江蘇省常州市2024-2025學年高一上冊10月月考數(shù)學學情檢測試題（含解析）

江蘇省常州市2024-2025學年高一上學期10月月考數(shù)學學情檢測試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.如圖中是全集，，是的兩個子集，則圖中陰影部分表示為（）A. B.C. D.3.已知命題，則為（）A.， B.，C.， D.，4.設a，b，m都是正數(shù)，且，記，則（）A. B.C. D.與的大小與的取值有關(guān)5.若集合有6個非空真子集，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.6.不等式的解集為（）A. B.C. D.7.某工廠利用不超過64000元的預算資金擬建一長方體狀的倉庫，為節(jié)省成本，倉庫依墻角而建（即倉庫有兩個相鄰的側(cè)面為墻面，無需材料），由于要求該倉庫高度恒定，不靠墻的兩個側(cè)面按照其底邊的長度來計算造價，造價為每米1600元，倉庫頂部按面積計算造價，造價為每平方米600元．在預算允許的范圍內(nèi)，倉庫占地面積最大為（）．A.36平方米 B.48平方米C64平方米 D.72平方米8.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則有（）A.最小值 B.最大值 C.最小值 D.最大值二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.已知實數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.10.已知集合，若，則實數(shù)的值可以是（）A. B.1 C. D.11.1872年德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結(jié)束了數(shù)學史上的第一次大危機.將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割.例如，取，則就是一個戴德金分割.已知有理數(shù)集與無理數(shù)集都具有“稠密性”，即任意兩個不同的實數(shù)之間都有無窮多個有理數(shù)，也有無窮多個無理數(shù).則下列說法中，正確的有（）A.若有最大元素，有最小元素，則可能是一個戴德金分割B.若沒有最大元素，有最小元素，則可能是一個戴德金分割C.若有最大元素，沒有最小元素，則可能是一個戴德金分割D.若沒有最大元素，沒有最小元素，則可能是一個戴德金分割三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.滿足關(guān)系的集合有____________個.13.已知，則“”是“”的_____________條件.（請在“充分且不必要”、“必要且不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選擇一個填寫）14.若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是____________.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知非空集合，集合.（1）若，求；（2）若“”是“”充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.16.已知集合，集合，設集合.（1）求；（2）當時，求函數(shù)的最小值.17.已知，關(guān)于的一元二次不等式的解集為或.（1）求的值；（2）解關(guān)于的不等式.18.與江蘇省首批高品質(zhì)示范高中江蘇省常州高級中學毗鄰的天寧寶塔，是世界第一高佛塔，是常州標志性建筑之一，也是該校師生喜歡的攝影取景勝地.該校高一某研究性學習小組去測量天寧寶塔AB的高度，該小組同學在塔底的東南方向上選取兩個測量點與，測得米，在、兩處測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，（如左圖），已知.（1）請計算天寧寶塔AB的高度（四舍五入保留整數(shù)）；（2）為慶祝某重大節(jié)日，在塔上A到處設計特殊“燈光秀”以烘托節(jié)日氣氛.知米，塔高AB直接?。?）的整數(shù)結(jié)果，市民在塔底B的東南方向的處欣賞“燈光秀”（如右圖），請問當為多少米時，欣賞“燈光秀”的視角最大?（結(jié)果保留根式）【注】可能用到的基本事實有：對于銳角越大，則越大，反之亦然；對任意兩個銳角，總有成立.19.已知有限集，若中的元素滿足，則稱為“完美集”.例如，集合的元素滿足，故為“完美集”.（1）已知是“完美集”，求的值;（2）若是“完美集”，且，求證：中至少有一個大于2；（3）試求出所有的每一個元素都為正整數(shù)的“完美集”.江蘇省常州市2024-2025學年高一上學期10月月考數(shù)學學情檢測試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)并集的定義計算可得.【詳解】因為，，所以.故選：D2.如圖中是全集，，是的兩個子集，則圖中陰影部分表示為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】分別表示出四個選項所表示的部分，得到答案.【詳解】A選項，表示的部分為②和④，A錯誤；B選項，表示的部分為①和④，B錯誤；C選項，表示的部分為①，③和④，C錯誤；D選項，表示的部分為①，D正確.故選：D3.已知命題，則為（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全稱量詞命題與存在性量詞命題的關(guān)系，準確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題與存在性量詞命題的關(guān)系，可得：命題的否定是．故選：D4.設a，b，m都是正數(shù)，且，記，則（）A. B.C. D.與的大小與的取值有關(guān)【正確答案】A【分析】根據(jù)題意通過作差比較大小，得出的大小關(guān)系，從而判斷出正確答案.【詳解】由，且，即，可得，即，故選：A.5.若集合有6個非空真子集，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出集合中元素，再列出不等式求解即得.【詳解】由集合有6個非空真子集，得集合中有3個元素，為，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A6.不等式的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】當時直接得解，當時原不等式等價于，再解分式不等式即可.【詳解】不等式，當時，不等式顯然成立；當時，則原不等式等價于，等價于，解得或，綜上可得原不等式的解集為.故選：D7.某工廠利用不超過64000元的預算資金擬建一長方體狀的倉庫，為節(jié)省成本，倉庫依墻角而建（即倉庫有兩個相鄰的側(cè)面為墻面，無需材料），由于要求該倉庫高度恒定，不靠墻的兩個側(cè)面按照其底邊的長度來計算造價，造價為每米1600元，倉庫頂部按面積計算造價，造價為每平方米600元．在預算允許的范圍內(nèi)，倉庫占地面積最大為（）．A.36平方米 B.48平方米C.64平方米 D.72平方米【正確答案】C【分析】設不靠墻的兩個側(cè)面的長度分別為，由題有，利用基本不等式可得答案.【詳解】設不靠墻兩個側(cè)面的長度分別為，由題有.令，則，即，當且僅當時取等號.故選：C8.已知關(guān)于一元二次不等式的解集為，則有（）A.最小值 B.最大值 C.最小值 D.最大值【正確答案】B【分析】由題意先確定參數(shù)之間的關(guān)系式，從而可將表示成只含有的代數(shù)式，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】因為一元二次不等式ax2+bx+c>0所以當且僅當，即當且僅當，所以因為，所以上式，當且僅當，即時取等.所以有最大值.故選：B.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.已知實數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】利用同向不等式的可加性和同向正數(shù)不等式的可乘性來推理，即可得到判斷.【詳解】由，利用同向不等式的可加性得：，故A對，B錯；再由，平方可得：，再利用同向正數(shù)不等式的可乘性得：，故C對；又由，可得：，再利用同向正數(shù)不等式的可乘性得：，兩邊同除以正數(shù)得：，故D對，故選：ACD.10.已知集合，若，則實數(shù)的值可以是（）A. B.1 C. D.【正確答案】CD【分析】根據(jù)包含關(guān)系分或或三種情況討論，運算求解即可.【詳解】，因為，所以，則有：若，解得或，當時，，，不符合集合元素的互異性；當時，，，不符合集合元素的互異性；若，解得或，當時，，，不符合集合元素的互異性；當時，，，符合題意；若，解得或，當時，，，不符合集合元素的互異性；當時，，，符合題意；綜上所述：或.故選：CD.11.1872年德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結(jié)束了數(shù)學史上的第一次大危機.將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割.例如，取，則就是一個戴德金分割.已知有理數(shù)集與無理數(shù)集都具有“稠密性”，即任意兩個不同的實數(shù)之間都有無窮多個有理數(shù)，也有無窮多個無理數(shù).則下列說法中，正確的有（）A.若有最大元素，有最小元素，則可能是一個戴德金分割B.若沒有最大元素，有最小元素，則可能是一個戴德金分割C.若有最大元素，沒有最小元素，則可能是一個戴德金分割D.若沒有最大元素，沒有最小元素，則可能是一個戴德金分割【正確答案】BCD【分析】根據(jù)戴德金分割的定義，結(jié)合選項，分別舉例，判斷正誤.【詳解】對于A：若有最大元素，不妨設為，則，要使，所以，此時中沒有最小元素，同理，若有最小元素，則中沒有最大元素，所以若有最大元素，有最小元素，則不可能是一個戴德金分割，故A錯誤；對于B：設，此時沒有最大元素，有最小元素，滿足是一個戴德金分割，故B正確；對于C：設，此時有最大元素，沒有最小元素，滿足是一個戴德金分割，故C正確；對于D：設，，此時沒有最大元素，沒有最小元素，滿足是一個戴德金分割，故D正確；故選：BCD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.滿足關(guān)系的集合有____________個.【正確答案】4【分析】由題意可得集合為的子集，且中必包含元素，寫出滿足條件的集合，即可得答案.【詳解】即集合為的子集，且中必包含元素，又因為的含元素的子集為：,共4個.故4.13.已知，則“”是“”的_____________條件.（請在“充分且不必要”、“必要且不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選擇一個填寫）【正確答案】必要且不充分【分析】根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)得到，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】因為，所以，又對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以由推不出，故充分性不成立；由推得出，故必要性成立；所以“”是“”的必要且不充分條件.故必要且不充分14.若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是____________.【正確答案】【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集得到對稱軸，然后根據(jù)端點得到兩個等式和一個不等式，求出的取值范圍，最后將都表示成的形式即可得解.【詳解】因為不等式的解集為，所以二次函數(shù)的對稱軸為直線，且需滿足，即，解得，所以，所以，所以.故答案為.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知非空集合，集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）或.（2）【分析】（1）代入求出集合P，解一元二次不等式求出集合Q，再根據(jù)集合的運算求解；（2）由“”是“”的充分不必要條件，可得?，分與討論求解即可；【小問1詳解】當時，P=x4≤x≤7，或，解不等式得：，即，所以或.【小問2詳解】若“”是“”的充分不必要條件，即?，當時，即，即時，?；當時，要使?，則，且等號不同時取得，解得：，∴滿足?的實數(shù)a的取值范圍是．16.已知集合，集合，設集合.（1）求；（2）當時，求函數(shù)的最小值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，解分式不等式求出集合，再進行集合補集、交集運算，即可得到答案；（2）利用基本不等式求函數(shù)的最小值即可；小問1詳解】由，即，解得，所以，由，等價于，解得，所以，所以，則；【小問2詳解】當時，即，則，所以，當且僅當，即時取等號，所以當時，函數(shù)的最小值為.17.已知，關(guān)于的一元二次不等式的解集為或.（1）求的值；（2）解關(guān)于的不等式.【正確答案】（1），（2）答案見解析【分析】（1）由題中條件，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列出方程，解出即可；（2）依題意可得，再分、、、、五種情況討論，分別求出不等式的解集.【小問1詳解】因為關(guān)于的一元二次不等式的解集為或，所以關(guān)于的一元二次方程的兩解為和，所以，解得；【小問2詳解】由（1）得關(guān)于的不等式即，因式分解得，①當時，原不等式為，解得，即不等式的解集為；②當時，原不等式為，解得或，所以不等式的解集為；③當時，原不等式為，解得，即不等式的解集為；④當時，原不等式解得，即不等式的解集為；⑤當時，原不等式解得，即不等式的解集為；綜上可得：當時不等式的解集為；當時不等式的解集為；當時不等式的解集為；當時不等式的解集為；當時不等式的解集為.18.與江蘇省首批高品質(zhì)示范高中江蘇省常州高級中學毗鄰的天寧寶塔，是世界第一高佛塔，是常州標志性建筑之一，也是該校師生喜歡的攝影取景勝地.該校高一某研究性學習小組去測量天寧寶塔AB的高度，該小組同學在塔底的東南方向上選取兩個測量點與，測得米，在、兩處測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，（如左圖），已知.（1）請計算天寧寶塔AB的高度（四舍五入保留整數(shù)）；（2）為慶祝某重大節(jié)日，在塔上A到處設計特殊的“燈光秀”以烘托節(jié)日氣氛.知米，塔高AB直接?。?）的整數(shù)結(jié)果，市民在塔底B的東南方向的處欣賞“燈光秀”（如右圖），請問當為多少米時，欣賞“燈光秀”的視角最大?（結(jié)果保留根式）【注】可能用到的基本事實有：對于銳角越大，則越大，反之亦然；對任意兩個銳角，總有成立.【正確答案】（1）159米（2）米【分析】（1）分別在和中，利用正切函數(shù)表示出，結(jié)合圖形列方程可求出結(jié)果.（2）由圖，將表示，設米，對取正切并化簡，結(jié)合均值不等式可求得最大值.【小問1詳解】在中，，得，在中，，得，因為，所以，解得米.【小問2詳解】由圖可知，設米，則，，，當且僅當，即時等號成立.根據(jù)題意，對于銳角越大，則越大，反之亦然，顯然，可得最大時最大.答：當為