2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：復(fù)數(shù)（含解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練復(fù)數(shù)

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。

3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足2—zi=l+i（i為虛數(shù)單位），則z=（）

A.-l-iB.l-iC.l+iD.-l+i

2.若i(l+z)=l,則==()

Z

A.1+iB.1—iC.iD.-i

設(shè)為虛數(shù)單位，且工

3.i=1+.2i,則1+司=()

1-ai

A.lB.百C.2D.布

2

4.已知復(fù)數(shù)4=——z2=2i,則歸_22|=()

A.10B.V10C.A/2D.l

5.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z-i=*,則復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為（）

1+i

A.2B.-2C.2iD-2i

2-”,則上一22|為（

6.已知復(fù)數(shù)ZI,Z2，Z]WZ2,若Zj,Z2同時(shí)滿足I2|=1和|Z—11=1)

A.lB.6C.2D-2有

7.復(fù)數(shù)z滿足z(l—2i)=2+i,則z=()

44

A.Z-jB：+iC.iD.i

55

8.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,則復(fù)數(shù)z=（）

i+1

.1i?1i?1i?1i

A____?——B.---------C___?——D______

22222222

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0

分.

2

9.已知復(fù)數(shù)馬=1-3i,z2=（2-i）,Z3=H8，則（）

A.Z]+Z2=4+7iB.Z1,Z2，Z3的實(shí)部依次成等比數(shù)列

的虛部依次成等差數(shù)列

C.Ji0\Zl\=2\z2\D.4/2/3

10.已知復(fù)數(shù)2=上心■，則（）

1-i

A.z=4—iB.zz=15

C.|z-2z|-5D.z-3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限

11.已知z-Z2為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若Z]=馬，則％=Z2

B.若Z]+Z2￡R,則4與z2的虛部相等

C.若ZR=0,則Z]=0或Z2=0

D.若z；+z；=0,則Z]=z?=0

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若z-（3—i）=l—2i，則z的虛部為.

13.已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)旦的結(jié)果為.

l+2i

14.若（百+i）99=x+yi,則x+2y=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式.

,、1/兀..兀）

（1）—cos——ism—；

2144J

/八（兀..兀、

（2）——1cos—+isin—；

2l33）

(3)■sin空+ic°s刃;

211212)

77i..7兀

(4)cos---Msin——；

55

(/5廠)、C2(cos—兀+i?sin—兀

136

16.（例題）已知％=2（cos巴+isin0,z2=2\cos—+isin—j,求乎？，請(qǐng)把結(jié)果化為代數(shù)

2166）[33）

形式，并作出幾何解釋.

17.（例題）分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個(gè)輻角，畫出它們對(duì)應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形

式：

（1）cos7i+isin71；

/11兀..

（2）6cos---+isin

I6

18.在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)3-后對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。，求與所得的向量對(duì)

應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）.

19.計(jì)算：

(兀..兀)兀..兀)

(1)o8cos—+ism—x2cos—+isin—；

I66；I44；

(2)2(cos"+isinx4(cos空+isin叼;

I33JI66J

(3)行(cos2400+isin2400)

(4)3(cos18°+isin18°)x2(cos54°+isin54°)x5(cos108°+isin1080).

參考答案

1.答案：A

解析：因?yàn)?—zi=l+i,所以z=*i=3?=—1—i.故選A.

-i-i2

2.答案：C

解析：由i(l+z)=l

ii(i)

貝鼻上

z-1+ii=舁(-l+羋i)(-l-i)2

故選：C.

3.答案：D

解析：因?yàn)?l+2i,則5=(l—ai)(l+2i)=l+2a+(2—a)i,

1-ai

所以〔m'解得：a=2,所以|1+濟(jì)|=|1+型=廬方=百，

故選：D.

4.答案：B

解析：方法一,：由題意Z]—z2=--------2i=―——2i=l-3i,所以|z「Z2|=JIZ0=而.

1+i(l+i)(l-i)1121

故選B.

方法二：由4=1-i,得復(fù)數(shù)Z1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為A(l,-1),復(fù)數(shù)Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)的坐標(biāo)為8(0,2),所求卜―Z21，即為—Of+C—1—21=質(zhì).故選B.

方法三：由五=與，得匕―Z21=2—2i=±2=七型=字=瓦.故選B.

11

z2|z2|1+i1+i|l+i|V2

5.答案：A

.3+i(3+i)(l-i)4-2i

解析:z-i=----=2-i

1+i2

故z=2,所以彳=2?

故選:A.

6.答案：C

解析：設(shè)z=x+yi(x,y￡R)，則z—l=+z-i=x+(y-l)i,

由Iz|=1和|z—11二|z—i|,

所以爐+y2=1且(元_1)2+,2=(y—1)2+/

[3[V2

冗=---X=-

即+y2=1且x=y,解得，2或＜也

-2

y~^2V~

所以sflA/2.V2^2./或A/2V2.V2y/2.)

獷1"Z-----1------1、2--------------12—-------------1、2------1-----1)，

22222122222

則2「2=1+當(dāng)—(—*別=后+"(或z「Z2=-V^—也)，

故選：C.

7.答案：D

解析：由于z（「2i）=2+i,所以2=告=曰"哥=/i.

故選:D

8.答案：A

解析：因?yàn)椋?y二D=L+所以z=—工+工

i+11-i22222

9.答案：ABC

解析：因?yàn)閆2=（2—i）2=3—4i,

8+10i(8+10i)(l-i)^91.

1+i(l+i)(l-i)，

所以Z]+Z2=4-7i,

所以4+Z2=4+7i,故A正確;

因?yàn)閦-z2,Z3的實(shí)部分別為1,3,9,

所以z「z2,Z3的實(shí)部依次成等比數(shù)列，故B正確;

因?yàn)?，Z2，Z3的虛部分別為-3,-4,1,

所以z「z2,Z3的虛部依次不成等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤；

故正確.

V10|Z1|=V10XA/1+9=2|Z2|=2X5=10,C

故選：ABC.

10.答案：ACD

…匚「上5-3i(5-3i)(l+i)5+5i-3i-3i2).,,_,,

解析：因?yàn)閦=--r=—;――~~—=：~-5-----=4+1,所cc以z=44-1,所以

l-i(l-i)(l+i)1-1

22

z-z=4-i=17jyA正確,B錯(cuò)誤.因?yàn)閦—2N=Y+3i,所以|z—2彳|=5,則C正確.因?yàn)?/p>

z—3=1+i,所以z—3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),位于第一象限，則D正確.

11.答案：AC

解析：對(duì)于A,若馬=馬，則Z］和Z2互為共輾復(fù)數(shù)，所以％=Z2,故A正確;

對(duì)于B,若Z】+Z2CR,則Z］與Z2的虛部互為相反數(shù)，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,若2理2=0,則上聞=回憶|=。，

所以㈤=0或閭=0,可得4=0或Z2=0,故C正確;

對(duì)于D,取Z]=l,Z2=i,可得z；+z；=1—1=0,故D錯(cuò)誤.

故選：AC

12.答案：—L-05

2.

解析：由z-(3.i)=l.2i，可得z=U=d—2i)(3+i)=U=J_J_i，

'73-i101022

故z的虛部為—L.

2

故答案為：一工

2

13.答案：2+i

解析:

l+2i

故答案為：2+i.

14.答案：2100

\3

1.

解析：由于+—1=i,

2

7

33

、99\3

1.

貝U（6+i）99=22"+—12"i33=2"i32.i=2"i,

122~22

77

所以x=0,y=2",即%+2^=21°°.

故答案為：2100.

15.答案：（1）不是三角形式，—|cos--isin—||cos—+isin-|

2142（44）

1（71..7t}if4兀..4兀）

(2)不是三角形式,—cos—+ism—=一cos——+ism——

2（33）2（33）

if.5兀.5兀11，兀..兀）

(3)不是三角形式,—sin——+icos—=一cos—+isin——

211212）211212J

(4)是三角形式

J兀..兀、N兀..兀）

(5)不是三角形式,2cos—+ism—=，2cos—+ism—

I36）I44j

解析：(1)中間是“-”號(hào)，不是三角形式.LrCOS巴—isin巴］=，fcosF+isinF］；

2(4412(44)

4兀..4兀

(2)括號(hào)前面是負(fù)數(shù)，不是三角形式,——+1sm——

33

(3)括號(hào)內(nèi)前面是正弦，后面是余弦,

if.5K.5兀11（7t..兀）

—sin——+icos——=一cos——+isin——；

211212）211212J

(4)是三角形式.

(5)括號(hào)內(nèi)前后兩個(gè)角不相等，不是三角形式,

J兀..兀)兀..兀、

2cos—+ism—=，2cos—+ism—.

I36；I44)

16.答案：2］22=3i，解釋見(jiàn)解析

ELL3（兀..兀兀..兀

斛析：Z]Z2——cos—F1sin-x2cos—Fisin一

2\66）I33

^sfcos—+isin—1

I22；

=3i.

首先作與2-Z2對(duì)應(yīng)的向量OZ1，OZ2,然后把向量0Z1繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn);，再將其長(zhǎng)

度伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，這樣得到一個(gè)長(zhǎng)度為3,輻角為a的向量。2.52即為積Z|Zz=3i所對(duì)應(yīng)的向

量.

17.答案：(1)模尸=1,一個(gè)輻角。=兀，圖見(jiàn)解析，cosji+isin兀二一1

(2)模r=6,一個(gè)輻角。=生，圖見(jiàn)解析，6|cos—+isin—1=373-31

6I66)

解析：(1)復(fù)數(shù)cosji+isin兀的模廠=1,一個(gè)輻角8二兀，對(duì)應(yīng)的向量如圖所示.

x

所以cos兀+isin兀=一l+Oi=-l.

(2)復(fù)數(shù)61cos@+isin的模r=6,一個(gè)輻角9=生，對(duì)應(yīng)的向量如圖所示.

166)6

A11兀??11兀生i

所以6cos-----+isin-----=6cos—+|6sin

I666I6

=6x—+6x

2

=3+

18.答案：—

解析：4=3-四=26(cos33