高等數(shù)學(xué)之一關(guān)于矩陣的習(xí)題

習(xí)題課

矩陣1/21P99第10題設(shè)A為n階方陣,而且Ak=O,試證E-A可逆,而且證實(shí):若n階方陣A滿足AB=E,則A可逆.

所以A-E可逆,而且(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-12/21第11題設(shè)A為n階方陣,且滿足A2+2A-3E=O,證實(shí)(1)

A可逆,并求A逆.(2)A-2E可逆,并求(A-2E)逆.證實(shí):(1)所以A可逆,而且3/21所以(A-2E)可逆,而且(2)4/21

第15題已知為方陣B滿足AB=A+B,求矩陣B,其中解:AB=A+B,(A-E)B=A.能夠用矩陣方程行初等變換方法計(jì)算B.5/21所以第16題已知且矩陣B滿足A2-AB=E,求矩陣B.解法一:因?yàn)锳2-E=AB所以B=A-1(A2-E).解法二:因?yàn)锳B=A2-E能夠用矩陣方程初等變換方法計(jì)算B.(A

A2-E)行初等變換(E

B)6/21第17題設(shè)A是n階方陣,B是n×r矩陣,且r(B)=n.試證:(1)假如AB=O,那么A=O;(2)AB=B,那么A=E.解:(1)因?yàn)锳B=O,(AB)T=BTAT=O,又r(B)=n,所以r(BT)=n.所以矩陣方程BTAT=O(齊次線性方程組矩陣形式),AT僅有零解.即AT全部元素為零.即AT=O,所以A=O.(2)因?yàn)锳B=B,(A-E)B=O,依據(jù)(1)則A-E=O,即A=E.7/21第18題

設(shè)A,B是兩個(gè)n階反對(duì)稱矩陣,則(1)A2是對(duì)稱矩陣.(2)AB=BA時(shí),AB是對(duì)稱矩陣.解:(1)(A2)T=ATAT=(-A)(-A)=A2所以A2是對(duì)稱矩陣.（2）（AB）T=BTAT=（-B)(-A)=BA=AB.所以AB是對(duì)稱矩陣8/21例題:設(shè)n階方陣A伴隨矩陣為A*,證實(shí)：

（1）若|A|＝0，則|A*|＝0。（2）|A*|＝|A|n－1。證實(shí)：由伴隨矩陣定義顯然有

AA*=A*A=|A|En,兩邊取行列式即得|A||A*|=det(|A|En)＝|A|n,故當(dāng)|A|不等于0時(shí)，（2）是顯然。而只要我們證實(shí)了（1），則（2）對(duì)于|A|＝0矩陣A也是成立。下面我們證實(shí)（1）。9/21(反證法）假設(shè)則|A*|≠0，則A*可逆，于是在AA*=|A|En兩邊右乘(A*)－1,有

A＝|A|En(A*)－1＝O（因?yàn)閨A|＝0），所以A伴隨矩陣A*應(yīng)該為O。與假設(shè)矛盾！10/21例

設(shè)A為n階方陣滿足A2－A－2E＝O，證實(shí)A和A＋2E均可逆，求它們逆矩陣。

解:由A2－A－2E＝O易得

(A－E)A=2E,即(A－E)A=E.故由逆矩陣定義可得A可逆，且類似可求得(A＋2E)(A－3E)=－4E.即

11/21第19證實(shí):(1)非奇異對(duì)稱(反對(duì)稱)矩陣A逆依然是對(duì)稱(反對(duì)稱)矩陣;(2)奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣必不可逆.解:(1)因?yàn)锳是非奇異,并對(duì)稱矩陣.A可逆,且(A-1)T=（AT)-1=A-1,由定義可知A-1也是對(duì)稱矩陣.同理可證反對(duì)稱句陣情況.(2)設(shè)A為反對(duì)稱矩陣,則AT=-A,│AT│=│-A│=(-1)n

│A│=│A│(行列式性質(zhì)1),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),-│A│=│A│則2│A│=0,所以│A│=0,即A不可逆.12/21

第20題設(shè)n階方陣A可逆,將A第i行與第j行元素交換后得到B.(1)證實(shí)B可逆;(2)求AB-1.解:(1)依據(jù)已知條件,有E(i,j)A=B(*)(E(i,j)是初等矩陣).又A可逆,所以A行初等變換E即Ps…P2P1=A,代入(*)式:E(i,j)Ps…P2P1=B,即P1-1P2-1…Ps-1E(i,j)-1B=E,B行初等變換E所以B可逆.(2)E(i,j)A=B,E(i,j)AB-1=E,AB-1=E(i,j)-1=E(i,j)13/21第22題

為n階非零實(shí)矩陣,若aij=Aij,其中Aij元素aij代數(shù)余子式(i、j=1，2,..n)，證實(shí)│A│≠O。證實(shí)：用反證法。假設(shè)│A│=O，即這與A為n階非零實(shí)矩陣矛盾，所以│A│≠O。14/21證實(shí):因?yàn)閞(A)=r,矩陣A=(aij)m×n,則第23題設(shè)A是秩為rmXn矩陣,證實(shí)A必可表示成秩為1mXn矩陣之和.即存在m階可逆矩陣P1及n階可逆矩陣Q1,使15/21所以其中因?yàn)镻,Q均可逆,所以第24題設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A滿足A2=O,證實(shí)A=O.證實(shí):用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí),當(dāng)n=2時(shí),因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣,16/21假設(shè)n-1時(shí)結(jié)論成立,即所以n=2時(shí)結(jié)論成立.n時(shí),

所以n時(shí),矩陣A=O.因而結(jié)論成立.17/21第25題設(shè)A為二階矩陣,A2=E,A≠±E,證實(shí)r(A+E)=r(A-E)=1.證實(shí):A為二階矩陣,并A2=E所以A2-E=O,即(A+E)(A-E)=O,又A+E≠

O,A-E≠

O所以r(A+E)≠O,r(A-E)

≠

O.以下用反證法假設(shè)r(A+E)≠1(或r(A-E)

≠

1),只有r(A+E)

=2(或

r(A-E)=2)(A+E)(A-E)=O(看成矩陣方程AX=O)中│A+E│≠O,則(A-E)=O與A≠+E矛盾.所以r(A+E)=1.同理r(A-E)=1.18/21第26題

設(shè)A為mXn矩陣,且m<n,證實(shí)│ATA│=O證實(shí):AmXn且m<n,ATA=Bn×n．r（ＡＴＡ）≤min(r(AT),r(