數(shù)學(xué)分析7.3上極限和下極限

第七章實(shí)數(shù)的完備性3上極限和下極限定義1：若在數(shù)a的任一鄰域內(nèi)含有數(shù)列{xn}的無(wú)限多個(gè)項(xiàng)，則稱a為{xn}的一個(gè)聚點(diǎn).注：點(diǎn)列（或數(shù)列）的聚點(diǎn)鄰域中可以包含無(wú)限個(gè)相同的項(xiàng)；而點(diǎn)集（或數(shù)集）的聚點(diǎn)鄰域中只能包含無(wú)限個(gè)不同的項(xiàng)。定理7.4：有界點(diǎn)列(數(shù)列){xn}至少有一個(gè)聚點(diǎn)，且存在最大聚點(diǎn)與最小聚點(diǎn).證：∵{xn}為有界數(shù)列，∴存在M>0，使得|xn|≤M，記[a1,b1]=[-M,M].將[a1,b1]等分成兩個(gè)子區(qū)間，若右邊的子區(qū)間含有{xn}中無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)，則取右邊的區(qū)間，否則取左邊的區(qū)間為[a2,b2]，則[a1,b1]?[a2,b2],且b2-a2=(b1-a1)=M.[a2,b2]含有{xn}中無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)；將[a2,b2]等分成兩個(gè)子區(qū)間，若右邊的子區(qū)間含有{xn}中無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)，則取右邊的區(qū)間，否則取左邊的區(qū)間為[a3,b3]，則∴[a2,b2]?[a3,b3],且b3-a3=(b2-a2)=.[a3,b3]含有{xn}中無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)；依此規(guī)律，將等分區(qū)間無(wú)限進(jìn)行下去，可得區(qū)間列{[an,bn]}滿足[an,bn]?[an+1,bn+1],且bn-an=→0(n→∞)，即{[an,bn]}是區(qū)間套，且每一個(gè)閉區(qū)間都含有{xn}中無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)，而其右邊至多只有{xn}中有限多個(gè)項(xiàng).由區(qū)間套定理，存在唯一的一點(diǎn)ξ，使得ξ∈[an,bn],n=1,2,….又對(duì)任給的ε>0，存在N>0，使得當(dāng)n>N時(shí)有[an,bn]?U(ξ;ε)，∴U(ξ;ε)內(nèi)含有{xn}中無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)，∴ξ為{xn}的一個(gè)聚點(diǎn).若ξ為{xn}的唯一的聚點(diǎn)，則ξ同時(shí)為{xn}的最大聚點(diǎn)和最小聚點(diǎn).若{xn}有聚點(diǎn)ζ>ξ，則令δ=(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)內(nèi)含有{xn}中無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)，且當(dāng)n充分大時(shí)，U(ζ,δ)將落在[an,bn]的右邊，矛盾。∴ξ為{xn}的最大聚點(diǎn).同理，在取區(qū)間列{[an,bn]}時(shí)，優(yōu)先挑選左邊的子區(qū)間，則最后得到的聚點(diǎn)為{xn}的最小聚點(diǎn).定義2：有界數(shù)列(點(diǎn)列){xn}的最大聚點(diǎn)與最小聚點(diǎn)分別稱為{xn}的上極限與下極限，記作：=xn，=xn.例1：(-1)n=1，(-1)n=-1；sin=1，sin=-1；==0.定理7.5：對(duì)任何有界數(shù)列{xn}有.xn≤xn.定理7.6：xn=A的充要條件是：xn=xn=A.定理7.7：設(shè){xn}為有界數(shù)列，則1、為{xn}上極限的充要條件是：任給ε>0，(1)存在N>0，使得當(dāng)n>N時(shí)，有xn<+ε；(2)存在子列{x},x>-ε，k=1,2,….2、為{xn}下極限的充要條件是：任給ε>0，(1)存在N>0，使得當(dāng)n>N時(shí)，有xn>-ε；(2)存在子列{x},x<+ε，k=1,2,….證：1、[必要性]∵是{xn}的聚點(diǎn)，∵對(duì)任給的ε>0，在U(,ε)內(nèi)含有{xn}中無(wú)窮多項(xiàng)，設(shè)為{x}，則有x>-ε，k=1,2,….又是{xn}的最大聚點(diǎn)，∴在+ε的右邊至多只有{xn}的有限個(gè)項(xiàng)，設(shè)此有限項(xiàng)的最大下標(biāo)為N，則當(dāng)n>N時(shí)，有xn<+ε.[充分性]任給的ε>0，由條件(1)和(2)可知，在U(,ε)內(nèi)含有{xn}中無(wú)窮多項(xiàng)，∴是{xn}的一個(gè)聚點(diǎn).又設(shè)a>.記ε=(a-)，則由條件(1)可知，在U(a,ε)內(nèi)至多只有{xn}的有限個(gè)項(xiàng)，∴a不是{xn}的聚點(diǎn)，即是{xn}的最大聚點(diǎn).2、同理可證。定理7.7’：設(shè){xn}為有界數(shù)列，則1、為{xn}上極限的充要條件是：對(duì)任何a>，{xn}中大于a的項(xiàng)至多有限個(gè)；對(duì)任何b<，{xn}中大于b的項(xiàng)有無(wú)限多個(gè).2、為{xn}下極限的充要條件是：對(duì)任何b<，{xn}中小于b的項(xiàng)至多有限個(gè)；對(duì)任何a>，{xn}中小于a的項(xiàng)有無(wú)限多個(gè).定理7.8：(上、下極限的保不等式性)設(shè)有界數(shù)列{an},{bn}滿足：存在N0>0，當(dāng)n>N0時(shí)有an≤bn，則an≤bn，an≤bn.特別地，若m,M為常數(shù)，又存在N0>0，當(dāng)n>N0時(shí)有m≤an≤M，則m≤an≤an≤M.證：設(shè)an=a,bn=b，若a>b，取ε=>0，則{an}中大于a-ε=a-=b+=b+ε的項(xiàng)有無(wú)限多個(gè).∵bn≥an，∴{bn}中大于b+ε的項(xiàng)有無(wú)限多個(gè)，與bn=b矛盾，∴a≤b，即an≤bn.同理可證an≤bn.又m=m≤an≤an≤M=M，即m≤an≤an≤M.例2：設(shè){an},{bn}為有界數(shù)列.證明：(an+bn)≤an+bn.證：設(shè)an=A，bn=B，則對(duì)任給的ε>0，存在N>0，使當(dāng)n>N時(shí)，有an<A+，bn<B+；∴an+bn<A+B+ε.由上極限的保不等式性得(an+bn)<A+B+ε.由ε的任意性得(an+bn)≤A+B=an+bn.定理7.9：設(shè){xn}為有界數(shù)列，則1、為{xn}上極限的充要條件是：={xk}.2、為{xn}下極限的充要條件是：={xk}.證：1、[必要性]設(shè)xn=(為有限值).則對(duì)任給的ε>0，{xn}中大于+的項(xiàng)至多有限個(gè).設(shè)這有限個(gè)項(xiàng)中下標(biāo)最大者為N，則當(dāng)n≥N+1時(shí)，xn≤+，∴{xk}≤+<+ε.又{xn}中大于-ε的項(xiàng)有無(wú)限多個(gè)，∴對(duì)一切n，有{xk}>-ε.∴當(dāng)n>N時(shí)，有-ε<{xk}<+ε.∴{xk}=.[充分性]設(shè){xk}=(為有限值).設(shè)An={xk}，則{An}遞減，∴=inf{An}，即對(duì)任給的ε>0，存在N，使AN<+ε，∴當(dāng)n≥N時(shí)，xn<+ε，即{xn}中大于+ε的項(xiàng)至多有限個(gè)；又對(duì)一切n，有An≥>-ε，∴{xn}中大于-ε的項(xiàng)有無(wú)限個(gè)，∴xn=.2、∵(-xn)={-xn}=-{xn}，又(-xn)=-xn，∴xn={xk}.注：對(duì)非正常點(diǎn)±∞，以上定理皆成立.習(xí)題1、求以下數(shù)列的上、下極限：(1){1+(-1)n}；(2){(-1)n}；(3){2n+1}；(4){sin}；(5){sin}；(6){}.解：記原數(shù)列為{xn}.一般地，若P為自然數(shù)，且xkp=A0,xkp-1=A1,…,xkp-p+1=Ap-1存在，則對(duì)?ε>0，存在自然數(shù)N，使得當(dāng)k>N時(shí)，Aj-ε<xkp-j<Aj+ε(j=0,1,…p-1).設(shè)min{A0,A1,…,Ap-1}=A，則小于A+ε的xn有無(wú)限項(xiàng).若對(duì)某個(gè)正數(shù)ε，數(shù)列{xn}中小于A-ε的xn有無(wú)限項(xiàng)，設(shè)它們是x,x,…,x,…，(n1<n2<…<nj<…).∵自然數(shù)集N可分為有限個(gè)子集：{kp|k∈N},{kp-1|k∈N},…{kp-k+1|k∈N}，且nj有無(wú)限個(gè)，∴以上p個(gè)子集中，必有一個(gè)(設(shè)為第j個(gè))含有無(wú)限個(gè)nj，即有n=kip+j(i=1,2,…).∴x=xp+j=Aj.∴Aj≤A-ε<A與A最小矛盾.∴xn=min{A0,A1,…,Ap-1}.同理可得xn=max{A0,A1,…,Ap-1}.(1)∵x2k-1=0，x2k=2，∴xn=0，xn=2.(2)∵x2k-1=-，x2k=，∴xn=-，xn=.(3)∵xn=+∞，∴xn=xn=+∞.(4)∵x8k-7=x8k-5=，x8k-6=2，x8k-4=x8k=0，x8k-3=x8k-1=-，x8k-2=-2，∴xn=-2，xn=2.(5)∵sin==π，∴xn=xn=π.(6)∵x3k-1=x3k-2=x3k=1，∴xn=xn=1.2、{an},{bn}為有界數(shù)列.證明：(1)an=-(-an)；(2)an+bn≤(an+bn)；(3)若an>0,bn>0，則anbn≤anbn；anbn≥anbn；(4)若an>0,an>0，則=.證：(1)設(shè)an=a，則對(duì)任給的ε>0，小于a-ε的an至多有限項(xiàng)，小于a+ε的an有無(wú)限項(xiàng)，即{-an}中大于-a+ε的至多有限項(xiàng)，大于-a-ε的有無(wú)限項(xiàng)，∴(-an)=-a,即an=-(-an).(2)設(shè)an=a，bn=b，(an+bn)=c，若a+b>c，則對(duì)任給的ε>0，有無(wú)限個(gè)n，使得an+bn<c+ε，取ε0=(a+b-c)>0，則有無(wú)限個(gè)n，使an+bn<c+(a+b-c)=(a+b+c)=a+b-(a+b-c)=a+b-ε0.又an=a，bn=b，∴至多有有限個(gè)n和有限個(gè)m，使得an<a-,bm<b-.設(shè)分別有p個(gè)an項(xiàng)，和q個(gè)bm項(xiàng)滿足以上條件.則滿足an+bn<a+b-ε0的n至多有pq個(gè)，矛盾.∴a+b≤c，即an+bn≤(an+bn)；(3)設(shè)an=a，bn=b，anbn=c，若ab=0，∵anbn>0，∴c≥0.即0=ab=anbn≤c=anbn，成立.若a>0,b>0，設(shè)ab>c，任取ε>0，使ab-c>ε>0，則有無(wú)限多項(xiàng)滿足anbn<c+<c+(ab-c)=(ab+c)=ab-(ab-c)<ab-<ab-+.又至多有有限項(xiàng)(設(shè)為p項(xiàng))滿足an<a-,且有限項(xiàng)(設(shè)為q項(xiàng))滿足bm<b-,從而至多有pq項(xiàng)滿足anbn<(a-)(b-)=ab-+，矛盾.∴anbn≤anbn.同理可證：anbn≥anbn；(4)設(shè)an=a>0，則對(duì)任給的ε>0，取ε充分小，使ε<a，且aε<1，令ε1=>0，ε2=>0，則{an}中小于a+ε1=的項(xiàng)有無(wú)限多個(gè)，小于a-ε2=的項(xiàng)至多有限個(gè)，則{}中大于=-ε的項(xiàng)有無(wú)限多個(gè)，大于=+ε的項(xiàng)至多有限個(gè)，∴==.3、證明：若{an}為遞增數(shù)列，則an=an.證：若{an}有界，則由單調(diào)有界定理知，an存在，且an=an.若{an}無(wú)界，則an=+∞，從而對(duì)任