2025高考數(shù)學二輪復習：立體幾何綜合（五大考向）專項訓練【含答案】

2025高考數(shù)學考二輪專題復習-第十四講-立體幾何綜合(五大考向)-專項訓練

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計

2023?新高考□卷，

18(1)

1.高考對立體幾何綜合的考2024?新高考□卷，

查，重點是平行關系

17(1)

(1)了解空間向量的概念，2022?新高考□卷，

了解空間向量的基本定理及其20(1)

意義，掌握空間向量的正交分2023?新高考□卷，

解及其坐標表示。20(1)

垂直關系

(2)掌握空間向量的線性運2024?新高考□卷，

算及其坐標表示，掌握空間向17(1)

量的數(shù)量積及其坐標表示，能2022?新高考□卷，

點到面的距離

用向量的數(shù)量積判斷向量的共19(1)

線和垂直。2022?新高考□卷，

(3)用幾何法進行平行、垂19(2)

直關系的證明，以及能用向量2022?新高考□卷，

法證明立體幾何中有關線面位20(2)

求二面角

置關系的一些簡單定理。2023?新高考□卷，

(4)能用向量法解決異面直20(2)

線、直線與平面、平面與平面2024?新高考□卷，

的夾角問題，并能描述解決這17(2)

一類問題的程序，體會向量法2023?新高考□卷，

在研究空間角問題中的作用。18(2)

已知二面角求其他量

2024?新高考□卷，

17(2)

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷考查了線面平行關系的證明和已知二面角求長度問題?？?/p>

卷考查了線線垂直關系的證明和二面角正弦值的求解。難度適中，不過解題的證明方

法還是比較少見的，大家要注意。例如口卷是利用垂直關系的性質來考查平行，二面

角既可以用定義法也可以建系解決。預計2025年高考第（1）問還是主要考查平行與

垂直的判定與性質，第（2）問主要考查利用空間向量的相關知識解決空間角的問題。

三：試題精講

一、解答題

1.（2024新高考□卷T7）如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面/BCD,

PA=AC=2,8C=1,AB=G

P

B

⑴若ADLPB,證明：AD〃平面P3C；

（2）若ADJ_DC,且二面角A-CP-O的正弦值為叵，求AD.

2.（2024新高考□卷17）如圖，平面四邊形/BCD中，AB=8,CD=3,AD=5粗,

21

ZADC=90°,ZBA￡?=30°,點E,廠滿足=AF^-AB,將△AEF沿所對

折至!PEF,使得PC=4g.

（1）證明：EF±PD；

(2)求面PCD與面P3尸所成的二面角的正弦值.

高考真題練

一、解答題

1.(2022新高考口卷T9)如圖，直三棱柱ABC-ABC的體積為4,A^C的面積為

2^/2.

⑴求/到平面ABC的距離；

(2)設。為4c的中點，A^=AB,平面ABC,平面ABB,，求二面角A—3D—C的正

弦值.

2.(2023新高考□卷T8)如圖，在正四棱柱ABCO-ABiG。中，AB=2,44,=4.點

4，星,C2,O2分別在棱明，B4，CG,O2上，AA1=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：82c2〃4。2；

(2)點尸在棱B片上，當二面角尸-4c2-&為150。時，求B』.

3.(2022新高考□卷20)如圖，P。是三棱錐尸-ABC的高，PA=PB,AB1AC,E

是尸8的中點.

(1)證明：OE〃平面PAC；

(2)若/A8O=/CBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-AE—8的正弦值.

4.(2023新高考口卷20)如圖，三棱錐A-3CD中，DA=DB=DC,BD1,CD,

ZADB=ZADC=60,E為3c的中點.

AF

(1)證明：BC±DA；

(2)點廠滿足所=D4，求二面角。-AB-尸的正弦值.

知識點總結

一、直線的方向向量

1、直線的方向向量

如圖8-153所示，/為經過已知點A且平行于已知非零向量。的直線.對空間任意一點

O,點P在直線/上的充要條件是存在實數(shù)r,使。尸=。4+S口，其中向量a叫做直線

/的方向向量，在/上取A3=a,則式□可化為

OP^OA+tAB^OA+t(OB-OA\=(l-t)OA+tOBn

□和口都稱為空間直線的向量表達式，當f=即點P是線段他的中點時，

2

(9P=1(OA+OB),此式叫做線段AB的中點公式.

2、共面向量

如圖8-154所示，已知平面a與向量a,作OA=a,如果直線(M平行于平面a或在平

面a內，則說明向量。平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

3、共面向量定理

如果兩個向量a,b不共線，那么向量p與向量a,6共面的充要條件是存在唯一的有

序實數(shù)對(x,y),使p=xa+yb.

推論：口空間一點尸位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數(shù)對(x,y),使

AP=xAB+yAC；或對空間任意一點O,OP-OA=xAB+yAC,該式稱為空間平面

ABC的向量表達式.

□已知空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,滿足向量關系式

OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=l)的點P與點A,B,C共面；反之也成立.

二、空間向量的數(shù)量積運算

1、兩向量夾角

已知兩個非零向量b,在空間任取一點。，作。4=a,OB=b,則NAO3叫做向量

a,b的夾角，記作卜,6”通常規(guī)定046/)4萬，如果(“,?=],那么向量a,b互

相垂直，記作a_L6.

2、數(shù)量積定義

已知兩個非零向量a,b,則MWcos(a,b)叫做a,b的數(shù)量積，記作。力,即

a2=?cos(a0.零向量與任何向量的數(shù)量積為0,特別地，a-?=|?|.

3、空間向量的數(shù)量積滿足的運算律:

（A,a\'b=A（a-b\,a-b=b-a（交換律）；

a-（b+c^=a-b+a-c（分配律）.

三、空間向量的坐標運算及應用

1、設〃=（〃”出，％），”=（仇也也），貝！Ja+b=（%+%%+"2M3+4）；

a-b=-bx,a2-b2,a3-b3^；

Aa=（/14,4a2，4a3）;

a-b=+a2b2+a3b3；

a//Z7僅W0）=>q=肪i,a2=肪2，%=

Q_Lbnaxbx+a2b2+a3b3=0.

2、設4（%,%，4）,B（x2,y2,z2）,貝（J43=。5-04=（%2-%,%-必必-zj.

這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標

減起點的坐標.

3、兩個向量的夾角及兩點間的距離公式.

□已知a=（%,4，/），”=3也也），貝=3I；++%?

a-b=01bl+a2b2+a3b3；

cnJnh\=_4a+a2b2士。3b3.

，+42+/2J.2+打2+環(huán)

□已知A（%,yi，zJ,B（x2,y2,z2）,則網(wǎng)=—J+（M+（4-z2）?，

或者其中d(AB)表示A與8兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公

式.

4、向量a在向量6上的投影為Hcos(a,6)=p.

四、法向量的求解與簡單應用

1、平面的法向量：

如果表示向量”的有向線段所在直線垂直于平面a,則稱這個向量垂直于平面a,記作

nla,如果〃_La,那么向量〃叫做平面a的法向量.

幾點注意：

□法向量一定是非零向量；□一個平面的所有法向量都互相平行；□向量〃是平面的法

向量，向量加是與平面平行或在平面內，則有機,〃=().

第一步：寫出平面內兩個不平行的向a=(%，%，zj,6=(x2,y2,z2)；

““一…--r-d心目/、「n-a=0(xx.+yy+zz=0

弟一步：那么平面法向重幾=(%,yfz),滿足1=>\.

nb=0［書+理+ZZ2=0

2、判定直線、平面間的位置關系

□直線與直線的位置關系：不重合的兩條直線〃，b的方向向量分別為〃，b.

若a□b,即a=4b,則［〃Z?；

a.Lb,即“?/?=(),貝!JQ_L/?.

□直線與平面的位置關系：直線/的方向向量為“，平面a的法向量為〃，且

若〃□〃，即則LLa；

若即〃?〃=(),則々〃二.

3、平面與平面的位置關系

平面a的法向量為4,平面△的法向量為為.

若"[□%，即用=彳〃2，則a〃￡;若々口%，即%?%=（）,則

五、空間角公式

1、異面直線所成角公式：設。，匕分別為異面直線乙，4上的方向向量，。為異面直

線所成角的大小,則cos6=cos（a,?=F3r.

1'71a\\b

2、線面角公式：設/為平面a的斜線，〃為/的方向向量，〃為平面a的法向量，6為

a?n

/與a所成角的大小，貝！Isin6=辰（a,"=

聞〃

3、二面角公式:

設4，的分別為平面夕的法向量，二面角的大小為8,則，=或乃巧）

（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中|cose\=圖].

々〃2

六、空間中的距離

求解空間中的距離

1、異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的

正射影性質直接計算.

如圖，設兩條異面直線。，。的公垂線的方向向量為“，這時分別在。，b上任取A,B

兩點，則向量在力上的正射影長就是兩條異面直線°,匕的距離.則

可即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量

I刈I刈

和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.

8

2、點到平面的距離

A為平面a外一點（如圖），〃為平面。的法向量，過A作平面a的斜線AB及垂線

AH.

|AB-n|_|AB-n|

\AH\^AB\^m0=\AB\^\cos<AB,n>\=\AB\

\n\

名校模擬練

一、解答題

1.（2024?江西九江?三模）如圖，已知四棱錐P-A3a）的底面ABCD為直角梯形,

jr

AB!1CD,AB±BC,^BAD=-,AB=AD,PA。為等邊三角形.

(1)證明：PB±AD；

(2)若二面角P-AD-B的大小為彳，求二面角A-PB-C的正弦值.

2.(2024?安徽蕪湖?三模)如圖，三棱錐ABCD中，平面ABD，平面ACD,平面

平面BCD,平面ACD_L平面BCD,

(1)求證：AD,BD,CD兩兩垂直;

(2)若。4=1,。3=2,￡^=3,2為42中點，。為AC中點，求BQ與平面PAC所成角的正

弦值.

3.(2024?四川成都?三模)如圖，三棱柱ABC-A4G所有棱長都為2,ZB,BC=60%

。為AC與交點.

(1)證明：平面3CD，平面AB&；

⑵若郎一手，求二面角4—的余弦值.

7T

4.(2024?江西南昌?三模)如圖1,四邊形A3CD為菱形，ZABC=-|,￡,歹分別為

AD,DC的中點，如圖2.將沿AC向上折疊，使得平面ABC/平面ACFE,將

qEF沿EF向上折疊.使得平面平面ACFE,連接

(1)求證：A,B,D,E四點共面:

(2)求平面血(8與平面ED3C所成角的余弦值.

5.（2024?北京順義?三模）如圖在幾何體/3CDPE中，底面45co為菱形,

NABC=60°,AE//DF,AEYAD,AB=AE=2DF=4.

(1)判斷/。是否平行于平面CER并證明;

(2)若面￡46_1面48儀)；求：

(口)平面ABCD與平面CE廠所成角的大小;

（□：）求點A到平面CEF的距離.

6.（2024?安徽合肥?三模）如圖一：等腰直角」中且AC=2,分別沿三角

形三邊向外作等腰梯形ABB^BCC^CAA.C.使得

7T

AA2=BB2=CC2=1,ZCAA,=ZBAA,=-,沿三邊AB,BC,C4折疊，使得

445,凡員工2c3，重合于A，Bi，C1,如圖二

（1）求證：M

（2）求直線CC,與平面所成角9的正弦值.

7.（2024?河北秦皇島?三模）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，CA=CB,四邊形

為菱形，/ABBi=AQl^C.

(1)證明：BC=BB-

⑵已知平面ABC1平面A網(wǎng)A，求二面角B-CG-A的正弦值.

8.(2024?河南?三模)如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，。是棱3C上一點(點。與

點C不重合)，且AT＞，DC,過4作平面BCC4的垂線/.

(1)證明：///AD；

(2)若AC=CG=2,當三棱錐C「AC。的體積最大時，求/C與平面AOG所成角的正

弦值.

9.(2024?江蘇宿遷?三模)如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個圓柱組合而

成，BG為半個圓柱上底面的直徑，ZACB=90°,AC=3C=2,點E,尸分別為

AC,AB的中點，點。為BG的中點.

(1)證明：平面3cD//平面GEF；

(2)若尸是線段C/上一個動點，當C￡=2時，求直線從尸與平面BCD所成角的正弦值

的最大值.

10.（2024?廣東汕頭?三模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正

方形，P4,平面ABC。，上4=2,M是BC中點，N是PD中點.

（1）證明：直線肱V〃平面X4B；

⑵若PG=3GC，求平面PC。與平面GMN的夾角的余弦值.

11.（2024?浙江紹興?三模）如圖，在直三棱柱ABC-A瓦G中，AB1BC,

AB=BC=BBy=6,D、E分別為AC、8片的中點，設平面4?！敖焕?C于點尸.

⑴求BF;

（2）求二面角的平面角的正切值.

12.（2024?湖南長沙三模）如圖，在四棱臺A8C。-ABCQ中，AD//BC,

AB_L￡)￡)i，C￡>=2,A￡)=3,5C=4,ZADB=30.

⑴證明：平面ADD]A，平面ABC。；

⑵若四棱臺ABC。-的體積為筆1,BG=2,求平面ABC。與平面

CDRG夾角的余弦值.

13.（2024?山東煙臺?三模）如圖，在直三棱柱ABC-A與G中，AB=BC=BBt=2,

M,N分別為B耳，AC中點，且

⑴證明：CXM1\N.

（2）若。為棱4反上的動點，當。N與平面ABC所成角最大時，求二面角A-DM-N的

余弦值.

14.（2024?四川成都?三模）中國是風箏的故鄉(xiāng)，南方稱“鶴”，北方稱“鶯如圖，某種

風箏的骨架模型是四棱錐尸-ABCD,其中AB=>1D=AP=2,CB=CD=CP=4,AC

交3D于點0.

(1)求證：平面PACJ_平面PB￡＞；

⑵若AC=2石，且二面角P-AC-3為求直線尸8與平面PAO所成角的正弦值.

15.(2024?山東青島?三模)如圖所示，多面體ABCDEF,底面ABC。是正方形，點。

為底面的中心，點"為防的中點，側面AD跖與3CEF是全等的等腰梯形，EF=4,

其余棱長均為2.

(1)證明:MO，平面ABCD；

⑵若點尸在棱CE上，直線3尸與平面所成角的正弦值為出，求砂.

16.(2024?新疆喀什三模)如圖，在正四棱臺ABCD-ABGR中，ZB,BA=60°,

AB=2AlBl=4,E是CD的中點.

(1)求證：直線AC,平面出汨4；

(2)求直線ED］與平面ABB^所成角的正弦值

17.(2024淅江?三模)如圖，在三棱柱ABC-ABG中，底面ABC是邊長為2的正三角

TT

形，平面ACG4,底面ABC,ZAAC=-,M=2,E,尸分別是AC,4a的中點，

產是線段所上的動點.

⑴當P是線段跖的中點時，求點尸到平面的距離；

(2)當平面PCCt與平面BB?C的夾角的余弦值為嚏1時，求EP.

18.(2024?湖南邵陽?三模)如圖所示，四棱錐尸-9CD中，PAL平面ABCD,

ABCD,ABLAD,AP=AB=2AD=2CD,E為棱PC上的動點.

P

(1)求證：BC1AE；

⑵若PE=2EC,求直線DE與平面PBC所成角的正弦值.

19.(2024?江西新余?二模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是直角梯形,

ABCD,ZABC=90°,S.PA=PD=AD,PC=PB.

(1)若。為的中點，證明：平面尸OC，平面ABC。；

⑵若/CQ4=60。，AB=^CD=l,線段尸D上的點〃滿足DM=,且平面PCS與

平面ACM夾角的余弦值為叵，求實數(shù)2的值.

7

20.(2024?貴州六盤水?三模)已知四棱臺A3CD-ABCQ的上、下底面分別是邊長為

2和4的正方形，平面ADR4_L平面ABCD,M=3,DD、=岳,

cosZA^O=-—，點p為。Q的中點，點Q在棱8C上，且BQ=3QC.

⑴證明：尸。〃平面A叫a；

(2)求二面角。-4尸-A的正弦值.

21.(2024?新疆?三模)已知底面ABCD是平行四邊形，24,平面ABC。，PA//DQ,

PA=3DQ=3,AD=2AB=2,S.ZABC=60°.

p

Q

D

B

⑴求證：平面尸AC_L平面CQQ；

(2)線段PC上是否存在點M，使得直線AM與平面PCQ所成角的正弦值是孚.若存

在，求出黑的值；若不存在，說明理由.

22.(2024?浙江紹興?三模)如圖，在三棱錐A-BCD中，ABC是正三角形，平面

45cl平面BCD,點E是BC的中點，AO=2OE.

⑴求證：。為三棱錐4-BCD外接球的球心；

(2)求直線AO與平面BCD所成角的正弦值；

(3)若/BCD=60。，BG=ABD,求平面AEG與平面ACD所成銳二面角的余弦值最大時

4的值

參考答案與詳細解析

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計

2023?新高考□卷，

18(1)

1.高考對立體幾何綜合的考2024?新高考□卷，

查，重點是平行關系

17(1)

(1)了解空間向量的概念，2022?新高考□卷，

了解空間向量的基本定理及其20(1)

意義，掌握空間向量的正交分2023?新高考□卷，

解及其坐標表示。20(1)

垂直關系

(2)掌握空間向量的線性運2024?新高考□卷，

算及其坐標表示，掌握空間向17(1)

量的數(shù)量積及其坐標表示，能2022?新高考□卷，

點到面的距離

用向量的數(shù)量積判斷向量的共19(1)

線和垂直。2022?新高考□卷，

(3)用幾何法進行平行、垂19(2)

直關系的證明，以及能用向量2022?新高考□卷，

法證明立體幾何中有關線面位20(2)

求二面角

置關系的一些簡單定理。2023?新高考□卷，

(4)能用向量法解決異面直20(2)

線、直線與平面、平面與平面2024?新高考□卷，

的夾角問題，并能描述解決這17(2)

一類問題的程序，體會向量法2023?新高考□卷，

在研究空間角問題中的作用。18(2)

已知二面角求其他量

2024?新高考□卷，

17(2)

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷考查了線面平行關系的證明和已知二面角求長度問題。口

卷考查了線線垂直關系的證明和二面角正弦值的求解。難度適中，不過解題的證明方

法還是比較少見的，大家要注意。例如口卷是利用垂直關系的性質來考查平行，二面

角既可以用定義法也可以建系解決。預計2025年高考第（1）問還是主要考查平行與

垂直的判定與性質，第（2）問主要考查利用空間向量的相關知識解決空間角的問題。

三：試題精講

一、解答題

1.（2024新高考□卷-17）如圖，四棱錐尸-ABC。中，底面48cD,

PA=AC=2,BC=1,AB=G

P

（1）若ADLPB,證明：AD〃平面P3C；

（2）若ADJ.DC,且二面角A-CP-O的正弦值為叵，求AD.

【答案】⑴證明見解析

(2)73

【分析】（1）先證出平面的，即可得AD上由勾股定理逆定理可得

BCLAB,從而AD//BC,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；

（2）過點D作DE/AC于E,再過點E作歷，CP于尸，連接OR,根據(jù)三垂線法可

知，ZDFE即為二面角A-CP-。的平面角，即可求得tan/DFE=",再分別用AD

的長度表示出所，即可解方程求出AD.

【詳解】(1)(1)因為PA-L平面A3CD,而")u平面ABCZ),所以叢J_AD,

又AIUPB,PBPA=P,PB,PAu平面PAB,所以AD_L平面卓B,

而ABu平面RLB,所以AD工

因為3c?+AB?=AC。所以3C_LAS,根據(jù)平面知識可知的>〃8C,

又A￡>u平面P3C,3Cu平面BBC,所以AD〃平面BBC.

(2)如圖所示，過點D作。E1AC于E,再過點E作跖，CP于尸，連接。尸，

因為尸A_L平面ABCD,所以平面R1C_L平面A3CD,而平面PAC平面ABCD=AC,

所以DEI平面PAC,又EFLCP,所以CPL平面DEF,

根據(jù)二面角的定義可知，ND尸E即為二面角A-CP-D的平面角，

即sin/OFE=匹，BPtanZDF￡=76.

7

因為AO_LDC,設A￡)=x,則CD=，4一0，由等面積法可得，DE=X^~X,

2

又CE=J(4-n」2(二，)=丁,而_及。為等腰直角三角形，所以后尸=笈，

XA/4-X2

故tan/DFE——J—=^/6,解得x=,即AD=^3.

4-x

26

2.(2024新高考□卷T7)如圖，平面四邊形Z3C。中，AB=8,CD=3,4。=56,

21

ZADC=90°,NBAD=30°,點、E,歹滿足AE='A。，AF=-AB,將沿EF對

折至!PEF,使得PC=45/3.

P

(1)證明：EF±PD；

(2)求面PCD與面尸AF所成的二面角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

力8期

65

【分析】(1)由題意，根據(jù)余弦定理求得跖=2,利用勾股定理的逆定理可證得

EF1AD,則即CE,E尸，OE,結合線面垂直的判定定理與性質即可證明；

(2)由(1),根據(jù)線面垂直的判定定理與性質可證明尸EJ.ED,建立如圖空間直角坐

標系￡-型，利用空間向量法求解面面角即可.

【詳解】(1)由AB=8,AD=5>f3,AE=^AD,AF=^AB,

得AE=2"AF=4,又/BAD=30°,在△鉆產中，

由余弦定理得EF=-JAE2+AF2-2AE-AFcosABAD=^16+12-2-4-2^-^=2,

所以AE?+跖？=A尸2,則AE_LE廣，即斯工AD,

所以EF_LPE,EF_LDE,又PEDE=E,PE、DEu平面PDE,

所以E尸上平面尸DE,又PDu平面BDE,

故EFJ.PD；

(2)連接CE,ZADC=90\ED=3y/3,CD=3,貝!|CE2=ED°+CD2=36,

在，.PEC中，PC=4?PE=2&EC=6,得EC。+PE?=PC?,

所以PE_LEC,由(1)知PE_LEF,又ECEF=E,EC、EFu平面ABCD,

所以PEJL平面ABC。，又EDu平面ABC。，

所以PE工ED,則PE,E尸,EQ兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系E-到Z,

則￡(0,0,0),尸(0,0,2&),0(0,3上,0),C(3,3點0),尸(2,0,0),A(0-2^3,0),

由I是AB的中點,得3(4,26,0),

所以PC=(3,3+「2上\PD=(0,3瓜-2?,PB=(4,2君,-2右),PF=(2,0,-2占)，

設平面PCD和平面PBF的一個法向量分別為〃=(占,%,4),m=(務,為，Z2)，

叫”.尸。=3尤]+3石％-2A^Z]=0m-PB=4x2+1^3y2-1>j3z2=0

n-PD=3^3-20Z]=0m-PF=2x2-2>j3z2=0

令>1=2,%=君,得玉=°，4=3,%=-1/2=1,

所以“=(0,2,3),機=1),

所以k°s根，司=揣=尋后=普，

設平面PCD和平面PBF所成角為。，貝！Isin夕=Vl-cos20=遮，

65

即平面PCD和平面F5廠所成角的正弦值為運.

65

高考真題練

一、解答題

1.（2022新高考口卷T9）如圖，直三棱柱ABC-A與G的體積為4,的面積為

2A/2.

⑴求/到平面ABC的距離;

（2）設。為AC的中點，AAi=AB,平面ABC，平面ABBiA，求二面角A—8￡>—C的正

弦值.

【答案】⑴④

⑶/

2

【分析】（1）由等體積法運算即可得解；

（2）由面面垂直的性質及判定可得平面AB瓦A,建立空間直角坐標系，利用空

間向量法即可得解.

【詳解】（1）在直三棱柱ABC-A4C中，設點A到平面ABC的距離為h,

1nBiiA

=

則匕ARC—SABC?h=---h=V=—S,A,A=—VDABr=—,

A-33A一A6BCC3AB6Cc13ACv—A]4。]3

解得h=母,

所以點A到平面ABC的距離為亞；

(2)取的中點E,連接AE,如圖，因為所以然,片巴

又平面A.BC1平面ABB^,平面A.BCC平面ABB^=\B,

且AEu平面AB4A，所以平面ABC,

在直三棱柱ABC-A與G中，BBJ平面ABC,

由BCu平面ABC,3Cu平面ABC可得AE_L8C,BB[±BC,

又AE,BB,u平面ABB^且相交，所以BC」平面ABB^,

所以BC,848與兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖,

由（1）得AE=6,所以AA=AB=2,AB=2血,所以3c=2,

則4（0,2,0）,4（0,2,2）,3（0,0,0）,C（2,0,0）,所以4C的中點￡＞（1,1,1）,

則=（1,L1）,SA=（0,2,0）,5C=（2,0,0）,

m?BD=x+y+z=0

設平面ABD的一個法向量m=(x,y,z),則

m-BA=2y=0

可取加=(1,0,—1),

n?BD=a+b+c=0

設平面&X?的一個法向量〃=(〃,/??,貝/

n-BC=2a=0

可取〃=(0/「1)，

/\m-n11

則儂佃力=麗=萬*=5,

所以二面角m-c的正弦值為'出一=冬

2.(2023新高考□卷T8)如圖，在正四棱柱ABC。-431Gq中，AB=2,A4,=4.點

4，打＜2,2分別在棱A^KBrCC],。。]上，AA,=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴證明：B2C2//A2D2.

⑵點尸在棱B片上，當二面角尸-為150。時，求息P.

【答案】⑴證明見解析；

(2)1

【分析】(1)建立空間直角坐標系，利用向量坐標相等證明；

(2)設「(0,2,2)(04X44),利用向量法求二面角，建立方程求出入即可得解.

【詳解】(1)以C為坐標原點，C2C5C4所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

如圖，

則C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),4(2,2,1),

:.B2c2=(0-2,1),aR=(0,-2,l),

又BO42不在同一條直線上，

B2C2//A,￡)2.

(2)設尸(0,2,4)(0van4),

則AC2=(-2,-2,2),PQ=(0,-2,3-A),￡>2C2=(-2,0,l),

設平面PAG的法向量〃=(尤,y,z),

叫n?A^C2=—2x-2y+2z=0

nePC2——2y+(3—/l)z=0

令z=2,^y=3—A,x=A—l,

n—(X—1,3—4,2),

設平面4c2。2的法向量m=(a,b,c),

m?AC=-2a-2b+2c=0

則?，

m-D2c2=-2a+c=0

令a=l9得b=l,c=2,

m=(1,1,2),

I,xin-m￡R

cos(n,m)=—n—=「/------=Icosl50°|=—

1Z|

、7674+(2-l)2+(3-A)2112

化簡可得，紀-42+3=0,

解得4=1或4=3,

...尸(0,2,1)或尸(0,2,3),

:.B2P=1,

3.(2022新高考□卷20)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA=PB,ABJ.AC,E

是P8的中點.

(1)證明：OE〃平面PAC；

(2)若NASO=/CBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—AE-3的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

(2書

【分析】（1）連接3。并延長交AC于點O,連接。4、PD,根據(jù)三角形全等得到

OA=OB,再根據(jù)直角三角形的性質得到AO=DO,即可得到。為的的中點從而得到

OE//PD,即可得證；

（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對值，再根

據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系計算可得.

【詳解】（1）證明：連接30并延長交AC于點O,連接。4、PD,

因為P。是三棱錐P-ASC的高，所以「平面ABC,AO,8Ou平面ABC,

所以PO_LAO、POLBO,

又PA=PB,所以APOA合APOB,即。4=03,所以=

又ABIAC,BPABAC=90°,所以Nft4B+N（MD=90。，ZOBA+ZODA^90°,

所以=

所以AO=DO,即40=00=03,所以。為3D的中點，又E為尸8的中點，所以

OE//PD,

又OEZ平面PAC,尸￡>u平面PAC,

所以0E//平面PAC

(2)解：過點A作上//OP,如圖建立空間直角坐標系,

因為PO=3，AP=5,所以QA=JAP?—尸。2=4,

XZOBA=ZOBC=30°,所以3D=2cM=8,貝!]AD=4,AB=4也,

所以AC=12,所以O（2后2,0）,B（473,0,0）,網(wǎng)2M2,3）,C（0,12,0）,

所以石[3后1,||,

則AE=（3K,1,0,AB=（4A/3,0,0）,AC=（0,12,0）,

-3

/、n-AE=36x+y+—z=0

設平面型的法向量為〃=?y,z）,貝！|2令z=2,則

"?A5=4瓜=0

產一3,x=0,所以〃=（0,-3,2）；

-3

、r一一一、—、1/、irm-AE=3yJ3a+b+—c=0

設平面AEC的法向量為根=（〃也c）,貝,2,

m-AC=12b=0

令a=6，貝！1。=—6,b=09所以機=（6,0,-6）；

n-m_-124百

所以cos(2機

InllmlA/13XA/39IT-

設二面角C-AE-3的大小為e,貝！J|cosM=|cos^n,m

4.(2023新高考口卷20)如圖，三棱錐中，DA=DB=DC,BDVCD,

ZADB=ZADC=60,E為3c的中點.

(1)證明：BCLDA.

(2)點尸滿足所=D4，求二面角O-AB-尸的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

(2卓

【分析】(1)根據(jù)題意易證平面ADE,從而證得3CLZM；

(2)由題可證短，平面8。，所以以點E為原點，￡。,￡民以所在直線分別為％M2

軸，建立空間直角坐標系，再求出平面海，ABB的一個法向量，根據(jù)二面角的向量公

式以及同角三角函數(shù)關系即可解出.

【詳解】(1)連接因為E為BC中點，DB=DC,所以口，

因為DA=DB=DC,ZADB=ZADC=60,所以一ACD與△ABD均為等邊三角形，

AC^AB,從而AE_L8CC],由口口，AEDE=E,AE,u平面ADE,

所以，平面ADE,而ADu平面ADE,所以BC_LD4.

(2)不妨設DA=￡?=￡)C=2,BDA.CD,BC=272,DE=AE=j2.

:.AE2+DE2=A=AD2,:.AE±DE,又AE±BC,DEBC=E,DE,BCu平面3co

.?.AE_L平面BCD.

以點E為原點，￡。,血,陰所在直線分別為工，％2軸，建立空間直角坐標系，如圖所

示:

設。(也0,0),A(0,0,揚,8(0,72,0),￡(0,0,0),

設平面DAB與平面AB尸的一個法向量分別為4=&,%*］）,%=（工2，%/2），

二面角。-鉆-/平面角為。，而AB=（。，"-0）,

因為EP=ZM=卜&,0,a）,所以川-夜,0,0）,即有A/H-垃,0,0卜

i+A/^Z]=0

取玉=1,所以4=（1」,1）;

K--\Z2zj=0

\y/2y2-42z2=0

取為=1,所以巧=（0」,1）,

\^—y/2,X2=0

所以，"=|二心邛，從而si“=7f邛.

所以二面角。-AB-歹的正弦值為4.

知識點總結

一、直線的方向向量

1、直線的方向向量

如圖8-153所示，/為經過已知點A且平行于已知非零向量。的直線.對空間任意一點

。，點尸在直線/上的充要條件是存在實數(shù)八使OP=Q4+〃口，其中向量。叫做直線

/的方向向量，在/上取AB=a,則式□可化為

0P=0A+tAB^0A+t（0B-0A）^（1-t}0A+t0BU

□和□都稱為空間直線的向量表達式，當，=工，即點尸是線段4?的中點時，

2

OP=1（OA+OB）,此式叫做線段AB的中點公式.

2、共面向量

如圖8-154所示，已知平面a與向量a,作0A=a,如果直線平行于平面a或在平

面a內，則說明向量。平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

3、共面向量定理

如果兩個向量a,b不共線，那么向量p與向量a,6共面的充要條件是存在唯一的有

序實數(shù)對（羽,），使°=苫4+*.

推論：□空間一點尸位于平面內的充要條件是存在有序實數(shù)對（x,y）,使

AP=xAB+yAC■,或對空間任意一點O,OP-OA=xAB+yAC,該式稱為空間平面

ABC的向量表達式.

□已知空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,滿足向量關系式

OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=l）的點P與點A,B,C共面；反之也成立.

二、空間向量的數(shù)量積運算

1、兩向量夾角

已知兩個非零向量”，b,在空間任取一點O,作Q4="，OB=b,則NAOB叫做向量

a,b的夾角，記作,力），通常規(guī)定0〈卜,?<?，如果（a,》”],那么向量a,6互

相垂直，記作〃，心

2、數(shù)量積定義

已知兩個非零向量〃，b,則WWCOS（Q,Z?）叫做a,b的數(shù)量積，記作〃?6，即

a2=WWcos（a,9.零向量與任何向量的數(shù)量積為0,特別地，〃?〃=忖.

3、空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：

6）,a-b=b-a（交換律）；

a-^b+c\=a-b+a-c（分配律）.

三、空間向量的坐標運算及應用

1、設a=（4，〃2,。3），匕=（仇也也），貝（Ja+匕=（4+白,%+人2，。3+4）；

CL-b=（%-Z?j,a?一打，〃3-4）；

,Za2,4a3）；

a-b=%瓦+a2b2+a3b3；

=g,%=Ab2，％=勸3；

Q_Lbn〃占+a2b2+a3b3=0.

2、設4（占,乂，4）,B（x2,y2,z2）,則4避=0月-OA=（3-省,當一一zj.

這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標

減起點的坐標.

3、兩個向量的夾角及兩點間的距離公式.

□已知〃=(%,。2，。3)，6=(4,4也)，則

1+%2+a2；

a-b=01bl+a2b2+a3b3；

MZ

□已知A(%，，J,B(x2,y2,z2),貝”AB卜｛(占一為1—％J+(4-z2y,

或者〃(A3)=|AB].其中4(48)表示A與3兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公

式.

4、向量a在向量Z?上的投影為141cos.

四、法向量的求解與簡單應用

1、平面的法向量：

如果表示向量〃的有向線段所在直線垂直于平面。，則稱這個向量垂直于平面a,記作

nla,如果〃_La,那么向量〃叫做平面。的法向量.

幾點注意：

□法向量一定是非零向量；□一個平面的所有法向量都互相平行；□向量〃是平面的法

向量，向量機是與平面平行或在平面內，則有加?〃=().

第一步：寫出平面內兩個不平行的向”(七,zj,Z?=(x2,y2,z2)；

n-a=0孫+孫+ZZ]=0

第二步：那么平面法向量〃=(x,y,z),滿足v

nb=0xx2+yy2+zz2=0

2、判定直線、平面間的位置關系

口直線與直線的位置關