2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：直線與圓（三大考向） 專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第七講-直線與圓（三大考向）-專項(xiàng)訓(xùn)練

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)直線的考查，重點(diǎn)是2023?新高考□卷，

直線的傾斜角與斜率、直線方6

程的求法、兩條直線的位置關(guān)2022?新高考□卷，

系、距離公式、對(duì)稱問(wèn)題等。15

2.高考對(duì)圓的考查，重點(diǎn)是圓直線與圓的位置關(guān)系2023?新高考□卷，

的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的求15

法，除了待定系數(shù)法外，要特2024?新高考□卷，

別要重視利用幾何性質(zhì)求解圓10（多選題的一個(gè)

的方程。同時(shí)，除了直線與選項(xiàng)中考查）

圓、圓與圓的位置關(guān)系的判2022?新高考口卷，

圓與圓的位置關(guān)系

斷，還特別要重視直線與圓相14

交所得弦長(zhǎng)及相切所得切線的

問(wèn)題。2022?新高考□卷，

直線的斜率

3.其他就是直線、圓與其他知3

識(shí)點(diǎn)的交匯。

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷未直接考查直線與圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，口卷在多選題的一個(gè)

選項(xiàng)中考到了直線與圓相切的問(wèn)題，其實(shí)在壓軸題中也有直線斜率的影子，后續(xù)專題

再呈現(xiàn)。其實(shí)直線與圓直接考查的話，難度一般是較易的，一般計(jì)算不出錯(cuò)即可。在

一些上難度的題型中，往往有直線斜率的一些影子。直線與圓考查應(yīng)關(guān)注：直線、圓

的方程及位置關(guān)系，直線方程的求解、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解、含參直線方程中參數(shù)

取值范圍求解、直線與圓的位置關(guān)系中涉及的弦長(zhǎng)與切線方程的求解。以常規(guī)題型、

常規(guī)解法為主要方向，常結(jié)合基本不等式、函數(shù)、三角形面積等知識(shí)考查最值問(wèn)題。

預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查直線與圓的位置關(guān)系。

一、多選題

1.（2024新高考□卷TO）拋物線C：V=4x的準(zhǔn)線為/,p為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)p作

+3一4）2=1的一條切線，。為切點(diǎn)，過(guò)尸作/的垂線，垂足為瓦則（）

A./與。4相切

B.當(dāng)尸，A,3三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ|=&?

C.當(dāng)|PB|=2時(shí)，PA±AB

D.滿足的點(diǎn)尸有且僅有2個(gè)

高考真題練

一、單選題

1.（2023新高考口卷-6）過(guò)點(diǎn)（0,-2）與圓f+/一以-1=0相切的兩條直線的夾角為a,

則sina=（）

AI口屈r710n新

444

2.（2022新高考□卷-3）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，

相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意

圖.其中明,"是舉，。2，“；,。耳,的是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別

1L

為一二0.5,一L=k1、,一二左2,—=&.已知如《收3成公差為0」的等差數(shù)列，且直線

〃ODXDC1CBtB\

QA的斜率為0.725,貝（）

華；

A

/B、

G1、一

X

圖1圖2

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

二、填空題

3.(2022新高考□卷?14)寫(xiě)出與圓/+丁=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線

的方程.

4.(2022新高考□卷45)設(shè)點(diǎn)4(-2,3),3(OM),若直線AB關(guān)于丁=。對(duì)稱的直線與圓

(尤+3>+(y+2)2=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.

5.(2023新高考口卷?15)已知直線/：%-%+1=0與C:(x—l?+y2=4交于4,8兩

Q

點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“SBC面積為的加的一個(gè)值______.

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、直線的傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角

若直線/與無(wú)軸相交，則以x軸正方向?yàn)槭歼?，繞交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與/重合所成的

角稱為直線/的傾斜角，通常用口,￡,7,?表示

(1)若直線與無(wú)軸平行(或重合)，則傾斜角為0

(2)傾斜角的取值范圍ae[0,萬(wàn))

2、直線的斜率

設(shè)直線的傾斜角為a,則a的正切值稱為直線的斜率，記為左=tan(z

(1)當(dāng)夕=生時(shí)，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的

2

(2)傾斜角a與斜率2的關(guān)系

當(dāng)上=0時(shí)，直線平行于軸或與軸重合；

當(dāng)左＞0時(shí)，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨左的增大而增大；

當(dāng)左＜0時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨左的增大而增大；

3、過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式

已知直線上任意兩點(diǎn)，4（網(wǎng)，外）,8（尤2，%）則女=上——

x2-xl

（1）直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無(wú)關(guān).

（2）若則直線鉆的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°

4、三點(diǎn)共線

兩直線AB,AC的斜率相等一A、B、C三點(diǎn)共線；反過(guò)來(lái)，AB、C三點(diǎn)共線，則直線

AB,AC的斜率相等（斜率存在時(shí)）或斜率都不存在.

二、直線的方程

1、直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點(diǎn)斜式y(tǒng)-y,=k[x-x^不含垂直于x軸的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于X軸的直線

y一y=％一7

兩點(diǎn)式不含直線工=藥（%w%）和直線＞=%（y力%）

截距式”=i不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線

ab

Ax+Bj+C=0

一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

(A2+4w0)

2、求曲線（或直線）方程的方法

在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：

（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫(xiě)出方程，例如在直線中，若用直

接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率

（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線

方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）

3、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式

若點(diǎn)勺，鳥(niǎo)的坐標(biāo)分別為（占，%）,（%，%）且線段￡￡的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，V），則

,2,此公式為線段々己的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

[2

4、兩直線的夾角公式

k?—k]

若直線y=《x+4與直線y=&v+&的夾角為a，貝ljtana=

1+k]k?

三、兩直線平行與垂直的判定

兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示.

兩直線方程平行垂直

4：Ax+Ay+G=0A不-44=o且

44+B]B?—0

1?:42%+B?y+C?—0eg—不。1

4:y=k,x+b,人、一―一、

;-,,（斜率存在）

/:y=kx+b&=k,bWb2或

2222{匕.左2=-1或勺與心中有一個(gè)為0,

L:x=x,…一_一一，X=X,X=x,xW%2另一個(gè)不存在.

'"（斜率不存在）121

l2:x=x2

四、三種距離

1、兩點(diǎn)間的距離

平面上兩點(diǎn)勺（玉,%）,鳥(niǎo)（尤2，%）的距離公式為I|=向-%）2+（乂-%）2.

特別地，原點(diǎn)。（0,0）與任一點(diǎn)尸（x,了）的距離|。尸=小。+廣

2、點(diǎn)到直線的距離

|Ax+By+C|

點(diǎn)用（%,%）到直線/:Ar+比y+C=O的星巨離4=00

特別地，若直線為/：x=m,則點(diǎn)4（%,%）到/的距離1=|7"-尤0|；若直線為/：y=n,則

點(diǎn)用（%,%）到/的距禺d=|〃|

3、兩條平行線間的距離

已知/”4是兩條平行線，求44間距離的方法：

（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離.

(2):Ax+By+Q-0,l2:Ax+By+C2=0,則［與之間的距離d=華,。1

A/A2+B2

注：兩平行直線方程中，x,歹前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等.

4、雙根式

雙根式八彳）=而疏三1土后羲7五型函數(shù)求解，首先想到兩點(diǎn)間的距離，或

者利用單調(diào)性求解.

五、圓

1、圓的四種方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-ay+（y-b）2=，，圓心坐標(biāo)為（a,b）,半徑為r（r>0）

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=O(D2+E2-4F>Q),圓心坐標(biāo)為

3，半徑7D2+E2-4F

2

(3)圓的直徑式方程：若4%,%),8(々,為)，則以線段工5為直徑的圓的方程是

(x-^)(x-^)+(y-y1)(y-y2)=0

2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

(1)點(diǎn)尸(%,%)與圓(x-4+(y-by=/的位置關(guān)系：

□(x-a)2+(y-b)2＞，2o點(diǎn)/＞在圓外；

□0一。)2+(＞-6)2=r=點(diǎn)尸在圓上；

□(%-4+(丫-力2＜產(chǎn)=點(diǎn)p在圓內(nèi).

(2)點(diǎn)、尸(%,%)與圓％2+＞2+m+力,+尸=。的位置關(guān)系：

□片+￥+。尤0+電+尸＞0o點(diǎn)P在圓外；

口片+y；+八％+^o+尸=0o點(diǎn)P在圓上；

□x；+y；+。飛+互y()+尸＜0o點(diǎn)P在圓內(nèi).

六、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓的位置關(guān)系判斷

(1)幾何法(圓心到直線的距離和半徑關(guān)系)

圓心3力)到直線人+為+C=0的距離，貝IJd=什班+CI：

JA2+B2

d＜ro直線與圓相交，交于兩點(diǎn)P,Q,|PQ|=2彳二涓；

d=ro直線與圓相切；

d＞ro直線與圓相離

(2)代數(shù)方法(幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù))

JAx+By+C-0

由|(x-a)2+(y-b)2=r2，

消兀得到一'兀二次方程px?+qx+f=0,px?+qx+，=0判別式為△,則：

A>0o直線與圓相交；

A=0o直線與圓相切；

A<0o直線與圓相離.

七、兩圓位置關(guān)系的判斷

用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：

設(shè)兩圓q,。2的半徑分別是凡廠，(不妨設(shè)火〉廠)，且兩圓的圓心距為d,貝U：

d<R+r<=>兩圓相交；

d=R+r=兩圓外切；

R-r<d<R+r。兩圓相離

d=R-r<=>兩圓內(nèi)切；

0<d<H-r=兩圓內(nèi)含(d=0時(shí)兩圓為同心圓)

設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為我,『，R>r,圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系可用下表來(lái)表

zK：

位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

幾何特征d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r

代數(shù)特征無(wú)實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無(wú)實(shí)數(shù)解

公切線條數(shù)43210

【直線與圓常用結(jié)論】

一、直線

1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)尸（%，%）關(guān)于點(diǎn)Q（X0，為）的對(duì)稱點(diǎn)為

P?，%），則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有＜2

X+%

2

可得對(duì)稱點(diǎn)P'（x2,%）的坐標(biāo)為（21-X],2%-%）

2、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

點(diǎn),%）關(guān)于直線/:Ar+3y+C=0對(duì)稱的點(diǎn)為P（%,%），連接尸P，交/于M點(diǎn),

則/垂直平分pp,所以PP_L/，且加為pp中點(diǎn)，又因?yàn)榧釉谥本€/上，故可得

??°°’解出（N，%）即可?

3、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐

標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；

法二：求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程.

4、直線關(guān)于直線對(duì)稱

求直線4：◎+力+c=o，關(guān)于直線6：公+0+/=0（兩直線不平行）的對(duì)稱直線4

第一步：聯(lián)立4,4算出交點(diǎn)P（x°，%）

第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)）0（占，%）,利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的秒殺公式算出

對(duì)稱點(diǎn)0（尤2,%）

第三步：利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出《方程

5、常見(jiàn)的一些特殊的對(duì)稱

點(diǎn)(x,y)關(guān)于工軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y),關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-％,y).

點(diǎn)(％,y)關(guān)于直線V=尤的對(duì)稱點(diǎn)為(y,%),關(guān)于直線V=-％的對(duì)稱點(diǎn)為(-y,—x).

點(diǎn)(％,y)關(guān)于直線x=々的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-x,y),關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)為

(%,2b-y).

點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a-%,2b—y).

點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x+y=上的對(duì)稱點(diǎn)為(女-y,4-x),關(guān)于直線x-y=左的對(duì)稱點(diǎn)為

(k+y,x—k)-

6、過(guò)定點(diǎn)直線系

過(guò)已知點(diǎn)p(x°,%)的直線系方程>一為=左(％一/)(%為參數(shù)).

7、斜率為定值直線系

斜率為左的直線系方程丁=履+匕(人是參數(shù)).

8、平行直線系

與已知直線Ax+5y+C=0平行的直線系方程Ax+為+4=0(幾為參數(shù)).

9、垂直直線系

與已知直線Ax+5y+C=0垂直的直線系方程&+幾=0(幾為參數(shù)).

10、過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系

過(guò)直線4:Ax+gy+G=0與A/x+gy+G=。的交點(diǎn)的直線系方程：

4%+4y+G++與)+。2)=0(參數(shù)^).

二、圓

1、圓的參數(shù)方程

□x2+y2=r2(r>0)的參數(shù)方程為卜=。為參數(shù))；

[y=rsmO

□（…了+⑶-方六加四的參數(shù)方程為卜”3?（e為參數(shù)）.

[y=b+rsin，

注意：對(duì)于圓的最值問(wèn)題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為

（a+rcosO,b+rsinO'）（4為參數(shù)，（a,6）為圓心，廠為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立

三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界

性求解最值.

2、關(guān)于圓的切線的幾個(gè)重要結(jié)論

（1）過(guò)圓/+V=/上一點(diǎn)尸（灰,%）的圓的切線方程為=/.

（2）過(guò)圓（工-0）2+（丫_乃2==2上一點(diǎn)尸（%,%）的圓的切線方程為

（3）過(guò)圓￡+/+Dx+Ey+戶=0上一點(diǎn)尸（%,%）的圓的切線方程為

xox+yoy+D-^^+E-^^+F=0

（4）求過(guò)圓/+/=「外一點(diǎn)尸（%,%）的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意理解:

□所求切線一定有兩條；

□設(shè)直線方程之前，應(yīng)對(duì)所求直線的斜率是否存在加以討論.設(shè)切線方程為

y-y0=k（x-x0）,利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于女的方程，求出女值.若

求出的人值有兩個(gè)，則說(shuō)明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的M直只有一個(gè)，則

說(shuō)明斜率不存在的情形符合題意.

名校模擬練

一、單選題

1.（2024?江西新余?二模）已知直線了一沖=0交圓C：//-2氐-2〉=0于凡，N兩

點(diǎn)，貝為正三角形”是“a=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?陜西西安?三模）若過(guò)點(diǎn)外。,1）可作圓尤z+y2-2x-4y+a=0的兩條切線，則a

的取值范圍是（）

A.（3,+a>）B.（-1,3）C.（3,5）D.（5,+s）

3.（2024?北京?三模）已知4-1,0）,8（1,0）,若點(diǎn)尸滿足上4,PB,則點(diǎn)尸到直線

/：機(jī)（彳-57§）+〃（丫-1）=0的距離的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024?四川成都?三模）已知直線乙：彳一沖+1=0C:（x-a）2+（y-l）2=l相交于

AB兩點(diǎn)，若ABC是直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1或-1B.或_乖）C.-,或-1D.-,或-S'

5.（2024?湖南邵陽(yáng)三模）已知直線/：x-y-2=0與圓O：x2+y2=1,過(guò)直線/上的

任意一點(diǎn)尸作圓。的切線R4,PB,切點(diǎn)分別為4,B,則NAPB的最大值為（）

6.（2024?重慶?二模）已知圓。:/+丁=3,尸是圓。外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p作圓。的兩條切

9

線，切點(diǎn)分別為A,2,若PA?尸8=：,貝”。尸卜（）

A.76B.3C.2括D.V15

7.（2024?北京?三模）已知圓C:（尤-百『+（y-l）2=l和兩點(diǎn)A（f,0）,B（r,0）?>0）,若圓

C上存在點(diǎn)尸，使得PA.P3=0，則r的取值范圍為（）

A.（0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

8.（2024?山東煙臺(tái)?三模）若圓尤2+/+以+3>+2。一3=0與無(wú)軸沒(méi)有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍為（）

A.（2,6）B.（3,5）

C.（2,3）（5,6）D.（2,3）?（6,+?）

9.（2024?北京，三模）已知直線/:?x+S+l）y+2=0,圓。:f+?、氏铝姓f(shuō)法惜誤

的是（）

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)。，直線/與圓。有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；

B.當(dāng)且僅當(dāng)a=-g時(shí)，直線/被圓。所截弦長(zhǎng)為40;

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)。，圓。不關(guān)于直線/對(duì)稱；

D.存在實(shí)數(shù)。，使得直線/與圓。相切.

10.（2024?江西鷹潭?三模）已知;”eR,直線乙：的+y+2根=。與4：x-町+4%=。的交

點(diǎn)尸在圓C：（x_3）2+（y-4）2=/（r>0）上，貝卜的最大值是（）

A.4A/2B.3也C.2A/5D.3君

二、多選題

11.（2024?湖南長(zhǎng)沙三模）已知圓C:（x+2）2+y2-4,直線

/:（:〃+l）x+2y—1+根=0（meR）,則（）

A.直線/恒過(guò)定點(diǎn)（-L1）

B.當(dāng)〃7=0時(shí)，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1

C.直線/與圓C可能相切

D.若圓C與圓元2+/—2x+8y+a=0恰有三條公切線，則a=8

12.（2024?山西臨汾?三模）已知瓦尸是以C（l,2）為圓心，0為半徑的圓上任意兩點(diǎn)，

且滿足CELCF,「是跳'的中點(diǎn)，若存在關(guān)于（3,0）對(duì)稱的A8兩點(diǎn)，滿足

PAPB=O,則線段A3長(zhǎng)度的可能值為（）

A.3B.4C.5D.6

13.（2024?河南鄭州?三模）已知直線/"+勿+1=0/不同時(shí)為0）,圓

C:x2+y2-2x=0,則（）

A.當(dāng)〃-2a=1時(shí)，直線/與圓C相切

B.當(dāng)a+b=-2時(shí)，直線/與圓C不可能相交

C.當(dāng)。=1功=-1時(shí)，與圓C外切且與直線/相切的動(dòng)圓圓心的軌跡是一條拋物線

D.當(dāng)°=1,匕=-1時(shí)，直線/與坐標(biāo)軸相交于兩點(diǎn)，則圓C上存在點(diǎn)尸滿足

PAPB=0

14.（2024?山東青島三模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M,N分別在圓G：（元-iy+（y-2）2=l和

22

C2:（x-3）+（y-4）=3上，動(dòng)點(diǎn)P在無(wú)軸上，則（）

A.圓G的半徑為3

B.圓G和圓C?相離

c.PM+|PN|的最小值為2瓦

D.過(guò)點(diǎn)？做圓a的切線，則切線長(zhǎng)最短為G

15.（2024?浙江溫州?二模）已知圓G：，+y2=6與圓。2：尤2+丁+2》-。=0相交于AB

兩點(diǎn).若SAG.=2SA/B,則實(shí)數(shù)。的值可以是（）

2214

A.10B.2C.—D.—

33

16.（2024?浙江紹興?三模）已知"，N為圓d+y2=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)p（-U）,且

PMLPN,貝!J()

A.\PM\=2+0

IImax

B.|MN|max=2,2+百

c./^外接圓圓心的軌跡方程為,+；：+[-3：=9

D..PMN重心的軌跡方程為[x+|[=：

三、填空題

17.（2024?廣東汕頭三模）已知圓C經(jīng)過(guò)A（2,0）,B（0,2）,C（2,4）三點(diǎn)，

（i）則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（ii）若直線A3關(guān)于對(duì)稱的直線與圓C有公共點(diǎn)，貝！1。的取值范圍是.

18.（2024?天津和平?三模）已知圓C以點(diǎn)（1,1）為圓心，且與直線〃zx-y-2%=0（meR）

相切，則滿足以上條件的圓C的半徑最大時(shí)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

19.（2024-內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）點(diǎn)P（l,-a）關(guān)于直線尤-、=0的對(duì)稱點(diǎn)在圓

（尤-2）2+”-4）2=13內(nèi)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

20.（2024?湖南?二模）已知直線/是圓。：/+丫2=1的切線，點(diǎn)4（—2,1）和點(diǎn)3（0,3）到/

的距離相等，則直線/的方程可以是.（寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的即可）

22

21.（2024?浙江?三模）已知圓C|：f+y2=2和圓Q：（x-3）+（y-4）=16,過(guò)圓C?

上一動(dòng)點(diǎn)尸作圓c?的切線，交圓G于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)AOB（點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積最

大時(shí)，滿足條件的切線方程為.（寫(xiě)出一條即可）

22.（2024?上海，三模）已知圓G：（x-l）2+（y_l）2=l,圓C2:（尤一41+（y-5）2=9,點(diǎn)

M,N分別是圓G、圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，則I9I+IPNI的最小值

是

參考答案與詳細(xì)解析

:考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)直線的考查，重點(diǎn)是2023?新高考□卷，

直線的傾斜角與斜率、直線方6

程的求法、兩條直線的位置關(guān)2022?新高考□卷，

系、距離公式、對(duì)稱問(wèn)題等。15

2.高考對(duì)圓的考查，重點(diǎn)是圓直線與圓的位置關(guān)系2023?新高考□卷，

的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的求15

法，除了待定系數(shù)法外，要特2024?新高考□卷，

別要重視利用幾何性質(zhì)求解圓10（多選題的一個(gè)

的方程。同時(shí)，除了直線與選項(xiàng)中考查）

圓、圓與圓的位置關(guān)系的判2022?新高考□卷，

圓與圓的位置關(guān)系

斷，還特別要重視直線與圓相14

交所得弦長(zhǎng)及相切所得切線的

問(wèn)題。2022?新高考口卷，

直線的斜率

3.其他就是直線、圓與其他知3

識(shí)點(diǎn)的交匯。

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷未直接考查直線與圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，口卷在多選題的一個(gè)

選項(xiàng)中考到了直線與圓相切的問(wèn)題，其實(shí)在壓軸題中也有直線斜率的影子，后續(xù)專題

再呈現(xiàn)。其實(shí)直線與圓直接考查的話，難度一般是較易的，一般計(jì)算不出錯(cuò)即可。在

一些上難度的題型中，往往有直線斜率的一些影子。直線與圓考查應(yīng)關(guān)注：直線、圓

的方程及位置關(guān)系，直線方程的求解、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解、含參直線方程中參數(shù)

取值范圍求解、直線與圓的位置關(guān)系中涉及的弦長(zhǎng)與切線方程的求解。以常規(guī)題型、

常規(guī)解法為主要方向，常結(jié)合基本不等式、函數(shù)、三角形面積等知識(shí)考查最值問(wèn)題。

預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查直線與圓的位置關(guān)系。

三：試題精講

一、多選題

1.（2024新高考□卷TO）拋物線C：丁=4尤的準(zhǔn)線為/,尸為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作

OA:f+（y-4）2=l的一條切線，。為切點(diǎn)，過(guò)P作/的垂線，垂足為8,則（）

A./與A相切

B.當(dāng)尸，A,8三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ|=A

C.當(dāng)|尸3|=2時(shí)，PALAB

D.滿足1必1斗尸團(tuán)的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)

【答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為戶-1,根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來(lái)判斷；B選項(xiàng)，

產(chǎn),A3三點(diǎn)共線時(shí)，先求出P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長(zhǎng)；C選項(xiàng)，根據(jù)戶卻=2先算出

P的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證七AB=T是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，|尸目=「年，

于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化成|必=歸目的尸點(diǎn)的存在性問(wèn)題，此時(shí)考察"的中垂線和拋物線的交

點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直接設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.

【詳解】A選項(xiàng)，拋物線V=4x的準(zhǔn)線為產(chǎn)-1,

A的圓心（0,4）到直線戶—1的距離顯然是1,等于圓的半徑，

故準(zhǔn)線/和：A相切，A選項(xiàng)正確；

高考真題練

一、單選題

1.（2023新高考口卷-6）過(guò)點(diǎn)（0,-2）與圓了2+/-以-1=0相切的兩條直線的夾角為a,

貝!Jsina=）

A.1B.巫C.—D.立

444

【答案】B

【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)

切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距

離公式可得嚴(yán)+弘+1=0,利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：因?yàn)橐?/-4-1=0,即（*-2丫+丫2=5,可得圓心C（2,0）,半徑

r=布,

過(guò)點(diǎn)“0,-2）作圓C的切線，切點(diǎn)為A3,

因?yàn)閨PC|="2+（一2）2=2/,則1PAi=’|尸［2_/=A，

可得si"C=^=乎,C°SZAPC=金呼,

貝（Isin/APB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x幽x也=幽,

444

即/APB為鈍角，

所以sina=sin（兀一ZAPS）=sinNAPB=；

法二：圓d+y2-4x-l=0的圓心C（2,0）,半徑

過(guò)點(diǎn)以0,-2）作圓C的切線，切點(diǎn)為A,B,連接A3,

可得|PC|=百+①）?=20,則\PA\=\PB\=JPC『一戶=6,

因?yàn)閨PA「+喇-21叫陷cosNAPB=|G4|2+|CB|2-2|C4|-|CB|cosZACB

日?^ACB=兀一/LAPB9貝!j3+3—6cos^APB=5+5—10cos（兀一,

即3—cosZAP3=5+5cosZAP3,解得cos/AP5=-工<0,

4

即NAP3為鈍角,則cosa=cos（it-ZAPS）=-cosZAPB=：,

且a為銳角，所以sina=Jl-cos2a；

4

方法三：圓一+「-4-1=0的圓心C（2,0）,半徑廠=

若切線斜率不存在，則切線方程為x=0,則圓心到切點(diǎn)的距離d=2>r,不合題意;

若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，=依-2,即乙-，-2=0,

則1=&~,整理得上2+84+1=0,且A=64—4=60>0

aB+：1~

設(shè)兩切線斜率分別為勺，片，則人+&=-8,叫=1,

可得上_&|=J（/+=y_4左他=2A/15,

所以tana=}/=屈,即2吧=岳，可得cosa=3g,

1+kxk2cosaA/15

nni-22-2sincc

貝!]sina+cosa-sina+———=1,

且ae（0,7t）,貝！|sine>0,解得sinar=

故選：B.

2.（2022新高考□卷-3）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，瓦CC',￡?Z）’是桁,

相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意

圖.其中。2，cc「陽(yáng),AA是舉，網(wǎng)是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別

為皆苒=。5,總~=勺，管1=%2，普=%.已知勺,白，%3成公差為0」的等差數(shù)列，且直線

UUyCZJ]￡5/1]

Q4的斜率為0.725,則&=（）

【答案】D

【分析】設(shè)O2=DG=C4=BA=I,則可得關(guān)于耳的方程，求出其解后可得正確的選

項(xiàng).

【詳解】設(shè)。2=DC|=C旦=網(wǎng)=1,貝!]。7]=38用=月,44=勺，

DD[+CC]+BB[+

依題意，有匕一0?2=配%一01=履，且=0.725,

ODX+DCX+CBX+B\

所以”**0.725,故.0%

故選:D

二、填空題

3.（2022新高考□卷?14）寫(xiě)出與圓f+：/=1和（＞3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線

的方程.

【答案】,=一（3尤+：5或7無(wú)一2會(huì)5或苫=-1

【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

【詳解】［方法一］:顯然直線的斜率不為0,不妨設(shè)直線方程為x+6y+c=0,

F曰|C||3+4b+c|

于75而岸'

J1+/

故/=]+〃口，|3+46+C|=|4。|.于是3+48+。=4?；?+4b+。=-4<:,

24b=l

7

再結(jié)合□解得或,

255

c=——

T3

所以直線方程有三條，分別為x+l=O,lx—24y—25—0,3x+4y—5=0.

(填一條即可)

［方法二］:設(shè)圓f+V=i的圓心0(0,0),半徑為4=1,

圓（X-3）2+0—4）2=16的圓心c（3,4）,半徑2=4,

則|005=々+力因此兩圓外切,

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然x+l=0符合題意；

又由方程(x-3)2+(y-4)2=16和V+y2=1相減可得方程3x+4y-5=o,

即為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，

又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為4x-3y=0,

4

直線OC與直線x+l=0的交點(diǎn)為

設(shè)過(guò)該點(diǎn)的直線為y+《=Mx+i),則上豈解得左=三，

3討-124

從而該切線的方程為7x-24y-25=0.(填一條即可)

［方法三］:圓投+土=1的圓心為0(0,0),半徑為1,

圓(x-3)2+(y-4)2=16的圓心a為(3,4),半徑為4,

兩圓圓心距為"+42=5,等于兩圓半徑之和,故兩圓外切，

如圖，

rf“一、；

X

433

當(dāng)切線為1時(shí)，因?yàn)樽笏?］，所以勺=-：,i殳方程為丁=—,+，。＞0)

4

d=4=l5

35

。到i的距離「，解得:，所以11的方程為產(chǎn)-外+，

V1644

當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為日+y+p=。，其中，＞0,k＜0,

'刨=1"?

7

由題意:怨1,解得T25

-x----

性士^252424

|J1+^24

當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為x=-1,

故答案為…三遙或,=肅一高或?

1.

4.(2022新高考口卷T5)設(shè)點(diǎn)A(-2,3),B(0M),若直線A3關(guān)于對(duì)稱的直線與圓

(x+3『+(y+2)2=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.

-13-

【答案】

【分析】首先求出點(diǎn)A關(guān)于y=。對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得到直線/的方程，根據(jù)圓心

到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；

【詳解】解：人(-2,3)關(guān)于丁=。對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為4(-2,24-3),B(OM)在直線y

上，

所以用8所在直線即為直線/,所以直線/為y=Vx+a9即(a-3)x+2y-2〃=0；

-2

fflC:(x+3)2+(y+2)2=l,圓心C(一3,—2),半徑r=1,

依題意圓心到直線/的距離d=,：不二」41，

7(?-3)-+22

oo13「13一

即(5-5。)一4(。-3)一+22,解得仁即ae；

「131

故答案為：

5.(2023新高考口卷T5)已知直線/：XT町+1=0與：。:(*-以+/=4交于4,B兩

O

點(diǎn)，寫(xiě)出滿足".ABC面積為:'的根的一個(gè)值_____.

【答案】2(2,-2,g,_g中任意一個(gè)皆可以)

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)以及點(diǎn)C到直線A3的距離，結(jié)合

面積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點(diǎn)C到直線A3的距離為d,由弦長(zhǎng)公式得|A卸=25^,

所以S*=；*dx2"方.，解得：”=述或公述，

2355

由〃=上1=7^,所以-"或-^=三=羋，解得：〃片±2或

y/l+m\l+mvl+m25y/1+m25

m=±—.

2

故答案為：2（2,-2,g,-g中任意一個(gè)皆可以）.

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、直線的傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角

若直線/與x軸相交，則以x軸正方向?yàn)槭歼?，繞交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與/重合所成的

角稱為直線/的傾斜角，通常用a,6,7,表示

（1）若直線與x軸平行（或重合），則傾斜角為0

（2）傾斜角的取值范圍ae[0,萬(wàn)）

2、直線的斜率

設(shè)直線的傾斜角為則a的正切值稱為直線的斜率，記為左=tana

（1）當(dāng)。=工時(shí)，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的

2

（2）傾斜角a與斜率左的關(guān)系

當(dāng)先=0時(shí)，直線平行于軸或與軸重合;

當(dāng)上＞0時(shí)，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨k的增大而增大;

當(dāng)左＜0時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨左的增大而增大；

3、過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式

已知直線上任意兩點(diǎn)，4（為，％）,3（無(wú)2，%）則左=之——

x2-xl

（1）直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無(wú)關(guān).

（2）若玉=無(wú)2，則直線他的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°

4、三點(diǎn)共線

兩直線AB,AC的斜率相等-4B、C三點(diǎn)共線；反過(guò)來(lái)，AB、C三點(diǎn)共線，則直線

AB,AC的斜率相等（斜率存在時(shí)）或斜率都不存在.

二、直線的方程

1、直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點(diǎn)斜式y(tǒng)-yi=k(x-x.)不含垂直于x軸的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于無(wú)軸的直線

y一x二.一=

兩點(diǎn)式不含直線1=石（石w%）和直線y=y（xw%）

%—x々一%

截距式—+—=i不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線

ab

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

(A2+笈w0)

2、求曲線（或直線）方程的方法

在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種:

（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫(xiě)出方程，例如在直線中，若用直

接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率

（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線

方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）

3、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式

若點(diǎn)4,6的坐標(biāo)分別為（為，,）,（尤2,%）且線段￡￡的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為a，y），貝?

,2，此公式為線段＜2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

[2

4、兩直線的夾角公式

若直線與直線%的夾角為明則tana=￡1

三、兩直線平行與垂直的判定

兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示.

兩直線方程平行垂直

4:4犬+用丁+￡=0A^B-44=o且

244+B]B?-0

1?:%+B2y+C*2=04G—4￡wo

f=*?（斜率存在）

12：y=&九+4左=k,bwa或

2x匕=-1或勺與網(wǎng)中有一個(gè)為0,

L:x=x,…一一一一另一個(gè)不存在.

1，（斜率不存在）

l2:x=x2

四、三種距離

1、兩點(diǎn)間的距離

平面上兩點(diǎn)《（龍”弘）,《（々,力）的距離公式為I耳右|=J（w）2+（y「%）2-

特別地，原點(diǎn)0（0,0）與任一點(diǎn)尸（x,了）的距離|0?=5。+廣

2、點(diǎn)到直線的距離

點(diǎn)《(尤0,%)到直線l-.Ax+By+C=0的距離d=坐+'%+0

VA2+B2

特別地，若直線為/：x=m,則點(diǎn)小%,%)到/的距離d=|機(jī)-尤0|；若直線為/：y=n,則

點(diǎn)用(%,%)到/的距離d=\n-y0\

3、兩條平行線間的距離

已知44是兩條平行線，求44間距離的方法：

(1)轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離.

(2)設(shè)4：Ac+By+G=0,/2：A<：+3v+G=0,則與/，之間的距離d=隼二

'VA2+B2

注：兩平行直線方程中，x,y前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等.

4、雙根式

雙根式/⑺』……土擊"+3+生型函數(shù)求解,首先想到兩點(diǎn)間的距離，或

者利用單調(diào)性求解.

五、圓

1、圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(尤-a)?+(y-b)2=/，圓心坐標(biāo)為(°,6),半徑為“廠>0)

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F^0(D2+￡2-4F>0),圓心坐標(biāo)為

(3)圓的直徑式方程：若4X,%),8(馬,%)，則以線段48為直徑的圓的方程是

(%_不)0_%)+(y_%)(>_%)=0

2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

⑴點(diǎn)尸(%,%)與圓(x-r)2+(y-6)2=r2的位置關(guān)系：

□(尤-4)2+(y-b)2>/O點(diǎn)P在圓外；

□(x-a)2+(>-6)2=r=點(diǎn)尸在圓上；

□(x-a)2+(y—6)2<產(chǎn)0點(diǎn)尸在圓內(nèi).

(2)點(diǎn)P(x。,%)與圓/+y2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系：

口x；+北+￡>瓦+Sy。+/>00點(diǎn)尸在圓外；

□片+y；+￡>/+場(chǎng)；+E=。o點(diǎn)尸在圓上；

□片+￥+￡>/+期)+產(chǎn)<0。點(diǎn)尸在圓內(nèi).

六、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓的位置關(guān)系判斷

(1)幾何法(圓心到直線的距離和半徑關(guān)系)

圓心(°力)到直線Ar+的+C=0的距離，貝Ud=：

yjA2+B2

d<ro直線與圓相交，交于兩點(diǎn)尸,Q,\PQ\=2y/r2-d2；

d=ro直線與圓相切；

d>ro直線與圓相離

(2)代數(shù)方法(幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù))

JAx+By+C=0

由|(x-a)2+(y-Z?)2=r2，

消元得到一元二次方程px1+qx+，=0，px1+qx+，=0判別式為A,則:

△>0o直線與圓相交;

A=0o直線與圓相切；

A<0o直線與圓相離.

七、兩圓位置關(guān)系的判斷

用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：

設(shè)兩圓的半徑分別是（不