2025年山東淄博高三一模高考數(shù)學試卷試題（含答案詳解）

第1頁/共1頁淄博市2024-2025學年度高三模擬考試數(shù)學注意事項：1、答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2、回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A.R B. C. D.2.若復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.1253.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.4.已知圓錐的母線長為6，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.5.某學校有A，B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.4．則王同學第2天去A餐廳用餐的概率為（）A.0.24 B.1 C.0.5 D.0.526.已知函數(shù)滿足，當時，，則（）A.2 B.4 C.8 D.187.已知函數(shù)，若存在實數(shù)、、且，使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.8.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美的曲線．例如曲線：，當時，是我們熟知的圓；當時，曲線是形狀如“四角星”的曲線，稱為星形線，常用于超輕材料的設計．則下列關于曲線說法錯誤的是（）A.曲線關于軸對稱B.曲線上的點到軸，軸的距離之積不超過C.曲線與有8個交點D.曲線所圍成圖形的面積小于2二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但選不全的得部分分，有選借的得0分．9.隨機變是服從正態(tài)分布，令函數(shù)，則下列選項正確的是（）A. B.是增函數(shù)C.是偶函數(shù) D.圖象關于點中心對稱10.如圖，棱長為2的正方體中，分別是棱，棱的中點，動點滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則三棱錐的體積為定值C.若，則直線與直線所成角的最小值為60°D.若動點在三棱錐外接球的表面上，則點的軌跡長度為11.過點向曲線引斜率為的切線，切點為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.數(shù)列的前項和為 D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的各項為正數(shù)，首項和為，若，則公比______．13.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且角為銳角，，則的值為______．14.如圖，在的方格中，每一行隨機設置1個陷阱（起點和終點處無陷阱）.玩家從起點方格出發(fā)，每次可以向右或向下移動一格到達下一格.若遇到含有設置陷阱的方格，則被重置回起點，然后該玩家會尋找未走過的路線繼續(xù)挑戰(zhàn)，直至到達終點.若重置若干次以后始終未能到達終點，則挑戰(zhàn)失敗.該玩家挑戰(zhàn)失敗的概率為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某地為調(diào)查大型水域的水質(zhì)情況，設置若干站點檢測水質(zhì)指數(shù)（“M指數(shù)”．），以這些站點所測“M指數(shù)”的平均值為依據(jù)，接報此大型水域的水質(zhì)情況．下圖是2024年11月份30天內(nèi)該大型水域“M指數(shù)”的頻率分布直方圖，其中分組區(qū)間分別為：，，，，，，，．（1）規(guī)定：“指數(shù)”不超過50為“優(yōu)質(zhì)水源日”，否則稱為“非優(yōu)質(zhì)水源日”．對該地區(qū)50名外出郊游市民進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

男市民女市民合計優(yōu)質(zhì)水源日出游12

30非優(yōu)質(zhì)水源日出游

6

合計

50請完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)獨立性檢驗，能否認為優(yōu)質(zhì)水源日出游與性別有關？（2）從“指數(shù)”在第一組和第二組的所有天數(shù)中選取3天的數(shù)據(jù)進行評價，記這3天的數(shù)據(jù)來自第一組的數(shù)據(jù)有天，求的分布列和數(shù)學期望．附：．0.10.050.010.00500012.7063.8416.6357.87910.82816.已知雙曲線，離心率，點雙曲線上（1）求雙曲線的標準方程；（2）點分別是雙曲線的左右焦點，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，若的周長為12，求直線的方程．17.如圖，在四棱錐中，，，點在上，且．（1）點在線段上，且平面，證明：為線段的中點；（2）若平面與平面所成的角的余弦值為，求的長度．18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：時，；（3）若不等式對任意的都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），求整數(shù)的最大值．19.一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標都是某個變數(shù)的函數(shù)①并且對的每一個允許值，由方程組①所確定的點都在這條曲線上，那么方程①就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程，例如圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)，橢圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）．動點與定點的距離和點到定直線的距離的比是常數(shù)，點的軌跡方程為．（1）求曲線的普通方程，寫出的參數(shù)方程（不證明）；（2）求證：；（3）定點在上；為常數(shù)且，按如下規(guī)則依次構(gòu)造點，過點做斜率的直線與交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為，證明：．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A.R B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交集計算和二次不等式以及指數(shù)函數(shù)的不等式解法即可求解.【詳解】,,,故選：B.2.若復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.125【答案】B【解析】【分析】據(jù)復數(shù)的模長結(jié)合乘法運算可得復數(shù)，再由共軛復數(shù)的概念和模長公式即可求解.【詳解】，則，則，則.故選：B3.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設出的坐標，利用給定條件得到，再利用投影向量公式求解即可.【詳解】設，因為，所以，解得，，即向量在向量上的投影向量為.故選：A.4.已知圓錐的母線長為6，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)扇形弧長求底面半徑，再代入圓錐的表面積公式，即可求解.【詳解】設圓錐的母線長為，底面半徑為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得，所以該圓錐的表面積為.故選：C5.某學校有A，B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.4．則王同學第2天去A餐廳用餐的概率為（）A.0.24 B.1 C.0.5 D.0.52【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全概率公式，分別計算出第一天去餐廳且第二天去餐廳的概率，以及第一天去餐廳且第二天去餐廳的概率，然后將這兩個概率相加，即可得到王同學第二天去餐廳用餐的概率.【詳解】已知王同學第一天隨機選擇一家餐廳用餐，那么去餐廳的概率為（因為只有、兩家餐廳，隨機選擇一家，去每家的概率都是）.又已知如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為（表示在第一天去餐廳的條件下，第二天去餐廳的概率）.根據(jù)條件概率公式（其中、為事件，表示與同時發(fā)生的概率），可得第一天去餐廳且第二天去餐廳的概率為：同理，第一天去餐廳的概率為.已知如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為（表示在第一天去餐廳的條件下，第二天去餐廳的概率）.根據(jù)條件概率公式，可得第一天去餐廳且第二天去餐廳的概率為：因為“第一天去餐廳且第二天去餐廳”與“第一天去餐廳且第二天去餐廳”這兩個事件是互斥的（即這兩個事件不可能同時發(fā)生），所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式（其中、為互斥事件，表示或發(fā)生的概率），可得王同學第二天去餐廳用餐的概率為：故選：C6.已知函數(shù)滿足，當時，，則（）A.2 B.4 C.8 D.18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化到里面計算即可.【詳解】因為，所以．因為，所以．故選：C.7.已知函數(shù)，若存在實數(shù)、、且，使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，利用正弦型函數(shù)的對稱性得出，可得出，求出的取值范圍，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的取值范圍.【詳解】如下圖所示：令，解得，故當時，對稱軸為直線，則，因為，所以，，又因為，，由可得，則，則，所以，.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于結(jié)合正弦型函數(shù)的對稱性以及函數(shù)解析式將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關于某個量的函數(shù)，求出變量范圍后，轉(zhuǎn)化為值域問題求解.8.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美的曲線．例如曲線：，當時，是我們熟知的圓；當時，曲線是形狀如“四角星”的曲線，稱為星形線，常用于超輕材料的設計．則下列關于曲線說法錯誤的是（）A.曲線關于軸對稱B.曲線上的點到軸，軸的距離之積不超過C.曲線與有8個交點D.曲線所圍成圖形的面積小于2【答案】C【解析】【分析】對A，在方程中，以替代方程不變，可判斷；對B，由基本不等式求解判斷；對C，易得曲線在的內(nèi)部，作出圖象判斷交點個數(shù)；對D，易求圍成的正方形面積為2，又曲線在的內(nèi)部，得解.【詳解】對于A，在方程中，以替代方程不變，所以曲線關于軸對稱，同理，以；替代方程均不變，所以曲線關于軸，坐標原點對稱，如圖，故A正確；對于B，曲線上點到軸的距離為，到軸的距離為，由，當且僅當時取等號，，故B正確；對于C，在第一象限內(nèi)，，所以曲線在直線的下方，所以兩者有4個交點，分別為，故C錯誤；對于D，如圖，圍成的正方形面積為，所以曲線圍成圖形的面積小于2，故D正確.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是根據(jù)方程分析曲線在第一象限的性質(zhì).二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但選不全的得部分分，有選借的得0分．9.隨機變是服從正態(tài)分布，令函數(shù)，則下列選項正確的是（）A. B.是增函數(shù)C.是偶函數(shù) D.的圖象關于點中心對稱【答案】AD【解析】【分析】由正態(tài)分布可求得，判斷A；易得在上是減函數(shù)，可判斷B；計算，可判斷C；證明可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，當增大時，減少，所以在上是減函數(shù)，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，若的圖象關于點中心對稱，則，因為服從正態(tài)分布，所以關于對稱，所以，則，故D正確.故選：AD.10.如圖，棱長為2的正方體中，分別是棱，棱的中點，動點滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則三棱錐體積為定值C.若，則直線與直線所成角的最小值為60°D.若動點在三棱錐外接球的表面上，則點的軌跡長度為【答案】ABD【解析】【分析】以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，利用向量法可證明判斷A，若，點在直線，可得體積為定值判斷B；上求得直線與直線所成角的最小值判斷C；確定外接球的球心，進而軌跡的周長判斷D.【詳解】以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，所以，即

，所以，又，所以，所以，所以，故A正確；因為，，所以點在直線上，又因為，，所以四邊形是平行四邊形，所心，又平面，平面，所以平面，所以到平面的距離為定值，又的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；點為的中點，坐標為，點的坐標為

，向量，向量，設直線與直線所成的角為，，又因為，當

時，，即直線與直線所成角的最小值為，故C錯誤；因為三棱錐即為三棱錐，又底面是直角三角形，過的中點作平面，是三棱錐外接球的球心，因為平面，所以，又，所以三棱錐外接球的半徑，因為點在平面內(nèi)，又在三棱錐外接球的表面上，所以

的軌跡是平面截三棱錐外接球的截面圓，又易得到平面的距離為1，所以截面圓的半徑為，所以

的軌跡的周長為

，故D正確.故選：ABD.11.過點向曲線引斜率為的切線，切點為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.數(shù)列的前項和為 D.【答案】ABD【解析】【分析】設直線，方程聯(lián)立由判斷A；可得，，從而結(jié)合累加法求和可判斷B；由，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可判斷C；令，結(jié)合導數(shù)可得在上單調(diào)遞增，進而可判斷D.【詳解】設直線，聯(lián)立，得，則由，即，解得（負值舍去），故A正確；可得，，所以，故B正確；因為，則，故C錯誤；因為，，所以，設，則，可得在上單調(diào)遞增，則時，，又，則，故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是設出切線方程，方程聯(lián)立由，得出，，進而判斷各選項.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的各項為正數(shù)，首項和為，若，則公比______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的定義以及等比數(shù)列的定義，建立方程，可得答案.【詳解】由，則，由，，則，整理可得，分解因式可得，解得或（舍去）.故答案為：.13.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且角為銳角，，則的值為______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)二倍角公式求出的值，進而求出的值，再利用正弦定理求出的值，判斷的范圍并求出的值，最后根據(jù)三角函數(shù)的兩角和公式求出的值.【詳解】已知，根據(jù)二倍角公式，則有.因為為銳角，即，等式兩邊同時除以可得：.已知，將其代入可得：，解得.因為為銳角，根據(jù)，可得.由正弦定理，已知，，，則.因為，根據(jù)大邊對大角可知，又因為為銳角，所以也為銳角.根據(jù)，可得因為，所以，則.故答案為：14.如圖，在的方格中，每一行隨機設置1個陷阱（起點和終點處無陷阱）.玩家從起點方格出發(fā)，每次可以向右或向下移動一格到達下一格.若遇到含有設置陷阱的方格，則被重置回起點，然后該玩家會尋找未走過的路線繼續(xù)挑戰(zhàn)，直至到達終點.若重置若干次以后始終未能到達終點，則挑戰(zhàn)失敗.該玩家挑戰(zhàn)失敗的概率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由題知，玩家從起點方格出發(fā)，每次向右或向下移動一格，可以順利到達終點，即為挑戰(zhàn)成功，反之挑戰(zhàn)失敗.用表示第行第列含有陷阱的方格，則第1行含有陷阱的方格為，第2行含有陷阱的方格為，第3行含有陷阱的方格為，所以每一行隨機設置1個陷阱（起點和終點處無陷阱）共有個基本事件，具體如下：，，，，，，，，，，，，玩家挑戰(zhàn)失敗的基本事件有，，，，，，，共個，所以玩家挑戰(zhàn)失敗的概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某地為調(diào)查大型水域的水質(zhì)情況，設置若干站點檢測水質(zhì)指數(shù)（“M指數(shù)”．），以這些站點所測“M指數(shù)”的平均值為依據(jù)，接報此大型水域的水質(zhì)情況．下圖是2024年11月份30天內(nèi)該大型水域“M指數(shù)”的頻率分布直方圖，其中分組區(qū)間分別為：，，，，，，，．（1）規(guī)定：“指數(shù)”不超過50為“優(yōu)質(zhì)水源日”，否則稱為“非優(yōu)質(zhì)水源日”．對該地區(qū)50名外出郊游的市民進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

男市民女市民合計優(yōu)質(zhì)水源日出游12

30非優(yōu)質(zhì)水源日出游

6

合計

50請完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)的獨立性檢驗，能否認為優(yōu)質(zhì)水源日出游與性別有關？（2）從“指數(shù)”在第一組和第二組的所有天數(shù)中選取3天的數(shù)據(jù)進行評價，記這3天的數(shù)據(jù)來自第一組的數(shù)據(jù)有天，求的分布列和數(shù)學期望．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）答案見詳解（2）答案見詳解【解析】【分析】（1）完善列聯(lián)表，根據(jù)公式計算出卡方，即可得解；（2）由題知的可能取值為，然后計算相對應的概率，畫出分布列，最后求出期望.【小問1詳解】

男市民女市民合計優(yōu)質(zhì)水源日出游121830非優(yōu)質(zhì)水源日出游14620合計2624

50，所以有的把握認為優(yōu)質(zhì)水源日出游與性別有關.【小問2詳解】根據(jù)題意，第一組有天，第二組有天，所以的可能取值為，，，，，的分布列為0123.16.已知雙曲線，離心率，點在雙曲線上（1）求雙曲線的標準方程；（2）點分別是雙曲線的左右焦點，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，若的周長為12，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得：，，解方程求出，即可得出答案；（2）由題意可得，設，與雙曲線聯(lián)立，得出韋達定理，利用弦長公式即可求解.【小問1詳解】由題意可得，則，即，又因為點在雙曲線上，所以，解得：，所以雙曲線的標準方程為：.【小問2詳解】因為的周長為12，所以①，由雙曲線的定義可得：，所以②，所以由①②可得：，由（1）知，，所以，因為直線的斜率不為，所以設，則聯(lián)立直線與雙曲線可得，當，即，直線與雙曲線只有一個交點，不合題意，所以，，所以，所以，解得：（舍去）或，所以，直線的方程為：，即.17.如圖，在四棱錐中，，，點在上，且．（1）點在線段上，且平面，證明：為線段的中點；（2）若平面與平面所成的角的余弦值為，求的長度．【答案】（1）見解析（2）的長度為或【解析】【分析】（1）過點作交于點，連接，由線面平行的性質(zhì)定理證明，即可證明；（2）建立空間直角坐標系，設，求出直線的方向向量和平面的法向量，由線面角的向量公式即可得出答案.【小問1詳解】連接，過點作交于點，連接，又因為，所以，所以四點共面，因為平面，平面，平面平面，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以為線段的中點；【小問2詳解】連接，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面所以平面又因為，所以建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，設平面的法向量為，，所以，令，，所以，所以與平面所成的角的余弦值為，所以與平面所成的角的正弦值為，即，所以，化簡可得：，解得：或，即或，所以或.18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：時，；（3）若不等式對任意的都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），求整數(shù)的最大值．【答案】（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）見解析（3）整數(shù)的最大值為．【解析】【分析】（1）直接利用導數(shù)判斷的單調(diào)區(qū)間；（2）要證，即證，令，對求導，得到即可證明.（3）分離常數(shù)，得，為此求出函數(shù)在上的最小值．這可利用導數(shù)知識求解．【小問1詳解】函數(shù)的定義域是，，當時，；當時，．所以，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【小問2詳解】要證時，，即證在恒成立，令，，，令，，當時，，，所以上單調(diào)遞減，所以，則，所以在上單調(diào)遞減，所，所以，綜上，時，；【小問3詳解】不等式等價于不等式，由可得：，