2024年高三數(shù)學(xué)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)專練：比較大小六大方法（解析版）

重難點(diǎn)專題07比較大小六大方法匯總

anil

題型1臨界值法比較大小.............................................................1

題型2利用函數(shù)性質(zhì)比較大小.........................................................4

題型3構(gòu)造差與商比較大小...........................................................7

題型4構(gòu)造函數(shù)比較大小............................................................11

題型5放縮法比較大小..............................................................16

題型6導(dǎo)數(shù)法.......................................................................20

題型1臨界值法比較大小

*卜塾重點(diǎn)

結(jié)構(gòu)不相同的比較大小題目，可以尋找“中間橋梁"，通常是與0,1比較

通過找中間值比較大小，要比較的兩個(gè)或者三個(gè)數(shù)之間沒有明顯的聯(lián)系，這個(gè)時(shí)候我們就可

以通過引入一個(gè)常數(shù)作為過渡變量，把要比較的數(shù)和中間變量比較大小，從而找到它們之間

的大小關(guān)系.

【例題1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知a=log22.8,b=log0.82.8,c=2-。8試比較a,

b,c的大小為（）

.b<a<cS.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將b、c與0、1相比較，即可得到結(jié)論.

【詳解】=log22.8>log22=1,

b=logo,S2-S<logo.81=°，

0<c=2-0-8<2°=1,

:.b<c<a.

故選：B.

【變式1-1】L（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知a=log。.,b=0.5-3,c=3一°5試比較

a,b,c的大小為（）

/\.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將a、b、c與0、1相比較，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：-a=log053=-log23<0,

b=0.5-3=23>2°=1,

o<c=3-=gy<（|）°=i,

/.a<c<b,

故選：B.

_3

【變式1-1]2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知a=log0,33,b=（|）-"，c=，則下列

大小比較正確的是（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】由對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a,b,c的范圍，進(jìn)而比較出它們的大小關(guān)

系.

【詳解】因?yàn)閍=log0.33<log03l=0,gpa<0,

c=4-1=ie(0,1),

33

仁凱=()>(*】，即-

所以可得：a<c<b,

故選：C.

01ln

【變式1-1]3.(2022?山西太原統(tǒng)考一模)比較大?。篴=log3V2,b=e,c=ei()

.a<c<bS.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【答案】A

【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知a=log3V2<I，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求出6>1,c=|,

進(jìn)而可判斷三者的大小關(guān)系.

01-ln2

【詳解】解：因?yàn)榻?lt;V3，所以a=log3V2,b-e>e0—1,c—e叱=e=2T=

i

2，

則b>c>a,

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)、對數(shù)式的大小比較.若兩式的底數(shù)相同，常結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)

性比較大小，若兩式的指數(shù)相等，則常結(jié)合圖像比較大小；有時(shí)也進(jìn)行整理通過中間值比較

大小.

【變式1-U4.(2021?福建泉州福建省德化第一中學(xué)?？既?比較下列幾個(gè)數(shù)的大?。?/p>

&=(9°3,6=1咤21。=5°°°1,則有()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【分析】首先讓a,b,c和0或1比較大小，然后再判斷a,b,c的大小.

0001

【詳解】a=G)e(0,1),b=log21<0,c=5>1

c>a>b.

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查指對數(shù)比較大小，意在考查轉(zhuǎn)化與計(jì)算，屬于簡單題型.

題型2利用函數(shù)性質(zhì)比較大小

*上噌重點(diǎn)

比較指對幕形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：

(1)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=產(chǎn)，當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)遞減；

(2)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=loga%,當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)遞

減；

【例題2](2022?重慶?校聯(lián)考模擬預(yù)測)下列各式比較大小正確的是()

A.1.725>1,73B.0.6-1>0.62C.O.801>1.201D.1.703<0.931

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷AB,再由幕函數(shù)單調(diào)性判斷C,借助1判斷D.

【詳解】A中，?:函數(shù)y=L7X在R上是增函數(shù),2.5<3,/.1.72-5<1.73,故錯(cuò)誤；

B中,-.'y=0.6工在R上是減函數(shù),-1<2,.06-1>0.62,故正確;

C中,vy=%。1在(0,+8)上是增函數(shù),O.801<1.2?！?故錯(cuò)誤；

D中，?.17°-3>1,0<0.931<1,.-.1.70-3>0,931,故錯(cuò)誤.

故選：B

【變式2-1]1.已知2021a=2022,2022b=2021,c=ln2,則()

A.logac>log6cB.logca>logcb

C.ac<bD.ca<cb

【答案】D

【分析】比較a、b、c的大小關(guān)系，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】丁a=log20212022>log20212021=1,0=1°§20221<b=10§20222021<

log20222°22=1,

0=Ini<c=ln2<Ine=1,即0<c<1,

所以，logac<logal=0,\ogbc>log匕1=0,則log/<logDc,即A錯(cuò)誤；

,?9a>bf0<c<l,所以,logca<logcb,a。>/,c。VcJ即BC都錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

【變式2-1]2.(2022春?天津北辰?高三天津市第四十七中學(xué)?？奸_學(xué)考試)定義在R上的

函數(shù)/(%)=sin%+2%,若a=/0,b=/(lnV2),c=/(時(shí)，則比較a,b,c的大小關(guān)系

為()

/\.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

【答案】C

【分析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得|1,lnVXe三1的大小，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后由單調(diào)性比

較大小.

【詳解】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知In近<111在=]￡>1,

_11

所以ln&<-<e3,

=cosx+2>0恒成立，/(久)在R上是增函數(shù)，所以b<a<c.

故選：C.

【變式2-1J3.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)y=/(久)是R上的奇函數(shù)，又y=f(x+1)

為偶函數(shù)，且—1<%!<x2<1時(shí),[/(x2)-/(%1)](%2-%1)>0,比較/(2017))(2018),

/(2019)的大小為()

A./(2017)</(2018)</(2019)B./(2018)<f(2017)</(2019)

C./(2018)</(2019)<f(2017)D./(2019)</(2018)</(2017)

【答案】D

【分析】由題意可知，函數(shù)y=八久)的周期7=4,再由當(dāng)一1W久1<盯W1時(shí)，

/(%1)］(%2—%1)>y

［/(%2)-?？芍瘮?shù)=/(X)在［-1,1］上為增函數(shù)，然后計(jì)算比較即可.

【詳解】：函數(shù)y="%)是R上的奇函數(shù)，又y=f(x+1)為偶函數(shù)，

.../(-X)=-f(x),f(-x+1)=f(x+1),

???f(x)=f(x+4),即函數(shù)y=/(久)的周期T=4,

??1一1W的<尤2W1時(shí)，尤2一刀1>0，2)-/(%1)］(久2—久1)>0，

?1?/(/)—/(%1)>0gp/(x2)>/(%!),函數(shù)y=f(x)在［-1,1］上為增函數(shù),

???/(2017)=/(l+4x504)=/(I),/(2018)=f(2+4X504)=f(2)=f(0),

/(2019)=/(-I+4x505)=/(-I),

???/(2019)</(2018)</(2017).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.

【變式2-1】4.(2023?安徽亳州?高三?？茧A段練習(xí)戲們比較熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞有"yyds"、

"內(nèi)卷"、"躺平"等，定義方程/的實(shí)數(shù)根x叫做函婁好(%)的“躺平點(diǎn)”.若

函數(shù)g(x)=鏟—久，g)=Inx,<p(x)=2023%+2023的"躺平點(diǎn)”分別為a,b,c,則

a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】根據(jù)“躺平點(diǎn)"新定義，可解得a=l,c=0,利用零點(diǎn)存在定理可得bG(l,e),即

可得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)“躺平點(diǎn)"定義可得g(a)=g'(a),又g，(x)=e》—1;

所以e。-a-ea-l,解得a=1；

同理"(x)=1,即Inb=1；

令m(x)=Inx-1,則W(x)=(+*>0,即m(x)為(0,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)，

又m(l)=-1<0,m(e)=l-i>0,所以M(x)在(l,e)有唯一零點(diǎn)，即be(l,e);

易知"(x)=2023,即0(c)=2023c+2023=<p'(c)=2023,解得c=0；

因此可得b>a>c.

故選：B

題型3構(gòu)造差與商比較大小

IF劃重點(diǎn)

(1)作差法：作差與0作比較；

(2)作商法：作商與1作比較(注意正負(fù))；

【例題3](2022?全國?高三專題練習(xí))若x,y,z是正實(shí)數(shù)，滿足2x=3y=5z,試比較3x,

4y,6z大小()

A.3x>4y>6zB.3x>6z>4y

C.4y>6z>3xD.6z>4y>3x

【答案】B

【解析】令2,=3>=5z=t,則t>1,x=魯，y=獸，z=鱉，利用作差法能求出結(jié)果.

【詳解】.Xy、z均為正數(shù),且2久=3〉=5Z,

令度=3〃=5z=t,貝!]t>1,

故X=log2t=jf|,y=log3t=Jf|,z=10g5t=魯,

唔/唱3陪。

?..3iz=3(次鬻卜畸警>。，即3x>6z；

6zf=2器T)=^^>。，即6z>4y,

即3x>6z>4y成立,

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

(1)將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式；

(2)利用作差法比較大小.

【變式3-1]1.已知正數(shù)x,y,z滿足尤Iny=yez=zx,則尤,y,z的大小關(guān)系為()

A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.以上均不對

【答案】A

【分析】將z看成常數(shù)，然后根據(jù)題意表示出x,y,再作差比較出大小即可

【詳解】解:由xlny=yez-zx,得比Iny=zx,則z=Iny,得y=ez,

所以ez-ez=zx,所以x=9,

令f(z)—ez—z(z>0),則尸(z)—ez—1>0,

所以函婁好(z)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以〃z)>/(0)=e。-0=1,

所以ez>z,即y>z

所以久一丫=七一eZ=%*=X2>0,

所以x>y,

綜上x>y>z,

故選：A

【變式3-1]2.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知a=2e^,b=ee,c,試比較a,b,c

m2

的大小關(guān)系為()

/\.b>c>aB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】先利用In久常見的不等式，估計(jì)出ln2的范圍，精確估計(jì)出1.73〈訴<1.8,然后利

用作商法比較大小.

【詳解】先證明兩個(gè)不等式：

(1)21nx<x—1(x>1),設(shè)/(%)=21nx—x+(x>1),則

r(x)=|-l-^=-g-l)2<0(%>1),即/⑺在(1,+8)上單調(diào)遞減,故

/(%)</(I)=0z即21n%<%—1(x>1)成立

(2)Inx>箋=(%>1),設(shè)9(%)=Inx一瑩=(%>1),則

g'(x)=｝一卷=套蓋>0(%>1),即9(萬)在(1,+8)上單調(diào)遞增，故

g(x)>g(l)=0,gpinx>>1)成立

再說明一個(gè)基本事實(shí)，顯然3<n<3.24,于是1.73<V3<Vn<1.8.

由(1)可得，取久=2,可得21n2<1.50ln2<0.75=e0-75>2；

027

由(2問得，取x=2，可得ln2>|再取久=|可得嗚>|>0.27,即e027<ioe-->|.

hpePe-VrrPe-1.8p0.75

~=元而=>>~>1，顯然。>0，于是人>a；

-=<-...<e?-訴-627=e1.73-Vn<e°=1r顯然Q>0,于是C<G.故b>

a2e^K21n24

a>C.

故選：B

【變式3-1]3.若0<bVa<：%=a+beb,y=b+aea,z=b+aeJ貝！]()

A.%<z<yB.z<%<y

C.z<y<xD.y<z<x

【答案】A

【分析】利用作差法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】\'x=a+beb,y=b+aea,z=b+aeb,

.,.y—z=a(ea—eb)

ab

又a>b>0ze>1r:.e>e

,y>z

z—%=(6—a)+(a—b)eb=(Q_b)(e》—1),

又a>b>0,eb>1

.,.z>x

綜上：》<zVy

故選：A

【變式3-1]4.(2023?貴州貴陽?校聯(lián)考三模)已知正實(shí)數(shù)a,6,c分別滿足a?=￡b=ln2,

c=哈，其中e是自然常數(shù)，則a,b,c的大小關(guān)系為()

.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【分析】利用作商法可比較出a,c大小關(guān)系；可構(gòu)造函數(shù)/(%)=等，將a,麗b,c大小關(guān)系的

比較轉(zhuǎn)化為/(2),〃e)和/伯2),/(8)大小的比較，利用導(dǎo)數(shù)可求得;'(%)單調(diào)性，從而比較出大

小關(guān)系.

【詳解】由。2=|得：。=祟；*=煞尚=*

(4、216/-4a=3y/6?口、八、

?:e>Ve>-,-—>1，又c>0fa>c;

令汽X)=器,貝療，(x)=盤爐=需,

.?.當(dāng)xG(0,e2；)時(shí)，尸(久)>0;當(dāng)xee2,+8)時(shí)，尸(%)<o;

.??/(%)在(0,e2)上單調(diào)遞增，在e2,+8)上單調(diào)遞減；

/(e)>f⑵，即臂=嘉>除.?噌>In2,即a>b；

且f(e2)>f(8),即萼=：>翳=翳，:也2〈萋，即b<c；

綜上所述：a>c>6.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小的問題；解題關(guān)鍵是能

夠根據(jù)所給數(shù)字的特征，將問題轉(zhuǎn)化為/(%)=當(dāng)?shù)牟煌瘮?shù)值的比較問題，從而利用導(dǎo)數(shù)

求得函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得到大小關(guān)系.

題型4構(gòu)造函數(shù)比較大小

結(jié)構(gòu)相同的比較大小題目，可以構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

【例題4】(2023?全國?高三專題練習(xí))下列大小比較中，錯(cuò)誤的是()

A.3e<e3<7reB.e3<7re<e71C./<鏟v37rD./<e"v37r

【答案】D

【分析】對于選項(xiàng)D,構(gòu)造函豺⑺=號,得到〃x)</(e)=:令=?,得到兀3>即，所

以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)A,在/Q)wE中，令”,得到兀e>e3.所以選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B,在10)W，中，令％=兀，則<e71,所以選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C,e”<3兀，所以武〈鏟<3〃，所以選項(xiàng)C正確.

【詳解】解：對于選項(xiàng)D,構(gòu)造函數(shù)/⑴=?,所以/⑸=等,

所以當(dāng)0<x<e時(shí)，/(%)>0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>e時(shí)，尸(%)<0,函數(shù)/(乃單調(diào)

遞減.

所以/(x)</(e)=j.(當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)取等)

e2

則令%=—,則<-，化簡得In">2--z故3lnyr>6——>6—e>7r,

IT_e7171

n

故In/>n,故兀3>e",所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)A,3e<7re,f(3)<f(e),???野〈詈，:3e<e3,

在f(x)W]中，令％=笆，則惇<|,化簡得In兀>2--,故eln?r>e(2--)>2.7x(2-

eTtee7rTC

V

笠272)>2.7x(2-0.88)=3,024>3,

所以eln">3,ln7re>Ine3,ne>e3.所以3。<e3<7re,所以選項(xiàng)A正確;

對于選項(xiàng)B,在f⑺4中，令％=兀，則?〈哈二武<”，所以e3</<鏟，所以選項(xiàng)

B正確；

對于選項(xiàng)C,e"<3兀，所以/<屋<3兀，所以選項(xiàng)C正確.

故選：D

1913139

【變式4-1]1.(2022?全國高三專題練習(xí))比較a=好,b=^1e-,c=2詼(e為自然對

數(shù)的底數(shù))的大小為()

.a>b>cS.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

【答案】A

【分析】根據(jù)這三個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)y=ix,再用導(dǎo)數(shù)法判斷其單調(diào)性，然后利用

單調(diào)性判斷.

【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)y=ix.

所以y'=(1-X)e2-x,

當(dāng)0<久<1時(shí)y'=(1—x)e2~x>0

所以y=xe2T在(0,1)上遞增，

因?yàn)樗?gt;>高

所以a>b>c

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比較數(shù)的大小，構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等問題，還考查了

運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

11H2

【變式4-1】2.(2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知a=(丁,6=(陰三,。=

ln3

(野)亍，試比較a”,c的大小關(guān)系()

/\.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】根據(jù)三個(gè)指數(shù)的底數(shù)的形式，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其大小，再根

據(jù)三個(gè)數(shù)的形式構(gòu)造新函數(shù)，通過取對數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，最后利用單調(diào)

性判斷即可.

【詳解】設(shè)/(X)=等(％>0)n/(久)=等,

當(dāng)x>e時(shí),f'(x)<0,/(%)單調(diào)遞減,

所以有/(e)>f(3)>/⑷,

rrq^-,1_Ineln2_21n2_ln4

ee'244'

所以"當(dāng)〉*

設(shè)g(%)=xx[x>0)=>lng(%)=xlnx,

設(shè)y=x\nx=>y'=Inx+1,

當(dāng)0V%VN時(shí)，y，V0,函數(shù)y=%ln%單調(diào)遞減，

因?yàn)?>印>竽>0,

所以In[g②]<In[g得)]<In[g(陰],

因?yàn)楹瘮?shù)y=In比是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，

故嗚]得)]<[?)]，

1ln3ln4ln2

即(丁<(TF<(v)~=，所以a<c<b，

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)所給指數(shù)的底數(shù)和指數(shù)的形式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

【變式4-1】3.(2023?全國?長郡中學(xué)校聯(lián)考二模/實(shí)數(shù)a力滿足1001。+10106=2023a,

1014。+1016萬=2024〃，則0,b的大小關(guān)系為()

A.a>bB.a-bC.a<bD.無法比較

【答案】C

【分析】先假設(shè)a>b,再推理導(dǎo)出矛盾結(jié)果或成立的結(jié)果即可得解.

【詳解】假設(shè)a>b,則101()a>1010J1014a>1014b,

由1001。+lol?！?2023a得1001。+1010。>2023a0(|^|)a+(|^)a>1,

因函婁好⑺=(翳尸+(黑尸在R上單調(diào)遞減，又/⑴=黑+翳=黑<1，則/⑷2

1>/(I),所以a<1；

fc

由1014。+1016萬=2024b得1014萬+1016*<2024=>(黑)方+(翳)”31,

因函數(shù)g(x)=(黑尸+(翳尸在R上單調(diào)遞減，又9(1)=黑+翳=翳>1，則9(b)W

1<9⑴，所以b>1；

即有a<1<。與假設(shè)a>b矛盾,所以a<b,

故選：C

【變式4-1]4.(2023河南開封?？寄M預(yù)測)若a=e02,b=E,c=In3.2，則a,b,c的

大小關(guān)系為()

/\.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】根據(jù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)y=西一t—1,利用導(dǎo)數(shù)證明出eQt+1,利用單調(diào)性判斷

出a>c;令f(x)=In久-會,利用單調(diào)性判斷出c>b,即可得到答案.

【詳解】記曠=-t-1,因?yàn)?=-1,

令■>0,解得t>0；令V<0,解得t<0；

所以y=et-1-1在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以Ymin=e°-0-l=0,所以et>t+1,

所以a=e0,2>0.2+1—1.2>Vl-2—b,a>1.2=Ine1'2,c—In3.2,

665

因?yàn)?e1.2)5=e>(2.7)x387.4>(3.2)?335,5,所以>3.2，即a>c；

令fix)=Inx-xG(0,+8)，/⑺=>0,

所以/O)在(0,+8)單調(diào)遞增，”1)=0,

所以當(dāng)久>1時(shí)，/⑺>0,即Inx>黑,

所以In3.2=In2+lnl,6>ZM+2(^-1)=1±>1A=L1

2+11.6+13950

又1<1.2<1.21,1<b=y/12<1.1,所以c>1.1>b.

故a>c>b.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查比較大小，解答的關(guān)鍵是結(jié)合式子的特征，合理構(gòu)造函數(shù)，利

用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.

題型5放縮法比較大小

通過構(gòu)造函數(shù)比較大小，要比較大小的幾個(gè)數(shù)之間可以看成某個(gè)函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值，我們只

要構(gòu)造出函數(shù)，然后找到這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性就可以通過自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而找到要比較

的數(shù)的大小關(guān)系.有些時(shí)候構(gòu)造的函數(shù)還需要通過放縮法進(jìn)一步縮小范圍.在本題中，通過構(gòu)

造函數(shù)f(x)=ex-x-1，利用導(dǎo)數(shù)證明得到久>0時(shí)，e">x+1，進(jìn)而放縮得到a=e02>

1+0.2=1.2=Ine12.

【例題5](2023?全國?高三專題練習(xí))已知a=sin]b=Ig3,c=2'比較a,b,c的

大?。?用連接)

【答案】a<b<c

【分析】通過構(gòu)造函數(shù)〃久)=久-Sinx,利用其單調(diào)性得到a=sin|<|,再通過作差與零

進(jìn)行比較，得出b與和大小關(guān)系，再通過hc與1進(jìn)行比較，判斷出b<c,進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】令/'(%)=x-sinx,f'(x)=1-cosx>0恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=2kli(keZ)取等

號，所/(x)=x-sinx是增函數(shù)，

當(dāng)x6(0,+8)時(shí)，/(x)=x—sin%>/(0)=0,即x>sinx,所以a=sin|<|,

Xb-|=lg3-|=lg3-IglO三，又因?yàn)?7>10,所以3>105,故由y=Igx的單調(diào)性知，

Ig3>1g103,所以6-1>0,從而b>a,

1

又易知b<1,又由函數(shù)y=2%的單調(diào)性知，c=2,>2。=1,所以a<b<c.

故答案為：aVb<c

【變式5-1]1.已知a=e01,b=詈+1,c=g,則它們的大小關(guān)系正確的是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(%)=Inx+1-久可證b<c,又+1<VL2<1.1,可得<

0.1z即可證a>c.

【詳解】由6=等+1=lnVL2+1

令/(x)=Inx+1-%，則尸(x)=1-1，當(dāng)尤e(0,1),/(%)>0；當(dāng)％G(1,+8),/(x)<0；

所以/(無)=Inx+1-%在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，且/(I)=0

則/'(的工)<0,因此In"攵+1-VL2<0,所以6<c

又因?yàn)閏=VL2<1,1,所以lnVH+1<V12<1,1，得<0.1

故<e0-1,有a>c

故選：c

【變式5-1]2.(2022?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)若口=擊05,6=在，c=ln5,(e=

2.71828…)試比較a,6,c的大小關(guān)系()

.a>b>c

B.b>a>c

C.a>c>b

D.b>c>a

【答案】D

【分析】先估算出a,進(jìn)而求出a的范圍，再由1.642<e求出b的范圍，最后構(gòu)造函數(shù)估算

出C即可求解.

【詳解】由e=2.71828…得e2<7.5,故<7.5X7,5X2.72=153,又1.64X1.64=

2.6896<e,故磊e5<1.6〈注，

由常用數(shù)據(jù)得ln5x1.609，下面說明ln5?1.609，令f(x)=ln(x+1)一會等，/⑺=47一

4X+6X+1

(2x+6)(4X+6)-4(X2+6X)_-4x3

(4x+6)2-(x+l)(4x+6)2'

當(dāng)XG(—1,0)時(shí)>0,"x)單增，當(dāng)XG(0,+8)時(shí)，((X)<0/(久)單減，則/(x)max=

/(0)=0,

則ln(x+1)<,貝！|In5=21n2+ln|,ln2=InX||x||X'-'X?=In(1+—+

1n(l+￡)+…+】n(l+￡)，

令9(x)=器，則】n2-g島)+g信)+…+gg”0.6932,ln|=lngx^)=

ln(l+i)+ln(l+i),

In]=gQ+g(|)?0.2232，貝!]In5=21n2+ln|?2X0,6932+0.2232?1.6096，綜上,

b>c>a.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)對數(shù)的大小比較，關(guān)鍵點(diǎn)在于通過構(gòu)造函數(shù)求出ln5的范圍，放

縮得到ln(x+1)<~~~i再由ln2=In(1+2)+In(1++…+In(1+m和In]=

In(1+0+ln(l+目結(jié)合ln5=21n2+In和可求解.

【變式5-1]3.已知a=sin20°,6=5,c=[則它們的大小關(guān)系正確的是()

.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【分析】由x>。時(shí)，sinx<x判斷a,b的大小關(guān)系，作出y=sin久與y=(比的圖象判斷a,

C的大小即可.

【詳解】20。=「故(1=5嗚,

因?yàn)?>。時(shí),sinx<x,

所以sin工＜三(二,

9920

因?yàn)?(%)=sinx—中/0=。.

作出y=sin%與y=在同一坐標(biāo)系中的圖象，如圖，

由數(shù)形結(jié)合可知sin%>"在(0《)恒成立，所以s嗚>

所以c<a<b,

故選：A

【變式5-1]4.已知實(shí)數(shù)8,6滿足a=log23+log86,6。+8。=10J則下列判斷正確的

是()

A.a>2>hB.b>2>aC.a>b>2D.b>a>2

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的單調(diào)性可判斷a>2,b>2；在構(gòu)造函數(shù)/(x)=6丫+*-10,，

%>2,再根據(jù)換元法和不等式放縮，可證明當(dāng)x>2時(shí)，/(%)=6X+8X-10x<0,由此

即可判斷a,6的大小.

【詳解】因?yàn)閍=log23+log86=log23+|log2(2x3)

x

=^log23+1>|log22V2+|=||+|=|>2,所以a>2;

由6a+8。=10〃且a>2,所以6a+8。>36+64=100,所以b>2,

令/'(x)=6X+8X-10z,x>2,

令t-x—2>0,則x—t+2,

則f(%)=6X+8X-10x,x>2等價(jià)于g(t)=36x6f+64x8f-100x10f,t>0；

又g(t)=36x6t+64x8±-100x10c<100x8t-100x10￡<0,

所以當(dāng)x>2時(shí),f(x)=6X+8X—10z<0,

故6a+8。=10b<10a,所以a>b>2.

故選：C

題型6導(dǎo)數(shù)法

【例題6](2022秋?河北保定?高三?？茧A段練習(xí))已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)

函數(shù)為尸(無)，且不等式廣。)>“無)恒成立,則下列比較大小錯(cuò)誤的是()

A.e/(l)<f(2)B./(0)>e/(-l)C.e/(-2)>/(-I)D.e2/(-l)</(l)

【答案】C

【分析】由已知條件可得生產(chǎn)>0,所以構(gòu)造函數(shù)g(x)=詈,求導(dǎo)后可得“(X)>0,

從而可得g(x)在R上單調(diào)遞增，然后分析判斷

【詳解】由已知尸(x)>/(%),可得也瀉>0,

設(shè)g(x)=詈，則g'(x)=U膂，

,?,g'O)>0,因此g(x)在R上單調(diào)遞增，

所以g⑴<g(以g(-l)<g(0),g(-2)<g(-1),g(—l)<g(l),

日M(i)/f(2)f(-D/f(o)f(-2)r(-i)r(-i)/z(i)

即?<<--

所以e/⑴</(2),e/(-l)</(0),e/(-2)</(-l),e2/(-l)<"D,

所以ABD正確，C錯(cuò)誤，

故選：C.

【變式6-1J1.(2022.安徽?六安二中高三階段練習(xí)定義在回上的奇函數(shù)回(回)滿足回e(0,+8)

時(shí)都有不等式回?-加（回）＞0成立，若回=log320（log23）,0=肘回停）＞0=嗜回（in圈）,

則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.E＜0＜0B.回＜回〈回（2.回＞回＞回口.回＞回＞回

【答案】A

【分析】根據(jù)國（回）-豳’（團(tuán)）＞。構(gòu)造函數(shù)回（國）=等,可得函數(shù)為減函數(shù)，又由回（團(tuán)）為奇函數(shù)

可知團(tuán)（團(tuán)）為偶函數(shù),據(jù)此可比較團(tuán)，回,回大小.

【詳解】???當(dāng)回e（0,+8）時(shí)不等式師）-蛔國）＞o成立,（等）=?嗎嚴(yán)）＜o(jì),

...0（0）=等在（0,+8）上是減函數(shù).貝靦=log320（log23）==0（log23）,0=V20（y）=

近1

誓=日（爭，回=I唯回但號=學(xué)=回（一》,又???函數(shù)回=師）是定義在R上的奇函數(shù)，

~266-2

...團(tuán)（回）=等是定義在R上的偶函數(shù)，則團(tuán)（―|）=0（|）,

Vlog23＞1＞y＞i,V回（回）在（0,+8）上是減函數(shù)，

0（log23）＜0（Y）＜0（|），貝靦＜團(tuán)＜回，

故選：A.

【變式6-1]2.（2022?山東聊城一中高二期中）定義在（0,|）上的函數(shù)回（日），日’（助是回（回）的導(dǎo)

函數(shù)，且回’（&＜-tan團(tuán)?師）成立，回=2團(tuán)（|）,回=例C）,日=手日（|）,則a,b,c的大小

關(guān)系為（）

A.0＞0＞EB.回＞回＞團(tuán)（2.回＞回＞回口.回＞回＞回

【答案】B

【分析】由條件可得cosa-0（0）+sin曰.0（0）＜0,考慮構(gòu)造函數(shù)團(tuán)（回）=翳,結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

公式和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系由條件證明函數(shù)回（回）在（0,|）上的單調(diào)遞減，再根據(jù)函數(shù)

的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.

【詳解】因?yàn)槿誩（0,|）時(shí)，COS0＞0,

所以國'(團(tuán))<-tan0?團(tuán)(回)可化為團(tuán)'(團(tuán))+翳?團(tuán)(回)<0,即cos?-E(0)+sin0-0(0)<0,設(shè)

0(0)=粵，則回'(回)=(等)'=>七產(chǎn)他,所以當(dāng)回G(o,|)時(shí),目?<0,

cos0\cos0/cos/團(tuán)\2/

所以函數(shù)回(助在(0,3上的單調(diào)遞減，因?yàn)榉?lt;；<>所以團(tuán)@>0g)>0g)

所嘿〉暮梨畔唬)>他削哨,

所以團(tuán)>0>0,

故選：B.

【變式6-1]3.(2022.四川南充.一模)設(shè)定義R在上的函數(shù)回=0(0),滿足任意回e回，都

有回國+4)=0(0),且回￡(0,4]時(shí)，00(0)>0(0),則回(2021),驅(qū)驢,誓2的大小關(guān)系是

()

A.0(2021)B.?<0(2021)<?

C.誓<手<回(202i)D.亨<0(2021)<亨

【答案】A

【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的周期性確定正確答案.

【詳解】依題意，任意回G0,都有團(tuán)(團(tuán)+4)=0(0),所以團(tuán)(團(tuán))是周期為4的周期函數(shù).

所以團(tuán)(2021)=回⑴，曳箸=%罕=攀

構(gòu)造函數(shù)回(回)=^(0<0<4),0(0)=函“'?>0,

所以回(回)在區(qū)間(0,4]上單調(diào)遞增，所以回(1)<0(2)<0(3),

即苧<§<等，也即回(2021)〈亭〈罕.

故選：A

【變式6-1]4.(2021?陜西漢中模擬預(yù)測(文))已知定義在R上的函數(shù)回(助，其導(dǎo)函數(shù)為

當(dāng)團(tuán)>時(shí)，若回=竽，回=駟，回=第，則回，回，回的大小關(guān)系是()

0(0),0嗎丁回?>0,zn5

A.0<IE<0B.c<a<b

C.0<0<0D.0<l?l<l?l

【答案】D

【分析】根據(jù)題意當(dāng)回>。時(shí)，嗎券>0,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可構(gòu)造函數(shù)回(回)=等,

由此判斷其單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷回，回，回的大小.

2

【詳解】設(shè)師)=等，則回'(回)=吟蘆，由題意知當(dāng)回>。時(shí)膽答2>o,gp0(0)>o,

故團(tuán)(回)=等在回>。時(shí)單調(diào)遞增，故回⑵<0(n)<g(5),即烏0<0<0,

故選：D.

1.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中校考階段練習(xí))已知/O)=2022,-2022--

ln(Vx2+1—%),當(dāng)0<x<Ja=cosx,b=Incosx,c=ecosx,試比較/'(a),f(b),f(c)

的大小關(guān)系()

A./(a)</(c)<f(b)B.f(b)</(c)</(a)

C./(c)</(a)<f(b)D.f(b)<f(a)</(c)

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)八幻的單調(diào)性及利用久￡(0,1)時(shí)，Inx<x<嘮判斷a,瓦c的大小即可得解.

【詳解】：/O)=2022x-2022T_^(Vx^+T-%)=2022x-2022-x+ln(Vx2+1+%),

/(x)在R上是增函數(shù)，

由xe(0,1)時(shí)，Inx<x<e*知，b<a<c,

/(b)</(a)</(c),

故選：D

2.(2023?遼寧沈陽?東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測)設(shè)a=a，6=jsin/,c=ln^,則a,

6V1546060

b,c的大小關(guān)系正確的是()

/\.C<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.a<b<c

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(x+l)-；sinx,求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間，得到c>b,再構(gòu)造函數(shù)

g(x)=亨-In(久+1),求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間得到a>c,得到答案.

【詳解】設(shè)/(x)=ln(x+l)-^sinx,0<x<|,則尸(%)=三一;cosx,

4JX~r14

0<%<|,|<^<1,JCOSX<|,故/⑶>0,f(%)在(0《)上單調(diào)遞增，

故/(%)>/(0)=0,當(dāng)0V%V1時(shí),In(%+1)>[sin%恒成立,

令X=2e(0,0,Bng>|sin^，即c>b；

設(shè)以無)=f-ln(x+1),0<x<?則“⑺=點(diǎn)一=，

又％—6y/x+1=(Vx)2—6y/x+1=—3)2—8,

故％—6y/x+1在6(0,上單調(diào)遞減,x—6y+1>2—+1>0,

故g'(x)>o,則函數(shù)g(x)在(0,上單調(diào)遞增，即9(%)>9(0)=0,

故當(dāng)。V%<2時(shí)，?>ln(x+1)恒成立，

令比=2e(°4)，則康=>lnS,即a>C，

綜上所述:b<c<a.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛本題考查了利用導(dǎo)數(shù)比較函數(shù)值的大小問題意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，

轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?四川成都?樹德中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知/(%)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

且/(X)+g(x)=ex+COSX,a=2ln(sin^|+cos^|),b=logi3,c=Ic^J則g(a)、g(b)、

g(c)大小關(guān)系為()

A.g(c)<g(a)<g(b)B.g(a)<g(b)<g(c)

C.g(a)<g(c)<g(b)D.g(b)<g(a)<g(c)

【答案】C

【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義求出函數(shù);'CO、9(%)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)9(久)在

(0,+8)上的單調(diào)性，并比較a、依、|c|的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)9(久)在(0,+8)上的單調(diào)性可

得出g(a)、g(b)、g(c)的大小關(guān)系.

【詳解】因?yàn)?(尤)、gO)分別為R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且fO)+gO)=e，+cosx,

510/(—x)+g(—x)=e~x+cos(-x),

(/(x)+g(x)=e*+cosx

所以，，所以lg(x)=W二:cosx

I—/(x)+g(X)=e~x+cosx

pX_p-XpX_p-X..

當(dāng)%>。時(shí)，“(%)=----sin%,令h(%)=----sin%,其中%>0,

^Xip-X______________

則九'(%)=----cosx>Vex-e-x—cosx=1—cosx>0，函數(shù)h(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則九(%)>/i(0)=0,因此函數(shù)g(%)在(0,+8)上為增函數(shù),

因?yàn)閟in+cos=V2sin仁+；)=V2sin~=~i

所以，a=21n仔=Inf=In/|<InVe=1,\b\=logi3=log43>log42=1,

kl=|log31|=log32>log3V3=|,

因?yàn)镮bl