2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：平面向量及其應(yīng)用（含解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練平面向量及其應(yīng)用

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。

3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1?設(shè)6］，02為平面上兩個(gè)不共線的單位向量，已知向量AB=q—Ze?，CB=2耳—4，CD=3q—302，

若A,B,D三點(diǎn)共線，則k的值是（）

A.2B.-3C.-2D.3

2.在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,E為。。的中點(diǎn)，則+=（）

A.lB.3C.4D.6

3.已知向量a=（l,l）,b=（l,-1）若（％/+為〃則下列關(guān)系一定成立的是（）

A.，/=—1B/—〃=2C.X+〃=0D.=1

4.已知向量a=（百,、/?）,且向量。與力的夾角為:，則|。一司的最小值為（）

A.lB.亞C.2D.4

5兀

5.如圖，在扇形Q46中，半徑|QA|=|。5|=2,弧長(zhǎng)為一，點(diǎn)P是弧A3上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N分

6

別是半徑Q4,08上的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是（）

A.V6+V3B.4C.2A/3D.痛+血

6.已知向量〃，力滿足（a+〃）_L〃，且|a|=2|力|w0,則a與力的夾角為（）

7.已知向量。=(2,x),方=(3,1),若(2。一〃)！.〃，則|a+〃|=()

A.^/29B,2C.5D.V10

8.已知平面向量:心滿足卜-0=6，b|=2,W=1%與辦的夾角為()

A.-B.-C.4D.—

6433

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0

分.

9.若華,?是平面c內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則下列說法不正確的是()

A.丸6(4〃eR)可以表示平面a內(nèi)的所有向量

B.對(duì)于平面a中的任一向量Q,使&=/16+〃a的實(shí)數(shù)2，〃有無數(shù)多對(duì)

C.4,〃],%,%均為實(shí)數(shù)，且向量與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)X，使

4號(hào)+4。2=2(4?+4。2)

D.若存在實(shí)數(shù)之，〃,使/lei+〃e2=0,則；1=〃=0

10.已知尢〃eR,AB—(A,1)?AC=(—1,1)>AD=(L〃)*則()

A.CB+DC=(2-1,1-//)

B.若A5〃AD,則2=2,u=-

2

C.若點(diǎn)A是BD的中點(diǎn)，則8,C兩點(diǎn)重合

D.若點(diǎn)8,C,。共線，則〃=1

11.若△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論中正確的是()

A.若則sinA>sinB

B.若QCOS5-/?COSA=C,則△ABC為直角三角形

C.^acosA=Z?cosB,則△?15c為等腰三角形

D.若COS24=￡±2,則△ABC為直角三角形

22c

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量a，b,b滿足k|=3,“=4,q.)=_10，則,+川=-

13.如圖，四邊形.CD是邊長(zhǎng)為1的正方形，延長(zhǎng)Q)至E,使得°E=2CD?動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，

沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，AP=AAB+，則X+〃的取值范圍為.

22

14.設(shè)雙曲線__匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,工，尸為雙曲線右支上一點(diǎn)，且|「耳|=31Pg則

43

ZFtPF2的大小為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.單位向量滿足(a+2b)-(a—b)=—|.

(1)求口與/，夾角的余弦值：

(2)若h+人與。+30的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

16.已知△A3。內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)(sinB—sin。)？=sin2A—sinBsin。

⑴求A；

⑵若b+c=4，Z\ABC的面積為立,求a的值.

2

17.在銳角△ABC中A，3，C的對(duì)邊分別為a,b,c,且也a=2csinA.

(1)求角C的大??；

⑵若c=近,且"=6,求△ABC的周長(zhǎng).

18.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2gasin3cosA+bcos2A=b.

(1)求A

(2)若△ABC的面積為遞，a2-b2=3,求3C邊上的高.

2

19.在鈍角三角形ABC中，內(nèi)角/BAC,8,C的對(duì)邊分別為a,6,c,bsinC+acosC=〃，且人=ma.

(1)求角B的大小.

(2)若點(diǎn)。在邊8C上，且5。=3￡)。，求tan/CAZ)的值.

參考答案

1.答案：A

解析：由題意ZXB=CB—CD=—6]+26=—（6—2々）,

且AB=q—ke2，

因?yàn)锳,良。三點(diǎn)共線，

所以存在實(shí)數(shù)4，使得05=九43，

所以一（q=X（q-％4），

2=-1

即"，解得女=2.

—Ak=2

故選：A.

2.答案：D

解析：因?yàn)樗倪呅蜛BC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以|A￡）|=|=2,AO.=0，

（AD+A5）AE=（AD+AB）（AD+DE）=（AD+AB）fAD+|ABj

.2121,

=AD+—AB=4+—x4=6?

22

3.答案：D

解析：Q=(l,l),b=(l「1)

/.Ztz+Z?=(1+Z,Z-1),a+=(1+〃,1一〃)

由(a+&?)〃(〃+曲)

可得(1+4>(1—〃)=(%—1>(1+〃)，

整理得加=1.

4.答案：C

解析:方法一：|a——」=|a|2-2|?||Z>|COS-+|￡>|2=|*|2^I*I+8=（|Z>|-2）2+4,

4

所以當(dāng)|萬|=2時(shí)，|a-5『取得最小值%所以|a—切的最小值為2.故選C.

方法二：設(shè)a=Q4,b=OB,貝8=84,當(dāng)BAL08時(shí)，|R4|取得最小值，此時(shí)

I”切同=104回11巴=2&'變=2.故選（2.

5.答案：D

解析：如圖，連接。P,作點(diǎn)P關(guān)于直線04的對(duì)稱點(diǎn)A,關(guān)于直線08的對(duì)稱點(diǎn)鳥，

連接18交。4于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)N,連接W,PN,

Mij|PM|=|^M|,|P7V|=|^|,\O^\=\OP!\=\OP\=2,

此時(shí)△PVW的周長(zhǎng)取得最小值，其最小值為線段￡鳥的長(zhǎng)度，

57r5冗

因?yàn)樯刃巍?5的弧長(zhǎng)為一，半徑|Q4|=|。5|=2,所以NA03=—,

612

5汽

根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，可得/《?！甓唬凇鳌?。鳥中，由余弦定理，

6

得Iq=|O^|2+|O^|2-2|O^||O^|cosy=22+22-2x2x2x（^--

=8+4代=（#+物2,所以出國(guó)=#+0,

即ARMN周長(zhǎng)的最小值是n+故選D.

6.答案：C

解析：由（a+"）_LZ>,得（a+㈤?力=0,則Q?辦=一/=一|〃『.

又aI二|a|M|cos。（其中0為Q與方的夾角，0?夕<兀），

所以—網(wǎng)2=4網(wǎng)cos。.

[2兀

又|a|=2傳/0,所以cos8=——，所以6=——.故選C.

23

7.答案：C

解析：由向量。=(2,幻，5=(3,1),得2a—8=(l,2x—1).因?yàn)?2a—》)，》，所以

(2a-b)-b=3+2x-l=2x+2=0,解得尤=—1,所以。+8=(5,0),所以|。+切=5.故選C.

8.答案：C

解析：設(shè)°與臺(tái)的夾角為。，

由|a-切=石兩邊平方得J—2a電+片=3，

即4-2x2xlxcos9+1=3,cos6=g,

由于owes兀，所以。=四?

3

故選：C.

9.答案：BC

解析：由題意可知：耳，02可以看成一組基底向量，根據(jù)平面向量基本定理可知：A,D正確，B不

正確；

對(duì)于C,當(dāng)4=4=〃]=〃2=0時(shí)，則4。+從02=4q+4^2=0，

此時(shí)任意實(shí)數(shù)%均有+從e2=2(4J+^^2)，故C不正確.故選BC.

10.答案：ACD

解析：因?yàn)锳B=(2,1),AC=(-1,1),AD=(l，zz),所以

CB+DC=DB=AB-AD=(A,l)-(l,//)=(^-l,l-^)，A正確；

因?yàn)锳B〃AD,所以切—1=0,所以羽=1,取;1=3,則〃=；，B不正確；

因?yàn)辄c(diǎn)A是8。的中點(diǎn)，所以A8+AD=(/M)+(l,〃)=(0,0),即；l=—1,〃=一1,從而有

BC=AC-AB=(-1,1)-(-1,1)=(0,0),所以8,C兩點(diǎn)重合，C正確；

因?yàn)辄c(diǎn)8,C,。共線，所以存在實(shí)數(shù)f,使得AD=(l,〃)=/AB+(l—f)AC

=，(九1)+(1—，)(—1,1)=(Z/1+%—1,1),所以//=1,D正確.故選ACD.

11.答案：ABD

解析：對(duì)于A,A>5OQ>Z?o2HsinA>2Asin3osinA>sin5,A正確；

對(duì)于B,由acosB-bcosA=c,可知sinAcos5-sin5cosA=sinC,

jr

即sin(A—6)=$皿(4+6).又5wO,所以A=,,△ABC為直角三角形，B正確；

對(duì)于C,由正弦定理可得2HsinAcosA=2Hsin5cos_B,即sin2A=sin2B,

jr

而2A+25￡(0,2兀)，則有2A=25或2A+25=兀，即A=5或A+JB=,,

即△ABC為等腰三角形或直角三角形，C不正確；

—十2Ac+b1+cosAc+b,,,

對(duì)于D,cos—=o----------=0ccosA=b，由

22c22c

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,可得Z?=acosC+ccosA,

7T

即acosC=0,而awO,貝i|cosC=0,C=—,△ABC為直角三角形，D正確.故選ABD.

2

12.答案：75

解析：由向量a，/,也滿足卜|=3,卜卜4,且=_io，

則,+)[=J+d+2a力=32+42—20=5，所以卜+W=6.

故答案為:、污.

13.答案：[0,4]

解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：

則3(1,0)，￡(-2,1)，所以AP=/L4B+〃AE=(X—2〃,4)，

當(dāng)PwAB時(shí)，有1，即0W/IW1，〃=0，

此時(shí)2+〃的取值范圍為[0,1]>

當(dāng)PGBC時(shí)，有即1W2+〃=(；1—2〃)+3〃=l+3〃W4,

此時(shí)4+〃的取值范圍為[1,4].

當(dāng)PeCD時(shí)，有＜°"，即3WX+//=（X—2〃）+3//=（X—2〃）+3W4，

〔〃=1

此時(shí);1+〃的取值范圍為［3,4］，

當(dāng)PeDA時(shí)，有2"］0,即0＜2+〃=（4—2〃）+3〃=3〃W3，

此時(shí)2+〃的取值范圍為［0,3］，

綜上所述，4+〃的取值范圍為［0,41

故答案為：［0,4）

14.答案：-

3

22_________

解析：因?yàn)殡p曲線工—匕=1，則"=2,6=6，所以。=/？壽=、/7，

43

因?yàn)镻為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以|PFi\-\PF2\=2a=4，又|PH|=31P乙|,

所以|「耳|=6,|/鳥|=2,|耳居|=2c=2"

由余弦定理閨閭2=|p用2+歸閭2_2\pFi\-\PF2\cosZFlPFr

21

即僅⑺=6?+2?-2x2x6cosN￡P(guān)瑪，解得cos/片P月=/，又0</片〈兀,

1/3

故答案為：

3

15.答案：（1）-

3

解析：(1)因?yàn)橥?忖=l,(a+2Z?).(a—b)=-g,

所以了+分匕一2/?2=—2,即l+q./j—2=—2,則./?=—,

333

則cos〈a,b)=8三=L即0與6夾角的余弦值L

\a\\b\33

（2）因?yàn)閔+。與a+30的夾角為銳角，

所以（必+bj（a+3b）＞0且依與d+3b不共線,

當(dāng)ka+b與a+3b共線時(shí)，有3+b=X（a+3b），即左〃+人=+3Ab，

由⑴知〃與"不共線，所以k-2，解得女」1，

[1=3%3

所以當(dāng)履+b與。+3。不共線時(shí)，左wg，

由（如+》）?（〃+3b）>0,得32+（3左+1）〃力+352>0,

即左+（3左+l）xg+3〉0,解得女〉一|,

所以左〉[且左弓即實(shí)數(shù)左取值范圍為「imH.

16.答案：（1）A=E

3

Q）a=M

解析：（1）原式化簡(jiǎn)可得：sin2B-2sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC，

整理得：sin2B+sin2C—sin2A=sinBsinC5

由正弦定理可得：力+c?-a2=be，

.-.cosA=b2+c2~a2=-因此三角形的內(nèi)角A=二；

2bc2'3

⑵S^ABC^-bcsinA^-bc-—^—^

:.be=2,

-a2=b2+c2—2bccosA=（b+c）2—3bc=16—6=10，

/.a=A/TO,

17.答案：（DC=巴

3

⑵5+S

解析：（1）由&a=2csinA及正弦定理得?=*

cV3sinC

因?yàn)閟inA>0,故sinC=3?

2

又?△ABC為銳角三角形，所以C=-

?3

2

（2）由余弦定理〃2+^—2abcos—=7，

3

2

ab=6，得"+Z?=13

解得：卜=2或1=3

b=3[b=2

：.Z\ABC的周長(zhǎng)為a+Z；+c=5+S-

18.答案：（1）A=-

3

⑵匹

7

解析：（1）由已知條件及正弦定理，得2gsinAsinB-cosA+sinBcos2A=sinB.

又sin5w0,/.2A/3sinAcosA+cos2A=1,

則由sin2A+cos2A=1,

.?.2sin（2A+野=1,則sin[2A+6]=g.

T7A/八\C4兀（兀13兀）

又A￡（0,兀），「.2AH—G—,----,

6166J

.7C5兀AT7Zf=t.7T

則2AH—=—，斛得A=—.

663

（2）由△A5C的面積為少，得上bcsinA=*,

222

63A/3

——be=-----，貝！JZ7c=6.

42

由余弦定理，得a?=/+/-2Z;ccosA,

/.—Z?2=—be.

又a?—/=3,..3=c2—6,解得。=3.

.\b=2,a=-\/7.

設(shè)BC邊上的高為加

則S^ABC=~A^=，

:.h4巫

幣7

2JT

19.答案：(1)B——

3

(2)tanZCAD=—

21

解析：(1)由Z?sinC+QCOsC=b及正弦定理，得sin5sinC+sin/BACcosC=sin5

因?yàn)閟in5=sin(ZBAC+C)=sinABACcosC+cosABACsinC,

所以sinBsinC-cosZBACsinC.

因?yàn)镺VC<TI,所以sinCwO,則sin5=cosNBAC.

因?yàn)椤鰽BC為鈍角三角形，且