2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第03講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

（5類核心考點(diǎn)精講精練）

I璃.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

2024年新I卷，第6題,5分判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

2023年新I卷，第4題,5分指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性二次函數(shù)單調(diào)性

用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性

2022年新I卷，第7題,5分比較指數(shù)累的大小

比較對(duì)數(shù)式的大小

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)考查，需要掌握指數(shù)的運(yùn)算及

指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，難度中等偏下，分值為5-6分

【備考策略】1.了解有理數(shù)指數(shù)暴、實(shí)數(shù)指數(shù)累含義，掌握指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).

2.了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念

3.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

4.能結(jié)合指數(shù)函數(shù)比較指數(shù)式大小

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容會(huì)結(jié)合其他函數(shù)內(nèi)容綜合考查，需綜合性學(xué)習(xí)備考

12?考點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)1根式的基本知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)的基本性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)3指數(shù)的基本計(jì)算

核心知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)4指數(shù)函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)5對(duì)稱性

考點(diǎn)1指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算

考點(diǎn)2指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用

考點(diǎn)3指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性

核心考點(diǎn)

考點(diǎn)4指數(shù)（型）函數(shù)的值域與最值

考點(diǎn)5指數(shù)值的大小比較（含構(gòu)造函數(shù)比較大小）

知識(shí)講解

1.指數(shù)的基本知識(shí)

（1）根式的基本性質(zhì)

①?的定義域?yàn)榱酥?,正的定義域?yàn)閤eH

②J3=|%|=<X_1，定義域?yàn)椋╔GR）

l-x,x<0

④#7=%,定義域?yàn)椋▁eR）

⑤怎，=x，定義域?yàn)椋▁eR）

（2）指數(shù)的基本性質(zhì)

①零指數(shù)幕:a0-l（a豐0）；

②負(fù)整數(shù)指數(shù)累:a-。=L（ai0,peN*）;

ap

m__

③正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕:an=（a>0,m>neN*,且〃>1）；

（3）指數(shù)的基本計(jì)算

m

①同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算am-an=am+n②同底數(shù)塞的除法運(yùn)算a<=a"n

an

mnm

③暴的乘方運(yùn)算（°中=a④積的乘方運(yùn)算（"）"'=a"'b

2

2.指數(shù)函數(shù)

（1）指數(shù)函數(shù)的定義及一般形式

一般地，函數(shù)丁="（?！?且“片1）,1：67?,叫做指數(shù)函數(shù)

（2）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=axa>l0<a<l

卜y

/y-axy=ax\J

圖(0,1)/-----y=l

象

01Xi*

定義域R

值域(0,4w)

過(guò)定點(diǎn)（0,1）

當(dāng)x>0時(shí)，y>l；當(dāng)%>0時(shí)，0<y<l；

性質(zhì)x<0時(shí),0<y<lx<0時(shí),y>1

在（-00,+oo）上是增函數(shù)在（-co,+co）上是減函數(shù)

考點(diǎn)一、指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）I—9J=（）

A.：B.昱C.君D.3

33

【答案】A

【分析】利用指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

故選：A.

2.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）若孫=3,則x

3

【答案】±2>/3

【分析】

分x>0,y>0和x<O,y<。兩種情況分類計(jì)算.

【詳解】當(dāng)x>0,y>0時(shí),

當(dāng)x<0,y<0時(shí),=-y[xy+-y[xy=-26.

故答案為：±2A/3

3.(2022?北京?高考真題)已知函數(shù)了(的:白，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有()

A./(-x)+f(x)=0B.尤)=0

C./(-x)+/(%)=!D./(-%)-/(%)=1

【答案】C

【分析】直接代入計(jì)算，注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤.

【詳解】f(-x\+f(x}=—^—+—2V1

八)J\)--------1------=--1,故A錯(cuò)誤，C正確;

]+2-1+2v1+2"1+2、

1_2X1_2X-1___2

1不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤;

1+2"-1+2尤1+2"-2尤+1一一2"+1

故選：C.

即時(shí)檢測(cè)

I_______:________

1.（2024?上海寶山?二模）將向區(qū)（其中”>0）化為有理數(shù)指數(shù)塞的形式為,

【答案】）

【分析】直接利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)累的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可

【詳解】耳&==/

故答案為：/

2.（2023?山東?模擬預(yù)測(cè)）若/一"=4,貝的值為（）

A.8B.16C.2D.18

【答案】D

【分析】利用完全平方公式結(jié)合指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】解：因?yàn)?-/=4,

所以a2+a2=（<21—fl1）2+2=42+2=18.

故選：D.

4

3.(2023.四川宜賓?一模)計(jì)算:盾12^-(0.25)山山|+限端=.

【答案】-2石

【分析】根據(jù)根式、指數(shù)暴運(yùn)算以及對(duì)數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：,(6—2『—(0.25)3x殳；+氏4=|百一2卜2(72)4+73X(-1)

=2-^--X4-A/3=-2V3,

2

即J(代_2)_(0.25)zx(3]+\/3xlg-^-=-2^/3.

故答案為：-273.

考點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)y=3、與y=-1的圖象()

3

A.關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱

c.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于，=彳對(duì)稱

【答案】c

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性即可判斷，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)A?與g(x),如果它們的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即

g(-x)=-/(x)在定義域內(nèi)恒成立，則稱/(X)與g(x)為中心對(duì)稱，利用指數(shù)函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論.

【詳解】令函數(shù)y=〃x)=3?=g(x)=.：,

所以g(T)=_.=_3x=_〃x)

即g(-元)=-/(?,所以函數(shù)/⑺與g(x)的的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

即函數(shù)y=3,與>=的圖象的的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

故選：C.

2.(23-24高三上?河北衡水?開學(xué)考試)已知a>0,則函數(shù)/(幻=優(yōu)-2a的圖象可能是()

5

【答案】AD

【分析】通過(guò)特值法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，通過(guò)。的取值，判斷函數(shù)的圖象的形狀，推出結(jié)果即可.

【詳解】由于當(dāng)x=l時(shí)，，(1)=2。=一。＜0,排除B,C,

當(dāng)。=2時(shí)，/(%)=2v-4,此時(shí)函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的圖形可能為A,

當(dāng)。=:時(shí)，此時(shí)函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的的圖形可能為D.

故選：AD.

3.(2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)〃力=/(%-的所有零點(diǎn)之和為()

A.0B.-1C.y/3D.2

【答案】A

V-_1_1

【分析】令〃x)=0,EPex(x-l)-x-l=0,構(gòu)造函數(shù)，=e￡與函數(shù)y=-畫出函數(shù)圖象，可知兩個(gè)函

X-L

數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)，設(shè)為占，三，得_/?&)="—%)=(),進(jìn)而得到尤2=-&，即為+4=。

【詳解】由零點(diǎn)定義可知，函數(shù)的零點(diǎn)，就是方程〃x)=0的實(shí)數(shù)根，令〃x)=0,

Y-I-1

則e”(x—1)—x—1=0,顯然％wl,所以e"=q,

x—1

y-I-1VJ-1

構(gòu)造函數(shù)＞=^與函數(shù)y=則方程e，==的根，

x-1x-1

可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)，

所以此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)/(力=1(尤-1)-尤-1有兩個(gè)零點(diǎn)，

XX,+1x+1

設(shè)為公三，所以e'=',儼='，

X]-1%2-]

即/(%)二酋(七一1)一石_1=0,/(42)=。&(九2-1)—%2—1=0,

另外發(fā)現(xiàn)，將一%代入，可得/(-&)=ef_1)_(一芯)_]=一(1+1)+芯_]__(為+1)+卑=0,

e1e1e1

所以F也是函數(shù)”尤)的零點(diǎn)，說(shuō)明馬=-%，即玉+%=0.

故選:A.

6

即時(shí)檢測(cè)

I_________________________

1.（22-23高二下?四川綿陽(yáng)?期末）要得到函數(shù)y=22i的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)y=4'的圖象（）

A.向左平移1個(gè)單位B.向右平移1個(gè)單位

C.向左平移g個(gè)單位D.向右平移g個(gè)單位

【答案】D

【分析】利用函數(shù)圖象的平移變換可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閥=4-2?工，221=2<4），

所以，為了得到函數(shù)y=22，T的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)y=4”的圖象向右平移3個(gè)單位，

故選：D.

2.（23-24高三上,山西晉中?階段練習(xí)）（多選）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=Y+依+。-1與y=a'的圖象

可能是（）

【答案】AC

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象判斷，注意分類討論.

【詳解】當(dāng)。>1時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象可能為選項(xiàng)A；當(dāng)0<〃<1時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象可能為選項(xiàng)C.

故選：AC.

3.（2024?黑龍江?二模）已知函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線，=2,但又不與該直線相

7

交，則比＞=（）

A.-1B.-2C.-4D.-9

【答案】C

【分析】由題意可得。+6=0且6=2,求出a,即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)＞=/3=砌”圖象過(guò)原點(diǎn)，所以*）。+匕=0,

得a+b=O,又該函數(shù)圖象無(wú)限接近直線y=2,且不與該直線相交，

所以6=2,則a=—2,

所以必二T.

故選：C

考點(diǎn)三、指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高考真題）設(shè)函數(shù)/（尤）=2'（i）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.（-oo,-2]B.[—2,0）

C.（0,2]D.[2,+向

【答案】D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.

【詳解】函數(shù)y=2,在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)〃耳=2工（1）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，

則有函數(shù)丫=N一0）=。-攵2一,在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，因此解得

所以。的取值范圍是[2,+8）.

故選：D

2.（2024?寧夏銀川?三模）已知函數(shù)〃耳=擊二，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.函數(shù)/（X）單調(diào)遞增B.函數(shù)/■（%）值域?yàn)椋?,2）

C.函數(shù)的圖象關(guān)于（0,1）對(duì)稱D.函數(shù)〃尤）的圖象關(guān)于（1,1）對(duì)稱

【答案】C

【分析】分離常數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)

的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B；根據(jù)對(duì)稱性的定義，〃2-力與的關(guān)系，即可判斷CD.

X

【詳解】〃%）=亍￡2+2-2_22

2X-1+1—2X-1+1

2

函數(shù)'=2-7,t=2%-1+1,則，＞1,

8

7

又內(nèi)層函數(shù)f=2-+1在R上單調(diào)遞增，外層函數(shù)y=2-一在。，y）上單調(diào)遞增，

所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)f（無(wú)）單調(diào)遞增，故A正確；

22

因?yàn)?，T+1＞1，所以則0＜2-^＜2,

2，一+172*T一+1

所以函數(shù)的值域?yàn)椋?,2）,故B正確；

f（2-x}=-y---=---=—Y—,/（2—x）+/（x）=2,

I'21-'+12+2*2-'-1+1''''

所以函數(shù)/（X）關(guān)于點(diǎn)（L1）對(duì)稱，故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：C.

3.（2022全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=3如2—32%則滿足2（x）+/（8-3x）＞0的x的取值范圍是（）

A.（—oo,4）B.（-8,2）C.（2,+co）D.（-2,2）

【答案】B

【分析】設(shè)且（》）=3工-3-，，即可判斷g（x）為奇函數(shù)，又〃x）=g（x-2）,可得圖象的對(duì)稱中心為（2,0）,

則〃力+〃4一x）=0,再判斷的單調(diào)性，不等式/（x）+〃8—3x）＞0,Bp/（8-3x）＞/（4-x）,結(jié)合

單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.

【詳解】設(shè)g（x）=3「3T,xeR,貝i]g（r）=3T-3'=-g（x）,所以g（x）為奇函數(shù).

又〃x）=3r-2-32T=3A2—3/"2）=g（%_2）,

則〃x）的圖象是由g⑺的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，

所以圖象的對(duì)稱中心為（2,0）,所以/（X）+/（4T）=0.

因?yàn)椋?3,在R上單調(diào)遞增，＞=3-工在R上單調(diào)遞減，

所以g⑺在R上單調(diào)遞增，則在R上單調(diào)遞增,

因?yàn)椤▁）+〃8—3X）＞0=〃X）+/（4T）,

所以/（8—3x）＞/（4—x）,所以8—3X＞4T,解得X＜2,

故滿足/（x）+/（8—3x）＞0的x的取值范圍為（-雙2）.

故選：B

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)?。?一+是R上的減函數(shù)，貝"的取值

[l-a,x＞l

范圍是（）

A.（1,3]B.[2,3]C.[2,+w）D.[3,+OO）

【答案】B

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，解之即可直接得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)＞是減函數(shù)，所以a＞l.

9

S一（i

又因?yàn)楹瘮?shù)y=V+（a-5）x+1圖像的對(duì)稱軸是直線尤=

所以函數(shù)丁=/+（4-5卜+1在1-=0,彳[上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

a>1

又函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，所以〈亭,解得24aV3,

CL—321—6Z

所以。的取值范圍是[2,3].

故選:B.

即0唧（

1.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（x）=3,2W的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.（-=o,0）B.（-1,0）C.（0,1）D.（l,+oo）

【答案】C

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

【詳解】令』2-2國(guó),則y=3'，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：

/（力的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)/=Y-2國(guó)的單調(diào)遞減區(qū)間,

又函數(shù)4一龍）=（一元）2-2卜X=/（尤），

即函數(shù)f（尤）為偶函數(shù)，

結(jié)合圖象，如圖所示，

可知函數(shù)7=1-2國(guó)的單調(diào)遞減區(qū)間為（一s,-1）和（0,1）,

即的單調(diào)遞減區(qū)間為（一力,一1）和（0,1）.

2.（2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)〃同=亦必在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（

A.（-co,2]B.（-8,4]C.[2,+co）D.[4,+co）

【答案】D

10

【分析】根據(jù)題意，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】函數(shù)y=3'在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)〃同=3k母在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞減，

所以y=|2x-a|在區(qū)間（1,2）單調(diào)遞減，所以■|22,解得“24.

故選：D.

3.（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)〃司=m%,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)/（x）單調(diào)遞增

B.函數(shù)值域?yàn)椋?,2）

C.函數(shù)〃尤）的圖象關(guān)于（0』）對(duì)稱

D.函數(shù)的圖象關(guān)于（U）對(duì)稱

【答案】ABD

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A,根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解

函數(shù)的值域，即可判斷B,根據(jù)對(duì)稱性的定義，〃2-x）與“X）的關(guān)系，即可判斷CD.

【詳解】/（尤）=—^=2工+2-2=2一一I—,

172+12+12+1

2

函數(shù)y=2——,t=2x-1+l,則，>1,

t

又內(nèi)層函數(shù)f=2~+l在R上單調(diào)遞增，外層函數(shù)y=2-。在（1,+8）上單調(diào)遞增，

所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增，故A正確；

o2

因?yàn)?，T+1>1，所以0〈喬口<2,則0<2-亍石口<2,所以函數(shù)〃尤）的值域?yàn)椋?,2）,故B正確；

/（2-x）=^^=^-r=-^—,/（2-x）+/（x）=2,所以函數(shù)〃x）關(guān)于點(diǎn)（1,1）對(duì)稱，故C錯(cuò)誤，D正

故選：ABD

>+i，/、

4.（2024.陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=「，則不等式的解集為（）

A.(-2,2)

C.(-8,0)

【答案】A

【分析】判斷函數(shù)尤）的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即可.

gx<0

易知y=fr在(一8，°)單調(diào)遞減，

【詳解】〃x)=<

--—，尤士0

屋+2

y=W在(0,+動(dòng)單調(diào)遞減，且“X)在x=0處連續(xù)，故”元)在R上單調(diào)遞減,

由/(儲(chǔ)-1)>〃3),貝02T<3,解得一2<。<2,

故不等式/(YT)>"3)的解集為(-2,2).

故選：A

考點(diǎn)四、指數(shù)(型)函數(shù)的值域與最值

典例引領(lǐng)

/1\VX2-2X-1

1.(23-24高三?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=g，則〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,值域?yàn)?

【答案】(-8,0](0,2]

【分析】根據(jù)同增異減法則求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；通過(guò)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域.

【詳解】令2x20,解得x22或xWO,

團(tuán)的定義域?yàn)?-8,0]U[2,+W),

令公五五-1，則其在(-8，°]上遞減，在⑵+⑹上遞增，

又y=為減函數(shù)，故的增區(qū)間為(-90].

0r=VZ^-l>-bU、(O,2],故“X)的值域?yàn)?。,2].

故答案為：(f,。],(0,2].

2.(2024?上海松江?二模)已知0<。<2,函數(shù)y=一2‘尤I'"”'""j,若該函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)

[2a\x>2

。的取值范圍是.

【答案】或。=1}

【分析】令g(x)=(o-2)尤+4a+l,xe(-8,2],〃(x)=2優(yōu)t,xe(2,*o),分類討論a的取值范圍，判斷g(x),

〃(x)的單調(diào)性，結(jié)合/(X)存在最小值，列出相應(yīng)不等式，綜合可得答案.

【詳解】由題意，令g(x)=(a-2)x+4a+l,xe(-oo,2],h(x)=2ax~l,xe(2,+w),

當(dāng)0<a<l時(shí)，g(無(wú))在(f,2]上單調(diào)遞減，％(x)在(2,y)上單調(diào)遞減，則〃(x)在(2,茁)上的值域?yàn)?0,2a),

12

因?yàn)閺V⑺存在最小值，故需g（2）=（。-2）x2+4a+lW0,解得awg,

當(dāng)1<a<2時(shí)，g（x）在（ro,2］上單調(diào)遞減，/?（無(wú)）在（2,+00）上單調(diào)遞增，則〃（無(wú)）在（2,+oo）上的值域?yàn)椋?a,+oo）,

3

因?yàn)閒(x)存在最小值，故需g(2)W2a,Bp(a-2)x2+4a+1<2a,解得

這與1<“<2矛盾；

當(dāng)a=l時(shí)，g（x）=-x+5在（_叫2］上單調(diào)遞減，且在（-叫2］上的值域?yàn)椋?,+8）,h（x）=2,此時(shí)存在最小值

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為或。=1}.

故答案為：{a|O<a<1^G=l}.

3.（2024?四川成都?二模）已知函數(shù)=同的值域?yàn)镸.若（1,+8）=",則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

—,+00—,+co

叼44

【答案】B

【分析】

對(duì)實(shí)數(shù)。分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的值域可得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)0=0時(shí)，/（力=23?0,+動(dòng)，符合題意；

當(dāng)aw0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)〃元）=24加的值域?yàn)镸滿足（1,+功aM,

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù)y=a/-x+l的最小值小于或等于零;

若a>0時(shí)，依題意有y=x+i的最小值?0,即

4a4

若〃<0時(shí)，不符合題意；

綜上：0<<2<—,

4

故選：B.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（X）=2*+2*+3,則〃無(wú)）的最大值是.

【答案】16

【分析】求出仁-/+2了+3的范圍，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳角軍】由/■（尤）=2-'+2工+3,而才=一元2+2了+3=一（尤一1）2+4?4,

因?yàn)閥=2'單調(diào)遞增，所以y=2'（24,則/（無(wú)）的最大值是16.

13

故答案為：16

2.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/（無(wú)）=1+臉（無(wú)e[歷,100]）,則函數(shù)F（x）=2"（切冽的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[1,16]B.[1,8]C.[2,16]D.[1,16]

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出于3的值域，再借助二次函數(shù)求出[/（x）]2-/（x2）的值域，

最后利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即得.

【詳解】函數(shù)〃x）=l+lgx在[木/。。]上單調(diào)遞增，/（x）e[0,3],

222

令/="（尤）]-/（/）=[/（x）]-l-21gx="（切z_2/（x）+l=[/（x）-l]e[0,4],

而函數(shù)y=2,在[0,4]上單調(diào)遞增，貝打（2Y16,

所以函數(shù)尸（幻=/（刈5凸的值域?yàn)閇1,16].

故選：D

（a>I）的值域?yàn)椤?，Dc[1-,+oo）,則。的取值范圍

3.（2024?河北保定?三模）已知/（無(wú)）=

a11

XH------l,X>l

X

是（）

35537

A.[-,2]B.C.[-,2）D.[-,2]

24324

【答案】D

【分析】分段函數(shù)在兩段上分別根據(jù)自變量范圍求函數(shù)值的范圍，跟值域?qū)Ρ惹髮?shí)數(shù)"的取值范圍.

【詳解】①若l<a<2,

當(dāng)XWI時(shí)，〃尤）=（。-1）*-；在（-?/]上單調(diào)遞減，此時(shí)

當(dāng)尤>1時(shí)，f（x）=x-\---l^2y/a—1,當(dāng)且僅當(dāng)x=>1時(shí)，等號(hào)成立,

X

5、1

a——>—,

42

又函數(shù)/（X）的值域。滿足。=[；,+8）,貝卜—1:，解得"<2；

24

1<a<2,

②若a>2,

當(dāng)xWl時(shí)，〃同=（°-1）*一；在（YO,1]上單調(diào)遞增，此時(shí)（一;,a-%,

當(dāng)x>l時(shí)，/（x）=x+--1^2^-l,當(dāng)且僅當(dāng)了=標(biāo)>1時(shí)，等號(hào)成立，

X

14

又函數(shù)/（九）的值域。滿足。7［；,+8）,不合題意；

3

VL

③當(dāng)a=2時(shí)，/?=2，

XH---1,X>1,

、X

若x>l,有尤+2-122應(yīng)（當(dāng)且僅當(dāng)x=加時(shí)取等號(hào)）符合題意，

x2

7

綜上所述：-<^<2.

4

故選：D.

考點(diǎn)五、指數(shù)值的大小比較（含構(gòu)造函數(shù)比較大?。?/p>

典例引領(lǐng)

1.（2024?云南?二模）若〃=2%-2/=6-1,°=23，貝U（）

A.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】根據(jù)中間數(shù)2比較。與c,根據(jù)中間數(shù)1比較方與c.

【詳解】因?yàn)閍=2~2>=2,c=2^<2f

所以”>c,因?yàn)?=6-=工<1,

6c=2i>2°=1>

所以c>b,所以a>c>6.

故選：D.

5

2.（2024?天津?一模）已知實(shí)數(shù)a,b,C滿足a==:則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

i1

【分析】根據(jù)條件，得到6=（少e,利用函數(shù)y=（g），的單調(diào)性，即可得到。<人<1,而c>l,即可求出結(jié)果.

111

【詳解】因?yàn)榈玫絙=Q）e,又。=（；不，函數(shù)y=（萬(wàn)戶是減函數(shù)，

所以“d=（y<i,又以

=-,得到c=logiW=log23>l,

353

所以a<b<c,

故選：A.

3.（2024?寧夏銀川?三模）設(shè)。=9°2,6=3地，c=3ln1-3,則（）

15

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃x）=x-l-Inx,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)性，可判斷0.3>lnL3,再結(jié)合指數(shù)函數(shù)y=3,的單

調(diào)性即可判斷.

【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)〃x）=x-l-Inx,則（（無(wú)）=?,

當(dāng)X21時(shí)，r（x）>0,所以f（x）在區(qū)間［1,+8）上單調(diào)遞增，

因止匕可得了（L3）>/（1）=0,即/（1.3）=1.3-l-lnl.3=0.3-lnl.3>0,

所以0.3>lnl.3,

又指數(shù)函數(shù)y=3,為單調(diào)遞增，可得3間>3°3>3山L3,即b>c,

因?yàn)閍=9°°=3°4>3°刀=6,所以c<6<a.

故選：A.

1.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)。=0.5%6=04」,c=l.產(chǎn)5,則（）

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合與特殊值1的比較，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=0.5工是單調(diào)減函數(shù)，所以05」<0.5°4<Q5°=l,

又由幕函數(shù)>=腦」在（0,+8）上單調(diào)增函數(shù)，所以1=1」>05」>0.4'1,

又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=1」、是單調(diào)增函數(shù)，所以1.及>1.1°=1,

綜上可得：b<a<c,

故選：D.

2.（2023?天津?高考真題）a=1.01°5,b=1.01°6,c=O.605,則瓦c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)累、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.

【詳解】由>=1.01、在R上遞增，則〃=1.01。5<人=1.0產(chǎn)6,

由尸戶在［0,+8）上遞增，則a=1.0產(chǎn)5>c=O.605.

所以b>a>c.

故選：D

、21二

3.（2024?遼寧?一模）設(shè)。=—,b=2-e3,c=l-e3則（）

3

16

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式6工2元+1,可得根據(jù)不等式的性質(zhì)可證得i+el>。，則c<6,即

可求解.

【詳解】對(duì)于函數(shù)/(x)=e-x-l,尸(x)=e'-l,

令r(x)<o=x<o,ra)>o=x>o,

所以函數(shù)/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)min=/(0)=。，則/(x)20,即e，2x+l.

112--22

所以b=2-e3<2-(-+1)=-,c=l-e3<1-(--+1)=-.

12--1I12-

由e?<8,得/</=2,所以e%丁，則1+r=1+丁>2什=二>巴

e3e3Ve3e3

所以即。<尻

所以

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于比較實(shí)數(shù)大小方法：

(1)利用基本函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，

(2)利用中間值"1〃或"0"進(jìn)行比較，

(3)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)及函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.

口.好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

一、單選題

1.(2024?陜西渭南?二模)設(shè)集合〃={耳-1)<1},N={y[y=e。尤40},則()

A.(0,1)B.(0,1]C.[-1,1]D.[0,1]

【答案】C

【分析】求出函數(shù)值域化簡(jiǎn)集合N,再利用并集的定義求解即得.

【詳解】當(dāng)x40時(shí)，0<e*Vl,則N=(0,l],而“=[一1』],

所以MUN=[-1,1].

故選：C

2.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))若。,6eR,則"a>b"是"3。一3〃>2人-2"”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

17

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)外力=3*+2‘，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到3"+2。>3、2J故。>從

【詳解】構(gòu)造函數(shù)〃x)=3*+2，，則在R上單調(diào)遞增，

所以3a-3&>2〃-2"03"+2">3〃+2&cf(a)>f?oa>b.

故選：C.

3.(2024?湖南邵陽(yáng)?三模)是"函數(shù)=(a>0且awl)在R上單調(diào)遞減”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】分。>1和0<〃<1兩種情況討論/'(尤)的單調(diào)性，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】若。>1,則"%)的圖象為：

可知/'(X)在R上單調(diào)遞增;

可知f(x)在R上單調(diào)遞減；

綜上所述：是"函數(shù)〃尤)="-。(〃>0且"1)在R上單調(diào)遞減”的充要條件.

故選：C.

4.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=2-4(aeR)為偶函數(shù),則函數(shù)y=/(x)的增區(qū)間為()

A.B.(0,+8)

C.(re,-1)D.(-8,0)

【答案】B

【分析】由偶函數(shù)求得參數(shù)值，進(jìn)而得表達(dá)式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得解.

18

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=2AH(aeR)為偶函數(shù)，所以步*=*4,解得〃=0,

[2~x,x<0

所以函數(shù)/(無(wú))=州

反尤>0,其增區(qū)間為(0,+。).

故選：B.

5.(2024?遼寧?一模)若函數(shù)”x)=32"+"在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，貝心的取值范圍是()

A.(-8,4]B.[4,16]C.(16,+oo)D.[16,+8)

【答案】A

【分析】利用"同增異減"判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)的取值范圍.

2

【詳解】設(shè)〃")=3",u=-2x+aJc,則/(")=3"在(-?,y)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?3-2/+口在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)〃=-2/+a尤在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減,

結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：:41,解得a<4.

4

故選：A

ny

6.(2024?江西景德鎮(zhèn)?三模)已知函數(shù)〃力=12)是奇函數(shù)，則x>0時(shí)，g(%)的解析式為()

g(x),x>0

A.B.出'C.2D.2,

【答案】C

【分析】設(shè)x>0,利用x<0時(shí)，〃》)=，]和〃一同=—"工)可求得且(力的解析式.

【詳施軍】設(shè)%>0,貝1」一1<0,

所以

又函數(shù)〃尤)是奇函數(shù)，所以，(f)=—"X),即一f(x)=2*n/(x)=-2，，x>o.

gpg(x)=-2\

故選：C

7.(2024?浙江紹興?三模)已知函數(shù)/(2x+l)為偶函數(shù)，若函數(shù)g(x)=〃x)+2i+2i-5的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇

數(shù)個(gè)，則/⑴=()

A.1B.2C.3D.0

【答案】D

【分析】由函數(shù)g(元)的圖象關(guān)于X=1對(duì)稱得零點(diǎn)關(guān)于X=1對(duì)稱，但g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)可得答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(2x+l)為偶函數(shù)，所以/(-2x+l)=f(2x+l),

所以y=〃x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，

19

令+2，T一5,則h（2-x）=+2=-5=h{x）,

可得函數(shù)/?（x）=21T+2，T-5的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，

所以函數(shù)8（力=〃力+21+21-5的圖象關(guān)于》=1對(duì)稱，

則函數(shù)g（元）的零點(diǎn)關(guān)于x=l對(duì)稱，但g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè),

貝=

故選：D.

二、填空題

8.（2024?山東濟(jì)寧?三模）已知函數(shù)='X-0,則H）,.

log4x,x>0

【答案】亞

【分析】利用已知的分段函數(shù)，可先求了（}=-；，再求//1I0即可.

，x<0，所以/&）=1嗎；=-1嗎2=」

【詳解】因?yàn)?（%）=I

log4x,x>0,

所以巾m外出Fs

故答案為：拒.

9.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下面條件①②的函數(shù)解析式〃尤）=.

①］（%+%2）=/（%）/㈤;②/（X）的值域?yàn)椋?,+8）.

【答案】2,（答案不唯一）

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域和指數(shù)運(yùn)算即可得到答案.

【詳解】對(duì)于任意指數(shù)函數(shù)函數(shù)/（同=優(yōu)（。>0且"D,

條件①，對(duì)于任意尤i,0eR,都有=4*=/（為+%2），

條件②，/（X）是指數(shù)函數(shù)，所以/⑺的值域?yàn)椋?,+8）,