2025屆高考數(shù)學利用導數(shù)研究函數(shù)的零點（解析版）

利用導數(shù)研究函數(shù)的零點

【新高考專用】

導數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，導數(shù)中的函數(shù)零點(方程根)問題在高考中

占有很重要的地位，是熱點問題，主要涉及函數(shù)零點的個數(shù)或范圍等問題.高考?？疾槿魏瘮?shù)與復合函數(shù)

的零點問題，以及函數(shù)零點與其他知識的交匯問題，一般作為解答題的壓軸題出現(xiàn)，難度較大，需要靈活

求解.

?知識梳理

【知識點1導數(shù)中的函數(shù)零點問題及其解題策略】

1.函數(shù)零點(個數(shù))問題的的常用方法

(1)構造函數(shù)法：構造函數(shù)g(x),利用導數(shù)研究g(無)的性質，結合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點的個數(shù).

(2)函數(shù)零點存在定理：利用零點存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點，再結合圖象與性質確定函數(shù)

有多少個零點.

(3)數(shù)形結合法：函數(shù)零點個數(shù)可轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，數(shù)形結合，根據(jù)圖象的幾何直觀求

解.

2.導數(shù)中的含參函數(shù)零點(個數(shù))問題

利用導數(shù)研究含參函數(shù)的零點(個數(shù))問題主要有兩種方法：

(1)利用導數(shù)研究函數(shù)五X)的最值，轉化為八X)圖象與X軸的交點問題，主要是應用分類討論思想解決.

(2)分離參變量，即由y(x)=O分離參變量，得a=g(x),研究y=a與y=g(x)圖象的交點問題.

3.與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題的解題策略

與函數(shù)零點(方程的根)有關的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間和極值點，并結合

特殊點判斷函數(shù)的大致圖象，進而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉化為兩函數(shù)圖象的交點情況.

【知識點2隱零點問題及其解題策略】

1.隱零點問題

隱零點問題是指函數(shù)的零點存在但無法直接求解出來的問題，在函數(shù)不等式與導數(shù)的綜合題目中常會

遇到涉及隱零點的問題，處理隱零點問題的基本策路是判斷單調性，合理取點判斷符號，再結合函數(shù)零點

存在定理處理.

2.隱零點問題的解題策略

在求解函數(shù)問題時，很多時候都需要求函數(shù)式x)在區(qū)間/上的零點，但所述情形都難以求出其準確值，

導致解題過程無法繼續(xù)進行時，可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)小)在區(qū)間/上存在唯一的零點(例如，函數(shù)五X)

在區(qū)間/上是單調函數(shù)且在區(qū)間1的兩個端點的函數(shù)值異號時就可證明存在唯一的零點)，這時可設出其零

點是X0.因為X0不易求出(當然，有時是可以求出但無需求出)，所以把零點比叫做隱零點；若X0容易求出，

就叫做顯零點，而后解答就可繼續(xù)進行，實際上，此解法類似于解析幾何中“設而不求”的方法.

?舉一反三

【題型1判斷或討論零點的個數(shù)】

-1,%>0

[例1](2024?新疆烏魯木齊?三模)已知符號函數(shù)sgn(x)=0,%=0,則函數(shù)/(久)=sgn(lnx)-xlnx零

「1,%V0

點個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【解題思路】根據(jù)零點的定義計算即可.

【解答過程】臼當In%>0,即久>1時，/(x)=1—xlnx,

尸(%)=—Inx—1<0在(1,+8)上恒成立，

所以/(%)在(L+8)單調遞減，

因為f(1)=1>oj(e)=l-e<0,

所以存在％0e(l,e)使得f(Xo)=o.

團當Inx=0,即x=1時，/(%)=—xlnx,

因為((1)=0,所以％=1是f(x)的零點.

⑶當Inx<0,即0<久<1時，/(x)=—1—xlnx,f'(x)——Inx—1,

令尸(久)>0,得0<x<(令尸(x)<0,得，<x<l,

所以"X)在(0,》單調遞增，在&,1)單調遞減，

所以f(X)max=fe=T+F<。，

此時/(X)在(0,1)沒有零點，

綜上，f(x)的零點個數(shù)為2.

故選：C.

ln(l—x),x&(—co,0]

【變式1-1](2024.北京房山.一模)若函數(shù)/(?=i七s,則函數(shù)g(x)=/(x)+x+c零

e(o,+oo)八'

點的個數(shù)為(

C.1或2D.1或3

【解題思路】令g(x)=y(x)+x+c=0,則/(X)+K=-C,則函數(shù)g(x)零點的個數(shù)即為函數(shù)y=/(x)+

=—c圖象交點的個數(shù)，構造函數(shù)似x)=f(尤)+x,利用導數(shù)求出函數(shù)h(x)的單調區(qū)間，作出其大致圖

象，結合圖象即可得解.

ln(l—x),xG(—oo0]

x,xe(0,l),

i,xe[loo)

!1+

令g(%)=/(%)+%+c=0,則f(%)+x=-c,

則函數(shù)g(%)零點的個數(shù)即為函數(shù)y=/(%)+x,y=-c圖象交點的個數(shù)，

ln(l—x)+xE(—oo,0]

令h(%)=/(%)+x=2x,xG(0,1)

：+[1,+8)

當xe(—oo,0]時，/i(%)=ln(l—%)+%,則h'(X)=+1=~~20,

所以函數(shù)M%)在(一8,0]上單調遞增，且h(o)=o,

當%E(0,1)時，h(x)=2xE(0,2),

當%e[1,+8)時，h(x)=|+%,則》(%)=—妥+1=>0,

所以函數(shù)以%)在[1,+8)上單調遞增，且以1)=2,

又當久->一8時八(%)T—00,當久T+8時，ft(%)T+00,

作出函數(shù)八(第)的大致圖象如圖所示，

由圖可知函數(shù)y=/(%)+x,y=-c的圖象有且僅有一個交點，

所以函數(shù)g(%)=/(%)+%+c零點的個數(shù)為1個.

故選：A.

【變式1-2](2024.陜西榆林.模擬預測)已知函數(shù)/(%)=In%-a%e%T+%+1,aGR.

(1)當a=1時,求f(%)的極值；

⑵討論函數(shù)/(%)的零點個數(shù).

【解題思路】(1)原函數(shù)求導尸(%)=(-(ex-1+%ex-1)+1=(%+1)Q—令g(x)=~~e'T再

分析，進而得到原函數(shù)的單調區(qū)間，進而得到極值.

(2)分情況討論單調區(qū)間，借助極限知識，大概知曉函數(shù)圖像趨勢和函數(shù)值，進而得到零點個數(shù).

【解答過程】(1)當。=1時，f(x)=\nx—%ex-1+%+1,

?，/(%)=^—(ex-1+xex-1)+1=(%+1)Q—e*i),

易知函數(shù)/(%)的定義域為(0,+8),且函數(shù)y=]口y=—e%T都在區(qū)間(0,+8)上單調遞減，

令9(%)=：-e%T,則g(%)在區(qū)間(0,+8)上單調遞減，且g(l)=0,

???當0<%Vl時，((%)>0；當％=1時，((1)=0；當久>1時，/'(%)<0,

???函數(shù)/(%)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

???函數(shù)/X%)的極大值為f(l)=l,無極小值.

(2)當。工0時，易知/(%)>0,函數(shù)/(%)單調遞增,

又當先一時，/(%)——00;當％T+8時，/(%)T+00,

???當時，函數(shù)/(%)只有一個零點，

當。>0時，令九(%)=2-ae%T,易知h(x)在區(qū)間(0,+8)上單調遞減，

X

當％T0+時，h(x)T+8;當％T+8時，/(x)T—00,

x-1

「?存在x()G(0,+8)使得九(&)=0,即2=ae°,

%0

?,?當0<%<%0時，f'(x)>0,函數(shù)/(%)單調遞增；當%>%0時，((%)V0,函數(shù)/(汽)單調遞減,

又當久-?0+時,/(X)T-00;當％T+8時，/(x)-?-00,

下面討論/(%0)與0的大小關系，

x-1x1

V/(x0)=lnx0—axoe°+%0+1,—=ae°~,

XQ

x-1

=xoe°,即In]=ln%0+x0-1,

???/(久o)=lnx0+x0=1—Ina,

,當OVaVe時,/(x0)>0；當a=e時，f(%。)=0;當a>e時，/(%())<0.

?,?當0<aVe時，/(%)有2個零點；當a=e時，/0)只有1個零點；當a>e時，/(%)沒有零點.

綜上，

當ae(-oo,o]u{e}時,函數(shù)/(%)只有1個零點；

當ae(0,e)時，函數(shù)/(%)有2個零點；

當。G(e,+8)時，函數(shù)/(、)沒有零點.

【變式1-3](2024.安徽蕪湖?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=e*sin%.

⑴討論函數(shù)f(%)在區(qū)間(Ojr)上的單調性；

(2)判斷函數(shù)h(x)=譬+ln(x+1)-2x+1零點的個數(shù).

【解題思路】(1)求導，即可得解；

(2)利用導數(shù)，進行求解即可.

【解答過程】(1)f'(%)=(cosx+sinx)ex=V2sin(x+ex

當xe(0,乎)時，尸⑺>0,所以/⑺在(0,日)單調遞增，

當無6倍,n)時，尸0)<0,所以f(x)在C單調遞減.

(2)易知函數(shù)h(x)的定義域為(-L+8)

*.*ft(%)=sin%+In(%+1)-2%+1

h'(x)=cosx+-2

當%>0時，cosx<1,Vl,

hr(x)<0,

，h(%)單調遞減，

當—1V%<0時，

1

h"(x)=-sinx一語于<。，

...”(X)單調遞減，

>%'(0)=0

.??h(x)單調遞增.

綜上：h(x)在(-1,0)上單調遞增，在(0,+8)單調遞減.

，h(%)max=八(0)=1>0，

??.九(仁—1)=sin0T)+ln(3_21)+1W]<0,

.?.八(久)在(-1,0)有唯一零點.

Vft(e-1)=sin(e—1)+ln(e)—2(e—1)+1<5—2e<0,

???h(%)在(0,+8)有唯一零點；

綜上所述h(x)在(-1,+8)有兩個零點.

【題型2零點問題之唯一零點問題】

【例2】(2024?四川綿陽?模擬預測)函數(shù)/⑺=數(shù)-履-匕恰好有一零點殉,且k>b>0,則殉的取值范

圍是()

A.(-oo,0)B.(0,1)C.(-00,1)D.(1,+oo)

【解題思路】由題將函數(shù)f(%)恰好有一零點與，且k>b>0等價于y=kx+b與g(x)=屋相切，將切線斜

率左和截距6求出來根據(jù)k>b>0即可求解.

【解答過程】函數(shù)/(久)-0即e8=kx+b,

因為函數(shù)f(x)恰好有一零點且k>6>0,

則由指數(shù)函數(shù)圖象特性y=kx+b與g(x)=e久相切，

因為g'(x)=e，設切點為(xo，e，。)，則切線斜率為k=e&,

xx

切點在切線上，故b=e°-kx0=e°(l-x0),

x

所以由k>b>0得e"。>e°(l—x0)>0=>0<x0<1.

故選：B.

【變式2-1](2024?四川成都?三模)若函數(shù)f(x)=ex-k/大于。的零點有且只有一個，則實數(shù)k的值為()

_2

A.4B.2VeC.-D.-

24

【解題思路】根據(jù)題意，函數(shù)/Xx)有且僅有一個正零點，轉化為方程k=§有且僅有一個正根，令g(x)=W

利用導數(shù)研究函數(shù)單調性、極值，數(shù)形結合判斷得解.

【解答過程】函數(shù)久支)有且僅有一個正零點，即方程有且僅有一個正根，

令9(X)=*則g'OO=

當汽<0時，g'(x)>0,當0<x<2時，g'(%)<0,當%>2時，g'(%)>0,

02

即函數(shù)9(%)在(一8,0)和(2,+8)上單調遞增，在(0,2)上單調遞減，且g(2)=z，

%->0時，g(%)—+8,%7-8時，g(%)-0,%-?+8時，g(%)T+8,可作出圖象如下，

X2

方程k=吃有且僅有一個正根，所以k=j

xz4

故選：D.

【變式2-2](2024.四川德陽?三模)已知函數(shù)/Q)=21nx—/—1.

⑴試研究函數(shù)/(久)的極值點；

(2)若尸(無)=f(x)+4ax恰有一個零點，求證0<a<三.

【解題思路】(1)先求函數(shù)/(X)的導函數(shù)，再利用導數(shù)與單調性的關系，得到函數(shù)“X)的單調區(qū)間，最后

得到函數(shù)f(x)的極值點；

(2)根據(jù)零點存在定理結合函數(shù)尸(x)的單調性，從而確定a的取值范圍.

【解答過程】(1)由/'(%)=21nx-/一1,定義域為(0,+8),

則廣(X)=|-2%=-2(弋(XT),久>(J,

所以當0<x<l時，f\x)>0,此時函數(shù)/(x)在xe(0,1)單調遞增,

當久>1時，/(%)<0,此時函數(shù)/(%)在％E(1,+8)單調遞減，

故函數(shù)/(%)有唯一極大值點久=1,無極小值點.

(2)由題意可得F'(%)=4a+：—2%,%>0,

令P(%)=0,解得％=a±Va2+1,

因為％=a+Va2+1>0,x=a—Va2+1<0,

所以F'(%)在(0,+8)上有唯一零點％°=a+'a?+i,

當%e(0,&)時，F(xiàn)'(x)>0,F(x)在(O,%o)上單調遞增；

當久G(g,+8)時,F'(%)<0,F(x)在(%。,+8)上單調遞減.

因為F(%)有且僅有一個零點，所以F'(%o)=0且F(&)=0.

(7

月口-+4a-2x=0

即■x00,

2

21n第o+4ax0—x0-1=0

消去Q并整理得:21nx0+%o-3=0,

令九(%)=2\nx+%?_3,則"(%)=|+2%,

因為%>0時，h'{x)>0在(0,+8)上恒成立，所以h(%)在(0,+8)上單調遞增，

又九(1)=-2<0,h(2)=21n2+1>0,所以1<&<2.

又a=](X。_3且函數(shù)y=|(x-目在(L2)上單調遞增,

q

所以0<a<-.

4

【變式2-3](2024?廣東汕頭?三模)已知函數(shù)f(%)=x(ex-ax2).

(1)若曲線y=/(%)在%=-1處的切線與y軸垂直，求y=/(%)的極值.

(2)若f(%)在(0,+8)只有一個零點，求a.

【解題思路】(1)求出函數(shù)/(%)的導數(shù)，結合幾何意義求出a,再分析單調性求出極值.

(2)由函數(shù)零點的意義，等價變形得Q=旨在(0,+8)只有一解，轉化為直線與函數(shù)圖象只有一個交點求解.

【解答過程】(1)函數(shù)/(%)=x(ex-a%2)的定義域為R,求導得廣(%)=(x+l)ex-3ax2,/'(一1)=-3a,

依題意，((-1)=0,則a=0,/(x)=xex,ff(x)=(1+%)ex,

當光<—1時，/'(%)V0,當久>—1時，/'(%)>0,

因此函數(shù)/(%)在(-8,-1)上單調遞減，在(-1,+8)上單調遞增，

所以函數(shù)/(乃在芯=-1處取得極小值/(-I)=~1,無極大值.

(2)函數(shù)f(%)=久(e*-a/)在(o,+8)只有一個零點，等價于y=e%-a/在(o,+8)只有一個零點，

設=e%-則函數(shù)g(%)在(0,+8)只有一個零點，當且僅當g(%)=。在(0,+8)只有一解，

即a=3在(0,+8)只有一解，于是曲線y=^(x>0)與直線y=a只有一個公共點，

令夕(%)=裊(第〉0),求導得0，(X)=e當％V2時，/(%)V0,當％〉2時，"(%)>0,

因此函數(shù)0(乃在(0,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，

2

函數(shù)9(%)在汽=2取得極小值同時也是最小值0(2)=—p,

4

當久T0時，0(久)1+8;當％T+8時，9(%)T+8,

g(x)在(0,+8)只有一個零點時，a=0(2)=—,

4

a2

所以/(乃在(0,+8)只有一個零點口寸，a=^.

【題型3零點問題之雙零點問題】

[例3](2024?河北衡水?模擬預測)已知函數(shù)f(%)=Inx+1-a%有兩個零點%1，%且%1<%2，則下列命

題正確的是()

2

A.a>1B.+x2<-

C.&V1D.不—汽1>1-1

【解題思路】根據(jù)零點可將問題轉化為a=喈，構造9。)=修，求導即可根據(jù)函數(shù)的單調性得函數(shù)的

大致圖象，即可根據(jù)圖象求解A,根據(jù)極值點偏移，構造函數(shù)h(x)=f仁-久)-/0),結合函數(shù)的單調性

即可求解B,根據(jù)久1+小>：可得ln(/X2)>0，即可求解C,根據(jù)不等式的性質即可求解D.

【解答過程】由f(%)=0可得a=等，令9(乃=等，其中x>0,

則直線y=a與函數(shù)g(x)的圖象有兩個交點，g'O)=-罷,

由“(x)>0可得0<x<1,即函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1),

由“(%)<0可得久>1,即函數(shù)9(%)的單調遞減區(qū)間為(1,+8),

且當0<%〈工時，g(%)=^^i<0,當無〉工時，^(x)=>0,g(l)=1,

exex

如下圖所示：

由圖可知，當0<a<l時，直線y=a與函數(shù)g(x)的圖象有兩個交點，故A錯誤；

由圖可知，-<%!<1<%2,

因為尸(x)=1—a=手，由尸(x)>0可得0<x<%由尸(x)<0可得x>,

所以，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,￡),減區(qū)間為弓,+8),則必有0<勺<；<冷，

所以，0<X】<工，則2—%>―,

aaa

令h(%)=/((-%)—/(x)=In(：—%)—a(：—%)—Inx+ax,其中0V%V

則”(x)=A-1+2a=2ajXj\<0，則函數(shù)h(x)在(o,￡)上單調遞減，

axva)

所以,h(xi)>%(：)=0,即-f(xi)>0,即/'(尤i)<f(|一％J，

又/O2)=/(xi)=0,可得/(X2)<f-xj,

因為函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為G，+8),則乂2>/-久1，即久1+%2>=，故B錯誤；

由的-inr1t1，兩式相加整理可得久1+"2=>:，

1(/6九2—111人2~r-Laa

所以，ln(x1x2)>0,可得汽「％2>1，故C錯誤；

由圖可知(V<1V則—第1>—1,又因為%2>，,所以，％2-L故D正確.

故選：D.

【變式3-1](2024?湖南郴州?模擬預測)已知/(%)=znem%-ln%(?n之0),若/'(%)有兩個零點，則實數(shù)m的

取值范圍為()

A.(*)B.(吟)

C-(3+8)D.區(qū),+8)

【解題思路】由同構的思想可知，若/(%)有兩個零點，貝!-x\nx=0(%>0)有兩個解，即=In%有

兩解，分離變量求導即可

【解答過程】解：由題意可知，若f(%)有兩個零點，則f。)=memx-In%=。有兩個解，

等價于znxe771%—xlnx=0(x>0)有兩個解，因為m>0,%>0,所以In%>0,

令g(t)=tef,原式等價于=g(ln%)有兩個解，又g(t)在[0,+8)上單調遞增，

所以=lnx(x>0)有兩個大于零的解.

解=In%,可得zn=—,令h(%)=—(x>0),

XX

則九'(%)=]q2,當ov%<e時，//(%)>0,當久>e時，//(%)<0,

所以九(%)在(0,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減，且h(e)=±似%)的圖象如圖：

e

所以當0<m<：時，TH=等有兩個交點，即/(>)有兩個零點.

故選：A.

【變式3-2](2024?湖南?三模)已知函數(shù)/'(%)=ae2x—(ax+2—a)ex+|x2.

(1)討論/(%)的單調性；

(2)若f(%)有兩個零點，求〃的取值范圍.

【解題思路】(1)求導，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，分類討論，即可求得/(%)單調性.

(2)分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調性及函數(shù)零點的判斷，分別求得函數(shù)的零點，即可求得〃的取值范圍.

【解答過程】(1)函數(shù)/(%)=tie?%-(a%+2-a)e*+的定義域為R,

求導得/'(%)=2ae2x—(ax+2)ex+%=(aex—l)(2ex—%),

令(p(x)=2ex—x,求導得9'(%)=2ex—1,當％<—ln2時，(p'(x)<0,當%>-ln2時,w'(%)>0,

函數(shù)9(%)在(-8,-ln2)上遞減，在(Tn2,+8)上遞增,

(p(x)>w(—ln2)=1+ln2>0,即2e%—%>0,

①當a<0時，aex-1<0,/'(%)<0恒成立，/(%)在R上單調遞減；

②當a>0時，由/'(%)<0,得第V—Ina,由/'(%)>0,得％>—Ina,

函數(shù)/(%)在(-8,-Ina)上單調遞減，在(-Ina,+8)上單調遞增，

所以當a40時，/(乃在R上單調遞減；

當。>0時，/(%)在(-8,-Ina)上單調遞減，在(-Ina,+8)上單調遞增.

(2)由(1)知，當時，f(%)在R上單調遞減，f(%)在R上至多一個零點，不滿足條件，

當a>0時，f(%)min=f(-Ina)=1---1-InaH—,令g(a)=1---FInaH---,

則g'(a)=專+如詈=—+1+Ina)=汜+1-1吟，

令〃(%)=第一1—In久，求導得優(yōu)(%)=1—當0<%Vl時，〃'(%)<0,當％>1時，〃'(%)>0,

函數(shù)”(%)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，u(x)>u(l)=0,即一In%21-%,

于是g'(a)之([十+1+(1—1)]=：>0,函數(shù)g(a)在R上單調遞增，而g(l)=0,

則當0<aVl時，g(a)<0,當a=l時，g(a)=0,當a>l時，g(a)>0,

①若a>l,貝i」f(%)min=g(a)>。，故/(%)>0恒成立，/(%)無零點；

②若a=1,貝!Jf(%)min=g(a)=0，f(x)=。僅有一個實根久=-Ina=0,不滿足條件；

③若0<a<1,則f(x)min=9(。)<0，

注意到一Ina>0,f(—2)=與++2=?。+2--z>0,

e43。e2Je4e2

于是/'(%)在(-2,-Ina)上有一■個實根，又ln(|-1)>In]=-Ina,

且/(ln(g-1))=a弓一I/一[aln弓一1)+2-a]-1)+|ln2(^-1)

>磯,-1)2-[aln(；_1)+2-a](|-1)=(3—a)[^-ln(|-1)],

令/i(x)-x—ln(3x—l)(x>1),則〃(x)=1—當1<x<(時"(x)<0,當x>(時"(x)>0,

所以h(x)在(1,｝上單調遞減，在(%+8)上單調遞增，h(x)>/l(i)=i-ln3>0,

則又0<a<l,即3—a>0,則有(3—a)g—ln0-1)]>0,

即f(In*-1))>0,于是f(x)在(Tna,ln《-1))上有一個實根，

又/(%)在(-8,-Ina)上單調遞減，在(-Ina,+8)上單調遞增，因此/(%)在R上至多兩個實根,

又f(%)在(-2,-Ina)及(-lna,ln(：-1))上均至少有一個實根，則/。)在R上恰有兩個實根,

所以0<a<1時，"X)在R上恰有兩個實根.

【變式3-3](2024?浙江?模擬預測)已知a為實數(shù)，neN*,設函數(shù)f(x)=/一。也刀.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若/(X)有兩個零點，求a的取值范圍.

【解題思路】(1)首先求函數(shù)的導數(shù)，分aW0和a>0兩種情況討論函數(shù)的單調性；

(2)根據(jù)(1)的結果，轉化為函數(shù)的最小值小于0,并且結合函數(shù)零點存在性定理說明存在2個零點.

【解答過程】⑴尸⑺…W，z>0,

當a<0時，/'(%)>0,/(%)在(0,+8)單調遞增,

1

當a>0時,令廣(%)>0,得x>O,

1

令尸(無)<o,得o<久<(￡)”,

所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是0,(：y)單調遞增區(qū)間是((￡)",+8),

綜上可知,a40時,/(%)的增區(qū)間是(0,+8)；

a>0時，外久)的單調遞減區(qū)間是(0,(獷)，單調遞增區(qū)間是俏+8

(2)由(1)可知，若外>)有兩個零點，貝iJa>0,

且當x=(獷時，取得最小值，/((凱)=[0[-alng)"<0,

得a>ne,

且第T0時，/(%)T+00,?當％T+00,/(%)T+00,

所以(0噌y)有1個零點，俏y，+8)也有1個零點，

所以若f(x)有兩個零點，貝Ua>ne.

【題型4根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍】

f|3-2x\l,x>0,

【例4】(2024.四川.模擬預測)已知函數(shù)/(%)=(%+2y若函數(shù)y=有5個不

I久W°，

同的零點，貝必的取值范圍是()

A.(0,1]B.(1,4]C.(1,4)D.(1,+oo)

【解題思路】求得了'(%)=二箸，得到函數(shù)f(x)的單調性和極值，作出函數(shù)f(x)的圖象，根據(jù)題意，轉化

為“%)=0和f(x)-a=0共有5個不相等實數(shù)根，結合圖象，即可求解.

【解答過程】當xW0時，/(%)=空當，此時尸(x)=二箸，

則%<-2時,f'M<0J(%)單調遞減;-2<x<0時，f'(x)>0/(久)單調遞增,

所以，當x=-2是/'(x)的極小值點，作出如圖所示的函數(shù)/'(%)的圖象，

函數(shù)y=［/(x)］2-af(x)有5個不同的零點，則方程［/(久)］2-af(x)=0,

即f(乃丁(久)-a］=0有5個不相等實數(shù)根，

也即是f(x)=0和f(%)-a=0共有5個不相等實數(shù)根，

其中/(x)=。有唯一實數(shù)根工=-2,

只需/(%)-a=0有4個且均不為-2的不相等實數(shù)根，由圖可知1<a<4,

即實數(shù)a的取值范圍為(1,4).

故選：C.

【變式4-1】(2024?四川.模擬預測)已知函數(shù)/(?={_：］；：：j：'()，若關于萬的方程/。)+a—1=0的不

同實數(shù)根的個數(shù)為4,貝b的取值范圍為()

A-(1一］，1)B.C.(1,1+0D.(1-j,l+1)

【解題思路】首先利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，最值，以及函數(shù)的趨勢，畫出函數(shù)的圖象，利用圖象，解

決函數(shù)圖象的交點問題.

【解答過程】當XW0時,r(%)=(x+l)ex,由此可知f(x)在(一~-1)單調遞減，在(-1,0］上單調遞增，

當X一一8時,xeXTo,/(x)min=/(-I)=一：；

當x>0時，f(x)=-|lnx|=歸,

/(x)在(0,1］單調遞增，在(L+8)上單調遞減，/(%)max=/⑴=0,

如圖所示作出函數(shù)的大致圖象，則/(%)=1-a有四個零點，則y=/(%)與y=1-a的圖象有四個交點，

因此一(<1—a<0,得a6(1,1+j,

故選：c.

【變式4-2](2024?四川涼山?三模)已知函數(shù)/(久)=(2x—l)e久一m/—nix+TH.

(1)當m=0時,求/(x)的極值點;

(2)若爪>0且函數(shù)有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍.

【解題思路】(1)通過求導得到函數(shù)的單調性，繼而可判斷函數(shù)的極值點情況；

(2)將函數(shù)求導，得到導函數(shù)的兩個零點-；和Inrn,根據(jù)參數(shù)小進行分類討論，排除加=3和。<逅時

2ee

的情況，在山>立時討論函數(shù)的兩個極值點的函數(shù)值的符號，以及函數(shù)兩端的圖象變化趨勢，通過求解不

e

等式組[f(一》>0即得參數(shù)范圍.

l/(lnm)<0

【解答過程】(1)當m=0時，由/'(%)=(2%+l)e%=0可得%

當工W(-8,-5時廣(%)<0,/(%)在(-8,-5上單調遞減；當工€(-3+8)時/(%)>0,/(第)單調遞增.

故了(%)的極小值點是一:無極大值點.

(2)由/'(%)=(2x+l)(ex—m)=0可得，x=—1或％=Inm,

①當1口m=一：時，即=f時，//(x)>0,函數(shù)/(%)在R上單調遞增，則函數(shù)/(%)至多有一個零點，不滿

足條件；

②當0<THVF時函數(shù)/(%)在(-8/mn)上單調遞增，在(Inm,上單調遞減，在

(一孑,+8)上單調遞增，因f(lnm)=mlnm(l-Inm)<0,函數(shù)/(%)至多一個零點，不滿足條件；

③當血>?時，函數(shù)/(%)在(一8,-1)單調遞增，(一glnzn)單調遞減，(Imn,+oo)單調遞增.

因f(-5)=-lie-5-19m<0,要使函數(shù)/(%)有三個零點，需使5)>°,且當％f+8時，/(x)t+oo.

l/(lnm)<0

取g(%)=ex-%-1,則由g<==ex-1>0,可得久>0.易得g(%)在區(qū)間(一8,0)上單調遞減，在(0,+8)上

單調遞增，

則有g(%)>g(0)=0.即e*>x+1,于是e"1>x,貝!Je">e%,即e5>-%,從而e%>—x2

24

因/(TH)=(2m—l)em—m3—m2+m>(2m—1)—m2—m3—m2+m

4

=m[(/-1)病一(}+1)血+1]>mQm2—3m+1)>0.(S7<e2<8,則}—1>|,^-+1<3)

且zn>Inm,

’f(_工)=則__?_>Qmr

則24,由①解得，僧>笠，由②可得，0<血<1或血>6,

/(Inm)=mlnm(l—Inm)<0,②

故得：—<m<1或m>e

5e

綜上：，"的取值范圍是(^,l)U(e,+8).

【變式4-3](2024.新疆.三模)已知函數(shù)f(x)=(x—l)e，—^/+a.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)若f(x)有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)對函數(shù)求導后，分aWO,a=l,0<a<l,a>1四種情況討論導數(shù)的正負，從而可

求出函數(shù)的單調區(qū)間；

(2)由(1)可知當a>1時，f(x)可能有三個不同的零點，然后分1<aWe?和a>e?兩種情況結合零點存

在性定理與函數(shù)的單調性討論零點的個數(shù).

【解答過程】⑴因為f(x)的定義域為R,且廣⑺=%(眇一。),

當a<。時,令f'(%)<0,解得汽<0；令/'(%)>0,解得％>0,

所以/(%)在(-8,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增；

當。=1時，尸(久)之0時恒成立，當且僅當％=0時等號成立，所以/(%)在R上單調遞增；

當0<a<1時，Ina<0,令尸(%)<0,解得Ina<x<0,

令;(%)>0,解得尢<Ina或%>0,

所以/(%)在(-8/na)上單調遞增，在(Ina,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增；

當a>1時，Ina>0,令尸(%)<0,解得0<x<Ina,

令廣(%)>0,解得％>Ina或％<0,

所以/(汽)在(-8,0)上單調遞增，在(0』na)上單調遞減，在(Ina,+8)上單調遞增.

綜上，當時，/(%)在(-8,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增；

當0<。<1時，/(%)在(-8,1口。)上單調遞增，在(Ina,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增；

當a=1時，/(、)在R上單調遞增；

當a>l時，/(%)在(-8,0)上單調遞增，在(0』na)上單調遞減，在(Ina,+8)上單調遞增.

(2)由(1)得，當。工0時，/(%)至多有兩個零點，不符題意；

當。=1時，/(%)至多有一個零點，不符題意；

當0<aVl時，/(%)的極大值/(Ina)=alna(l-等)<0,/(久)至多有一個零點，不符題意；

當lVaWe?時，/(%)的極小值/(Ina)=alna(1-寫)20,/(%)的極大值/(0)=a-1>0,/(%)至多有

兩個零點，不符題意；

當a>e2時，因為/(%)在(一8,0)上單調遞增，且/(一或)=(-V2-l)e-^<0,

/(0)=a-l>0,所以/(%)在(一8,0)上有且只有一個零點，

因為/(%)在(0,Ina)上單調遞減，/(0)=a—1>0,且/(Ina)=alna一等)<0,

所以/(%)在(0,Ina)上有且只有一個零點，

因為/(%)在(Ina,+8)上單調遞增，/(Ina)=alna(1—寫)<0,

令"(%)=e*—/(%>0),則H'(久)=/—%,令t(x)="'(%)=e%—%,貝!j

t'{x)=ex—1,

因為當x>0時，廿(%)>r(0)=0,

所以1(%)在(0,+8)上遞增，即印(%)=ex一％在(0,+8)上遞增，

所以"(%)>H鼠0)=1>0,所以“(%)在(0,+8)上遞增，

所以HO)>H(0)=1>0,

2

所以e%>;v在(0,+8)上恒成立，

所以/(%)=(%—l)ex—^x2+a>(%—1)-y—+a='-(：)入+

所以/(a+1)>a>0,

故f(%)在(Ina,+8)上有且只有一個零點，

所以/(第)有三個零點，

綜上，當a>e2時，y=/(%)有三個不同的零點.

【題型5函數(shù)零點的證明問題】

【例5】(2024.重慶.模擬預測)已知函數(shù)/(%)=a(lnx+1)+/(a〉0).

(1)求證：1+xlnx>0；

X

(2)若久L%2是f(%)的兩個相異零點，求證：\2-%ll<1-5

【解題思路】(1)設g(%)=l+%ln%%€(0,+8),求導，分析函數(shù)的單調性，確定函數(shù)的值域可證明該

問題.

(2)求尸(%),分析函數(shù)單調性，求出極值；根據(jù)f(x)的兩個相異零點，可確定a的取值范圍，并分別得到%1，犯

的取值范圍，推導出,2-％11的取值范圍.

【解答過程】(1)令g(%)=1+€(0,+8),則g'(%)=1+ln%.

令g'(%)>0，得x>I；令g'Q)<0,得。<%<^.

所以g(x)在(0,》上單調遞減，在(：,+8)上單調遞增.

所以g(x)min=g0=1-1>3所以1+xlnx>0.

(2)易知函數(shù)f(x)的定義域是(0,+8).

由fCO=a(lnx+1)+2，可得f'O)=f=

令f'(x)>0得x>j|；令尸(x)<0得0<x<3

a

所以尸(x)>0在0,表上單調遞減，在上單調遞增,

所以/'(X)mii+%

①當W(lnm+3)+gN0,即0<aW3e4時，/(久)至多有1個零點，故不滿足題意.

②當巴(ln?+3)+巴<0,即a>3e4時,

3\a/3

3

因為/(%)在+8上單調遞增，且/(l)=a+l>0.所以

所以/(X)在(事,+8)上有且只有1個零點，不妨記為修,且，|<尤1<1.

33

由(1)知所以/a[In/-+1?+a2>a(一迎+1)+a2=a>0.

a

因為"x)在(o,生)13

上單調遞減,■f

所以〃%)在(o,3

上有且只有1個零點，記為犯，且<&<

a

所以<冷<—<<1,所以卜-1<徹—<0.

若記燈仁雨室俯1)

同理,

則有0<%2—<1—

綜上所述，|第2—%1IV1—

【變式5-1](2024?四川自貢?三模)已知函數(shù)/(%)=1+：+aln%(a>0)

(1)求函數(shù)/(%)的單調區(qū)間；

(2)函數(shù)/(%)有唯一零點久甘函數(shù)g(x)=%-sin%-3在R上的零點為第2.證明：<%2?

【解題思路】(1)求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，再解關于導函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調區(qū)間；

(2)法一：由已知導數(shù)與單調性關系及函數(shù)零點存在定理可知，x1=ijQ)=-alna+a+l=0,構造

函數(shù)9(%)=-%ln%+為+1,結合導數(shù)及函數(shù)性質可得a的范圍，再令h(%)=+sin%-結合導數(shù)分析

九(%)的單調性,利用不等式放縮即可求解.法二：/(%1)=0=>In%1+%1+1=0,設新函數(shù)h(x)=Inx+%+

1,利用零點存在性定理得%1G(2，3,再證明9(%)單調性即可.

【解答過程】(1)函數(shù)/(%)=1+：+Qln%(a>0)的定義域為(0,+8),

且廣(%)=_2+/等，

所以當0<%V(時/'(%)<0,當%>那了'(%)>0,

所以/(%)的單調遞減區(qū)間為(0,￡)，單調遞增區(qū)間為弓,+8)；

(2)法一：由(1)可知若函數(shù)f(%)有唯一零點%1，則/=，即f弓)=一alna+a+1=0,

令9(%)=-xlnx+%+1,則伊'(%)=—Inx,

當%>1時，"(%)<0,0(%)單調遞減，當0<汽<1時，“(X)>0,伊(%)單調遞增，

因為>2.74=53,1441>27,e5<35=243<256,

所以@(3)=-31n3+4=4-ln27=Ine4-ln27>0,

9⑷=-41n4+5=5—ln256=Ine5—ln256<0,

當0<%<1時0(%)=%(1—Inx)+1>0,當％->+8時？(%)t—oo,

所以0(x)在(3,4)上存在唯一零點，所以3<a<3,即:<十<%

Q-2g-2

令九(%)=---Fsinx—x,貝=---+cos%—1<0,

X*

所以九(%)在(0,+8)上單調遞減,

故九f-)>八0)=5+sin工一工>?+sin工一三=sin三>0,

\aJ\3Je23332333

所以ae">i—sin-,

aa

=x2

又g(12)2~sinx2—?e-=0,

-2

所以%2—sinx2—ae>^—sini=%i—sinx1,

令F(%)=%—sin%,則F'(%)=1—cosx>0,

所以F(%)在(0,+8)上單調遞增，

又F(%2)>F(xJ,

所以％2>

法二：因為。>0,由(1)可知若函數(shù)f(%)有唯一零點久1，則第1=，

即f(%i)=Qin%1+++1=5(In%、+%1+1)=0=In%1+/+1=0,

設h(%)=In%+%+1,hQ)><0，而h(%)在(0,+8)上單調遞增，

所以%1€(，F(xiàn))，“(%)=1-cosx>0,所以g(%)在R上單調遞增，

又g(0)=v0,.,?%1>0,

令伊(%)=x-sin%-=1-cosx+>0,所以奴工)在(0,+8)上單調遞增，

x

所以.??奴/)<^(-)=-sin-<0,而g(%2)=2~sinx2一氣=x?—sinx1-