2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練：立體幾何初步（含解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練立體幾何初步

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。

3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.如圖所示，矩形O'A!B'C是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O'A=6cm，CO=2cm，則原

圖形Q43c的面積是cm2（）

D-24V2

2.如圖，正方體4片￡￡＞］中，直線5,與平面ABCD所成角的正切值為（）

c正縣

,23

3.已知某圓錐的底面半徑為正，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.20兀B.4兀C,47271D.8兀

4.已知Nfi4c=30°,AB//AB',AC〃AC'則NB'AC'=()

A.30°B.150°C.30?；?50。D.大小無法確定

5.一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖，則截去部分體積與剩余部分體積的

比值為（）

AFRFDH

6.如圖，在長方體ABCD—a4Gq中,*=￡工=上上='巴=2,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

EB[FB]GC、HC[

A.BD'HGH

BBD與EF異面

C.￡H〃平面ABCD

D.平面EFGH〃平面\BCDX

7.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為兀的半圓，則該圓錐的高為（）

A逅B君1

cBD.-

22.22

8.球缺指的是一個(gè)球被平面截下的一部分，垂直于截面的直徑被截后，剩下的線段為球缺的高.設(shè)球

的半徑為R,球缺的高為〃，則球缺的體積V=7r/[R—g].已知一圓錐的高為2,底面半徑為1,則

以圓錐的高為直徑的球在圓錐外的體積為（）

64兀62兀2171237r

A.------B.------C.------D.——

75752525

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0

分.

9.如圖①，在等腰梯形ABC。中，AB//CD,EF-LAB,CF=EF=2DF=2,AE-3,EB=4,

現(xiàn)將四邊形AEFD沿所進(jìn)行折疊,使AD到達(dá)AU的位置,且平面AD'FE±平面BCFE,連接A3,

D'C,如圖②，貝1（）

B.平面4￡B〃平面D'FC

C.多面體AEBCDF為三棱臺

D.直線AH與平面BCFE所成的角為上

4

10.如圖，在棱長為2的正方體ABC?！?與。1。中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面ABC。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)

（含邊界），則下列說法正確的是（）

A.過點(diǎn)4,E,G的平面截正方體所得的截面周長為3忘+2百

B.存在點(diǎn)F,使得平面AE*G

C.若D.FH平面AEG，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長度為3

D.當(dāng)三棱錐F-AEG的體積最大時(shí)，三棱錐F-4EC］外接球的表面積為1171

11.如圖,正方體ABCD-棱長為2,P是直線4。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正

確的是（）

A.BP的最小值為"

B.PA+PC的最小值為2也—0

C.三棱錐4-ACP的體積不變

D.以點(diǎn)3為球心,0為半徑的球面與面AB。的交線長半兀

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.圖,水平桌面上放置一個(gè)棱長為4的正方體的水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)

面有一個(gè)小孔E,E點(diǎn)到的距離為3,若該正方體水槽繞Q）傾斜（C￡）始終在桌面上），

則當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面CDD?與桌面所成的角正切值為.

13.如圖，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們

分別與圓錐的側(cè)面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)耳，過橢圓上一點(diǎn)P作圓錐的母

線，分別與兩個(gè)球相切于點(diǎn)N.由球和圓的幾何性質(zhì)可知，PN=PF\,.已知兩球半徑

分為別1和3,橢圓的離心率為，，則兩球的球心距離為.

2

14.如圖所示的五面體ABCD跖為《九章算術(shù)》中記載的羨除，它指的是墓道或隧道.其中

EFHADHBC,四邊形AD石尸，ADCB,EKBC均為等腰梯形，平面ADEF平面ADCB,

EF=2,BC=3,AD=4,和A。間的距離為2,所和A。間的距離為4,則該羨除的體

積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖1,在矩形ABC。中，AB=1,BCM,將△BCD沿著5。翻折到△P5D的位置,

得到三棱錐P—A3。，且平面A5P,如圖2所示.

(1)求證:平面APOJ_平面ABD

(2)求直線AB與平面5PD所成角的正弦值.

16.如圖，在四棱錐P—ABC。中，平面PC。內(nèi)存在一條直線EF與A8平行，上4_L平面ABCD,

直線尸。與平面A8CD所成角的正切值為且，PA=BC=20CD=2AB=4.

2

p

(1)證明：四邊形ABCD是直角梯形.

(2)若點(diǎn)E滿足PE=2EQ,求二面角P—石尸―5的正弦值.

17.如圖,在平面四邊形ABCD中，A5=AO=1，BC=CD=變，且BC'CD，以BD為折痕把

2

△ABD和△CBD向上折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)F的位置，且E,F不重合?

E

D

(1)求證：EFLBD，

⑵若點(diǎn)G為△ABZ)的重心(三條中線的交點(diǎn))，EGL平面A22求直線50與平面ABE所成角的

余弦值.

18.如圖，四面體ABC。中，AD1CD-AD=CD，ZADB=ZBDC>E為AC的中點(diǎn).

D

(1)證明：平面5ED_L平面ACZ)；

⑵設(shè)AB=6￡)=2，NACB=60°，點(diǎn)尸在5￡>上，當(dāng)△AEC的面積最小時(shí)，求CF與平面A3。

所成的角的正弦值.

19.在四棱錐P—ABCD中，底面A2CD為直角梯形，AD//BC,AB±AD,QA，平面ABC￡>,

AP=AD=2AB=4BC.

(1)求證：平面K4cl,平面尸8。；

(2)AM_L平面PC。于點(diǎn)M,求二面角M—AD—P的余弦值.

參考答案

1.答案：D

解析：因?yàn)镃D=2cm，由斜二測畫法可知ZD'O'A=45°，

則ZC'O'D'=45°，故△O'C'D'為等腰直角三角形，故O'C'=2cm，

故矩形O'AB'C的面積為S=O'A'xO'C'=6x2=12(cm2)，

-

匚匚I、Irs用皿MTsrin曰S=-7==2-\/2x12=24*\/2(cm)

所以原圖形Q4BC的面積是72、',

~4~

故選：D.

2.答案：C

解析：如圖所示：連接5。，因?yàn)椤Ｆ矫?/p>

故NDBD］線BDX與平面ABCD所成角，

設(shè)正方體棱長為1,則。2=1,DB=0

?,MDBDL嗡瀉.

故選：C

3.答案：B

解析：設(shè)圓錐的母線長為/,

則由題意有兀/=2后兀，得/=2后，

所以側(cè)面積為兀〃=?ixJ^x20=4兀.

故選：B

4.答案：C

解析：已知N￡L4C=30°,AB//AB',AC/ZAC,

當(dāng)角的方向相同時(shí)，NB'AC'=30°,

當(dāng)角的方向相反時(shí)，NB'AC'=150。，

故選：C

5.答案：D

解析：如圖所示,截去部分是正方體的一個(gè)角，其體積是正方體體積的工,

剩余部分體積是正方體體積的-，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為

65

故選：D.

6.答案：A

解析：如下圖所示，連接

\E_BFcinEFB.FB.E1

根據(jù)題意，由=2可得,EF//AB,且——=_^=J_=—

乜A,BBB1443

GH]_

同理可得G//〃CD],FGHBC，&

而3

由G//〃CR,而=A，所以不可能平行于GH，即A錯(cuò)誤；

易知BD與石尸不平行，且不相交,由異面直線定義可知,5。與所異面，即B正確;

在長方體ABCD-4耳￡2中AlB//CDl,=CD「

所以EF//GH，EF=GH，即四邊形EFGH為平行四邊形;

所以EHIIFG，又BCIIFG，所以EF//BC；

EHU平面ABCD，8CU平面ABCD，

所以EH〃平面ABCD^C正確;

由EFIAB,EFz平面ABC。］,43u平面ABCR,所以EFH平面\BCDy;

又BC〃FG，F(xiàn)G(Z平面ABCD］，BCu平面4BCR,所以FG//平面ABCD,,

又EgFG=F，且FG，EFu平面EFGH，

所以平面EFGH//平面A^BCDX，即D正確.

故選：A.

7.答案：A

解析：

設(shè)圓錐的母線長為/,圓錐的底面半徑為r,

因?yàn)閳A錐底面圓的周長等于扇形的弧長，

圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為兀的半圓，

Til=271r

則h,，

—lx2nr-n

12

解得一巫，if

2

則該圓錐的高為h=J/?—尸=逅.

2

故選：A.

8.答案：A

解析：根據(jù)題意，以圓錐的高為直徑的球的半徑為1,且與圓錐底面相切于底面圓心，如圖，作出圓

錐POX的軸截面PAB,所求體積即為球缺P-402用與內(nèi)接圓錐PO2的體積之差.

p

面頂角為a則

21_4

sina=sin（兀-2NPAB）=sin2NPAB=2sinNPABcosZPAB=2x設(shè)圓錐PO2

2r4

的底面半徑為r,則2二——，即〃=—,得。。2=—，則圓錐P2的高為2，則

sina5255

1/4丫8128兀8則％缺=兀(|,『［］=膘，則所求體

圓錐尸。23(5J53755

64兀

積V=匕求缺_/錐P02=?故選A.

9.答案：ABD

解析:對于A,因?yàn)槠矫鍭'DFE，平面BCFE,平面A:D'FE\平面BCFE=EF,BE1,EF,BEu

平面8CFE,所以BE,平面AD'EE,又A'。'u平面A'ZXFE,所以5E，A。'，故A正確;

對于B,因?yàn)锳石〃Z/F,4宏仁平面。'歹。，ZXFu平面ZXFC,所以A'E〃平面。伊C,因?yàn)?/p>

BEHCF,8石仁平面ZXFC,Cbu平面Z/FC,所以6E〃平面Z/FC,又A'EBE=E,

A'EBEu平面A班，所以平面4EB〃平面。'FC,故B正確；

r)'F1FC1D'FFC

對于C,因?yàn)椤?-,—?jiǎng)t——7,，所以多面體AEBCDT不是三棱臺，故C錯(cuò)

AE3EB2A!EEB

誤；

對于D,延長AD',石尸相交于點(diǎn)G,因?yàn)槠矫鍭7XFE_L平面BCFE,平面A7XFE-'平面

BCFE=EF,AE±EF,4'￡匚平面川。'在，所以平面BCFE,則NA'GE為直線A。'

與平面BCTE所成的角.

D'FGF即］標(biāo)

因?yàn)锳石〃ZXF,所以

A'EGF+FE

A'E

解得Gb=l，則GE=3,所以tanNA'GE=——=1,

GE

jr

則ZA'GE=—，故D正確.故選ABD.

4

10.答案：ACD

解析：A選項(xiàng)，如圖①，取的中點(diǎn)G,連接GE,Afi,因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以AG〃GE,

4￡=2GE,所以過點(diǎn)4，E,G的平面截正方體所得的截面為梯形AGEG,其周長為

2+sfs+y/2,+y/5—3A/2+2-\/5,故A選項(xiàng)正確；

D

圖①圖②

B選項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)F,使得￡>尸，平面AEG，由得F只能在線段BD上，再由

DF1C.E,得尸只能在線段CD上，即尸與D重合，不符合題意，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，如圖

②，取的中點(diǎn)M,CD的中點(diǎn)N,連接MA,MN,ND、,可得MOJ/qE,MN/Z^Q,又M?仁

平面AEG，A/N仁平面AEG，GEu平面AEC],AGu平面,所以〃平面AEG，

MV〃平面AEG，又MDIMN=M,M。l，MNu平面Z)lMN,所以平面QMN〃平面A]E￡,

所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為線段MN,其長度為夜，故C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，由A,C選項(xiàng)可得，平面4GEG〃平面,所以當(dāng)尸在點(diǎn)。時(shí)，尸到平面的距

離最大，此時(shí)AE41cl為等邊三角形，連接BD-易證52,平面％C「所以三棱錐尸-4EC]的

外接球球心一定在直線5,上，以8為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖③所示的空間直角坐標(biāo)系,則E(O,1,O),

￡>(2,2,0),設(shè)Oj(x,x,x),由OjE=a。得，%2+(x-l)2+%2=(x-2)2+(x-2)2+x2,解得

x=\,所以夫2=[]+[、—1]+[]='，所以三棱錐P—AEG外接球的表面積為

4兀J*=4TTx—=1ITI,故D選項(xiàng)正確.故選ACD.

11.答案：ACD

解析：對于A,在中,45=或＞=40=2夜,即AB^D是邊長為20的等邊三角

形,.?.3。的最小值為△%。的高,二臺印「=J8—2=幾人正確;

對于B,將△A41D與矩形AB]CD沿4。翻折到一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示,

則PA+PC的最小值為AC;又AD=CD=2,ZADAl=:,A\DC="|，：?在^ACD中,由余弦

定理得:AC?=4+4—8cosB=8+4亞，,AC=2也+夜，即（PA+PC）.=2也+后3錯(cuò)

誤;對于C,4片，平面ADD[A，AD]u平面AD2A，，4用LAQ]；四邊形ADRA為正

方形,二。，又月。=耳,。u平面平面

ADX±44?14AP4aAB。,：.AD11

A^B^CD；/.VD_—^A-BCP=—S^RCP,—~—SA,RCD,—=—x2x2^2xy/2=—,

11Dj一/IACC-iP/i—Z5|Cr3ZA￡>]Cr21$/ij巧?！?16

即三棱錐4—ACP的體積不變,C正確;對于D,設(shè)點(diǎn)B到平面A3。的距離為

"，V"=!…?.￡"小△板?叫，嗎x2應(yīng)x2夜x￥d=8x2x2,解

得:8=孚,.??以點(diǎn)3為球心,0為半徑的球面與平面AB。的交線是以收即^二當(dāng)為半

徑的圓，，交線長為2兀義邁=或?！氛_.

33

故選:ACD.

12.答案：2

解析：由題意知，水的體積為4x4x2=32,

如圖所示，設(shè)正方體水槽傾斜后,水面分別與棱AA],BB「CCi，DDX交于MNP,。,則PC=3,

水的體積為SBCPN-CD=32,

BN+CPBN+3

,BC,CD=32,^X4X4=32,：,BN^1-

22

在平面BCC[Bi內(nèi)，過點(diǎn)G作C\HHNP亥BB[于",則四邊形NPC.H是平行四邊形,NH==1,

:.BiH=BB「NH—BN=4—]-l=2,

側(cè)面CDD￡與桌面所成的角即側(cè)面CDD?與水面MNPQ所成的角,即側(cè)面CDD?與平面

所成的角，

ZHQC即為所求，而ZHQC=NBiHCy

用G

在RtABjHQ中,tanZB.HQ=2,

B]H9=

側(cè)面CDDG與桌面所成角的正切值為2.

故答案為：2.

13.答案：2幣

解析：作出圓錐的軸截面如圖所示，

圓錐面與兩球。1，。2相切于8,A兩點(diǎn)，則。田，45,02A1AB,

過。i作OQLQA,垂足為，連接。]鳥，。2耳，設(shè)耳心與。交于點(diǎn)C,

4

在RtAO02。中，DQ=3T=2,：.0]。=夜2—4,.-.cosZDO^=，八

d

CO2cox

J-16

L解得：c?=5，...5=75^1=

co,=d-coY,=￡2；

4

cosZQCE,=工=RdT6

12QCd

由已知條件PN=P￡,知：PM+PN=PF"PF2=2a,即軸截面中AB=2a,

VJ2-16

F{F2_21cosNQ5二—二坐,解得：d=25,

AB|aQ|cosNDO02,屋42?

d

即兩球的球心距離為2

故答案為：2幣.

14.答案：12

解析：如圖：連接ED、FC,

119211Q

則/ABCD=—x—x（3+4）x2x4=—，V=—x—x2x4x2=—,

r-ADCZJ32\/3C—L/iLcrDEF3?3

所以該羨除的體積為：-+-=—=12.

333

故答案為：12.

15.答案：（1）證明見解析；

⑵平

解析：⑴證明:因?yàn)槠矫鍭BP,ABu平面所以ABLPZ),

又A5LAD,ADPD=D,AD,P￡>u平面AP￡）,所以AB,平面AP￡）,

因?yàn)锳5u平面ABD,所以平面A3Z)_L平面API).

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,A。所在直線分別為x軸，y軸，過點(diǎn)A且垂直于平面A3。的直線為

z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由(1)知z軸在平面內(nèi).

因?yàn)槠矫鍭5P,APu平面A3P,所以

又PD=1,AD=y/3,所以AP=0,所以p[o,2叵，逅

33

又A（o,o,o）,8（1,o,o）,D（O,AO）,

所以團(tuán)（1,。,。），即卜,半圻曲T"。）.

-+氈y+邁z=。,

m-BP=0,

設(shè)平面BPZ）的法向量是帆=（x,y,z）,貝卜即《33

m-BD=0,

—x+=0,

令X=6,則y=l,z=等，所以平面的一個(gè)法向量為血=

設(shè)直線AB與平面BPD所成角為氏

制.A?\!\ABm\6瓜

則sin0=cos</A4BR,m）\=---------=.=——

\AB\\m\r~~T3

f+1+2

即直線AB與平面BPD所成角的正弦值是.

16.答案：（1）見解析

⑵巫

10

解析：（1）證明：因?yàn)锳BHEF,EFu平面PCD,ABC平面PC。，所以A6〃平面PCD

因?yàn)锳3u平面ABC。，平面ABCDi）平面PCD=CD,所以AB〃CD.

連接AC,因?yàn)镼A,平面A8CD,所以NPC4是PC與平面A8CD所成的角，

則tanNPCA=2=2^=苴，解得AC=4.

ACAC2

因?yàn)锳B=2,BC=26，所以452+502=人。2,所以AB,6c.

又ABWCD,所以四邊形A3。是直角梯形.

(2)取C。的中點(diǎn)連接AM,則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),P(0,0,2g),D(26,-2,0),CQ52,0),8(0,2,0),

所以AB=(0,2,0),PC=Q52,-2亞,PD=(2乖＞,-2,-2也),

設(shè)平面PCD的法向量為n-(x,y,z),

n-PC=2y/3x+2y-2y/3z=Q,

取x=l,得y=0,z=l,即〃=(1,0,1).

n-PD=2s/3x-2y-2j3z=0,

連接4E,由A5〃EF可知A,B,E,尸四點(diǎn)共面，設(shè)平面ABE的法向量為加=(a,b,c),

m-AB=2Z?=0,

則c=-2,即6=(1,0,—2).

DI747310,2A/3取a=L得"

m-BE=-----a-----b-\-------c=。，

333

設(shè)二面角P—印—6的平面角為0,

\n-m\_y/10

則|cos01=|cos(n,m)|二

\n\\m\10

故二面角P-EF-B的正弦值為上叵.

10

17.答案：(1)證明見解析

⑵走

3

解析：(1)由題知ER=Er>=、，RF=DF=昱,

2

設(shè)2。的中點(diǎn)為X,連接EH,FH,因?yàn)镋B=ED，所以EH±BD，

又因?yàn)锽F=DF，所以FH上BD，且EH,FHu平面EFH,EH,FH=H,

所以平面EFH，又EFu平面EFH,所以BD±EF

⑵△BCD中,由勾股定理得5￡>=1，所以△ABD為等邊三角形?

連接AG并延長交2。于旦?過G作GxUBD-

以G為原點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.

在△AB。中,AG=2A〃=&GH^-AH=立,

3336

Afo,—,OTE[O,O,—,0

BD=(l,0,0)，BA=[-,—,o\BE=f-,—\

I'I22JU63J

設(shè)平面ABE的法向量為加=(x,y,z)，

由3A=L+旦=。，呷=L+-。，不妨取m=[—6』,受]

22-26-3I2J

設(shè)3。與平面ABE所成角為a,

18.答案：（1）證明過程見解析;

⑵c廠與平面ABD所成的角的正弦值為逑

7

解析：（1）因?yàn)锳D=CD，E為AC的中點(diǎn)，所以AC_）_￡）￡；

在△AB￡）和△C6Z）中，因?yàn)锳Z）=CD，ZADB=ZCDB>DB=DB，

所以AAB恒△CBD，所以AB=Cfi，

又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC_L5E；

又因?yàn)閆>E,5Eu平面3瓦>，DEBE=E，所以AC,平面BE。，

因?yàn)锳Cu平面AC。，所以平面5石。，平面ACZ>

（2）連接所，由（1）知，|平面RED，因?yàn)镋FU平面BED，

所以ACLM，所以S^“=gACEF，

當(dāng)灰皮）時(shí)，EE最小，即△AFC的面積最小.

因?yàn)椤鰽B恒△CBD，所以CB=AB=2，

又因?yàn)?ACS=60°，所以△ABC是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC