2024年中考數(shù)學必考考點專項復習：一元二次方程及其應用（含解析）

專題09一元二次方程及其應用

專題學問回顧

1.定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式：ax2+6x+c=0(aW0)。其中ax?是二次項，a是二次項系數(shù)；是一次項，6是

一次項系數(shù)；。是常數(shù)項。

3.一元二次方程的根：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解

也叫做一元二次方程的根。

4.一元二次方程的解法

有干脆開方法、配方法、公式法、因式分解法。

(1)干脆開方法。

適用形式：x=p>(x+n)2=p或(mx+n)2=p?

(2)配方法。套用公式J+2a出層=(a+6)z；3-2口出爐=(/"?，配方法解一元二次方程的一般步驟是：

①化簡一一把方程化為一般形式，并把二次項系數(shù)化為1;

②移項一一把常數(shù)項移項到等號的右邊；

③配方一一兩邊同時加上況把左邊配成x426x+爐的形式，并寫成完全平方的形式；

④開方，即降次；

⑤解一次方程。

(3)公式法。

當N-BCZO時，方程aV+6x+c=0的實數(shù)根可寫為：、士"'-或的形式,這個式子叫做一元二次

2a

方程加+6X+A0的求根公式。這種解一元二次方程的方法叫做公式法。

①9-4公>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。

-b+^Jb2-4ac-b-y!b2-4ac

Xi—,XQ—

2a2a

②9-4數(shù)=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根。

b

-Xry-----

一2a

③/-4ac<0時，方程無實數(shù)根。

定義：9-4ac叫做一元二次方程ax2+6x+c=0的根的判別式，通常用字母/表示，即zl=Z?2-4aCo

（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡潔易行，是解

一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。

5.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

be

假如方程ax?+6x+c=0（。/0）的兩個實數(shù)根是七，x,,那么玉+%=——，=—。也就是說，

aa

對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反

數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商。

6.解有關(guān)一元二次方程的實際問題的一般步驟

第1步：審題。細致讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系。

第2步：設未知數(shù)。依據(jù)題意及各個量的關(guān)系設未知數(shù)。

第3步：列方程。依據(jù)題中各個量的關(guān)系列出方程。

第4步：解方程。依據(jù)方程的類型采納相應的解法。

第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿意題意。

第6步：答。

專題典型題考法及解析

【例題1】（2024安徽）解方程：（x-1）2=4.

【答案】荀=3,xz=-1.

【解析】此題主要考查了干脆開平方法，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)

項移項等號的右邊，化成x?=a（a20）的形式，利用數(shù)的開方干脆求解.（1）用干脆開方法求一元二次方

程的解的類型有：x=a（a^O）；ax=b（a,6同號且a￥0）；（x+a）,=6（6>0）；a（.x+b'）2=c（a,c同

號且aWO）.法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1,再開平方取正負，分開求得方程解”.

（2）用干脆開方法求一元二次方程的解，要細致視察方程的特點.

利用干脆開平方法，方程兩邊干脆開平方即可.

兩邊干脆開平方得：x-l=±2,

x-1=2或x-1=-2,

解得：xi=3,-1.

【例題2】(2024山西)一元二次方程V-4%-1=0配方后可化為()

A.(x+2)2=3B.(x+2)2=5C.(x-2)2=3D.(x-2)2=5

【答案】D

【解析】%2-4X-1=0,(X2-4X+4)-4-1=0,(X-2)2=5,故選幾

【例題3】(2024年山東省威海市)一元二次方程3/=4-2x的解是.

,答案7荀二士逗，e二士逅.

33

【解析】干脆利用公式法解方程得出答案.

3/=4-2x

3x+2x-4=0,

貝lj62-4ac=4-4X3X(-4)=52>0,

故k-2士倔,

6

解得一=士逗，『土醫(yī).

33

【例題4](2024年江蘇省揚州市)一元二次方程x(x-2)=x-2的根是.

【答案】1或2.

【解析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.

x(x-2)—x~2,

x(x-2)-(x-2)=0,

(x-2)(x-1)=0,

x-2=0,x-1=0,

xi=2,X2=l

【例題5】(2024北京市)關(guān)于x的方程尤2-2尤+2機-1=0有實數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時方

程的根.

【答案】m=l,此方程的根為玉=%=1

【解析】先由原一元二次方程有實數(shù)根得判別式尸-4比20進而求出m的范圍；結(jié)合m的值為正整數(shù)，求

出m的值，進而得到一元二次方程求解即可.

關(guān)于x的方程/一2%+2m—1=0W實數(shù)根，

A=Z?2-4ac=（-2）~-4xlx（2m-1）=4-8m+4=8-8m>0

/.m<l

又為正整數(shù)，.一勺，

此時方程為無2_2元+1=0解得根為占=x2=l,

此方程的根為占=々=1

【例題6]（2024四川瀘州）已知毛,也是一元二次方程*-x-4=0的兩實根，則（xi+4）（xz+4）的值是.

【答案】16

【解析】考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

'.Xi,劉是一元二次方程X?-X-4=0的兩實根，

?*X2~~19X\X2-4,

（xi+4）（為+4）

=XIX2+4M+4至+16

=不用+4（不+至）+16

=-4+4X1+16

=-4+4+16

=16

【例題7]（2024安徽）據(jù)國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，2024年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值為90.3萬億，比2024年增長6.6%.假

設國內(nèi)生產(chǎn)總值的年增長率保持不變，則國內(nèi)生產(chǎn)總值首次突破100萬億的年份是（）

A.2024年B.2024年C.2024年D.2024年

【答案】B.

【解析】依據(jù)題意分別求出2024年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值、2024年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值，得到答案.2024年全

年國內(nèi)生產(chǎn)總值為：90.3X（1+6.6%）=96.2598（萬億），

2024年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值為：96.2598X（1+6.6%）-102.6（萬億年

.?.國內(nèi)生產(chǎn)總值首次突破100萬億的年份是2024年。

專題典型訓練題

一、選擇題

1.（2024甘肅省蘭州市）x=l是關(guān)于的一元二次方程3+斯+26=0的解，則2女+46=（）

A.-2B.-3C.4D.-6

【答案】A.

【解析】將x=l代入方程x,+aA+26=0,得a+26=—1,

2K4b=2（a+26）=2X（-1）=-2.

2.（2024?湖南懷化）一元二次方程V+2x+l=0的解是（）

A.xi=l,X2=-1B.xi=X2=1C.xi=xz=-1D.xi=-1,x2=2

【答案】C.

【解析】本題主要考查解一元二次方程的實力，嫻熟駕馭解一元二次方程的幾種常用方法：干脆開平方法、

因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.

利用完全平方公式變形，從而得出方程的解.

jf+2x+l=0,

（x+1）2=0,

貝!Ix+l=0,

解得Xi=X2=-1,

3.（2024?浙江金華）用配方法解方程*-6x-8=0時，配方結(jié)果正確的是（）

A.（x-3）2=17B.（尸3尸=14C.0-6）2=44D.（尸3）2=1

【答案】A

【解析】配方法解一元二次方程

?.32-6k8=0,

*-6x+9=8+9,

（獷3）J17.

4.（2024湖北咸寧）若關(guān)于x的一元二次方程T-2X+R=0有實數(shù)根，則實數(shù)⑷的取值范圍是（）

A.m<lB.勿C.m>lD."

【答案】

【解析】:?關(guān)于x的一元二次方程2x+m=0有實數(shù)根，

；.△=（-2）2-4勿20,

解得：〃二1.

5.（2024內(nèi)蒙古包頭市）已知等腰三角形的三邊長分別為a,b,4,且a,6是關(guān)于x的一元二次方程

x°T2x+加2=0

的兩根，則〃的值是（

A.34B.30C.30或34D.30或36

【答案】A.

【解析】分兩種狀況探討：

①若4為等腰三角形底邊長，則a,6是兩腰，

.,.方程V-12x+研2=0有兩個相等實根，

△=（-12）-4X1X（加2）=136-4爐0,

:.-34.

此時方程為VT2x+36=0,解得荀=茲=6.

二三邊為6,6,4,滿意三邊關(guān)系，符合題意.

②若4為等腰三角形腰長，則處6中有一條邊也為4,

方程/T2x+m2=0有一根為4.

.?.42-12X4+加2=0,

解得，爐30.

此時方程為x"12x+32=0,解得荀=4,花=8.

.??三邊為4,4,8,不滿意三邊關(guān)系，故舍去.

綜上，力的值為34.

6.（2024?山東省聊城市）若關(guān)于x的一元二次方程（A-2）f-24x+A=6有實數(shù)根，則左的取值范圍為（）

A.420B.420且M2C.D.上且4W2

22

【答案】D.

【解析】考點是一元二次方程的定義以及根的判別式。依據(jù)二次項系數(shù)非零結(jié)合根的判別式△2（），即可得

出關(guān)于“的一元一次不等式組，解之即可得出A的取值范圍.

Ck-2）/-2kx+k-6=0,

???關(guān)于x的一元二次方程（A-2）x「2#x+A=6有實數(shù)根，

.%-2工0

（A=（-2k）2-4（k-2）（k-6）＞C

解得：且22.

2

7.（2024湖北仙桃）若方程f-2x-4=0的兩個實數(shù)根為a,B,則a,B2的值為（）

A.12B.10C.4D.-4

【答案】A

【解析】,??方程/-2x-4=0的兩個實數(shù)根為a,B,

a+B=2,aB=-4,

a2+g2=（a+B）2-2aP=4+8=12

8.（2024?江蘇泰州）方程2V+6xT=0的兩根為矛i、x?則矛i+生等于（）

A.-6B.6C.-3D.3

【答案】C.

【解析】依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

由于△＞（）,

/.Xl+^2—-3,

9.（2024山東淄博）若矛1+也=3,矛/+/=5,則以不，怒為根的一元二次方程是（）

A.x-3x+2=0B.x+3x-2=0C.x+3x+2=0D.x-3x-2=0

【答案】A.

【解析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若不，也是一元二次方程乃/+6x+c=0（aWO）的兩根時，不+用=-

k,荀X2=W.利用完全平方公式計算出為吊=2,然后依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出以為，劉為根的一元二次方

aa

程.

?X\+加—5j

（xi+彭）2-2為至=5,

而為+茲=3,

??9—2XIA2~~5,

??Xi至=2,

二以Xi,劉為根的一元二次方程為f-3x+2=0.

10.（2024?廣東）已知XL是一元二次方程了V-2后0的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.xi^xiB.xi-2荀=0C.XI+X2=2D.XI,x?=2

【答案】D

【解析】因式分解x（獷2）=0,解得兩個根分別為。和2,代入選項解除法.

11.（2024?廣西貴港）若。，￡是關(guān)于x的一元二次方程V-2X+R=0的兩實根，且工+』-=-2,

a63

則以等于（）

A.-2B.-3C.2D.3

【答案】B.

【解析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到a+￡=2,aB=m,再化簡工+1-=巴上，代入可求

aBa3

解；

a,B是關(guān)于x的一元二次方程V-2x+加=0的兩實根，

二a+￡=2,afi=m,

..1,1—a+B_2__2

?~aTaB了

：?m=-3

12.（2024?浙江寧波）能說明命題“關(guān)于x的方程*-4X+R=0肯定有實數(shù)根”是假命題的反例為（）

A.m=-1B./=0C.〃=4D.勿=5

【答案】D.

【解析】利用m=5使方程/-4x+以=0沒有實數(shù)解，從而可把勿=5作為說明命題“關(guān)于￡的方程/-4x+〃

=0肯定有實數(shù)根”是假命題的反例.

當勿=5時，方程變形為V-4x+勿=5=0,

因為△=（-4）2-4X5C0,

所以方程沒有實數(shù)解，

所以m=5可作為說明命題“關(guān)于x的方程/-4^=0肯定有實數(shù)根”是假命題的反例.

13.（2024,黑龍江哈爾濱）某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，售價由原來的每件25元降到每件16元，則平均每次

降價的百分率為（）

A.20%B.40%C.18%D.36%

【答案】A.

【解析】本題考查了一元二次方程實際應用問題關(guān)于增長率的類型問題，依據(jù)公式

a（1-x）2=6比照參數(shù)位置代入值即可，公式的記憶與運用是本題的解題關(guān)鍵.

設降價的百分率為x

依據(jù)題意可列方程為25（1-x）2=16

解方程得=2（舍）

X1525

每次降價得百分率為20%

14.（2024?湖南衡陽）國家實施”精準扶貧“政策以來，許多貧困人口走向了致富的道路.某地區(qū)2024

年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2024年底貧困人口削減至1萬人.設2024年底至2024年

底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為X,依據(jù)題意列方程得（）

A.9（1-2x）=1B.9（1-x）2=1C.9（l+2x）=1D.9（1+x）2=1

【答案】B.

【解析】等量關(guān)系為：2024年貧困人口X（1-下降率）2=2024年貧困人口，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可.

設這兩年全省貧困人口的年平均下降率為x,依據(jù)題意得：

二、填空題

15.（2024湖北十堰）對于實數(shù)a,b,定義運算如下：aOb=（a+方）2-（a-b）2.若（加2）◎

（m-3）=24,貝ij0=.

【答案】-3或4

【解析】依據(jù)題意得[（加2）+（加-3）]2-[（出2）-（勿-3）]2—24,

（2勿-1）2-49=0,

1+7）（2/n-1-7）=0,

2m-1+7=0或2位-1-7=0,

所以nh=-3,ffl>=4.

16.（2024吉林長春）一元二次方程x"3x+l=0根的判別式的值為.

【答案】5.

【解析】.b=~3,c=l,

：.A=62-4ac^（-3）2-4XlXl=5

17.（2024吉林?。┤絷P(guān)于x的一元二次方程（x+3）Jc有實數(shù)根，則c的值可以為（寫出一個即可）

【答案】答案不唯一，例如5,（c20時方程都有實數(shù)根）

【解析】c>0時方程都有實數(shù)根

18.（2024年湖北省荊門市）已知荀，也是關(guān)于x的方程/+（34+1）x+242+1=0的兩個不相等實數(shù)根，且

滿意（荀-1）（苞-1）=8A2,貝!|"的值為.

【答案】1

【解析】依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合（不-1）（苞-1）=8~,可得出關(guān)于"的一元二次方程，解之即可得出

A的值，依據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△>（）,可得出關(guān)于彳的一元二次不等式，解之即可得出A的取值

范圍，進而即可確定次值，此題得解.

'''xi,用是關(guān)于x的方程/+（3A+1）x+2〃+l=0的兩個實數(shù)根，

,,.xi+x2=-(3A+1),^IA2=2A2+1.

(xi-1)(xz-1)=8作，即Ex?-(xi+苞)+1=8"2,

，2萬+1+3?+1+1=8爐，

整理，得：21i-k-1=0,

解得：ki=--,&=1.

2

???關(guān)于X的方程/+(3A+1)X+2A2+1=0的兩個不相等實數(shù)根，

；.△=(3A+1)2-4X1X(2如+1)>0,

解得：Y-3-2加或k>-3+2?,

k—1.

19.(2024廣西桂林)一元二次方程(x-3)(x-2)=0的根是.

【答案】X]=3,x2=2

【解析】解一元二次方程-因式分解法

x—3=0或x—2=0,所以西=3,無2=2.

故答案為占=3,x2=2.

20.(2024年四川省遂寧市)若關(guān)于x的方程V-2戶次=0有兩個不相等的實數(shù)根，則人的取值范圍為

【答案】k<1.

【解析】本題考查了根的判別式，要知道一元二次方程根的狀況與判別式△的關(guān)系：

(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)△=0o方程有兩個相等的實數(shù)根；

(3)△<0。方程沒有實數(shù)根.

利用根的判別式進行計算，令△>?即可得到關(guān)于左的不等式，解答即可.

???關(guān)于x的方程/-2戶A=0有兩個不相等的實數(shù)根，

.,.△>0,

BP4-44>0,

k<l.

21.(2024年江西省)設xi,劉是一元二次方程X,-x-1=0的兩根，貝!Jxi+xz+xiE=.

【答案】0

【解析】本題考查了一元二次方程aV+6x+c=0(aWO)的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為為，物則荀+后

=-k,Xl'X2=—.干脆依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解.

aa

*.*x\>X2是方程V-x-1=0的兩根，

??司+至=1,荀義吊=-1,

?*Xi^'X2^~X\X2~~1-1=0.

22.（2024年四川省攀枝花市）已知荀，茲是方程f-2x-1=0的兩根，則爐+1=.

【答案】6

【解析】依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系變形后求解.

,；xi、歪是方程x?-2x-1=0的兩根，

??X1+X2~~2,XiXX2~~-1,

.\x^+x2=（X1+X2）2-2XIX2=22-2X（-1）=6.

23.（2024年四川省成都市）已知荀，生是關(guān)于x的一元二次方程S+2x+A-1=0的兩個實數(shù)根，且/+/

-矛1至=13,則A的值為.

【答案】-2

【解析】依據(jù)“E,生是關(guān)于x的一元二次方程V+2x+A-l=0的兩個實數(shù)根，且小+君-矛02=13”，結(jié)合

根與系數(shù)的關(guān)系，列出關(guān)于4的一元一次方程，解之即可.

依據(jù)題意得：*1+上2=-2,xix2=k-1,

2+2XiX2

XjX2~

2

=（Xj+x2）-3X1X2

=4-3（A-1）=13

24.（2024年甘肅省天水市）中國“一帶一路”給沿線國家和地區(qū)帶來很大的經(jīng)濟效益，沿線某地區(qū)居民

2024年人均年收入20000元，到2024年人均年收入達到39200元.則該地區(qū)居民年人均收入平均增長率

為.（用百分數(shù)表示）

【答案】40%.

【解析】依據(jù)題意可以列出相應的方程，從而可以求得該地區(qū)居民年人均收入平均增長率，本題得以解決.

設該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為X,

20000（1+x）2=39200,

解得，荀=0.4,X2=-2.4（舍去），

.??該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為40%

25.（2024年四川省宜賓市）某產(chǎn)品每件的生產(chǎn)成本為50元，原定銷售價65元，經(jīng)市場預料，從現(xiàn)在起先

的第一季度銷售價格將下降10%,其次季度又將回升5%.若要使半年以后的銷售利潤不變，設每個季度平

均降低成本的百分率為x,依據(jù)題意可列方程是.

【答案】65義(1-10%)X(1+5%)-50(1-x)2=65-50.

【解析】設每個季度平均降低成本的百分率為x,依據(jù)利潤=售價-成本價結(jié)合半年以后的銷售利潤為(65

-50)元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

設每個季度平均降低成本的百分率為x,

依題意，得：65X(1-10%)X(1+5%)-50(1-x)2=65-50.

26.(2024年江蘇省連云港市)已知關(guān)于x的一元二次方程a/+2x+2-c=0有兩個相等的實數(shù)根，則2+c

a

的值等于.

【答案】2

【解析】依據(jù)“關(guān)于x的一元二次方程aV+2x+2-c=0有兩個相等的實數(shù)根”，結(jié)合根的判別式公式，得

到關(guān)于a和c的等式，整理后即可得到的答案.

依據(jù)題意得：

△=4-4a(2-c)=0,

整理得：4ac-8a=-4,

4a(c-2)=-4,

:方程ax+2x+2-c=0是一元二次方程，

a#0,

等式兩邊同時除以4a得：

a

則_L+C=2

a

27.(2024年浙江省嘉興市)在/+—+4=0的括號中添加一個關(guān)于x的一次項，使方程有兩個相等的實

數(shù)根.

【答案】±4x

【解析】此題主要考查一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程根的判別式(△=6「4ac)可以推

斷方程的根的狀況：一元二次方程的根與根的判別式有如下關(guān)系：①當時，方程有兩個不相等的實

數(shù)根；②當△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當△<()時，方程無實數(shù)根，但有2個共輾復根.上

述結(jié)論反過來也成立.

要使方程有兩個相等的實數(shù)根，即△=(),則利用根的判別式即可求得一次項的系數(shù)即可.

要使方程有兩個相等的實數(shù)根，則△=//-4ac=N-16=0

得b=±4

故一次項為±4x

28.(2024年山東省棗莊市)已知關(guān)于x的方程ax?+2x-3=0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍

是.

【答案】a＞，且aWO

3

【分析】由方程有兩個不相等的實數(shù)根，則運用一元二次方程ax?+6x+c=0(aWO)的根的判別式是「-4ac

＞0即可進行解答

【解答】解：由關(guān)于x的方程ax?+2x-3=0有兩個不相等的實數(shù)根

得△=9-43c=4+4X33＞0,

解得a＞」

3

則a＞」?且aWO

3

三、解答題

29.(2024年浙江省紹興市)x為何值時，兩個代數(shù)式f+1,4x+l的值相等？

【答案】矛1=0,*2=4.

【解析】考查了實數(shù)的運算，因式分解法解一元二次方程.因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左

邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元

一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學

轉(zhuǎn)化思想).

利用題意得到f+l=4x+l,利用因式分解法解方程即可.

/+1=4犬+1,

x-4x=0,

x(x-4)=0,

小=0,用=4.

30.(2024黑龍江綏化)已知關(guān)于x的方程kx2-3x+l=0有實數(shù)根.

(1)求k的取值范圍；

(2)若該方程有兩個實數(shù)根,分別為xi和x2,當XI+X2+XIX2=4時,求k的值.

【答案】見解析。

【解析】依據(jù)根的判別式列出不等式,即可求得k的范圍；由根與系數(shù)的關(guān)系，得到方程,即可解得k的值.

⑴當k=0時,方程是一元一次方程，有實數(shù)根,符合題意；當k/0時，方程是一元二次方程，由題意得△=9

99

—4k20,???kW-,綜上所述,k的取值范圍是kW-.

44

Q1Q1

⑵「Xi和X2是該方程的兩個實數(shù)根，.,.xi+x2=—,xiX2=—,?.?XI+X2+XIX2=4,，一+—=4,解得k=l,經(jīng)檢

kkkk

驗,k=l是原分式方程的解，且；.k的值為L

4

31.(2024湖北十堰)已知于x的元二次方程*-6x+2a+5=0有兩個不相等的實數(shù)根為，也

(1)求3的取值范圍；

(2)若x/+x2?-XIX2<30,且a為整數(shù)，求a的值.

【答案】(1)5<2(2)a的值為7,0,1.

【解析】依據(jù)根的判別式，可得到關(guān)于，的不等式，則可求得a的取值范圍；

由根與系數(shù)的關(guān)系，用a表示出兩根積、兩根和，由已知條件可得到關(guān)于a的不等式，則可求得a的取值

范圍，再求其值即可.

(1).?,關(guān)于x的一元二次方程V-6x+2a+5=0有兩個不相等的實數(shù)根由,X2,

.*.△>0,即(-6)2-4(2/5)>0,

解得aV2；

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系知：XI+X2=6,xiX2=2a+5,

V^i,X2滿意xx+X2-Xi用W30,

(荀+及)2-3XIX2W30,

A36-3(2K5)W30,

；.aN—*為整數(shù)，

，a的值為-1,0,1.

32.(2024湖北孝感)已知關(guān)于x的一元二次方程六-2(a-l)ea?-a-2=0有兩個不相等的實數(shù)根荀，

期

(1)若a為正整數(shù)，求a的值；

(2)若矛1,至滿意矛」+君-劉X2=16,求〃的值.

【答案】(1)a=l,2(2)a=-1.

【解析】依據(jù)關(guān)于x的一元二次方程六一2(a-1)x+才-2-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，得到

△—[-2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0,于是得到結(jié)論；

依據(jù)XI+X2=2(5-1),x\Xi=a-a-2,代入爐+/-荀蒞=16,解方程即可得到結(jié)論.

(1),??關(guān)于x的一元二次方程V-2(a-1)x+才-3-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，

2(a-1)]2-4(才-己-2)>0,

解得：aV3,

〈a為正整數(shù)，

a=1,2；

(2)V^ri+^=2(5-1),x\X2=a-a-2,

??2?2__ip

.X\+xi-XiXi—10,

?■(X1+X2)-X1X2~16j

-2(a-1)]"-3(a2-a-2)—16,

解得：31=-1,32=6,

a<3,

??a——1.

33.(2024江蘇徐州)如圖所示，有一塊矩形硬紙板，長30cm,寬20cm.在其四角各剪去一個同樣的正方形，

然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋長方體盒子。當剪去正方形的邊長取何值時，所得長方體盒子

的側(cè)面積為200czz?2?

【答案】5

【解析】依據(jù)題目給定的相等關(guān)系，列出一元二次方程，解這個方程取舍后得出實際問題的解.

設剪去的小正方形的邊長為xcm,

則依據(jù)題意有：(30-2x)(20-2x)=200,解得乂=5,^=20,

當A=20時，20-2X0,所以產(chǎn)5.

所以，當剪去小正方形的邊長為5腐時，長方體盒子的底面積為200c憂

34.(2024?湖南衡陽)關(guān)于x的一元二次方程/-3矛+A=0有實數(shù)根.

(1)求A的取值范圍;

(2)假如才是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程(0-1)到x+m-3=0與方程3x+A=0有一個相

同的根，求此時小的值.

【答案】見解析。

【解析】(1)依據(jù)題意得△=(-3)°-4420,

解得aw9；

4

(2)"的最大整數(shù)為2,

方程3-3x+A=0變形為V-3X+2=0,解得XI=1,X2=2,

?.,一元二次方程Cm-1)x?+x+%-3=0與方程V-3x+A=0有一個相同的根，

???當x=l.時，/T+1+勿-3=0,解得加=之；

2

當x=2時，4(777-1)+2+〃-3=0,解得力=1,

而加-1W0,

二小的值為旦.

2

35.(2024?廣西貴港)為了滿意師生的閱讀需求，某校圖書館的藏書從2024年底到2024年底兩年內(nèi)由5

萬冊增加到7.2萬冊.

(1)求這兩年藏書的年均增長率；

(2)經(jīng)統(tǒng)計知：中外古典名著的冊數(shù)在2024年底僅占當時藏書總量的5.6%,在這兩年新增加的圖書中，

中外古典名著所占的百分率恰好等于這兩年藏書的年均增長率，那么到2024年底中外古典名著的冊數(shù)占藏

書總量的百分之幾？

【答案】見解析。

【解析】依據(jù)題意可以列出相應的一元二次方程，從而可以得到這兩年藏書的年均增長率；

依據(jù)題意可以求出這兩年新增加的中外古典名著，從而可以求得到2024年底中外古典名著的冊數(shù)占藏書總

量的百分之幾.

(1)設這兩年藏書的年均增長率是X,

5(1+x)2=7.2,

解得，荀=0.2,Xi--2.2(舍去)，

答：這兩年藏書的年均增長率是20%；

(2)在這兩年新增加的圖書中，中外古典名著有(7.2-5)X20%=0.44(萬冊)，

到2024年底中外古典名著的冊數(shù)占藏書總量的百分比是：5X5.6%+0.44x100%=10%)

7.2

答：到2024年底中外古典名著的冊數(shù)占藏書總量的10%.

36.(2024?湖南長沙)近日，長沙市教化局出臺《長沙市中小學老師志愿輔導工作實施看法》，激勵老師

參加志愿輔導，某區(qū)領(lǐng)先示范，推出名師公益大課堂，為學生供應線上線下免費輔導，據(jù)統(tǒng)計，第一批公

益課受益學生2萬人次，第三批公益課受益學生2.42萬人次.

(1)假如其次批，第三批公益課受益學生人次的增長率相同，求這個增長率；

(2)依據(jù)這個增長率，預料第四批公益課受益學生將達到多少萬人次？

【答案】見解析。

【解析】設增長率為x,依據(jù)“第一批公益課受益學生2萬人次，第三批公益課受益學生2.42萬人次”可

列方程求解；用2.42義(1+增長率)，計算即可求解.

(1)設增長率為x,依據(jù)題意，得

2(1+x)工.42,

解得荀=-2.1(舍去)，x2=0.1=10%.

答：增長率為10%.

(2)2.42(1+0.1)=2.662(萬人).

答：第四批公益課受益學生將達到2.662萬人次.

37.(2024?湖南邵陽)2024年1月14日，國新辦實行新聞發(fā)布會，海關(guān)總署新聞發(fā)言人李魁文在會上指

出：在2024年，我國進出口規(guī)模創(chuàng)歷史新高，全年外貿(mào)進出口總值為30萬億元人民幣.有望接著保持全

球貨物貿(mào)易第一