2024年中考數(shù)學二輪題型突破專練：二次函數(shù)公共點問題（專項訓練）

類型一二次函數(shù)公共點問題（專題訓練）

1.（2023?湖北荊州?統(tǒng)考中考真題）已知：y關于X的函數(shù)y=（"2）x2+（a+l）x+b.

⑴若函數(shù)的圖象與半標軸有兩個公共點，且6?=劭，貝M的值是;

（2）如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與X軸有兩個公共點4（-2,0）,3（4,0）,并與動直線

/:彳=相（0<%<4）交于點p,連接叢，PB,PC,BC,其中24交y軸于點。，交于

點E.設△P8E的面積為S1,ACDE的面積為S?.

①當點P為拋物線頂點時，求APBC的面積；

②探究直線,在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，

說明理由.

【答案】（1）?；?或-“（2）①6,②存在，—

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與坐標軸交點情況，分情況討論函數(shù)為一次函數(shù)和二次函數(shù)的時候,

按照圖像的性質以及與坐標軸交點的情況即可求出。值.

（2）①根據(jù)A和8的坐標點即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點坐標P,從而求出

長度，再利用A和8的坐標點即可求出2C的直線解析式，結合與=辱即可求出產(chǎn)點坐標,

從而求出P尸長度，最后利用面積法即可求出APBC的面積.

②觀察圖形，用加值表示出點P坐標，再根據(jù)平行線分線段成比例求出0。長度，利用割補

法表示出廝和S?,將二者相減轉化成關于m的二次函數(shù)的頂點式，利用加取值范圍即可求

出E-邑的最小值.

【詳解】（1）解：?.?函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，

—2)d+(a+l)x+Z?=O,

,/a=4b,

(Q-2)x2+(a+1^x+——0,

當函數(shù)為一次函數(shù)時，a-2=0,

a=2.

當函數(shù)為二次函數(shù)時，

(a-2)%2+(a+l)x+?=0,

若函數(shù)的圖象與半橋軸有兩個公共點，即與x軸，y軸分別只有一個交點時，

/.A=b2—4-ac=(Q+1)-4(Q-2).(=4Q+1=0,

1

a=—.

4

當函數(shù)為二次函數(shù)時，函數(shù)的圖象與坐標釉有兩個公共點，即其中一點經(jīng)過原點,

「2=0,

a=4b,

..tz—0.

綜上所述，〃=2或0.

故答案為：0或2或-二.

4

(2)解：①如圖所示，設直線/與5C交于點尸，直線/與45交于點H.

「?拋物線的解析式為：y=—f+2%+8=-(%-1)z+9.

???點P為拋物線頂點時，P(L9),C(0,8),

:.PH=9,xP=l,

由磯4,0),C(0,8)得直線BC的解析式為y=-2x+8,

?.?尸在直線BC上，且在直線/上，則尸的橫坐標等于P的橫坐標，

二廠(1,6),

：.FH=6,OH=1,

:.PF=PH—FH=9—6=3,BH=OB-OH=4—1=3

x

'''S-PBC=S/Fc+SJFB=53,OH+3HB.PF=~3xl+—x3x3=6.

故答案為：6.

②工-星存在最大值，理由如下：如圖，設直線x=機交無軸于H.

由①得：OB=4,AO=2,AB=6>OC=8,AH=2+m>P（機，—〃廣+2/〃+8）

PH=—m2+2m+8，

ODLx,PH上AB,

OD//PH,

AOOD2OD

——=——，即nn----=一o-----------

AHPH2+m一相之+2m+8

OD=^-2m

.Q-S-S_QA=A-S

,01_QAPAB"四邊形瓦)05，°2—?AOBC"四邊形皮）08，

6（-m2+2m+8）2（8-2m）4x8

—-9

/.SjS2=SArpvAlDFlSAnAUnUn-SnRr=--------------------------------------?---=-3m+8nt'

Q-3<0,0<m<4,

，當加T時，有最大值，最大值為學.

故答案為：—.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，涉及到函數(shù)與坐標軸交點問題，二次函數(shù)與面積

問題，平行線分線段成比例，解題的關鍵在于分情況討論函數(shù)與坐標軸交點問題，以及二次

函數(shù)最值問題.

2.(2023?云南?統(tǒng)考中考真題)數(shù)和形是數(shù)學研究客觀物體的兩個方面，數(shù)(代數(shù))側重研

究物體數(shù)量方面，具有精確性、形(幾何)側重研究物體形的方面，具有直觀性.數(shù)和形相

互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關系.數(shù)形結合就是把兩者結合起來

考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題.

同學們，請你結合所學的數(shù)學解決下列問題.

在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數(shù)，則稱這樣的點為整點.設函數(shù)

y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4<?+4(實數(shù)。為常數(shù))的圖象為圖象T.

⑴求證：無論。取什么實數(shù)，圖象T與龍軸總有公共點；

⑵是否存在整數(shù)。，使圖象T與x軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數(shù)。的值；若不

存在，請說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)。=0或。=-1或。=1或。=-2

【分析】(1)分〃=-：與；兩種情況討論論證即可；

(2)當〃二一白時，不符合題意，當。工一：時，對于函數(shù)丁=(4〃+2)%2+(9一6。)％-4。+4,

-4/7-41

令y=0,得(4Q+2)%2+(9—6。)無一4。+4=0,從而有工二^^——^或兀=一根據(jù)整數(shù)使

圖象T與1軸的公共點中有整點，即x為整數(shù)，從而有2。+1=1或2〃+1=—1或2。+1=2或

%+1=-2或2。+1=3或2。+1=—3或2々+1=6或2。+1=—6,解之即可.

【詳解】(1)解：當。=一；時，4〃+2=。，函數(shù),=(4〃+2)%2+(9—6〃)%—4〃+4為一次函

數(shù)y=12x+6,止匕時，令y=o,則12x+6=0,解得％=—；，

,一次函數(shù)y=12x+6與無軸的交點為1-g,o］；

當aw-g時，4a+2/0,函數(shù)y=(4a+2)Y+(9-6a)x-4a+4為二次函數(shù)，

*/y=(4Q+2)x2+(9-6a)x-4〃+4,

???A=(9-6G之-4(4a+2)+4)

=81—108a+36a2+64a?—32a—32

=100a2-140a+49

=(10a-7)2>0,

...當aH時，y=（4fl+2）x2+（9-6a）x-4a+4與X軸總有交點,

，無論a取什么實數(shù)，圖象T與x軸總有公共點；

（2）解：當。=-；時，不符合題意，

當aw-；時，對于函數(shù)》=（40+2）爐+（9—6a）%一4（7+4,

令>=0,則（4a+2）%2+（9—6。）%—4a+4=0,

??.［（2a+l）x-（4a-4）］（2%+1）=0,

?，.（2a+l）x—（4〃—4）=0或2x+l=0

???x=2-彳―，整數(shù)〃，使圖象T與冗軸的公共點中有整點，即尤為整數(shù)，

2a+l

2々+1=1或2〃+1=-1或24+1=2或2々+1=-2或2。+1=3或2〃+1=—3或2，+1=6或

2a+1-—6,

135

解得a=0或。=一1或〃=一（舍去）或〃=一一（舍去）或a=l或〃=一2或〃=一（舍去）或

222

7

。=-5（舍去），

a=0或Q=—1或a=l或a=-2.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系以及二次函

數(shù)的性質，熟練掌握一次函數(shù)的性質，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系，二次函數(shù)的性

質以及數(shù)形相結合的思想是解題的關鍵.

3.已知拋物線y=。工2+61+。（a,b,。是常數(shù)），a+b+c-0,下列四個結論：

①若拋物線經(jīng)過點（—3,0）,則b=2a；

②若Z?=c,則方程+Z?x+a=0一定有根尤=一2；

③拋物線與x軸一定有兩個不同的公共點；

④點8（%2，%）在拋物線上，若0<"c，則當為<42<1時，%>%.

其中正確的是（填寫序號）.

【答案】①②④

【分析】

①將（—3,0）代入解析式即可判定；②由b=c,可得a=-2c,cx2+bx+a=0可得cx?+cx-2c=0,

則原方程可化為x?+x-2=0,則一定有根x=-2；③當b2-4acW0時，圖像與x軸少于兩個公共

點，只有一個關于a,b,c的方程，故存在a>b、c使bMac^O^O,故③錯誤；④若0<a<c,

b

則有b<0且|b|>|c|>|a|,|b|>2|a|,所以對稱軸——>1,因為a>0在對稱軸左側，函數(shù)

2a

單調(diào)遞減，所以當xKxzVl時，yi>y2,故④正確.

【詳解】

解：:拋物線經(jīng)過點（一3,0）

0=（一3）“a—3b+cf即9a-3b+c=0

*.*a+b+c=O

Ab=2a

故①正確；

Vb=c,a+Z?+c=O

??a,=~2c，

cx2+bx+a=0

CX2+CX-2C=0,即X2+X-2=0

???一定有根x=-2

故②正確；

當b2-4ac^0時，圖像與x軸少于兩個公共點，只有一個關于a、b、c的方程，故存在a、b、

c使b2-4acW0,故③錯誤；

b

若O〈a<c,則有b<0且|b|〉|c|>|a|,b>2|a|,所以對稱軸——>1,因為a〉0在對稱軸

2a

左側，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當x《X2〈l時，yDyz,故④正確.

故填：①②④.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質以及二元一次方程，靈活運用二次函數(shù)的圖像與性質成

為解答本題的關鍵.

4.已矢口拋物線yud+bx+c.

圖①圖②

⑴如圖①，若拋物線圖象與X軸交于點A(3,o),與y軸交點3(0,-3).連接4瓦

①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達式；

②若點尸是拋物線上一動點(與點A不重合)，過點尸作軸于點與線段A3交于

點、M.是否存在點尸使得點M是線段P”的三等分點？若存在，請求出點尸的坐標；若不

存在，請說明理由.

(2)如圖②，直線y=1■尤+”與，軸交于點C,同時與拋物線yuY+fcr+c交于點。(-3,0),

以線段8為邊作菱形CDJ芯，使點廠落在x軸的正半軸上，若該拋物線與線段CE沒有交

點，求》的取值范圍.

【答案】⑴①y=/-2x-3,②存在，點P坐標為⑵-3)或(9-：)，理由見解析

24

(2)b〈-±3或b〉1'3

23

【分析】(1)①直接用待定系數(shù)法求解；②先求出直線AB的解析式，設點M(m,m-3)點P

(m,m吐2m-3)若點M是線段PH的三等分點，則需=：或瞿=,，代入求解即可；

(2)先用待定系數(shù)法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的長為5,因為四邊形CDFE是

菱形，由此得出點E的坐標.再根據(jù)該拋物線與線段CE沒有交點，分兩種情況(CE在拋物

線內(nèi)和CE在拋物線右側)進行討論，求出b的取值范圍.

(1)

①解：把4(3,0),8(0,-3)代入,=/+打+~得

J0=32+3Z?+C

|-3=c

b=-2

解得:

c=-3

**?y=爐_2x_3

②解：存在，理由如下,

設直線AB的解析式為尸kx+b,把A(3,0),5(0,-3)代入，得

3k+b=0

b=—3

k=\

解得

b=-3

?,?直線AB的解析式為y=x-3,

設點M(m,m-3)、點P(m,m2-2m-3)

若點M是線段PH的三等分點，

則典」或儂=2,

HP3HP3

m—31_p.m—32

即nn1-------=一或一--------=-，

m2—2m—33m2—2m—33

解得：m=2或mu'!■或m=3,

經(jīng)檢驗，m=3是原方程的增根，故舍去，

/.m=2或m=;

.?.點P坐標為(2,-3)或(1,-當

24

4

(2)解：把點D(-3,0)代入直線、=§%+〃，解得n=4,

4

「?直線y=§%+4,

當x=0時，y=4,即點C(0,4)

.?.CD=732+42=5,

???四邊形CDFE是菱形,

；.CE=EF=DF=CD=5,

...點E(5,4)

?.?點0(—3,0)在拋物線y=x2+bx+c±.,

：.(-3)-3b+c=0,

；?c=3b—9,

，y=x2+bx+3b-9,

,/該拋物線與線段CE沒有交點,

分情況討論

當CE在拋物線內(nèi)時

52+5b+3b-9<4

3

解得：b<-|

當CE在拋物線右側時，

3b-9>4

13

解得：b>y

綜上所述，3或I）〉/13

【點睛】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)以及圖形的綜合，解題的關鍵是數(shù)形結合和分情況

討論

5.已知拋物線>-岳+c經(jīng)過點（0,2）,且與x軸交于A、B兩點.設k是拋物線

獲+c與x軸交點的橫坐標；M是拋物線y=-x2-/v+c的點，常數(shù)m〉0,S為4

ABM的面積.已知使S=m成立的點M恰好有三個，設T為這三個點的縱坐標的和.

________

（1）求c的值；（2）直接寫出T的值；（3）求的值.

ks+k6+2kA+4k2+16

【答案】⑴2⑵一

【分析】（1）將點（0,2）帶入直接求解；（2）找到三個點M的縱坐標之間的而關系，即可

47

求解；（3）將函數(shù)轉化為方程，即可表示出/+乒=（左-》）2+4=7,

-8=41,帶入原式即可求解.

（1）解：：將點（0,2）帶入一石x+c得:

⑵由（1）可知，拋物線的解析式為y=-爐-氐+2,

,/當S=m時恰好有三個點M滿足，

必有一個M為拋物線的頂點，且M縱坐標互為相反數(shù).

當犬=一二^-=一也時,，=-(-￥)2-3(-亭+2=:

2x(-1)2

即此時M(一造,4),則另外兩個點的縱坐標為

(3)由題可知，-廿-限+2=0,貝！|左一?=一有

k

A^2+p=(^-1)2+4=7,/+[=(/+g)2一8=41

_____t__________1___________________1__________

則小/+2/+4/+16=—+:+[=(/+])+*+1)+2

11

41+7+2—50

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)與方程的關系、代數(shù)式求值等，屬于綜合題目,

靈活運用代數(shù)計算是解題的關鍵.

6.已知拋物線y=辦2一2%+1(。/0)的對稱軸為直線x=l.

(1)求a的值;

(2)若點M(xi,y。，N(X2,y2)都在此拋物線上，且一1<%<0,1<X2<2.比較以

與”的大小，并說明理由；

(3)設直線y=〃2(〃2>0)與拋物線y=畝？-2x+l交于點A、B,與拋物線y=3(x-l)2交

于點C,D,求線段AB與線段CD的長度之比.

【答案】(1)a=l；(2)%>為，見解析；(3)73

【分析】

b

(1)根據(jù)對稱軸x=——,代值計算即可

2a

(2)根據(jù)二次函數(shù)的增減性分析即可得出結果

(3)先根據(jù)求根公式計算出％=1±J五，再表示出AB=|J/+1-(-J￡+l)|,

CD=[X]—引==2竽，即可得出結論

【詳解】

-2

解：(1)由題意得：X=----=1

2a

\a-1

(2),拋物線對稱軸為直線X=1,且。=1>0

，當％<1時，y隨X的增大而減小，

當x〉l時，y隨x的增大而增大.

,當一1<玉<1時，yi隨山的增大而減小,

?.?兀=-1時，y=4,尤=0時，y=l

1<%<4

同理：1<%<2時，y?隨X2的增大而增大

x=1時，y=0.

%=2時，y=l

,0<%<1

x—2x+(1—tn)=0

zl=(-2)2-4-l-(l-m)

=4m

2土J4m

:.x=1±Vm

21

/.%=y/m+1x2=—y[m+1

/.AB=|4m+l-(-A/m+1)|

=2y[m

令3(X-1)2=m

.?.CD=WE=￥^

AB2\fm抬

CD2-j3m

3

，AB與CD的比值為J?

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的圖像性質、二次函數(shù)的解析式、對稱軸、函數(shù)的交點、正確理解二次函

數(shù)的性質是關鍵，利用交點的特點解題是重點

7.拋物線y=—/+法+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,且3(—1,O),C(O,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點P是拋物線上位于直線AC上方的一點，3P與AC相交于點E,當

?￡：5石=1:2時，求點P的坐標；

(3)如圖2,點D是拋物線的頂點，將拋物線沿CD方向平移，使點D落在點OC處，且

DD'=2CD,點M是平移后所得拋物線上位于。C左側的一點，跖7//丫軸交直線?！?'于

點N,連結CN.當Y5D'N+CN的值最小時，求"N的長.

5

。3

【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)P(l,4)或P(2,3)；(3)1

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法即可得;

(2)設點尸的坐標為尸伍,-/+2。+3),先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再

根據(jù)？E:BE=1:2可得點E的坐標，代入直線AC的解析式求解即可得;

(3)先根據(jù)=28求出點。C的坐標，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律得出平移后的

函數(shù)解析式，設點M的坐標，從而可得點N的坐標，然后根據(jù)兩點之間的距離公式可得

—D'N+CN，最后根據(jù)兩點之間線段最短、垂線段最短求解即可得.

5

【詳解】

-l-b+c=0

解：(1)由題意，將點3(—L0),C(0,3)代入y=—必+法+c得：＜

c=3

b=2

解得《

c=3

則拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

(2)對于二次函數(shù)y=——+2》+3,

當丁=。時，一A：2+2X+3=0，角軍得x=-1或JT=3,

.-.A(3,0),

設點P的坐標為尸(a,—/+2。+3)(0＜。＜3),點E的坐標為E&,%),

,.,PE:BE=1:2,B(—LO),

a-xx21

x,+12=-a——

2，解得V33

—a+2〃+3—y1224?

X=—aH—〃+2

%—0233

~2124八

￡S(—a—,—ci2H—a+2),

3333

設直線AC的解析式為y^kx+t,

2k+t=0\k=—1

將點A(3,0),C(0,3)代入得：°，解得°,

t=3上=3

則直線AC的解析式為y=-x+3,

212,4212,4

將點E(—a——,——a"+—。+2)代入得：——a-\---1-3=——a~+—a+2,

33333333

解得a=1或a=2,

當a=l時，_a2+2a+3=—i+2+3=4，此時P(l,4),

當a=2時，—a2+2a+3=—4+2x2+3=3,此時尸(2,3),

綜上，點尸的坐標為PQ,4)或尸(2,3)；

(3)二次函數(shù)y=—爐+2尤+3=—(x—Ip+4的頂點。坐標為0(1,4),

r

設點的坐標為D(x2,y2),

DD=2CD,C(0,3),D(l,4),

%T_c,

I?「解得，x2—3

%=6,

I4-3

?.￡>'(3,6),

則平移后的二次函數(shù)的解析式為y=—(x—3)2+6=—爐+6x—3,

設直線OD'的解析式為y^kox,

將點。'(3,6)代入得：3ko=6,解得％=2,

則直線OD'的解析式為y=2x,

設點M的坐標為M(私一加2+6m-3)(m<3),則點N的坐標為N(m,2m),

如圖，連接A￡>'，過點N作人以，AO'于點/，過點C作CG_LAO'于點G,交0。'于

點N',連接CF,

.?.AD'Lx軸，

FN=3-m,

..與DN+CN=*J(3—加)2+(6—2-)2+CN=3-m+CN=FN+CN，

由兩點之間線段最短得：F7V+QV的最小值為Cb,

由垂線段最短得：當點尸與點G重合時，C5取得最小值CG,此時點N與點N'重合，

則點N'的縱坐標與點C的縱坐標相等，

3

即2m=3,解得m=二，

2

則MN=\^-m+6m—3—2m|=|—m2+4m—3|,

2

=|-（|）+4X|-3|1

-4,

【點睛】

本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律、垂線段最短等

知識點，較難的是題（3）,正確求出平移后的拋物線的解析式是解題關鍵.

8.已知二次函數(shù)+c的圖象開口向上，且經(jīng)過點A0,：,B2,-1

（1）求6的值（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）若二次函數(shù)丁=6?2+云+。在時，＞的最大值為1,求。的值;

（3）將線段A3向右平移2個單位得到線段AZ'.若線段AZ'與拋物線

y=ax2+6x+c+4a-l僅有一個交點，求。的取值范圍.

513

【答案】(1)b——l(tz>0)；(2)—；(3)—<tz<—

644

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法將點A、B的坐標代入即可

(2)根據(jù)拋物線圖像分析得在1WXW3范圍內(nèi)，》的最大值只可能在x=1或X=3處取得,

進行分類討論①若％<%時，②若%=%，③%>%，計算即可

(3)先利用待定系數(shù)法寫出直線AB的解析式，再寫出平移后的解析式，若線段43'與拋

物線y=?2+Z?x+c+4a-1僅有一個交點，即方程ar-(24+1)%+44+—=-％+—在

22

2WxW4的范圍內(nèi)僅有一個根，只需當％=2對應的函數(shù)值小于或等于0,且x=4對應的

函數(shù)值大于或等于即可.

【詳解】

(1)：拋物線y=a%2+bx+c過點,

[3

c=—

?2

]，

4a+2b+c=—

L