2024年中考數(shù)學(xué)題型突破：規(guī)律探索之圖形規(guī)律（專項(xiàng)訓(xùn)練）

類型二圖形規(guī)律

1.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)

圖案用了9根木棍，第②個(gè)圖案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用

了24根木棍，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是（）

nm□ooo<xno

①②③④

A.39B.44C.49D.54

【答案】B

【分析】根據(jù)各圖形中木棍的根數(shù)發(fā)現(xiàn)計(jì)算的規(guī)律，由此即可得到答案.

【詳解】解：第①個(gè)圖案用了4+5=9根木棍，

第②個(gè)圖案用了4+5x2=14根木棍，

第③個(gè)圖案用了4+5x3=19根木棍，

第④個(gè)圖案用了4+5x4=24根木棍，

第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是4+5x8=44根，

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了圖形類規(guī)律的探究，正確理解圖形中木棍根數(shù)的變化規(guī)律由此得到計(jì)算

的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2

個(gè)圓圈，第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第④個(gè)圖案中有H個(gè)圓圈，…，

按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（）

OOOOOO

OOOOOOOOOOOOOO

OOOOOO

(1)⑵(3)

A.14B.20C.23D.26

【答案】B

【分析】根據(jù)前四個(gè)圖案圓圈的個(gè)數(shù)找到規(guī)律，即可求解.

【詳解】解：因?yàn)榈冖賯€(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，2=3xl-l；

第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，5=3x2—1；

第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，8=3x3-l；

第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，11=3x4—1；

所以第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為3x7-1=20；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探究，根據(jù)前四個(gè)圖案圓圈的個(gè)數(shù)找到第〃個(gè)圖案的規(guī)律為

3w-1是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，小正方形是按■定規(guī)律擺放的，下面四個(gè)選項(xiàng)中的圖片，適合填補(bǔ)圖中空白處的是

【答案】D

【解析】由題意知，原圖形中各行、各列中點(diǎn)數(shù)之和為10,符合此要求的只有

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是得出原圖形中各行、各列中點(diǎn)數(shù)

之和為10.

4.（2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長均

為1個(gè)單位長度，以點(diǎn)尸為位似中心作正方形必44,正方形尸4AA，…，按此規(guī)律作下

去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形出4A的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

P（-3,0），A（-2,l）,A（-l,0）,A,H-l），則頂點(diǎn)Aoo的坐標(biāo)為（)

A.（31.34）B.（31,-34）C.（32,35）D.（32,0）

【答案】A

【分析】根據(jù)圖象可得移動(dòng)3次完成一個(gè)循環(huán),從而可得出點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律A“-2（”-3,n）.

【詳解】解：???4（-2,1）,&（-1,2）,4（0,3）,Ao（1-4）,L,

-3，”），

V100=3x34-2,貝：鞏=34,

'1?Aoo（31,34）,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖象，得到點(diǎn)的變化規(guī)律.

5.將字母"C”,“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)

數(shù)是（

IIH

H—C——HH-C-C-H

HHH

①②③

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】列舉每個(gè)圖形中H的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案.

【詳解】解：第1個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4,

第2個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2,

第3個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2X2,

第4個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2X3=10,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，通過列舉每個(gè)圖形中H的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律：每

個(gè)圖形比上一個(gè)圖形多2個(gè)H是解題的關(guān)鍵.

6.(2023?四川達(dá)州?統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形A5CD是邊長為g的正方形，曲線

D4tBeR4…是由多段90。的圓心角的圓心為C,半徑為CQ的圓心為。，半徑為

0G…,圖、431、耳￡、。。「.的圓心依次為4B、C、。循環(huán)，則Ao?、2的長是()

C20234

D.2022i

04

【答案】A

【分析】曲線必用GR4…是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑+；,

得至!]AC*=A4n=4x]("—1)+Q,B\=BBn=4x—(n-l)+l,得出半徑，再計(jì)算弧長即可.

【詳解】解：由圖可知，曲線叫瓦…是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一

段弧半徑+g,

13

：.AD=A^=-,BA=BB]=1,CB=CC,=-,DC,=DD,=2,

22y

13

ADX=AA1=2+—,BA2=BB2=2+1,CB2=CC2=2+—,DC?=DD2=2+2,

妝-=必=4x1(n-l)+i,%=BB“=4x1(n-l)+l,

故&)23%3的半徑為%023=皮兀3=4x1x(2023-1)+1=4045,

???4。234)23的弧長=瑞義4045萬=卓".

loUZ

故選A

【點(diǎn)睛】此題主要考查了弧長的計(jì)算，弧長的計(jì)算公式：/=怒，找到每段弧的半徑變化

180

規(guī)律是解題關(guān)鍵.

7.把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有3

個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為

（）

①②③

A.15B.13C.11D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)第①個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1;第②個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1+2=3；第③個(gè)圖

案中菱形的個(gè)數(shù)：1+2X2=5；…第n個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1+2（〃-1）,算出第⑥個(gè)圖案

中菱形個(gè)數(shù)即可.

【詳解】解：???第①個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1;

第②個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1+2=3；

第③個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：l+2x2=5；…

第n個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1+2（〃-1）,

則第⑥個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為：l+2x（6-1）=11,故C正確.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圖案的變化，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖案歸納出圖案?jìng)€(gè)數(shù)的變化

規(guī)律.

8.如圖是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第10個(gè)這樣的圖案需要黑

色棋子的個(gè)數(shù)為（）

D.202

【分析】觀察各圖可知,后一個(gè)圖案比前一個(gè)圖案多2(n+3)枚棋子，然后寫成第n個(gè)圖

案的通式，再取n=10進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【解析】根據(jù)圖形，第1個(gè)圖案有12枚棋子,

第2個(gè)圖案有22枚棋子，

第3個(gè)圖案有34枚棋子，

第n個(gè)圖案有2(1+2+…+n+2)+2(n-1)==+711+4枚棋子,

故第10個(gè)這樣的圖案需要黑色棋子的個(gè)數(shù)為102+7X10+4=100+70+4=174(枚).

故選：C.

9.把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)黑色三角形，第②個(gè)圖

案中有3個(gè)黑色三角形，第③個(gè)圖案中有6個(gè)黑色三角形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑤

個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為()

▲

▲▲▲…

▲▲▲▲▲

②③

A.10B.15C.18D.21

【分析】根據(jù)前三個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)得出第n個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為

1+2+3+4+……+n,據(jù)此可得第⑤個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù).

【解析】???第①個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為1,

第②個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)3=1+2,

第③個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)6=1+2+3,

，第⑤個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為1+2+3+4+5=15,

故選：B.

io.觀察下列樹枝分杈的規(guī)律圖，若第〃個(gè)圖樹枝數(shù)用匕表示，則熱-L=（）

丫

第1個(gè)圖X=1第2個(gè)圖匕=3第3個(gè)圖、=7翁1個(gè)圖匕=15

A.15x24B.31x24C.33x24D.63x24

【答案】B

【分析】

根據(jù)題目中的圖形，可以寫出前幾幅圖中樹枝分杈的數(shù)量，從而可以發(fā)現(xiàn)樹枝分杈的變化規(guī)

律，進(jìn)而得到規(guī)律匕=2"-1,代入規(guī)律求解即可.

【詳解】

解：由圖可得到：

匕=21-1=1

打=2?-1=3

4=23-1=7

匕=2,1=15

工=27

9

則：Y9=2-l,

944

.■.^-Y4=2-1-2+1=31X2,

故答案選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查圖形規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

11.用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有5個(gè)正方形，第②個(gè)圖案中有

9個(gè)正方形，第③個(gè)圖案中有13個(gè)正方形，第④個(gè)圖案中有17個(gè)正方形，此規(guī)律排列下去，

則第⑨個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為（）

oooooooooo

???????????????ooooooooo

?ooooooooo

①②③④

A.32B.34C.37D.41

【答案】C

【分析】第1個(gè)圖中有5個(gè)正方形，第2個(gè)圖中有9個(gè)正方形，第3個(gè)圖中有13個(gè)正方形,……,

由此可得：每增加1個(gè)圖形，就會(huì)增加4個(gè)正方形，由此找到規(guī)律，列出第n個(gè)圖形的算式，

然后再解答即可.

【詳解】解：第1個(gè)圖中有5個(gè)正方形；

第2個(gè)圖中有9個(gè)正方形，可以寫成：5+4=5+4Xl；

第3個(gè)圖中有13個(gè)正方形，可以寫成：5+4+4=5+4X2；

第4個(gè)圖中有17個(gè)正方形，可以寫成：5+4+4+4=5+4X3；...

第n個(gè)圖中有正方形，可以寫成：5+4(n-1)=4n+l；

當(dāng)n=9時(shí)，代入4n+l得：4X9+1=37.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律以及數(shù)字規(guī)律，通過歸納與總結(jié)結(jié)合圖形得出數(shù)字

之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.

12.在平面直角坐標(biāo)系中，等邊AAOB如圖放置，點(diǎn)A的坐標(biāo)為。,0),每一次將AAOB繞

著點(diǎn)0逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到的。耳，第

二次旋轉(zhuǎn)后得到…，依次類推，則點(diǎn)4021的坐標(biāo)為()

當(dāng)

2021

A.(-22020,-73X22020)B.(22021,_73x2)

c.(22020,-^x?2020)D.(-22011,-V3X22021)

【答案】C

【分析】

由題意，點(diǎn)A每6次繞原點(diǎn)循環(huán)一周，利用每邊擴(kuò)大為原來的2倍即可解決問題.

【詳解】

解：由題意，點(diǎn)A每6次繞原點(diǎn)循環(huán)一周，

?.?2021+6=371……5,

2021

...4⑼點(diǎn)在第四象限，04021=2，ZXOA,021=60°,

???點(diǎn)402。的橫坐標(biāo)為|x22021=22020,縱坐標(biāo)為-1x22021=-由x22020,

22

.?.4⑼(2嗎-百依期)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方

法，屬于中考?？碱}型.

13.如圖，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1個(gè)正方形需要4個(gè)小正方形，拼第2

個(gè)正方形需要9個(gè)小正方形…，按這樣的方法拼成的第(n+1)個(gè)正方形比第n個(gè)正方形多

【分析】觀察不難發(fā)現(xiàn)，所需要的小正方形的個(gè)數(shù)都是平方數(shù)，然后根據(jù)相應(yīng)的序數(shù)與正方

形的個(gè)數(shù)的關(guān)系找出規(guī)律解答即可.

【解析】：第1個(gè)正方形需要4個(gè)小正方形，4=2?,

第2個(gè)正方形需要9個(gè)小正方形，9=32,

第3個(gè)正方形需要16個(gè)小正方形，16=4',

...第n+1個(gè)正方形有(n+1+l)2個(gè)小正方形,

第n個(gè)正方形有（n+1）2個(gè)小正方形,

故拼成的第n+1個(gè)正方形比第n個(gè)正方形多（n+2）2-（n+1）?=2n+3個(gè)小正方形.

故答案為：2n+3.

14.（2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）烷煌是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生

產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動(dòng)、植物的養(yǎng)護(hù).通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名

為甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（當(dāng)碳原子數(shù)目超過10個(gè)時(shí)即用漢文數(shù)字表示，如十一

烷、十二烷……）等，甲烷的化學(xué)式為C4,乙烷的化學(xué)式為C2?6,丙烷的化學(xué)式為C34

其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學(xué)式為

丙烷

【分析】根據(jù)碳原子的個(gè)數(shù)，氫原子的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律，即可求解.

【詳解】解：甲烷的化學(xué)式為C4,

乙烷的化學(xué)式為G46,

丙烷的化學(xué)式為C34……，

碳原子的個(gè)數(shù)為序數(shù)，氫原子的個(gè)數(shù)為碳原子個(gè)數(shù)的2倍多2個(gè),

十二烷的化學(xué)式為G2H26，

故答案為：C12H26.

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

15.（2023?湖北十堰?統(tǒng)考中考真題）用火柴棍拼成如下圖案，其中第①個(gè)圖案由4個(gè)小

等邊三角形圍成1個(gè)小菱形，第②個(gè)圖案由6個(gè)小等邊三角形圍成2個(gè)小菱形，……，若按

此規(guī)律拼下去，則第〃個(gè)圖案需要火柴棍的根數(shù)為（用含〃的式子表示）.

【答案】6n+6/6+6n

【分析】當(dāng)"=1時(shí)，有2。+1）=4個(gè)三角形；當(dāng)〃=2時(shí)，有2（2+1）=6個(gè)三角形；當(dāng)“=3時(shí)，

有2（3+1）=8個(gè)三角形；第〃個(gè)圖案有2（"+1）=2”+2個(gè)三角形，每個(gè)三角形用三根計(jì)算即

可.

【詳解】解：當(dāng)”=1時(shí)，有2（1+1）=4個(gè)三角形；

當(dāng)〃=2時(shí)，有2（2+1）=6個(gè)三角形；

當(dāng)〃=3時(shí)，有2（3+1）=8個(gè)三角形；

第〃個(gè)圖案有2（〃+1）=2〃+2個(gè)三角形，

每個(gè)三角形用三根，

故第〃個(gè)圖案需要火柴棍的根數(shù)為6〃+6.

故答案為：6?+6.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減的數(shù)字規(guī)律問題，熟練掌握規(guī)律的探索方法是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?山西?統(tǒng)考中考真題）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的圓片

組成.第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8

個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，…依此規(guī)律，第〃個(gè)圖案中有個(gè)

白色圓片（用含〃的代數(shù)式表示）

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

【答案】（2+2〃）

【分析】由于第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片4=2+2xl,第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片

6=2+2x2,第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片8=2+2x3,第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片

10=2+2x4,…，可得第"（">1）個(gè)圖案中有白色圓片的總數(shù)為2+2〃.

【詳解】解：第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片4=2+2xl,

第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片6=2+2x2,

第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片8=2+2x3,

第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片10=2+2x4,

.?.第個(gè)圖案中有（2+2〃）個(gè)白色圓片.

故答案為：（2+2?）.

【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律

變化的因素，然后推廣到一般情況.解題關(guān)鍵是總結(jié)歸納出圖形的變化規(guī)律.

17.（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）在求1+2+3+……+100的值時(shí)，發(fā)現(xiàn)：1+100=101,

2+99=101……，從而得至U1+2+3+…+100=101x50=5050.按此方法可解決下面問題.圖

（1）有1個(gè)三角形，記作q=1；分別連接這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)得到圖（2）,有5個(gè)三角形，

記作％=5；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點(diǎn)得到圖（3）,有9個(gè)三角形，記

作％=9；按此方法繼續(xù)下去，則%+電+%+……+%=.（結(jié)果用含〃的代數(shù)式表

【分析】根據(jù)題意得出4=1+4（〃-1）=4"一3,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：依題意，q=1,&=5,%=9,…，an=l+4（/?-l）=4/j-3,

]+4〃-3/_i\-9

..a[+a2+a3+.......+an==n=（2n-1）n=2n-n,

故答案為：2〃2-

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

18.觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第2019個(gè)圖

形中共有_________個(gè)O.

OO

OOO

OOOO

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

OOOO

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第1個(gè)

【答案】6058

【解析】由圖可得，第1個(gè)圖象中。的個(gè)數(shù)為：1+3X1=4,

第2個(gè)圖象中。的個(gè)數(shù)為：1+3義2=7,

第3個(gè)圖象中。的個(gè)數(shù)為：1+3X3=10,

第4個(gè)圖象中。的個(gè)數(shù)為：1+3X4=13,

.,.第2019個(gè)圖形中共有：1+3X2019=1+6057=6058個(gè)O,故答案為：6058.

【名師點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)圖形中。的變化規(guī)

律，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

19.(2023?山東泰安?統(tǒng)考中考真題)已知，……都是邊長為

2的等邊三角形，按下圖所示擺放.點(diǎn)4，A3，4，……都在x軸正半軸上，且

44=34=44=....=1,則點(diǎn)&)23的坐標(biāo)是.

【答案】(2023,-括)

【分析】先確定前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后歸納規(guī)律，按規(guī)律解答即可.

【詳解】解：由圖形可得：4(2,O)，A(3,o),A(5,o),A(6,O)，A(8,0),4(9,0),

如圖：過a作ABLX軸，

OB=cos60°xO\—1,A^B=sin60°xOAj=^3,

??.A"）,

同理:a（4,4（7,4（io,-⑹，

a“T（3/7-1,0）,&,（3w,0）,AM（3〃+1,@（3〃+1）為偶數(shù)，A,?+1（3w+1,-⑹為奇數(shù)；

2023+3=674……1,2023為奇數(shù)

4（）23（2023,.

故答案為（2023,--）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、坐標(biāo)規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，先求出幾

個(gè)點(diǎn)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

20.如圖，每一圖中有若干個(gè)大小不同的菱形，第1幅圖中有1個(gè)菱形，第2幅圖中有3個(gè)

菱形，第3幅圖中有5個(gè)菱形，如果第n幅圖中有2019個(gè)菱形，則".

O<3€><38€>???咨??

第1幅第2幅第3幅第；:幅

【答案】1010

【解析】根據(jù)題意分析可得：第1幅圖中有1個(gè).第2幅圖中有2X2T=3個(gè).第3幅圖中

有2X3T=5個(gè).第4幅圖中有2X4-1=7個(gè).…

可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)圖形都比前一個(gè)圖形多2個(gè).故第n幅圖中共有（2n-l）個(gè).

當(dāng)圖中有2019個(gè)菱形時(shí)，2n-l=2019,n=1010,故答案為：1010.

【名師點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型中的圖形變化問題，難度適中，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸

納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

21.觀察下列圖形規(guī)律，當(dāng)圖形中的的個(gè)數(shù)和個(gè)數(shù)差為2022時(shí)，n的值為

OOO

【答案】不存在

【分析】首先根據(jù)n=l、2、3、4時(shí)，“；’的個(gè)數(shù)分別是3、6、9、12,判斷出第n個(gè)圖形中

的個(gè)數(shù)是3n；然后根據(jù)n=l、2、3、4,“?！钡膫€(gè)數(shù)分別是1、3、6、10,判斷出第n

個(gè)的個(gè)數(shù)是回D；最后根據(jù)圖形中的“O”的個(gè)數(shù)和個(gè)數(shù)差為2022,列出

2

方程，解方程即可求出n的值是多少即可.

【詳解】解：：n=l時(shí)，?的個(gè)數(shù)是3=3X1；

n=2時(shí)，"v的個(gè)數(shù)是6=3X2；

n=3時(shí)，"；’的個(gè)數(shù)是9=3X3；

n=4時(shí)，"，的個(gè)數(shù)是12=3X4；

.?.第n個(gè)圖形中“廠的個(gè)數(shù)是3n；

又時(shí)，"O"的個(gè)數(shù)是1=M：+D；

n=2時(shí)，“O”的個(gè)數(shù)是3=0孚D,

n=3時(shí)，“O”的個(gè)數(shù)是6=竺型，

2

n=4時(shí)，“O”的個(gè)數(shù)是10=4義（4+1）,

2

.?.第n個(gè)的個(gè)數(shù)是山土D,

2

由圖形中的“O”的個(gè)數(shù)和個(gè)數(shù)差為2022

n（n+l）n（n+i）三

「.3〃一一——^二2022①，——^-3〃=2022②

22

解①得：無解

解②得：4=5+產(chǎn)，%=5-產(chǎn)

故答案為：不存在

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

22.（2023?四川廣安?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4、4、4、4…在x軸的

正半軸上，點(diǎn)為鳥、鳥…在直線y=*x（x20）上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,且

△4片4、△4自4、△4々4…均為等邊三角形.則點(diǎn)嗎）23的縱坐標(biāo)為.

y

【答案】22022V3

【分析】過點(diǎn)A作AM，x軸，交直線y=1x(x>0)于點(diǎn)M,過點(diǎn)耳作B,C1x軸于點(diǎn)C,

先求出NAOM=30。，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得44=。4=2,然

后解直角三角形可得用C的長，即可得點(diǎn)耳的縱坐標(biāo)，同樣的方法分別求出點(diǎn)與，鳥,心的縱

坐標(biāo)，最后歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作軸，交直線>于點(diǎn)過點(diǎn)與作4C，x

?.?A(2,0),

OAi=2,

當(dāng)x=2時(shí)，y=當(dāng),即MJ,半J，AM=孚，

tanZA.OM=^-=—,

4。3

ZA.OM=30°,

?.?△444是等邊三角形，

,A4=60°,A4=A4,

:.ZOBlAi=3Q°=ZAiOM,

人耳=—2,

，耳C=Ag?sin60。=2義岑，即點(diǎn)耳的縱坐標(biāo)為2x1,

同理可得：點(diǎn)星的縱坐標(biāo)為22x迫，

2

G

-

點(diǎn)鳥的縱坐標(biāo)為2?x2

-^

點(diǎn)2的縱坐標(biāo)為2’x2

歸納類推得：點(diǎn)紇的縱坐標(biāo)為2"x1=2片道(〃為正整數(shù))，

2

2022

則點(diǎn)B2023的縱坐標(biāo)為22023-6=273，

故答案為：22022V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的應(yīng)用、解直角三

角形等知識(shí)點(diǎn)，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

23.將黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列，圖中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為：1,3,6,10,……，

將其中所有能被3整除的數(shù)按從小到大的順序重新排列成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)中的第33

個(gè)數(shù)為.

①②③④

【答案】1275

【分析】

首先得到前n個(gè)圖形中每個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù),得到第n個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)

為2——1,再判斷其中能被3整除的數(shù)，得到每3個(gè)數(shù)中，都有2個(gè)能被3整除，再計(jì)

2

算出第33個(gè)能被3整除的數(shù)所在組，為原數(shù)列中第50個(gè)數(shù)，代入計(jì)算即可.

【詳解】

解：第①個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1,

第②個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：0+2)X2=3,

2

第③個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：(1+3)><3=6,

2

(l+4)x4

第④個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：——』一=10,

2

第n個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為“(〃+1),

2

則這列數(shù)為1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,,

其中每3個(gè)數(shù)中，都有2個(gè)能被3整除，

334-2=161,

16X3+2=50,

則第33個(gè)被3整除的數(shù)為原數(shù)列中第50個(gè)數(shù)，即絲2=1275,

2

故答案為：1275.

【點(diǎn)睛】

此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律.

24.如圖，3條直線兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線兩兩相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，按照這樣

的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有個(gè)交點(diǎn)

【答案】190

【分析】

根據(jù)題目中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出九條直線相交最多有的交點(diǎn)個(gè)數(shù)公式：1n(n-l).

【詳解】

解：2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)；

3條直線相交最多有1+2=3=1X3X2個(gè)交點(diǎn)；

4條直線相交最多有1+2+3=6=(X4X3個(gè)交點(diǎn)；

5條直線相交最多有1+2+3+4=10=：X5X4個(gè)交點(diǎn)；

2

20條直線相交最多有|x20xl9=190.

故答案為：190.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是多條直線相交的交點(diǎn)問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即九條直線相交最多

有;“（"一1）.

25.如圖，用火柴棍拼成一個(gè)由三角形組成的圖形，拼第一個(gè)圖形共需要3根火柴棍，拼第

二個(gè)圖形共需要5根火柴棍；拼第三個(gè)圖形共需要7根火柴棍；……照這樣拼圖，則第n

【答案】2n+l

【分析】

分別得到第一個(gè)、第二個(gè)、第三個(gè)圖形需要的火柴棍，找到規(guī)律，再總結(jié)即可.

【詳解】

解：由圖可知：

拼成第一個(gè)圖形共需要3根火柴棍，

拼成第二個(gè)圖形共需要3+2=5根火柴棍，

拼成第三個(gè)圖形共需要3+2X2=7根火柴棍，

拼成第n個(gè)圖形共需要3+2X（nT）=2n+l根火柴棍，

故答案為：2n+l.

【點(diǎn)睛】

此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出運(yùn)算規(guī)律解決問題.

26.如圖都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第一個(gè)圖形共有

210個(gè)小球.

@@@@@?

@@@0@@@@@@

（第1個(gè)圖）（第2個(gè)圖）（第3個(gè)圖）（第4個(gè)圖）

【答案】20

【分析】

幾+

根據(jù)已知圖形得出第n個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)為1+2+3+…+n=—72（^——1）L,列一元二次

2

方程求解可得.

【詳解】

解：：第1個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)1,

第2個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)3=1+2,

第3個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)6=1+2+3,

第4個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)10=1+2+3+4,

J2（幾+1）

.?.第n個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)為l+2+3+4+5+---+n=—----

2

當(dāng)共有210個(gè)小球時(shí),

n(n+1)

——^=210,

2

解得：〃=20或-21（不合題意，舍去），

.,.第20個(gè)圖形共有210個(gè)小球.

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖形的變化規(guī)律，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是得出第n個(gè)圖形中黑色三角形

的個(gè)數(shù)為1+2+3+...+n.

27.如圖，由兩個(gè)長為2,寬為1的長方形組成“7”字圖形

（1）將一個(gè)"7”字圖形按如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，記為“7”字圖形ABCDEF,其中

頂點(diǎn)A位于x軸上，頂點(diǎn)B,D位于y軸上，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則---的值為___________.

0A

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)擺放第二個(gè)“7”字圖形得頂點(diǎn)擺放第三個(gè)“7”字圖形得

頂點(diǎn)&，依此類推，…,擺放第n個(gè)“7”字圖形得頂點(diǎn)F-,…，則頂點(diǎn)F加9的坐標(biāo)為.

【答案】⑴⑵(606產(chǎn),4056

【解析】（1）VZAB0+ZDBC=90°，ZAB0+Z0AB=90°,AZDBC=ZOAB,

OBDC

VZA0B=ZBCD=90°,AAAOB^ABACD,——=——

OABC

.OB1

?."DC=1,BC=2,故答案為：—.

"OA22

(2過C作CMJ_y軸于M,過此作此N_Lx軸，過F作FN」x軸.

_____DR

根據(jù)勾股定理易證得BD=亞F喬=6,CM=OA=學(xué)，DM=OB=AN=：.c（當(dāng)~,?。?

VAF=3,MiF=BC=2,.*.AMi=AF-MiF=3-2=l,.'.△BOA^ANMi（AAS）,.\NMi=OA=^—,

5

2A/5

MNAM1

：NMi〃FNi,XX

FN1~AF，工―3'

麗

?.ANF^^,/.ONFOA+ANF+,

555555

同理,

u,867石、Bnz1x3+5R6+1￡、

5555

田（蟲i,述），即（鄉(xiāng)―6出出），

5555

F3（2,拽），即（上2小,2亞）,

5555

口八7非10百、Hn,4x3+5/-6+4匕

5555

2019x3+5/-6+2019/-nn6062/-廠

F2O19(------------------------------15,---45),即(―^―V5,40575)，

故答案為：(史整、后，40575).

【名師點(diǎn)睛】此題考查了平面圖形的有規(guī)律變化，要求學(xué)生通過觀察圖形，分析、歸納并發(fā)

現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題是解題的關(guān)鍵

28.如圖，正方形ABCBj中，AB=5AB與直線1所夾銳角為60。，延長交直線1

于點(diǎn)A,作正方形，延長C區(qū)交直線1于點(diǎn)4,作正方形482GB3，延長C2B}

交直線1于點(diǎn)4，作正方形A363c3用，…，依此規(guī)律，則線段4O2O4()21=

【答案】2(—)2020

3

【分析】

利用tan30。計(jì)算出30°角所對(duì)直角邊，乘以2得到斜邊，計(jì)算3次，找出其中的規(guī)律即可.

【詳解】

：AB與直線1所夾銳角為60。，正方形ABCB］中，AB=5

：.ZB1AAi=30°,

，耳4二tan30。二8x等二1,

???明=2=2(岑尸；

C

BCi

G

AiAy.4

?.,耳4二1,N82A4=30°,

:.B2A2=B1Atan30°昱_(tái)昱

llxv-v

?',A4=2x（行-）2T；

二線段40204⑼=2X（￥）2°2I=2（￥）2。2。,

Ji

故答案為：2（組）2°2°.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，規(guī)律思考，

熟練進(jìn)行計(jì)算，抓住指數(shù)的變化這個(gè)突破口求解是解題的關(guān)鍵.

29.如圖，菱形ABCD中，ZABC=120°,A3=l,延長CD至&,使。4=CD,以4c

為一邊，在的延長線上作菱形ACGR,連接44,得到AAOA；再延長GR至4,

使。i&=GR,以4G為一邊，在CG的延長線上作菱形4GG2,連接A4,得到

AA1R4按此規(guī)律，得到A&ozoAno&Hi，記的面積為SI，AAR4的面積為

=

§2....A^2O2O02O2O4O21的面積為,^2021,則^2021

【答案】24038.?

【分析】

由題意易得N3CD=6O°,A3=AD=CD=1,則有AAO4為等邊三角形，同理可得

AAR4…….A&o2oD2O2o4o2i都為等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)等邊三角形的面積公式可得

§=立，s,=上,……由此規(guī)律可得S“=G-22"-4,然后問題可求解.

14

【詳解】

解：?..四邊形A6CD是菱形，

AAB=AD=CD=1,AD//BC,AB//CD,

?：ZABC=120°,

/.ZBCD=60°,

ZAD^=/BCD=60°,

"?DAX=CD,

%=AD,

AAOA為等邊三角形，

同理可得的24…….A&o2oD2O2o4o21都為等邊三角形，

過點(diǎn)B作BELCD于點(diǎn)E,如圖所示：

22

同理可得：$2=-^2?=^/^，S3=A3Z)2=x4=4^/3>....；

...由此規(guī)律可得：,

2X202144038

.?.S2021=V3X2-=2.V3；

故答案為2批8.6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、等

邊三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

30.將一些相同的“O”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)“龜圖”的的個(gè)數(shù)，

則第30個(gè)“龜圖”中有個(gè)“O”.

o8oo

ooo0o

oooooo0o

o0

ooooo。n

ooo°o(