2024年高三數(shù)學重難點復(fù)習專練：三角函數(shù)壓軸小題十五大題型（原卷版）

重難點專題21三角函數(shù)壓軸小題十五大題型匯總

題型1新文化問題................................................................1

題型2新定義問題................................................................4

題型3黃金分割相關(guān)問題..........................................................5

題型4扇形相關(guān)問題..............................................................7

題型5三角函數(shù)公式相關(guān)問題.....................................................9

題型6三角函數(shù)性質(zhì)問題.........................................................10

題型7識圖問題.................................................................12

題型8湊角求值問題.............................................................15

題型9最值相關(guān)問題.............................................................16

題型103相關(guān)問題..............................................................17

題型相關(guān)問題...............................................................17

題型12實際應(yīng)用問題............................................................18

題型13恒成立問題..............................................................21

題型14零點相關(guān)問題............................................................22

題型15與數(shù)列相關(guān)問題..........................................................24

囑如定

題型1新文化問題

【例題1】（2023秋?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考開學考試）我國人臉識別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所

謂人臉識別，就是利用計算機檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.

假設(shè)二維空間中有兩個點力(的,為)，8(如光)，0為坐標原點，余弦相似度為向量衣，而夾

角的余弦值，記作cos(4B),余弦距離為1-cos(a,B).已知P(cosa,sina),Q(cos/?,sin￡),

R(cosa,-sina),若P,Q的余弦距離為［,tana-tan.=巳，貝!1Q,R的余弦距離為()

【變式1-1]1.(2023?全國?高三專題練習)法國著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一

個幾何定理："以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形

的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點”.如圖在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

且10(sin等丫=7-C0S24以AC為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次

為。1,。2,。3.則角a=.

【變式1-1]2.(2023?全國?鎮(zhèn)海中學校聯(lián)考模擬預(yù)測)天文學家、數(shù)學家梅文鼎，為清代

"歷算第一名家"和"開山之祖"，在其著作《平三角舉要》中給出了利用三角形的外接圓

證明正弦定理的方法.如圖所示，在梅文鼎證明正弦定理時的構(gòu)圖中，。為銳角三角形ABC外

接圓的圓心.若sin/BAC=y,貝!]COS2NOBC=()

【變式1-1]3.（2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考階段練習）古希臘畢達哥拉斯學派在公元

前6世紀研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可

以表示為a=2cos72。，則等％=

【變式1-D4.（2023?浙江?校聯(lián)考二模族學里有一種證明方法叫做Proofwithoutwords,

也被稱為無字證明，是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學命題，由于這種證明

方法的特殊性，無字證時被認為比嚴格的數(shù)學證明更為優(yōu)雅與有條理.如下圖，點C為半圓。

上一點,CH1AB,垂足為“，記NC0B=3,貝性tan/BCH=穿可以直接證明的三角函數(shù)

公式是（）

廠C.t4an-8=1--COS0cD.j.tan6-=1+COS0

2Sine2sin6

【變式1-1]5.（2023?江蘇南京?南京航空航天大學附屬高級中學校考模擬預(yù)測）我國古代

數(shù)學家僧一行應(yīng)用"九服暑影算法”在《大衍歷》中建立了暑影長I與太陽天頂距

0（0°<e<90。）的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學史上最早的一整正切函數(shù)表.根據(jù)三角學知識可

知，號影長度I等于表高h與太陽天頂距。正切值的乘積，即/=htane,對同一"表高"兩

次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為人/?,若第一次的“號影長"是"表高"的3

倍，且tan（a-0）=1則第二次“號影長"是"表高"的（）倍.

A.1B.-C.-D.-

322

【變式1-1]6.（2022秋?安徽合肥?高三?？计谥校?shù)學必修二101頁介紹了海倫-秦九韶

公式：我國南宋時期著名的數(shù)學家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊

長求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高

的數(shù)學水平，其求法是："以小斜幕并大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大

斜幕減上，余四約之，為實.一為從隔，開平方得積若把以上這段文字寫成公式，即S=

衛(wèi)卜2c2_（四衿）2]其中公b、C分別為△4BC內(nèi)角4B、C的對邊.若喘誓=看，

6=2,貝!]△2BC面積S的最大值為（）

A.V3B.V5C.2D.V2

題型2新定義問題

【例題2】（2023?湖南長沙長沙市實驗中學?？级＃┱睿⊿ecant）及余割（Cosecant）

這兩個概念是由伊朗數(shù)學家、天文學家阿布爾?威發(fā)首先引入，sec,esc這兩個符號是荷蘭

數(shù)學家基拉德在《三角學》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行.在三角中，定義正割seca=

熹，余割esc。=熹.則函數(shù)f⑺=三+*的值域為（)

A.[-1,1]B.[-V2)V2]

C.[—2,2]D.[―V2,—1)U(—1,1)U(1,V2]

【變式2-1】1.（多選）（2023?安徽安慶?安慶一中校考模擬預(yù)測）正割（Secant）及余割

（Cosecant）這兩個概念是由伊朗數(shù)學家、天文學家阿布爾?威發(fā)首先引入，sec,esc這兩個

符號是荷蘭數(shù)學家基拉德在《三角學》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行.在三角中，定

義正割seca=含，余割csca=嘉.已知函數(shù)f（%）=￡+高，給出下列說法正確的屋）

A.70）的定義域為｛x|久豐kn,kGZ];

B./（X）的最小正周期為2TT;

C./（x）的值域為-1）u（-1,1）u（1,V2];

D./（無）圖象的對稱軸為直線x=—?+kn（kGZ）.

【變式2-1J2.（2023?全國?高三專題練習）一般地，存在一個幾次多項式7“（久），使得cosmc=

7^（cosx），這些多項式*Q）稱為切比雪夫多項式.由cos2x=2cos2x-1，知"（x）=2/-1,

通過運算，可以得到C0S3X的切比雪夫多項式73。）=.結(jié)合上述知識計算

cos36°=.

題型3黃金分割相關(guān)問題

【例題3]（2022?貴州安順?統(tǒng)考模擬預(yù)測）黃金分割點是指將一條線段分為兩部分，使得

較長部分與整體線段的長的比值為牛的點.利用線段上的兩個黃金分割點可以作出正五角

星，如圖所示，已知C,D為AB的兩個黃金分割點，研究發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：*=籌=秒=

ADADDC

手.若等腰ACDE的頂角NCED=6，貝!JcosB=（）

【變式3-1】1.（2023?江西?校聯(lián)考二模）被譽為"中國現(xiàn)代數(shù)學之父”的著名數(shù)學家華羅

庚先生于1946年9月應(yīng)普林斯頓大學邀請去美國講學，之后又被美國伊利諾依大學聘為終

身教授.新中國成立的消息使華羅庚興奮不已，他放棄了在美國的優(yōu)厚待遇，克服重重困難，

終于回到祖國懷抱，投身到我國數(shù)學科學研究事業(yè)中去.這種赤子情懷，使許多年輕人受到

感染、受到激勵，其中他倡導的"0.618優(yōu)選法"在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)

用，0.618就是黃金分割比1=厚的近似值，黃金分割比還可以表示成2sinl8。，則

靠舄淮值為（）

A.-4B.4C.-2D.2

【變式3-1]2.（2023?全國?高三專題練習）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研

究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割均為0.618,這一數(shù)值也可以表示為2=

2sinl80,則盡“2。+入=()

A.-B.1C.四D.漁

222

【變式3-1]3.(2023?全國?高三專題練習)黃金分割比例廣泛存在于許多藝術(shù)作品中.在

三角形中，底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形，被認為是最美的三角形，

它是兩底角為72。的等腰三角形.達?芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，在整個畫面里形成了一

個黃金三角形.如圖，在黃金三角形ABC中，竽=誓，根據(jù)這些信息，可得sin54。=()

A2<5-lg遍+1

?4°4

CV5+4口V5+3

?8°8

【變式3-1]4.(2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考三模)隨著智能手機的普及，手機攝影越

來越得到人們的喜爰，要得到美觀的照片，構(gòu)圖是很重要的，用"黃金分割構(gòu)圖法”可以讓

照片感覺更自然.更舒適，"黃金九宮格"是黃金分割構(gòu)圖的一種形式，是指把畫面橫豎各

分三部分，以比例1:0.618:1為分隔，4個交叉點即為黃金分割點.如圖，分別用

表示黃金分割點.若照片長、寬比例為4：3,設(shè)立以8=a,則筆衿-tana=()

題型4扇形相關(guān)問題

【例題4]（2023秋?貴州?高三統(tǒng)考開學考試）已知"水滴"的表面是一個由圓錐的側(cè)面和

部分球面（常稱為"球冠"）所圍成的幾何體.如圖所示，將"水滴"的軸截面看成由線段

AB,AC和優(yōu)弧BC所圍成的平面圖形，其中點B,C所在直線與水平面平行，AB和AC與

圓弧相切.已知"水滴"的"豎直高度"與"水平寬度"（"水平寬度"指的是平行于水平

面的直線截軸截面所得線段的長度的最大值）的比值為[貝！IsinNBAC=（）

【變式4-1】1.（多選）（2023?全國?高三專題練習）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，

其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜爰.古人曾有詩贊曰："開合清風紙半張，

隨機舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為圖2的扇形COD,

其中=4，0C=3。4=3,動點P在⑶上（含端點），連接。P交扇形。的弧A8于

點Q,且麗=xOC+yOD,則下列說法正確的是（）

D0c

B

o

圖1圖2

A.若y=2x,則赤.而=一]百B.x+yE[|,|]

C.PA-PB>^D.AB-PQ>-2

【變式4-1]2.（2023春廣東深圳?高三?？茧A段練習）以乙4cB的頂點C為圓心作圓交角

的兩邊于A,B兩點；取線段48三等分點O,D;以B為焦點，A,D為頂點作雙曲線，與

圓弧4B交于點E,連接CE,則N4CB=3/8CE.若圖中CE交4B于點P,5布=6萬，貝

cos乙4cp=.

【變式4-1】3.（2023?河南焦作?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知P,Q分別為乙4。8兩邊上的點，

乙40B=巳PQ=3,過點P,Q作圓弧，R為網(wǎng)的中點，且NPQR=?則線段OR長度的最大

OO

值為.

B

【變式4-1]4.（2022?全國?高三專題練習）為創(chuàng)建全國文明城市，上饒市政府決定對某小

區(qū)內(nèi)一個近似半圓形場地進行改造，場地如圖，以。為圓心，半徑為一個單位，現(xiàn)規(guī)劃出

以下三塊場地，在扇形AOC區(qū)域鋪設(shè)草坪，△OCD區(qū)域種花，△OBD區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚，若

乙40c=ZC0D,且使這三塊場地面積之和最大，貝UCOSNAOC=

D

A

'-----詁-----“B

【變式4-1】5.(2022湖北?恩施市第一中學校聯(lián)考模擬預(yù)測)共和國勛章,是中華人民共

和國最高榮譽勛章，授予在中國特色社會主義建設(shè)和保衛(wèi)國家中作出巨大貢獻、建立卓越功

勛的杰出人士.2020年8月11日授予鐘南山"共和國勛章”.

某市為表彰在抗疫中表現(xiàn)突出的個人，制作的榮譽勛章的掛墜結(jié)構(gòu)示意圖如圖，。為圖中

兩個同心圓的圓心，三角形ABC中，AB=AC,大圓半徑。4=2，小圓半徑。B=OC=1,

記S為三角形OAB與三角形OAC的面積之和.設(shè)陰影部分的面積為S,當及-S取得最大值

時COSNBOC=.

掛電結(jié)構(gòu)示意圖

題型5三角函數(shù)公式相關(guān)問題

【例題5](2023秋?江蘇南京?高三統(tǒng)考階段練習)已知aW(0,n),且3tana=10cos2a,則

cosa可能為()

A_^B.立C旦D立

【變式(2023?全國?高三專題練習)已知0<a<。<2兀，函數(shù)f(x)=5sin,

若f(a)=f(6)-1,則cos(0—a)=()

A.-B.C.-D.--

252555

【變式5-1]2.(2023?全國?高三專題練習)已知銳角三角形的內(nèi)角A,B,C所對的

邊分別是a,b,C,且/>B,若sinC=2cosZsinB+(，貝！JtanB的取值范圍為.

【變式5-1]3.（2023秋?黑龍江七臺河?高三勃利縣高級中學?？茧A段練習）在AA8C中,

已知sin4sinBsin（C-。）=Asin2C,其中tan。=i（0<0<弓）若乙+七+三為定值，則

Nztan力lan/ytanc

實數(shù)4=.

【變式5-1】4.（2023?全國?高三專題練習）在直角坐標系中，△ABC的頂點A（cosa,sina）,

8（cos0,sin￡）,。（竽，2企），目△力BC的重心G的坐標為（學，魚），cos（a—0）=.

【變式5-1]5.（2022?全國?高三專題練習）已知點G是4ABC的重心，且G41GC，若高+

=1,貝UtanB的值為.

tanC-----------------

【變式5-1]6.（2021秋?四川成都?高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？计谥校┰?

ABC中,已知sin/sinBsin（C-0）=Asin2C,其中tan。=-（其中0<0<-）,若」——I——-——卜

32tanAtanB

三為定值，則實數(shù)2的值是（）

tanC

A.回B.匹C.V10D.

20510

題型6三角函數(shù)性質(zhì)問題

【例題6】（多選）（2023?全國?高三專題練習）（多選題）設(shè)函數(shù)/O）=cos（觸-y）+

:卜3>0），若f（x）的圖象與直線y=-1在[0,23上有且僅有1個交點，則下列說法正確的

是（）

A.3的取值范圍是陶粉

B.“功在[0,2川上有且僅有2個零點

C.若門久）的圖象向右平移工個單位長度后關(guān)于y軸對稱，則3=?

D.若將/（%）圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?得到函數(shù)gGO的圖象，則g（x）在[。,手上單

調(diào)遞增

【變式6-1]1.（多選）（2023秋?河南鄭州?高三鄭州外國語學校校考階段練習）設(shè)函數(shù)/（?

的定義域為R,“X—》為奇函數(shù)，/Q+T）為偶函數(shù)，當xe,堂時，/（無）=cosx,則

下列結(jié)論正確的是（）

A./（y）=-|B./O）在（3TI,4TT）上為減函數(shù)

C.點（乎,0）是函數(shù)f（久）的一個對稱中心D.方程/-Igx=0僅有3個實數(shù)解

【變式6-1]2.（多選）（2023?全國?高三專題練習）關(guān)于函婁好。）=2sin2x-3sin|%|+1,

以下說法正確的有（）

A./0）是偶函數(shù)

B.f（x）在區(qū)間（一熱0）上單調(diào)遞增

C./（X）在[-上有4個零點

D.『0）的值域是卜:6]

【變式6-1]3.（2023秋?黑龍江鶴崗?高三鶴崗一中校考開學考試）已知函數(shù)f（x）=

m2cosx-m-2》+]的圖象和函數(shù)g（x）=聶-3的圖象有唯一交點，則實數(shù)m的值為（）

A.1B.3C.—1或3D.1或3

【變式6-1]4.（2023秋?河南信陽?高三信陽高中?？茧A段練習）已知函數(shù)/（%）=

sin（cosx）+cos（sinx）,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.VxeR,/（%—2n）=/（%）

B.Vxe[O,TI],/（%+n）>0

c./（%）是奇函數(shù)

D./（X）的最大值大于企

【變式6-1]5（2023秋?河南?高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)f0）=cos（3x+。）ae*,

We[0,n],在xe（-金,印內(nèi)恰有兩個極值點，目/（—與）+/（印=o,貝歷的所有可能取

值構(gòu)成的集合是.

【變式6-1]6.（2023秋?北京?高三北京市陳經(jīng)綸中學?？奸_學考試）已知函數(shù)fO）=

2sin(a>x+R)+1(3>0,[如<]),滿足/'(x)+f(―1—x)=2,且對任意xGR,都有

/（%）>/（-§）,當3取最小值時，則下列正確的是.

①TO）圖像的對稱軸方程為x=巳+Mkez

②/（x）在［―弓,］上的值域為［2,3］

③將函數(shù)y=2sin（2%-+1的圖象向左平移，個單位長度得到函數(shù)八支）的圖象

④/⑺在/與上單調(diào)遞減?

題型7識圖問題

H劃重點

已知/（x）-Asin（MX+<p）（A>。，3>0）的部分圖象求其解析式時，2比較容易看圖得出，

困難的是求待定系數(shù)3和,，常用如下兩種方法：

（1）由3=與即可求出3；確定0時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的"零點"

橫坐標%0，則令3Xo+<p=0（或3而+9=兀），即可求出0

（2）代入點的坐標，利用一些已知點（最高點、最低點或"零點"）坐標代入解析式，再結(jié)合圖

形解出3和W,若對A,3的符號或?qū)?的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.

【例題7］（2023?北京高三專題練習）已知函數(shù)/⑺=布ingx+卬）（4>0,0<中<n）的

部分圖象如圖1所示，4B分別為圖象的最高點和最低點,過4作x軸的垂線，交久軸于4,

點C為該部分圖象與左軸的交點.將繪有該圖象的紙片沿久軸折成直二面角，如圖2所示，此

時=V10,貝！M=

給出下列四個結(jié)論：

①T；

②圖2中，荏?前=5;

③圖2中，過線段4B的中點且與2B垂直的平面與x軸交于點C；

④圖2中，5是448。及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={QeSII4QI<2},則T表示的區(qū)

域的面積大于%

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

【變式7-1］1.（2021秋?重慶銅梁?高三銅梁一中階段練習）已知函數(shù)/（%）=2sin?K+

（p）（3>0）,XG［一看,爭的圖像如圖，若/'（X1）=/（刀2），且石*工2，則/Q1+%2）的值為（）

A.V3B.V2C.1D.0

【變式7-1］2.（2022?全國?高三專題練習）如圖，點P（-2,a）和點Q（1,b）分別是函數(shù)

/（久）=4sin（3久+0）cos（3x+0）（4>0,3>0,0<0<，圖像上的最低點和最高點，若

P、Q兩點間的距離為5,則關(guān)于函數(shù)g（x）=Xcos（ti）x-2。）的說法正確的是（）

A.在區(qū)間［-4,2］上單調(diào)遞增B.在區(qū)間［0,6］上單調(diào)遞減

C.在區(qū)間［1,7］上單調(diào)遞減D.在區(qū)間［4,10］上單調(diào)遞增

【變式7-1]3.（2020?全國?高三專題練習）如圖，函數(shù)f（x）=Asin（ox+cp）（其中

4>0,3>0,|例轉(zhuǎn)與坐標軸的三個交點P、Q、R滿足P（2,0），乙PQR=M為QR的

Z4

中點，PM=24，則a的值為（）

【變式7-1]4.（2022?浙江?高三專題練習）如圖，直線AB與單位圓相切于點。，射線。P從

出發(fā)，繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)分入過程中,記乙40P=x（0<%<yr）,OP經(jīng)過的單

位圓。內(nèi)區(qū)域（陰影部分）的面積為S,記S=/（%）,對函數(shù)f（x）有如下四個判斷：

①當x=乎時，S=^+]

②xG（0,兀）時，f。）為減函數(shù)；

③對任意％e（o,g,者B有fg-%）+/g+x）=7r；

④對任意Xe（o，D,都有/g+%）=f（x）+]

其中判斷正確的序號是

題型8湊角求值問題

5^^

#占

,■、f.?、、、

三角函數(shù)求值的類型及方法

(1)"給角求值"：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊

角總有一定關(guān)系.解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角

函數(shù).

(2)"給值求值"：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在

于"變角"，使其角相同或具有某種關(guān)系.

(3)"給值求角"：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為"給值求值"，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角

的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍.

【例題812020?全國?高三專題練習搭ae[0,兀],06[—為]/eR且cP—cos?-22=0,

—2。)—2sin0cos。-2A=0,若cosa=|,貝!Jtan。=()

A.-B.-C.V3D.3

32

【變式(2023?江蘇徐州??？寄M預(yù)測)已知sin(2a-*=乎，則tan(a+=)tan(a+

凱----------

【變式8-1】2.(2022?全國?高三專題練習)已知點P(0,m)是y軸上到4(1,1),8(2,4)距離和

最小的點，且cos(a—9=工，則sin(2a-￡)的值為(用數(shù)據(jù)作答).

D771o

【變式8-1]3.（2023?全國?高三專題練習）已知cos（2a-9=/tancrtan（a-勻=p,

則正常數(shù)p的值為.

【變式8-1]4.（2020?全國?高三專題練習）已知8cos（2a+S）+5cos0=0,且cos（a+

/3）cosaH0,則tan（a+/?）tana=.

題型9最值相關(guān)問題

【例題9]（2022秋?山東青島?高三?？茧A段練習）在AABC中，C=90°,若XWR,則f（x）

=sin（x+A）+sin（x+B）的最大值為（）

A.V2B.1C.2D.農(nóng)

2

【變式9-1]1.（2022秋?江蘇常州?高三?？奸_學考試）已知a,是互不相同的銳角，則

在sinacos/?,sin/?cosy,sinycosa三個值中，大于扣勺個數(shù)的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

【變式9-1J2.（2022秋?山東青島?高三統(tǒng)考期中）已知8￡（0?），則焉+高-2/tan。

的最小值為（）

A.8B.12-2V2C.6D.5

【變式9-1J3.（2020?全國?高三專題練習）如圖，在半徑為1的扇形AOB中（O為原點）,

4（1,0），乙40B=學.點P（x,y）是4B上任意一點，則xy+x+y的最大值為（）

【變式9-1]4.(2023?全國?高三專題練習)△ZBC中，角A,B,C滿足cos2Z-cos2B=

2sinC(sinB-sinC),則[三+的最小值為.

【變式9-1]5.（2023秋?重慶?高三重慶一中?？奸_學考試應(yīng)△ABC中若sin2=2cosBcosC,

則cos2B+cos2c的最大值為.

【變式9-1]6.（2022秋?河北?高三校聯(lián)考階段練習）定義在R上的函數(shù)/（為單調(diào)遞減，

且滿足fQ-xH/Q+xA。，對于任意的a，滿足/"（acosa）+/（6sina）2。!'亙成立，則a+6的最

大值為.

題型103相關(guān)問題

【例題101（2022秋?福建龍巖?高三福建省龍巖第一中學?？茧A段練習）已知函婁好（X）=

Sinwx+aCOSwx（a>0,（o>0）圖像的兩條相鄰對稱軸之間的距離小于耳f③=遍，且

/（%）</g）,則3的最小值為.

【變式侈選X2023?河北秦皇島?校聯(lián)考二模）已知函數(shù)/（%）=sin（3x+0）（3>0）

是在區(qū)間宿族）上的單調(diào)減函數(shù)，其圖象關(guān)于直線％=-雜寸稱，且f仁）+f（§=0,則

3的值可以是（）

A.4B.12C.2D.8

【變式10-1】2.（2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（久）=2sin（3久-；）+/（3>0）

在[0,2]內(nèi)有且僅有3個零點，則3的值可以是（）

A.3B.5C.7D.9

【變式10-113.（2023?河北唐山?模擬預(yù)測）已知4B,C為f（x）=sina）x與gQ）=coss的

交點，若△ABC為等邊三角形，則正數(shù)3的最小值為.

【變式10-1】4.（2023秋?安徽?高三宿城一中校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)/（x）=

3sin（5-5）（3>0）,當久eM時,函數(shù)/（%）的最大值為3,則滿足條件的3的個數(shù)

為.

題型11夕相關(guān)問題

【例題11】（2023?全國?高三專題練習）已知/（乃=sinxcosx+V3cos2x,若對任意實數(shù)x

都有f0）=Asin^x+0）+日，其中43eR,。e[0,3it）,貝山的所有可能的取值有（）

A.2jB.4jC.6jD.8j

【變式11-1】1.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?校聯(lián)考一模）在函婁好（久）=sin（2x-<p）（<p>0）圖象

與x軸的所有交點中，點0）離原點最近，貝!|租可以等于（寫出一個值即可）.

【變式11-1】2.（2022秋?上海徐匯?高三上海市南洋模范中學校考期中）將函數(shù)f（?=

2sin2%的圖象向右平移9（0<@<兀）個單位后得到函數(shù)g（%）的圖象，若對滿足-

9（%2）1=4的%八%7有1對一％2I的最小值為；，則0=.

2O

【變式11-1]3.（2022?安徽?南陵中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）將函婁好⑶=2sinx-1的圖象上

所有點的縱坐標伸長為原來的2倍，再向下平移1個單位長度，最后向左平移以0>0）個

單位長度得到函數(shù)。（久）的圖象.若對任意叼6[。圖都存在&e[-;,0]使得fQi）=儀久2），

則W的值可能是（）

ATTD57r177r37r

.-D.—C.——L）.——

412124

題型12實際應(yīng)用問題

【例題12]（2023秋?內(nèi)蒙古赤峰?高三統(tǒng)考開學考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉

工具，既經(jīng)濟又環(huán)保.明代科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖

1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動，如圖2,將筒

車抽象為一個半徑為10的圓0，設(shè)筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，以筒車的中

心0為原點，線段0A,0B所在的直線分別為x,y軸建立如圖所示的直角坐標系（A,B

為圓0上的點）,分別用/⑴,g（t）表示t秒后A,B兩點的縱坐標，則y=/（t）-g⑴的最

大值為（）

A.50B.75C.50A/3D.100

【變式12-1】1.（多選）（2023春?福建廈門?高三廈門一中?？计谥校┩曹囀俏覈糯l(fā)

明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學家徐光啟在

《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）.現(xiàn)有一個半徑為3米的簡車按逆時

針方向每分鐘旋轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米.設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水

面的距離為d（單位：米）（在水面下則為負數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面開始計算時間，設(shè)

時間為t（單位：秒），已知儂48。=|,則（）

A.d=2—3cost+e),其中cos。=|,且ee(oTT

B.d=3sin忌t+8)+2,其中sin。=—|,且。€(-],())

C.大約經(jīng)過38秒，盛水筒P再次進入水中

D.大約經(jīng)過22秒，盛水筒P到達最高點

【變式12-1】2.（2021秋?江蘇蘇州?高三蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學校考階段練習）如圖,

某大風車的半徑為2米，每12秒旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點。離地面1米，點。在地面上的

射影為A.風車圓周上一點M從最低點0開始，逆時針方向旋轉(zhuǎn)40秒后到達P點，則點

P到點A的距離與點P的高度之和為

/地面

A.5米B.(4+夜)米

C.(4+g)米D.(4+g)米

【變式12-1]3.(2021秋?河南洛陽?高三校聯(lián)考階段練習)水車在古代是進行灌溉引水的

工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個半徑為

R的水車，一個水斗從點4(3次,-3)出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時

60秒，經(jīng)過t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點，設(shè)P的坐標為(x,y)，其縱坐標滿足y=f(t)=Rsin(3t+

(p)(t>0,\cp\<]),則下列敘述正確的是.

②當tG[35,55]時，點。至物軸的距離的最大值為6；

③當tG[10,25]時,函數(shù)y=/(t)單調(diào)遞減；

④當t=20時,\PA\=6V3

【變式12-1】4.(2023秋?江蘇蘇州?高三蘇州中學?？茧A段練習)某小區(qū)有一個半徑為r

米，圓心角是直角的扇形區(qū)域，現(xiàn)計劃照圖將其改造出一塊矩形休閑運動場地，然后在區(qū)域

I（區(qū)域ACD）,區(qū)域11（區(qū)域CBE）內(nèi)分別種上甲和乙兩種花卉（如圖），已知甲種花卉每

平方米造價是a元乙種花卉每平方米造價是3a元設(shè)zBOC=e，中植花卉總造價記為/（。），

現(xiàn)某同學已正確求得：f0）=ar2g（8）,則g（e）=;種植花卉總造價最小值

為.

題型13恒成立問題

!>劃>占

有關(guān)三角函數(shù)綜合問題的求解策略：

1、根據(jù)題意問題轉(zhuǎn)化為已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的解析式和圖象，然后在根據(jù)數(shù)形結(jié)合思

想研究三角函數(shù)的性質(zhì)，進而加深理解函數(shù)的性質(zhì).

2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：單調(diào)性、

奇偶性、對稱性、周期性與最值等），進而加深理解函數(shù)的極值點、最值點、零點及有界性

等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯解.

【例題13]（2023秋?四川成都?高三樹德中學?？奸_學考試）已知函數(shù)f（x）=acos（2x-

：）+6sinxcosx-2cos2x+1的圖象關(guān)于直線x=等對稱.若對任意/e[o,"j,存在冷6

（0,+8）,使f（與）<2座2第成立，則m的取值范圍是（）

A.m>—1B.m>——C.m>——D.m>——

248

【變式13-111.（2023秋?四川成都?高三樹德中學?？奸_學考試）已知函數(shù)/（%）=

acos(2x—：)+6sinxcosx—2cos2x+1的圖象關(guān)于直線》=知對稱.若對任意,

存在%2E(0,+8),使/但)<2皿升%2+號成立，則m的取值范圍是()

-1-1-1

A./nN—1C.m>--D.m>--

【變式13-1】2.(2023春?河南許昌?高三鄢陵一中?？茧A段練習)已知函數(shù)八乃=

2sinxcosx+4cos2x-1，若實數(shù)a、b、C使得a/(%)-bf(x+c)=3對任意的實數(shù)%恒成立，

貝(]2a+b-cosc的值為()

A.iBC.2D.-

222

【變式13-1】3.(2021秋?重慶巴南?高三重慶市清華中學校?？茧A段練習)若不等式

mcosx-cos3x-i<0對任意xe(0,恒成立，則實數(shù)小的取值范圍是()

A?(-oo,-1]B.(-00,-2]C.(-oo,|]D.(-oo)|]

【變式13-1J4.(2020?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測港不等式(a-|x-b|)-sin(%+<0對

xw[0,2兀]恒成立，則sin(a+b)和sin(a-b)分別等于()

A底.立BC-—D-—?

*2，2*212.2，2.2，2

【變式13-1]5.(多選)(2022秋?山西臨汾?高三統(tǒng)考階段練習)已知函數(shù)f(x),((無)是

其導函數(shù)，Vxe(0,5),y,(x)cosx+f(x)sinx=Inx恒成立，則()

A.[/g)+V3/g)]cosl>V3/(l)B.(V3-1)/g)<V2/偌)

C.V2/(5<V3/(5D.2魔)>(V3+1)/(；)

題型14零點相關(guān)問題

均#6

已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法，合理轉(zhuǎn)化求解.

【例題14】(2023?全國?高三專題練習)已知y=/(x),%GR滿足/(久+2)=f(x-2),

/(0)=0，當Xe(0,4)時/(久)=log26.已知g(x)=2sin(^x+n)，則函數(shù)y=/(x)-g(x),

xG[-4,8]的零點個數(shù)為,這些零點的和為.

【變式14-1]1.(2023秋?四川南充?高三四川省南充高級中學?？茧A段練習)已知定義在

R上的奇函數(shù)滿足f(2—x)+/(%)=0,當xe(0,1]時，八式)=-log2x.若函數(shù)F(x)=

/(X)-sin兀久在區(qū)間[-1,加上有10個零點，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.[3.5,4)B.(3.5,4]C.(5.5,5]D.[5,5,5)

【變式14-1】2.(2023春?天津南開?高三南開大學附屬中學校考階段練習)已知m>0,

{(V—+一1VYVTD

cosf3x+^m<x<n'恰有3個零點，則m的取值范圍是()

A上涔)U[2書B.[^|=)u[2^]C.(0,§)u[2^)D.(0,部[2,羽

【變式14-1】3.(2023?天津?高三專題練習)已知定義在R上的函數(shù)y=/(%)是偶函數(shù)，

2sin~x,0v支v]

3，若關(guān)于X的方程[fO)]2+a/(x)+b=0(a,6eR),

{G)+豕>1

有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是()

【變式14-1】4.(2023?全國?高三專題練習)已知定義在R上的偶函數(shù)八"),當x>。時滿

4cosxsin(x+-)—1,0<%<-

足/(%)=?。6,關(guān)于%的方程[/(%)]2+2力*(%)+2=0有且僅有

(-)6>-

I\2726

6個不同實根，則實數(shù)a的取值范圍是.

題型15與數(shù)列相關(guān)問題

【例題15】（多選）（2023?全國?高三專題練習）如圖，A是一塊半徑為1的圓形紙板，在B

的左下端前去一個半徑為掃勺半圓后得到圖形P2,然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前

一個前掉半圓的半徑）得圖形P3上,…，Pn，…，記紙板匕的周長為人，面積為S”,則下列說

法正確的是（）

(1)(2)(3)(4)

A?〃=&+1B-S3=1j兀

C.Ln=兀2-G)+(|)D,Sn+1=Sn-備7

【變式15-1]1.（2023?上海虹口?上海市復(fù)興高級中學校考模擬預(yù)測）已知/（x）=sinx+

Inx,將y=的所有極值點按照由小到大的順序排列，得至擻列小｝，對于正整數(shù)n,

甲:（『1）11<當<而；乙仆"邛為嚴格減數(shù)列，則（）.

A.甲正確，乙正確B.甲正確，乙錯誤

C.甲錯誤，乙正確D.甲錯誤，乙錯誤

【變式15-1】2.（2023春?上海寶山?高三上海交大附中?？茧A段練習）將關(guān)于x的方程

2sin（2x+tn）=1（t為實常數(shù)，0<t<1）在區(qū)間。+8）上的解從小到大依次記為

x1,x2,-,xn,-,設(shè)數(shù)列｛肛｝的前n項和為七,若T20<100n,則t的取值范圍是.

【變式15-1】3.（2023?全國?高三專題練習）數(shù)列｛an｝滿足tanan=忌期,ane（0彳）,

Sn為的前n項和，若Sn<k，則k的范圍為

【變式15-1]4.（2021?福建廈門?廈門一中?？家荒＃┮阎猣（乃=tanx,數(shù)列滿足:

對任意九eN*,ane（0,|），目的=|,/（an+1）=,廣（即），則使得sina】?sina2???sinak

成立的最小正整數(shù)k為.

【變式15-1】5.（多選）（2023?全國?高三專題練習）已知單位圓。的內(nèi)接正ri邊形4424

…4九的邊長、周長和面積分別為與，八，S”，則下列結(jié)論正確的是（）

C.I5-=D.磷+(2—a加/=4

32n/

1.（2020?北京?統(tǒng)考高考真題）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（兀Day）.歷

史上，求圓周率兀的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學中的"割圓術(shù)"相似.數(shù)學家阿爾?卡西的

方法是：當正整數(shù)n充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均

與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2兀的近似值.按照阿爾?卡西的方

法，兀的近似值的表達式是（）.

A.3nfsin—+tan—B.6nfsin—+tan—

C.3n（sin?+tan*）D.6n（sin*+tan

2.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收

錄了計算圓弧長度的"會圓術(shù)"，如圖，曲是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB

的中點,D在7TB上，CD會圓術(shù)"給出71?的弧長的近似值S的計算公式：s=AB+

「r）2

—.當。a=2,/LAOB=60。時，s=（）

o

A11-36g11-4舊Q9-373p9-4^3

?222,2

3.(2023?湖南婁底?統(tǒng)考模擬預(yù)測)等腰三角形的底與腰之比是黃金分割比的三角形稱為

黃金三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形.如圖，五角星由五個黃金三角形與一個正

五邊形組