2024年中考數(shù)學(xué)題型突破：二次函數(shù)與圓的問(wèn)題（專項(xiàng)訓(xùn)練）（學(xué)生版）

類型十二二次函數(shù)與圓的問(wèn)題（專題訓(xùn)練）

1.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題）如圖1,為半圓。的直徑，C為54延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD

3

切半圓于點(diǎn)。，BELCD,交CO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交半圓于點(diǎn)尸，已知。4=5,AC=1.如

圖2,連接AF,P為線段"上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作BC的平行線分別交CE,BE于點(diǎn)M,N,

過(guò)點(diǎn)P作尸〃_LAB于點(diǎn)設(shè)尸H=x,MN=y.

CA0BHOB

圖1圖2

（1）求CE的長(zhǎng)和y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

Q）當(dāng)PH<PN,且長(zhǎng)度分別等于PH，PN,"的三條線段組成的三角形與A3CE相似時(shí),

求。的值.

⑶延長(zhǎng)PN交半圓。于點(diǎn)。，當(dāng)NQ=?x-3時(shí)，求肱V的長(zhǎng).

2.(2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線＞=依2+法+5與x軸交于4,8兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C,AB=4.拋物線的對(duì)稱軸x=3與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線、=自-1交于點(diǎn)。，與x軸交

備用圖

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出

所有點(diǎn)/的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)以點(diǎn)8為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為。3上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出PC+g/M的最小值.

3.(2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題)如圖，二次函數(shù)y=/-6x+8的圖像與x軸分別交于點(diǎn)

（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），直線/是對(duì)稱軸.點(diǎn)P在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4,連接PA,PB,

過(guò)點(diǎn)尸作尸河，/,垂足為以點(diǎn)M為圓心，作半徑為「的圓，PT與。M相切，切點(diǎn)為T.

⑴求點(diǎn)AB的坐標(biāo)；

（2）若以的切線長(zhǎng)PT為邊長(zhǎng)的正方形的面積與APAB的面積相等，且0M不經(jīng)過(guò)點(diǎn)

（3,2）,求長(zhǎng)的取值范圍.

4

4.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線>=-1/+6尤+4與》軸交于4（-3,0）,B兩

點(diǎn)，與>軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線解析式及B,C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)。坐標(biāo)；

(3)該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E,使得N4CE=45。，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2023?四川樂(lè)山?統(tǒng)考中考真題)已知國(guó),%),(%,%)是拋物G：y=f+萬(wàn)龍”為常數(shù))

上的兩點(diǎn)，當(dāng)玉+%=。時(shí)，總有為=%

⑴求6的值；

2

(2)將拋物線G平移后得到拋物線C2:y=-1(x-m)+1(/77>0).

探究下列問(wèn)題：

①若拋物線C1與拋物線CZ有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；

②設(shè)拋物線C?與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線C2的頂點(diǎn)為點(diǎn)E,"WC外

接圓的圓心為點(diǎn)尸，如果對(duì)拋物線G上的任意一點(diǎn)尸，在拋物線C?上總存在一點(diǎn)。，使得

點(diǎn)P、。的縱坐標(biāo)相等.求E尸長(zhǎng)的取值范圍.

6.(2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=o?+bx+c與天軸交于點(diǎn)A(TO)、

3(2,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-2,6).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在x軸上方的拋物線上任取一點(diǎn)N,射線4V、分別與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)尸、Q,

點(diǎn)。關(guān)于無(wú)軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q',求的面積；

(3)點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NAMC最大時(shí)，求加的坐標(biāo).

7.(2023?湖北恩施.統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系wy中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線

y=+c與y軸交于點(diǎn)A,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B.

⑴如圖，若前0,班)，拋物線的對(duì)稱軸為x=3.求拋物線的解析式，并直接寫出6時(shí)X

的取值范圍；

⑵在(1)的條件下，若尸為y軸上的點(diǎn)，C為x軸上方拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)APBC為等邊三

角形時(shí)，求點(diǎn)P,C的坐標(biāo)；

⑶若拋物線y=-；d+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)D?,2),E(n,2),F(l,-1),且加＜”,求正整數(shù)加,

n的值.

8.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線丁=。/+6%+。與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn),

與y軸相交于點(diǎn)C,下表給出了這條拋物線上部分點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)值:

??????

X—10123

y???03430???

(1)求出這條拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo);

(2)PQ是拋物線對(duì)稱軸上長(zhǎng)為1的一條動(dòng)線段(點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方)，求AQ+QP+PC

的最小值；

(3)如圖2,點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作軸，垂足為F,AABD

的外接圓與。尸相交于點(diǎn)E.試問(wèn)：線段跖的長(zhǎng)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值;

如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

9.如圖，拋物線y=(x+l)(x-a)(其中a>l)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

(1)直接寫出N0C4的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)(用a表示)；

(2)若點(diǎn)D為5c的外心，且△BCD與△ACO的周長(zhǎng)之比為麗：4,求此拋物線

的解析式；

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+l)(x-a)上是否存在一點(diǎn)P,使得

NC4P=NDB4?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.如圖，已知二次函數(shù)了=加+笈+。的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,-3)且與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)3(8,0).

y

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線A3的表達(dá)式；

(3)判斷AABO的形狀，試說(shuō)明理由；

(4)若點(diǎn)尸為。。上的動(dòng)點(diǎn)，且。。的半徑為2&，一動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單

位長(zhǎng)度的速度沿線段轉(zhuǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸，再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段依勻速運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的最小值.

11.我們把方程(x-m)2+(y-n)?=/稱為圓心為(m,n)、半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例

如，圓心為(1,-2)、半徑長(zhǎng)為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-1)~+(y+2)2=9.在平面直角

坐標(biāo)系中，OC與軸交于點(diǎn)A,B,且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0),與y軸相切于點(diǎn)D(0,4),過(guò)

點(diǎn)A,B,D的拋物線的頂點(diǎn)為E.

(1)求。C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)試判斷直線AE與。C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

12.如圖，拋物線y=ax?+沁經(jīng)過(guò)點(diǎn)AL1,。)和點(diǎn)C(0,3)與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B,

點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MP〃y軸，交拋物線于點(diǎn)P.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)以M為圓心，MP為半徑作。M,當(dāng)。M與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求出(DM的半徑.

13.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=￡x°+bx+c的圖象與x軸交于A(-2,0),B(4,0)

兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖甲，連接AC,PA,PC,若S4%c=^，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖乙，過(guò)A,B,P三點(diǎn)作。M,過(guò)點(diǎn)P作PELx軸，垂足為D,交。M于點(diǎn)E.點(diǎn)P

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段DE的長(zhǎng)是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求DE的長(zhǎng).

14.如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形，經(jīng)過(guò)A(-2,0),B,C三點(diǎn)的拋

8

物線y=ax?+bx+-(a<0)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D,其頂點(diǎn)為M,對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

3

(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

3

(2)已知R是拋物線上的點(diǎn)，使得AADR的面積是平行四邊形OABC的面積的一，求點(diǎn)R的

坐標(biāo);

(3)已知P是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，滿足在直線MD上存在唯一的點(diǎn)Q,使得NPQE=45°,

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

15如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，A(-2,-l),B(3,-l),以0為圓心，0A的長(zhǎng)為半徑的半

圓。交A0的延長(zhǎng)線于C,連接AB,BC,過(guò)0作ED//BC分別交AB和半圓0于E,D,連接0B,

CD.

(1)求證：BC是半圓0的切線;

(2)試判斷四邊形OBCD的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)如圖2,若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,且頂點(diǎn)為E,求此拋物線的解析式；點(diǎn)P是此拋物線對(duì)稱

軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以E,D,P為頂點(diǎn)的三角形與鉆相似，問(wèn)拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使

得=SA°AB，若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-gx+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

2

拋物線y=-jx2+Zzx+c過(guò)點(diǎn)B且與直線相交于另一點(diǎn)C

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NQ4O=NSAO時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)N(〃,0)在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(O,m)是y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn),

且滿足NMNC=90°.

①求m與n之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)m在什么范圍時(shí)，符合條件的N點(diǎn)的個(gè)數(shù)有2個(gè)?

17.將拋物線C:y=(x-2＞向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線G，再將拋物線G向左平

移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2.

(1)直接寫出拋物線G，G的解析式；

(2)如圖(1),點(diǎn)4在拋物線G對(duì)稱軸/右側(cè)上，點(diǎn)3在對(duì)稱軸/上，AOAB是以06為

斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(3)如圖(2),直線＞=依(左W0,左為常數(shù))與拋物線。2交于E，尸兩點(diǎn)，M為線

4

段所的中點(diǎn)；直線y=—-x與拋物線C交于G,H兩點(diǎn)，N為線段GH的中點(diǎn).求證：

k

直線MN經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

18.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,-2),在x軸上任取一點(diǎn)M.連接AM,

分別以點(diǎn)A和點(diǎn)M為圓心，大于LAM的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于G,H兩點(diǎn)，作直線GH,

2

過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線1交直線GH于點(diǎn)P.根據(jù)以上操作，完成下列問(wèn)題.

探究：

(1)線段PA與PM的數(shù)量關(guān)系為,其理由為：.

(2)在x軸上多次改變點(diǎn)M的位置，按上述作圖方法得到相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并完成下列表

格：

M的坐標(biāo)???(-2,0)(0,0)(2,0)(4,0)???

P的坐標(biāo)???(0,-1)(2,-2)???

猜想：

(3)請(qǐng)根據(jù)上述表格中P點(diǎn)的坐標(biāo)，把這些點(diǎn)用平滑的曲線在圖2中連接起來(lái)；觀察畫出

的曲線L,猜想曲線L的形狀是.

驗(yàn)證：

(4)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),根據(jù)圖1中線段PA與PM的關(guān)系，求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

應(yīng)用：

(5)如圖3,點(diǎn)3(—1,6),點(diǎn)D為曲線L上任意一點(diǎn)，且N5DC<30。，求

點(diǎn)D的縱坐標(biāo)yD的取值范圍.

圖1圖2圖3

19.如圖，己知NMON=90°,OT是NMQV的平分線，A是射線O河上一點(diǎn)，

OA=Scm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1勿/s的速度沿A0水平向左作勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí),

動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，也以lan/s的速度