2024-2025學(xué)年河南省商丘市高一上冊第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年河南省商丘市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，則（）A. B.C D.2.已知都是正數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A. B. C. D.4.已知，，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.5.函數(shù)圖象是A. B.C. D.6.若函數(shù)，則（）A50 B.49 C. D.7.設(shè)表示與的最大值，若，都是正數(shù)，，則的最小值為（）A. B.3 C.8 D.98.已知函數(shù)，若對，，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.9.已知全集，集合，，則（）A.集合A的真子集有8個 B. C. D.中的元素個數(shù)為510.下列不等式恒成立是（

）A. B.C. D.11.已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則（）A.ab的最大值為8 B.的最小值為8C.的最小值為 D.的最小值為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.已知集合，，若，則__________13.若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14.設(shè)關(guān)于x的不等式，只有有限個整數(shù)解，且0是其中一個解，則a的取值是___________，全部不等式的整數(shù)解的和為___________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)集合，.（1）若且，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.16.已知函數(shù)．（1）若不等式的解集為，求的表達(dá)式；（2）解關(guān)于x的不等式．17.已知二次函數(shù)且，．是否存在常數(shù)a，b，c使得不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a，b，c的值；若不存在，請說明理由．18.某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價為x元，朱古力蜂果蛋糕單位為y元，現(xiàn)有兩種購買方案：方案一：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為a個，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為b個，花費(fèi)記為;方案二：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為b個，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為a個，花費(fèi)記為．（其中）（1）試問哪種購買方案花費(fèi)更少？請說明理由；（2）若a，b，x，y同時滿足關(guān)系，求這兩種購買方案花費(fèi)差值S最小值（注：差值花費(fèi)較大值-花費(fèi)較小值）．19.已知定義在上的函數(shù)滿足：①；②，均有，函數(shù)，若曲線與恰有一個交點(diǎn)且交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，令.（1）求實(shí)數(shù)的值及；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，不用說明理由；（3）已知，且，證明.2024-2025學(xué)年河南省商丘市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)條件，求出集合，再利用集合的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由，得到，即，又，所以，故選：B.2.已知都是正數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【正確答案】B【分析】舉出反例以及結(jié)合基本不等式判斷“”和“”的邏輯關(guān)系，即得答案.【詳解】由題意可知當(dāng)時，可取，顯然不能推出；當(dāng)時，且，所以，即，解得，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B3.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域求出的范圍，結(jié)合分母不為0求出函數(shù)的定義域即可．【詳解】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B．4.已知，，則下列不等式一定成立的是（）A B. C. D.【正確答案】B【分析】由，且，可得，正負(fù)不確定.取特值可得AD錯誤；根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可判定BC項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，則，所以，.AD選項(xiàng)，令，滿足條件，，但，則，故AD錯誤；B選項(xiàng)，由，則，故B正確；C選項(xiàng)，由，則，故C錯誤.故選：B.5.函數(shù)的圖象是A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的圖象，即可判定，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的圖象為選項(xiàng)C.故選C.本題主要考查了函數(shù)的圖象的識別，其中解答中正確化簡函數(shù)的解析式，利用一次函數(shù)的圖象判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及識圖能力，屬于基礎(chǔ)題.6.若函數(shù)，則（）A.50 B.49 C. D.【正確答案】C【分析】本題首先可通過得出，然后通過計算即可得出結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以，，則，故選：C.7.設(shè)表示與的最大值，若，都是正數(shù)，，則的最小值為（）A. B.3 C.8 D.9【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式的“1“的妙用求出最小值.【詳解】由，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以最小值為3.故選：B8.已知函數(shù)，若對，，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性可得，，，結(jié)合存在性問題以及恒成立問題列式求解.【詳解】因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，又因?yàn)?，且，可知函?shù)在上單調(diào)遞增，可得，所以，即若，則，，若對，使得，則，解得，所以的取值范圍是.故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求的值域分別利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性，這是求值域的兩種重要且基礎(chǔ)方法，應(yīng)熟練掌握.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.9.已知全集，集合，，則（）A.集合A的真子集有8個 B. C. D.中的元素個數(shù)為5【正確答案】CD【分析】根據(jù)給定條件，求出集合及全集，再逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】依題意，，而，則，對于A，集合A的真子集個數(shù)為，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，，C正確；對于D，中的元素個數(shù)為5，D正確.故選：CD10.下列不等式恒成立是（

）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，作差法得到；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，得到，從而得到；C選項(xiàng)，作差法得到；D選項(xiàng)，變形后利用基本不等式得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，不等式兩邊同時加上得，兩邊同時除以4得，，兩邊開方得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，B正確；C選項(xiàng)，，因?yàn)椋?，故，C錯誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，D正確.故選：ABD11.已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則（）A.ab的最大值為8 B.的最小值為8C.的最小值為 D.的最小值為【正確答案】ABC【分析】根據(jù)基本不等式的知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，解不等式得，即，故的最大值為8，A正確；由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時取得最小值，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時取得最小值，D錯誤．故選：ABC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.已知集合，，若，則__________【正確答案】【分析】利用集合相等求出，再代入計算即得.【詳解】由集合，得，又，，則或，解得，此時解得與矛盾，所以.故13.若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，即“”是真命題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)對的符號分類討論即可.【詳解】根據(jù)題意可得“”是真命題，當(dāng)，即時，命題成立；當(dāng)時，得，解得，綜上，符合題意的實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.14.設(shè)關(guān)于x的不等式，只有有限個整數(shù)解，且0是其中一個解，則a的取值是___________，全部不等式的整數(shù)解的和為___________.【正確答案】①.-2或-1##-1或-2②.-10【分析】先確定，再利用0為其中的一個解，，可求出的值，從而可求出原不等式的解，由此確定不等式的整數(shù)解，從而可得出答案.【詳解】若，則原不等式為，即，顯然原不等式的整數(shù)解有無數(shù)個，不符合題意，故.設(shè)，其圖象為拋物線，對于任意一個給定的值其拋物線只有在開口向下的情況下才能滿足而整數(shù)解只有有限個，所以，因?yàn)?為其中一個解，所以，即，所以，又，所以或，若，則不等式為，解得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以；若，則不等式為，解得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以.所以全部不等式的整數(shù)解的和為.故-2或-1；-10.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)集合，.（1）若且，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)且，列不等式組求取值范圍；（2）分和兩種情形進(jìn)行討論，根據(jù)，列不等式組求的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，解得，，綜上所述，的取值范圍為.【小問2詳解】由題意，需分為和兩種情形進(jìn)行討論：當(dāng)時，，解得，，滿足題意；當(dāng)時，因?yàn)?，所以，解得，或無解；綜上所述，的取值范圍為.16.已知函數(shù)．（1）若不等式的解集為，求的表達(dá)式；（2）解關(guān)于x的不等式．【正確答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）由不等式的解集為，得出1，2是方程的根且，代入求解即可；（2）分類討論，當(dāng)，，，，，結(jié)合一元一次不等式及一元二次不等式的解法求解即可．【小問1詳解】∵的解集為，∴1，2是方程的根且，∴，∴，∴．【小問2詳解】當(dāng)時，，∵，∴，∴；當(dāng)時，，即，即，當(dāng)時，，∴或；當(dāng)時，，（?。┊?dāng)時，無解；（ⅱ）當(dāng)時，；（ⅲ）當(dāng)時，；綜上所述：當(dāng)時，不等式的解集為或，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為．17.已知二次函數(shù)且，．是否存在常數(shù)a，b，c使得不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a，b，c的值；若不存在，請說明理由．【正確答案】存在常數(shù)，，【分析】根據(jù)和求出，，從而，不等式恒成立，利用根的判別式和開口方向得到不等式，求出，可得.【詳解】∵且,∴,解得，，函數(shù)表達(dá)式化簡為，設(shè)存在常數(shù)a，b，c使得不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立，可得對一切x成立，化簡得恒成立，即，解得，可得．∴存在常數(shù)，，，使得不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立．18.某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價為x元，朱古力蜂果蛋糕單位為y元，現(xiàn)有兩種購買方案：方案一：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為a個，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為b個，花費(fèi)記為;方案二：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為b個，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為a個，花費(fèi)記為．（其中）（1）試問哪種購買方案花費(fèi)更少？請說明理由；（2）若a，b，x，y同時滿足關(guān)系，求這兩種購買方案花費(fèi)的差值S最小值（注：差值花費(fèi)較大值-花費(fèi)較小值）．【正確答案】（1）采用方案二；理由見解析（2）24【分析】（1）列出兩種方案的總費(fèi)用的表達(dá)式，作差比較，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，利用換元法和基本不等式，即可求解.【小問1詳解】解：方案一的總費(fèi)用為（元）；方案二的總費(fèi)用為（元），由，因?yàn)?，可得，所以，即，所以，所以采用方案二，花費(fèi)更少.【小問2詳解】解：由（1）可知，令，則，所以，當(dāng)時，即時，等號成立，又因?yàn)?，可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以差的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以兩種方案花費(fèi)的差值最小為24元.19.已知定義在上的函數(shù)滿足：①；②，均有，函數(shù)，若曲線與恰有一個交點(diǎn)且交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，令.（1）求實(shí)數(shù)的值及；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，不用說明理由；（3）已知，且，證明.【正確答案】（1），（2）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，令和，得到，再由二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，得到，進(jìn)而得到的解析式；（2）根據(jù)題意，利用函數(shù)單調(diào)性的定