)勺(Iny),則lnx<lny,l<x<y,即y—x>0,所以江r>e0=l,A正確，

B不正確；又y—x—l無法確定與0的大小關(guān)系，故C,D不正確.

名師點(diǎn)撥：

若題目所給的條件含有兩個(gè)變量，可通過變形使兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不

等號(hào)兩邊，即可構(gòu)造函數(shù)，并且利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

【變式訓(xùn)練】

(2020?全國II卷)若2x-2y<3~x-3~y,貝A)

A.ln(y—x+l)>0B.ln(y—x+l)<0

C.ln|x—j|>0D.ln|x—v|<0

［解析］原已知條件等價(jià)于萬一3、<2〉一3〉，設(shè)函數(shù)八x)=2'—3三因?yàn)楹瘮?shù)

了=2①與y=-3七在R上均單調(diào)遞增，所以加)在R上單調(diào)遞增，即負(fù)%)<加)，

所以x勺，即y—x>0,所以A正確，B不正確.因?yàn)?一川與1的大小不能確定,

所以C,D不正確.

題型三通過數(shù)值構(gòu)造具體函數(shù)

：1.已知b=-,C=生心，則a,b,c的大小關(guān)系為c<a<b.

2e9——

［解析］令山)=皿，則/(乃=匕步，當(dāng)x@(0,e)時(shí)，/(x)>0,段)單

XX2

調(diào)遞增；當(dāng)x?(e,+8)時(shí)，/(x)<0,八%)單調(diào)遞減.。=胎=*=?=八4),

71Ine〃、21n3In9〃八、〃、〃八〃c、日口i

b=-=——=Ae),c=——=-=；(9),人e)>/(4)>/(9),即c<a<b.

ee99

2.(2021?全國乙卷改編)設(shè)a=21n1.01,b=ln1.02,c=VE04-l,則a,b,

c,的大小關(guān)系為Jvcva.

［解析］b-c=\n1.02-A/L04+1,設(shè)道x)=ln(x+l)—,則6—c

=y(0.02),f(x)=—」=A/1+2X當(dāng)時(shí)，》+［=

x+12A/1+2X(X+1)V1+2X

J(X+1)2M1+2X,f(x)W0,人x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，所以寅0.02)</(0)=0,

即6<c.a—c=21n1.01—\/1.04+1,設(shè)g(x)=21n(x+1)—\H+4x+l,則a—c=

g(0.01),g,口,當(dāng)00<2時(shí)，口用=

x+12A/1+4X(X+1)AJ1+4X

^2x+2x+l^^x2+2x+l=7(X+1)2=X+1,故當(dāng)0Wx<2時(shí)，g'(x)>0,所以

g(x)在［0,2)上單調(diào)遞增,所以g(0.01)>g(0)=0,故c<a,從而有6<c<a.

名師點(diǎn)撥：

當(dāng)要比較的各數(shù)為某些函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，要仔細(xì)觀察這些數(shù)值的共同之處,

構(gòu)造一個(gè)或兩個(gè)函數(shù)，使要比較的數(shù)成為該函數(shù)的函數(shù)值，然后利用函數(shù)的單調(diào)

性比較大小.

【變式訓(xùn)練】

1.(此題為更換新題)

m

設(shè)a=[,b=2hi6l0()+c0slgo]c=|ln|^,則a,b,c的大小關(guān)系為

_c>a>b.

1

[解析]因?yàn)镼=lne5。=Ine。。?,

b=lnl100100j-,c=lnl50j5,

所以只要比較x=e°s,j=[S^niOO-^C0SlOo}2=1+sin^=1+sin0.02,z=

以=(1+0.02嚴(yán)大小即可，

令義x)=e'—(l+sinx)(x>0),則/(^)=^—cosx>0,

所以義x)在(0,+8)上遞增，所以加)>/(0),所以e^>l+sinx,

所以e002>l+sin0.02,即x>y>l,

令g(x)=(1+x)12—e1,

則g'(x)=L2(l+x)°2—e\

g"(x)=O.24(l+x)-o-8-e\

因?yàn)間〃(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，且8〃(0)=0.24—1<0,所以當(dāng)x>0時(shí)，

g〃(x)<0，

所以g'(x)在(0,+8)上為減函數(shù).

因?yàn)間'(0)=1.2-l>0,g/(0,2)=1.2X1.20-2-e0-2=1.21-2-e02,要比較1.212

與e°-2的大小只要比較In1,2L2=1.21n1.2與Ine02=0.2的大小,

令〃(x)=(1+x)ln(l+x)-x(x>0),則〃'(x)=ln(l+x)+l-l=ln(l+x)>0,

所以/z(x)在(0,+8)上遞增，所以〃(x)>〃(0)=0,所以當(dāng)xd(o,+8)時(shí)(1

+x)ln(l+x)>x,

所以L21n1,2>0,2,所以1.212>0。2,

所以g'(0.2)=1.2X1.2。2—0。2=1,212—e02>0,所以當(dāng)xG(0,0.2)時(shí),g'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.2)上遞增，

所以g(x)>g(0)—0,所以(l+x)L2>e\

所以(1+O.O2)L2>e0?,所以z>x,所以z>x>y,所以c>a>6.

1.(此題為原重題)

(2022?新高考I卷改編)設(shè)。=0.卜。[，b=；,c=~ln0.9,則a,b,c的大小

關(guān)系為i<a<b.

[解析]設(shè)^)=%^(0<%^0.1),?x)=——(OvxWO.l),(4<X)=-ln(l-

1—x

x)(0<x^0.1),則當(dāng)(KxWO.l時(shí)，u(x)>09向>0,(4<x)>0.

①設(shè)-%)=ln[w(x)]—ln[p(x)]=Inx+x—[Inx—ln(l—x)]=x+ln(l—

1丫

x)(0<x<0.1),則y(x)=l-…一=q-<0在(0,0.1]上恒成立,所以｛x)在(0,0.1]

1-XX—1

上單調(diào)遞減,所以火0.1)飲O)=O+ln(l—O)=O,即—ln[*0.1)]<0,所以

ln[M(0.1)]<ln[p(0.1)].又函數(shù)y=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以瓦(0.1)<(/(0]),

即(Me。/所以

②設(shè)g(x)=M(x)—(a/(x)=xex+ln(l—x)(0〈xW0.1),則g'(x)=(x+l)ex—^―

1—x

=°—----(0<x^0.1).設(shè)〃(x)=(l—x2)e%—l(0<xW0.1),則h'(x)=(l—2x—

1—x

12)M>0在(0,0.1]上恒成立,所以〃(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增,所以力(%)>%(0)=(1—

02)-e°-l=0,即g，(x)>0在(0,0」上恒成立,所以g(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，所

以g(0.l)>g(0)=0e°+ln(l—0)=0,即g(0.1)=〃(0.1)一做0.1)>0,所以O(shè).leol>-

ln0.9,即a>c.綜上，c<a<b.

2.實(shí)數(shù)e3,3%?的大小關(guān)系為_?3<兀3<3兀.

[解析]設(shè)於尸皿，則/(乃=匕學(xué)，當(dāng)x>e時(shí),/(x)<0,所以xx)在(e,

XX2

+8)上單調(diào)遞減，所以八3)次兀)，即所以7iln3＞31n?i,所以In3兀＞111療,

371

即3"＞祖因?yàn)椋?/在(0,+8)上單調(diào)遞增，e＜7i,所以03＜兀3,所以eSv/j71.

二、泰勒展開式

1.泰勒公式

若函數(shù)義X)在含有X0的開區(qū)間(a,6)內(nèi)有〃+1階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)

時(shí)，可以展開為一個(gè)關(guān)于X—'X0的多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和：兀t)=/(xo)+/'(xo＞(x

、I/"(X。)/X?If(xo)/、aII/")(xo)/、〃In/、

-Xo)----(X—Xo)2----(X-Xo)3+***-r!*(x-Xo)+Rn(x).

2.常見的泰勒展開式

在泰勒公式中，令配=0,即可得到如下泰勒展開式:

⑴―+「…

2rn!

-y?2-y-3-y-M

(2)ln(x+l)=x--+-+-+(-l)n+1-+

23n

r3r5x2n-l

(3)sinx=x-------+----H------1-(—Ip-1-----------

3!5!(2//-1)!

2r4x2n-2

(4)cosx=l~~+H----1-(—])E------------

2!4!(2^-2)!

3.泰勒公式的價(jià)值

泰勒公式將各種類型的函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦與余弦函數(shù))與多項(xiàng)

式函數(shù)聯(lián)系了起來，這樣在局部可以用多項(xiàng)式函數(shù)近似替代其他函數(shù)，我們主要

用其證明不等式及比較大小，下面我們主要介紹如何比較大小.

例(2022?全國甲卷)已知311

L,6=cos1,c=4sm,則(A)

3244

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

［解析］解法一：根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)五g(x)=cosx,

2x

=￡1c=〃Ll由泰勒展開式，寅x)=l—g(x)=l—(一+(—1

則。

卜。(x>gQ=

。（短），3）=一；+；

1--X—+—X—+o(x4)=—+

2162425632

卜。（%4）,1

^X256

1--X—+-X—+o(x4)=—+—X—+o(x4),所以

61612025696120256

dgfjvjj即a<b<c,

解法二：因?yàn)?=cosl=l—2sin21,所以Z7—a=l-2sin21—豆=」--2sin2-

48832328

=2(64s'J令人x)=x—sinx,則/(x)=1—cosx^O,所以函數(shù)義x)在R上單

調(diào)遞增，所以當(dāng)x>0時(shí),加)次0)=0,即有x>sinx(x>0)成立，所以l>sin得

…1

4sm-

sin2-,所以6>a.因?yàn)椋?----=4tan所以令g(x)=tan工一%,則g，(x)

cos-

4

cos2x+sin2xi」一。心力,所以函數(shù)8⑴在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x>0

=

COS2XCOS2X

111r

時(shí)，g(x)>g(0)=0,即有tanx>x(x>0)成立，所以tan—,即4tan—>1,所以—>1,

444b

又b>0,所以。>兒綜上，c>b>a.

【變式訓(xùn)練】

若a=ln"—0.01。%z，=o.O2sinO.Ol,c=0.01sin0.02,則(B)

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.c<a<b

［解析］易知a=ln\lH而2<ln1=0,而b>0,c>0.當(dāng)x-0時(shí)，由泰勒公

fo(Q-QO3_pz3\12

式展開，得b=0.02sin0.01=0.02131J=2X10-4-jXW8+o(x3),

［oQ2—&

c=0.01sin0.02=0,0113J=2X10-4-|x10-8+o(x3),可知

-X10-8<-X10^,所以b>c.故b>c>a.

33

提能訓(xùn)練練案[16]

A組基礎(chǔ)鞏固,I

一、單選題

1.函數(shù)義x)=xlnx+l的單調(diào)遞減區(qū)間是(C)

A.[8,3B.：+8]

C.3D.(e,+°°)

［解析］火工)的定義域?yàn)?0,+°°),

f(x)=l+lnx,

令/(x)<0,得0<x<l,

e

所以義X)的單調(diào)遞減區(qū)間為I0'展

2.已知函數(shù)兀0=武^—?"),則義x)(D)

A.是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減

B.是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增

C.是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減

D.是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增

［解析］因?yàn)榘?)=武^—e「)，x?R,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且八—x)=一

x(e~x—ex)=x(ex—e「)=/(x),所以作)是偶函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)=ex—e-%+x(eY+e-x)>0,

所以義x)在(0,+8