2025高考數(shù)學二輪復習：隨機變量及其分布 專項訓練【含答案】

微專題32隨機變量及其分布

［考情分析］離散型隨機變量的分布列、均值、方差和概率的計算問題常常結合在一起進行

考查，重點考查超幾何分布、二項分布及正態(tài)分布，以解答題為主，中等難度.

■思維導圖

隨機變量的分布列、均值、方差［

分布列的性質一一求隨機變量的分布列

一求隨機變量的均值、方差

兩點分布一必備常見

—分布列的性質的應用

二項分布一知識題型

一-利用正態(tài)曲線的對稱性求概率

超幾何分布一隨

正態(tài)分布一機一正態(tài)分布中利用3a原則求正態(tài)區(qū)間的概率

變

量

及

^Y=aX+b,則磯Y)=aE(X)+b,其

D(Y)=a2D(X)分

布

求離散型隨機變量分布列時忽視所有事件

一

二項分布乂~55卬)，E(X)=nP,D(X)=np(l-p)

必備常見概率和為1

超幾何分布E(XT解法誤區(qū)

」混淆超幾何分布和二項分布的概念

求正態(tài)分布的分布區(qū)間的概率時常用對稱

性求解

考點一分布列的性質及應用

【典例1】(1)(多選)設oy<i,已知隨機變量E的分布列如表所示，則下列結論正確的是()

012

P2p—p2P11—2〃

A.P《=2)的值最大

B.口。=0)>尸(<=1)

C.隨著p的增大而減小

D.當°=；時，砥譚

答案BCD

解析當p=3時，尸《=2)=0,P《=l)=(,尸(。=1)>尸￡=2),故A錯誤;

V0<p<l,

0)一尸(。=1)=2。-p2_p2=2p-2p2>0,

...尸《=o)>p(e=1),故B正確；

：￡?=加+2—4“0g<l,

隨著p的增大而減小，故C正確;

當P=：時，

3

012

511

P

993

5117

E?=0X：+lX：+2X：=j,

D?=(°—9)2X，+[1—9)2義1+[2—12義1=魚，故D正確.

99381

(2)投資甲、乙兩種股票，每股收益(單位：元)分別如下表：

投資甲種股票收益分布列投資乙種股票收益分布列

收益-102收益012

概率0.10.30.6概率0.20.50.3

則下列說法正確的是()

A.投資甲種股票收益的均值大

B.投資乙種股票收益的均值大

C.投資甲種股票的風險更高

D.投資乙種股票的風險更高

答案C

解析投資甲種股票收益的均值E(X)=-lX0.1+0X0.3+2X0.6=Ll,

方差。⑶=(-l—l.l)2X0.1+(0-l.l)2X0.3+(2-1.1)2X0.6=1.29,

投資乙種股票收益的均值￡(y)=0X0.2+lX0.5+2X0.3=l.l,

方差。(y)=(0—l.l)2X0.2+(l—l.l)2X0.5+(2—1.1)2X0.3=0.49,

所以￡(X)=￡(7),D{X}>D(Y),則投資甲乙兩種股票收益的均值相等，投資甲種股票比投資乙

種股票的風險高.

跟蹤訓練1(2023?桂林模擬)設0<a<l.若隨機變量X的分布列是

X0a1

111

P

333

則當。在(0,1)內(nèi)增大時，()

A.￡(&不變

B.￡(&減小

C.D(X)先增大后減小

D.O(X)先減小后增大

答案D

解析￡(A)=OX-+aX-+lX-=^：tl,

3333

增大;

pz+f|[Q+1]fQ+1]

。(㈤=13J2X-+V3J2X-+13J2X-=^[(?+1)2+(2^z-1)2+(?-2)2]

33327

=2(層—a+l尸巾-4+1,

996

：OVa<l,先減小后增大.

考點二超幾何分布與二項分布

【典例2】(2023?泰安模擬)某公司為活躍氣氛提升士氣，年終以通過抓閹兌獎的方式對所有員

工進行獎勵.規(guī)定：每位員工從一個裝有4個標有面值的閹的袋中一次性隨機摸出2個閹，

閹上所標的面值之和為該員工獲得的獎勵金額.

⑴若袋中所裝的4個閹中有1個所標的面值為800元，其余3個均為200元，求

①員工所獲得的獎勵額為1000元的概率；

②員工所獲得的獎勵額的分布列及均值；

(2)公司對獎勵額的預算是人均1000元，并規(guī)定袋中的4個閹只能由標有面值200元和800

元的兩種閹或標有面值400元和600元的兩種閹組成.為了使員工得到的獎勵總額盡可能符

合公司的預算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個閹的面值給出一個合適

的設計，并說明理由.

解(1)設員工所獲得的獎勵額為X,

G1

①尸(X=l000)焉=；,

所以員工所獲得的獎勵額為1000元的概率為1

2

②X所有可能的取值為400,1000,

產(chǎn)(X=400)*=J尸(X=1000)=J

所以X的分布列為

X4001000

11

P

22

所以員工所獲得的獎勵額的均值E(X)=400xg+l000xg=700(元).

(2)根據(jù)公司預算，每位員工的平均獎勵額為1000元，

所以先尋找均值為1000元的可能方案，

對于面值由800元和200元組成的情況，

如果選擇(200,200,200,800)的方案，因為1000元是面值之和的最大值，

所以均值不可能為1000元；

如果選擇(800,800,800,200)的方案，

因為1000元是面值之和的最小值，所以均值不可能為1000元；

因此可能的方案是(800,800,200,200),記為方案1.

對于面值600元和400元的情況，

同理排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案，

所以可能的方案是(400,400,600,600),記為方案2.

對于方案1,設員工所獲得的獎勵額為X1,X可取400,1000,1600,

產(chǎn)(為=400尸箕=?

C46

尸(Xi=1000)=皆CJCJ=$2,

產(chǎn)(為=1600)=胃C4=g1

C46

101

所以X1的均值為￡*(Jri)=400X-+l000X-+1600XA=1000,

636

i71

方差D(Xi)=(400—1000)2X-+(l000-1000)2X-+(l600-1000)2X-=120000.

636

對于方案2,設員工所獲得的獎勵額為生，法可取800/000/200,

C?1

產(chǎn)(蒞=800)=胃=3

o

P(拓=1000)=^^=-,

C*3

產(chǎn)(蒞=1200)=,=?

C46

171

所以蒞的均值為￡,(A)=800X-+l000X-+1200X-=l000,

2636

方差。(E)=1X(800—1000)2+-X(l000-1000)2+-X(l200—1000)2=也曬.

6363

由于兩種方案的獎勵額都符合預算要求，但方案2的方差比方案1小，為使每位員工所獲得

的獎勵額均衡，應選擇方案2.

跟蹤訓練2(2023?廣州模擬)某工廠車間有6臺相同型號的機器，各臺機器工作相互獨立，

工作時發(fā)生故障的概率都是L且一臺機器的故障能由一個維修工處理.已知此廠共有甲、乙、

4

丙3名維修工，現(xiàn)有兩種配備方案，方案一：由甲、乙、丙三人維護，每人負責2臺機器；

方案二：由甲、乙兩人共同維護6臺機器.

(1)對于方案一，設X為甲維護的機器同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，求X的分布列與均值E(X)；

(2)在兩種方案下，分別計算機器發(fā)生故障時不能得到及時維修的概率，并以此為依據(jù)來判斷,

哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高？

解(1)由題意可知，x-5f2,

則p(x=o)=O』9,

16

1QQ

P(X=l)=CiXAX-=-,

448

尸(X=2)=02=」-,

所以，隨機變量X的分布列為

X012

931

P

16816

所以即Q=2X冷.

(2)對于方案一，“機器發(fā)生故障時不能及時維修”等價于“甲、乙、丙三人中，至少有一人

負責的2臺機器同時發(fā)生故障”.

其概率為Pi=l—[l—P(X=2)]3=l

對于方案二，機器發(fā)生故障時不能及時維修的概率為

尸2=1-—c&X1義—CVXDX[J=l-36+6X35+15X34=J47_,

440962048

所以即方案二能讓故障機器更大概率得到及時維修，使得工廠的生產(chǎn)效率更高.

考點三正態(tài)分布

【典例3](1)(2023?安慶市示范高中聯(lián)考)某中學高一⑵班物理課外興趣小組在最近一次課外

探究學習活動中，測量某種物體的質量X服從正態(tài)分布N(10,0.04),則下列判斷錯誤的是()

A.P(A>10)=0.5

B.尸(E>10.2)=P(督9.8)

C.尸?9.6)<尸*10.2)

D.P(9.4*10.2)=P(9.8*10.6)

答案C

解析因為正態(tài)分布N(10,0.04)圖形關于X=10對稱，

所以P(A>10)=P(^<10)=0.5,P?10.2)=尸(督9.8),

P(9.4<A<10.2)=JP(9.8<^<10.6),故A,B,D正確；

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得P(X>9.6)=尸(XD0.4)>尸(XU0.2),故C錯誤.

(2)(2023?聊城模擬)某市統(tǒng)計高中生身體素質的狀況，規(guī)定身體素質指標值不小于60就認為

身體素質合格.現(xiàn)從全市隨機抽取100名高中生的身體素質指標值x/=l,2,3,…，100),經(jīng)

計算錯誤!戶7200,錯誤!?=100X(722+36).若該市高中生的身體素質指標值服從正態(tài)分布

N也,〃)，則估計該市高中生身體素質的合格率為.(用百分數(shù)作答，精確到0.1%)

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X服從正態(tài)分布o2),則23—0忘年〃+<7)-0.6827,尸仍一

2o<XW〃+2<7)-0.9545,尸@-3o<XW〃+3。)-0.9973.

答案97.7%

解析因為100個數(shù)據(jù)Xi,X2,X3,X100的平均值X=個^錯誤!,.=72,

方差$2='錯誤!8—X)2=J_(錯誤!—100X2)=^-X[100X(722+36)-100X722]=

100100100

36,

所以〃的估計值為72,。的估計值為6.

設該市高中生的身體素質指標值為X,

由P(/，-2<7WXW〃+2(T)-0.95454^^P(72—12WXW72+12)=P(60WXW84)-0.9545,

尸?84)=P[X>n+2(7)=尸(督〃-2(=1-尸：-2—X4+2嘰1-0；545,

所以P(X260)=尸(60WXW84)+PQ>84戶0.9545+1x(l-0.9545)=0.97725^97.7%.

跟蹤訓練3(1)某校高二年級有1000名學生，一次考試后數(shù)學成績X?以110,102),若

產(chǎn)(100WXW110)=0.35,則估計高二年級的學生數(shù)學成績在120分以上的人數(shù)為()

A.130B.140C.150D.160

答案C

解析因為X?N(110,102)且p(ioowxWllO)=O.35,

所以尸(110WXW120)=尸(100WXW110)=0.35,

貝UP(*>120)=0.5—P(U0<X<120)=0.15,

所以該校高二年級的學生數(shù)學成績在120分以上的人數(shù)約為1000X0.15=150(人).

(2)某批待出口的水果罐頭，每罐凈重X(單位：g)服從正態(tài)分布N(184,2S).隨機抽取1罐，

其凈重在［179,186.5］之間的概率約為（）

（注：若X?N（?,/），網(wǎng)/一〃良。）-0.6827,P（|X-//|^2（7）^0.9545,尸（任一”?3。）心0.9973）

A.0.8186B.0.84

C.0.9545D.0.9755

答案A

解析由題意可知，〃=184,（7=2.5,可得179=〃-2（T,186.5=〃+cr,

凈重在［179,186.5］之間的概率為尸（179WXW186.5）=&u—〃+力

由正態(tài)分布的對稱性可知，P3—2oWXW"+0）=尸（區(qū)一1［P（\X-fi\<2（7）-

尸（|X-"W<7）］

-0.6827+1（0.9545-0.6827）=0.8186,

所以凈重在［179,186.5］之間的概率約為尸（179或於186.5）=0.8186.

［總結提升］

高考對此部分的考查較為穩(wěn)定，以解答題為主.二項分布、超幾何分布和正態(tài)分布是考查熱

點，要掌握求隨機變量的分布列、均值和方差，可用定義法直接求解.如果能分析出所給的

隨機變量服從常用的分布（兩點分布、二項分布等），則直接利用公式求解.

熱點突破

1.設隨機變量x,y滿足y=3X—1,x?BI2，31則D（y）等于（）

A.4B.5C.6D.7

答案A

解析因為x?*寸，

1fl-A4

則7XR=2X：xl3j=3

4

又y=3X—1,所以。（y）=O（3X—1）=32。（㈤=32X：=4.

2.第19屆亞運會在杭州舉辦，為了弘揚奧林匹克精神，某市多所中小學開展了亞運會項目

科普活動.為了調查學生對足球項目的了解情況，在該市中小學中隨機抽取了10所學校，10

所學校中了解足球項目的人數(shù)如圖所示.

?人數(shù)，

401cc36

32:32,,、

3()/'、/'、、26

201-24V27支、,/

1818

1()

0八方cb總率校

若從這10所學校中隨機選取2所學校進行足球項目的科普活動，記X為被選中的學校中了

解足球項目的人數(shù)在30以上的學校所數(shù)，則下列判斷錯誤的是（）

A.尸哈2)=仁13

B.P(X=0)=；

C.E(X)=：3

32

D.D(X)=^

75

答案C

解析根據(jù)題意，X的可能取值為0,1,2,其中了解足球項目的人數(shù)在30以上的學校有4所,

了解足球項目的人數(shù)在30以下的學校有6所,

所以P(X=0)=*=；,

CfoJ

__m_24_A

RprXyTn)—C%—45—15,

尸(X=2)=|^=*=W

2-K2一

1575

1a

由分布列可得，P（右2）=1—P（X=2）=[,故A正確.

3.已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的時間互不影響，經(jīng)統(tǒng)計，甲、乙一個月內(nèi)

從家中到工作單位所用時間在各個時間段內(nèi)的頻率如表所示.

時間/分鐘10?2020?3030?4040?50

甲的頻率0.10.40.20.3

乙的頻率00.30.60.1

某日工作單位接到一項任務，需要甲在30分鐘內(nèi)到達，乙在40分鐘內(nèi)到達，用X表示甲、

乙兩人在要求時間內(nèi)從家中到達單位的人數(shù)，用頻率估計概率，則X的均值和方差分別是

()

A.E(X)=1.5,。(㈤=0.36

B.E(X)=1A,。(㈤=0.36

C.E(X)=1.5,。⑶=0.34

D.￡(R=1.4,。(㈤=0.34

答案D

解析設事件/表示甲在30分鐘內(nèi)到達，2表示乙在40分鐘內(nèi)到達，

則尸(4)=0.5,尸(3)=0.9,A,3相互獨立，

.?.尸(X=0)=P(AB)=尸(A)p(B)=(i-o.5)X(l-O.9)=O.O5,

尸(X=1)=P(A8)+尸(/B)

=尸(A)P(B)+P(A)P(B)

=(l-0.5)X0.9+0.5X(l-0.9)=0.5,

P(X=2)=P(A8)=P(N)P(5)=0.5X0.9=0.45,

/.￡(A)=0X0.05+lX0.5+2X0.45=1.4,

。⑶=(0—1.4)2X0.05+(1—1.4)2X0.5+(2—1.4)2X0.45=0.34.

4.隨機變量X的分布列如表所示.

X123

pa2ba

則。(她的最大值為()

2121

A.-B.-C.—D—

992727

答案D

解析由題可知20+26=1,即a+6=l,

2

￡(A)=a+4b+3a=4(a+b)=2,

￡>(A)=(l-2)2a+(3-2)2a=2a,

則D(bX)=b2D(X)=2ab2=~2b3+b2,

令人6)=—2"+62,

則/(b)=~6l^+2b=-2b(3b-1),

則順在(°y)上單調遞增，在b力

I上單調遞減,

所以人瓦島

則D(AY)的最大值為，.

5.(多選)(2023?湛江模擬)廉江紅橙是廣東省廉江市特產(chǎn)、中國國家地理標志產(chǎn)品.設廉江地

區(qū)某種植園成熟的紅橙單果質量M(單位：g)服從正態(tài)分布N(165,<72),且P(M<162)=0.15,

尸(165<M<167)=0.3.則下列說法正確的是()

A.若從種植園成熟的紅橙中隨機選取1個，則這個紅橙的質量小于167g的概率為0.7

B.若從種植園成熟的紅橙中隨機選取1個，則這個紅橙的質量在167g?168g的概率為0.05

C.若從種植園成熟的紅橙中隨機選取600個，則質量大于163g的個數(shù)的均值為480

D.若從種植園成熟的紅橙中隨機選取600個，則質量在163g?168g的個數(shù)的方差為136.5

答案BCD

解析因為M?N(165,4)，所以尸(V<167)=0.5+0.3=0.8,所以A錯誤；

因為P(165<A/<168)=P(162<A/<165)=0.5-0.15=0.35,

所以尸(167cAz<168)=0.35—0.3=0.05,所以B正確；

尸(M>163)=尸("<167)=0.8,若從種植園成熟的紅橙中隨機選取600個，則質量大于163g的

個數(shù)X?3(600,0.8),所以E(X)=600X0.8=480,所以C正確；

因為P(165<“<167)=0.3,所以尸(163<M<165)=0.3,

所以P(163<M<168)=P(163<M<165)+P(165<TW<168)=0.3+0.35=0.65,

若從種植園成熟的紅橙中隨機選取600個，則質量在163g?168g的個數(shù)Y?2(600,0.65),

所以￡>(y)=600X0.65X(1-0.65)=136.5,所以D正確.

6.(多選X2023?黃石模擬)乒乓球，被稱為中國的“國球”.某次比賽采用五局三勝制，當參

賽者甲、乙兩位中有一位贏得三局比賽時，就由該選手晉級而比賽結束.每局比賽皆須分出

勝負，且每局比賽的勝負不受之前比賽結果影響.假設甲在任一局勝出的概率為MOWpWl),

實際比賽局數(shù)的均值記為%)，則下列說法正確的是()

A.三局就結束比賽的概率為加+(1—p>

B.e)的常數(shù)項為3

C.函數(shù)%)在(°，J上單調遞減

D./E)=Y

8

答案ABD

解析設實際比賽局數(shù)為X,則X的可能取值為3,4,5,

所以P(X=3)=03+(1—p)3,

P(X=4)=C切(31—p)+c切(1-pf,

尸(X=5)=CQ2(1—p)2,

因此三局就結束比賽的概率為p3+(l—p)3,故A正確；

故加)=3X懶3+(1一03]+4X[C切3(1—p)+C步(1—p)3]+5XC瓶2(1_p)2

=6p4—12p3+3/22+372+3,

由負0)=3知常數(shù)項為3,故B正確；

由/'U=6義'—12X—+3X—+—+3=^,故D正確；

168428

由/(p)=24p3-36p2+6p+3=3(2p-l)(4p2~4p-]),

因為OWpWl,所以4加一4°—1=(22—1)2—20,

所以令，。)>0，貝iJOOpg；令，(p)<0,則

則函數(shù)必)在(“』上單調遞增，故C不正確.

7.已知隨機變量卻勺分布列如表所示：

ab

11

p

ba

則當。逐漸增大時，￡(0—。(。=.

答案2

解析由題意可知

ab

h但+幻P+父

此時夙。=0+3D(?=E(3)—(￡(。)2=〔6J-L曲,

ab

、H11

設冽=一,n=~,0<m<l,0<?<l,

ab

則加+〃=1,且￡(?="+%

mn

m2~\-n2

mn

(m+〃)2—2mn

mn

mn

冽3+4

(mn)2

1-2)2

(加+n)[(m+ri)2—3mn]

jnn)

(mn)2

-4

mn

從而￡(0—0(9=2.

8.畢業(yè)在即，5位同學各自寫了一封祝福信，并把寫好的5封信一起放在心愿盒中，然后每

人在心愿盒中各取一封，不放回.設X為恰好取到自己祝福信的人數(shù)，則E(X)=

答案1

解析由題意可知，X的可能取值為0,1,2,3,5,

對應概率依次為尸(X=5)=2=3

A5120

尸(X=3)比10=1

12。―12,

尸(42)有20=1

12。一6,

產(chǎn)(41)=胃45=3

120-8

__1___1__1

尸(X=0)=l3=11

1201268一30,

111Q

則￡(A)=5X—+3X—+2X-+1X-=1.

1201268

9.(2023?濟南模擬)為了切實加強學校體育工作，促進學生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛

煉習慣，某高中學校計劃優(yōu)化課程，增加學生體育鍛煉時間，提高體質健康水平.某體質監(jiān)

測中心抽取了該校10名學生進行體質測試，得到體質測試成績?nèi)缦卤硭?

序號，12345678910

成績雙分)38414451545658647480

記這10名學生體質測試成績的平均分與方差分別為X,$2,經(jīng)計算錯誤!8—X)2=1690.

⑴求x;

(2)規(guī)定體質測試成績低于50分為不合格，從這10名學生中任取3名，記體質測試成績不合

格的人數(shù)為X,求X的分布列；

(3)經(jīng)統(tǒng)計，高中生體質測試成績:近似服從正態(tài)分布a2),用x,S2的值分別作為〃，卓

的近似值，若監(jiān)測中心計劃從全市抽查100名高中生進行體質測試，記這100名高中生的體

質測試成績恰好落在區(qū)間［30,82］的人數(shù)為匕求y的均值夙y).

附：若己?NQi,〃)，則—+-0.6827,P(//-2(T^^+2(7)?0.9545,Pg

30<代〃+3。戶0.9973.

解(1)x=^X(38+41+44+51+54+56+58+64+74+80)=56.

(2)因為體質測試成績不合格的學生有3名，

所以X的可能取值為0,1,2,3.

因為P(X=0)=m=2,P(X=1)=手=〃，P(x=2)=^=—,^(X=3)=^-=-.

CJo24C?o40C?o40C?o120

所以X的分布列為

X0123

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