彈性力學(xué) 課件 第6章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答

彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》，高等教育出版社，2024.12第六章

平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答Chapter6Polarsolutionstoplanarproblems極坐標(biāo)中的彈性力學(xué)方程0102極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程03孔口應(yīng)力集中問(wèn)題楔形體彈性力學(xué)解答及推廣04極坐標(biāo)中的彈性力學(xué)方程01Elasticityequationsinpolarcoordinates平衡條件應(yīng)用假定:（1）連續(xù)性，（2）小變形。

平衡條件

其中可?。?/p>

所以：平衡條件

略去三階微量，保留到二階微量，得：

平衡條件當(dāng)考慮到二階微量時(shí)，得：

含義：通過(guò)形心C的力矩為0。進(jìn)一步驗(yàn)證了切應(yīng)力互等定理。極坐標(biāo)下的平衡方程：

01幾何方程

所以切應(yīng)變?yōu)?/p>

幾何方程

02

所以切應(yīng)變?yōu)?/p>

幾何方程

03

（2）極坐標(biāo)中的物理方程（3）邊界條件

平面應(yīng)力問(wèn)題：對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只須作如下變換，（1）幾何方程為形式比較簡(jiǎn)單極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程02Stressfunctionandcompatibilityequationinpolarcoordinates以下建立直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的變換關(guān)系，用于：（a）物理量的轉(zhuǎn)換；（b）從直角坐標(biāo)系中的方程導(dǎo)出極坐標(biāo)系中的方程?；颍?/p>

（1）坐標(biāo)變量的變換：（2）函數(shù)的變換：（3）導(dǎo)數(shù)的變換：極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量與協(xié)調(diào)方程極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量與協(xié)調(diào)方程

（3）導(dǎo)數(shù)的變換：因此，把x軸和y軸分別轉(zhuǎn)到

和

的方向，有xyO時(shí)二階導(dǎo)數(shù)的變換公式，可以從上式導(dǎo)出。例如：展開(kāi)即得：

若微元體處于6.

展開(kāi)即得：應(yīng)力分量

若微元體處于展開(kāi)即得：6.拉普拉斯算子的變換：(用于驗(yàn)證雙調(diào)和性)應(yīng)力函數(shù)

極坐標(biāo)中的相容方程的展開(kāi)式6.拉普拉斯算子的變換：(用于驗(yàn)證雙調(diào)和性)

孔口應(yīng)力集中問(wèn)題03Stressconcentrationattheorifice問(wèn)題的提出在結(jié)構(gòu)中開(kāi)孔以符合某種工程需求是工程上常見(jiàn)的現(xiàn)象，例如機(jī)械結(jié)構(gòu)中連接件、以及隧洞開(kāi)挖、水利工程中的泄洪口等，而確定孔邊應(yīng)力分布，進(jìn)而對(duì)開(kāi)孔構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度校核，包括剛度校核、穩(wěn)定性判定是確保各類開(kāi)孔工程安全的基礎(chǔ)。此類問(wèn)題通常簡(jiǎn)化為圓環(huán)（平面應(yīng)力問(wèn)題）和圓筒（平面應(yīng)變問(wèn)題）。如圖所示，設(shè)有圓環(huán)受內(nèi)外均布?jí)毫?，?nèi)半徑為a，外半徑為b。試求應(yīng)力分量、位移分量。分析：由于幾何形狀、載荷均軸對(duì)稱，故屬于軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題。含義：軸對(duì)稱即繞軸對(duì)稱，凡通過(guò)此軸的任何面均為對(duì)稱面。

問(wèn)題：試求軸對(duì)稱平面問(wèn)題的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量。軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題

相容方程簡(jiǎn)化為：①求應(yīng)力函數(shù)相容方程：其中，因此，相容方程寫為：

分部積分積分③應(yīng)變通解②應(yīng)力通解

（c）

（d）（a）（b）④求對(duì)應(yīng)的位移將應(yīng)變代入幾何方程，對(duì)應(yīng)第一、二式分別積分

代入得(a)，(b)兩式的表達(dá)式為：

④求對(duì)應(yīng)的位移

分開(kāi)變量，兩邊均應(yīng)等于同一常量F：

④求對(duì)應(yīng)的位移由兩個(gè)常微分方程，

其中，A、B、C、H、I、K都是任意常數(shù)，第2式第一項(xiàng)

，為滿足位移單值條件，有B=0。①應(yīng)力分量簡(jiǎn)化為，②考慮內(nèi)、外邊界條件，有內(nèi)壁：外壁：③求解邊界條件，得④帶入?yún)?shù)，得拉梅-克拉貝隆解圓環(huán)/圓通受內(nèi)壓、外壓時(shí)的應(yīng)力解圓環(huán)/圓通受內(nèi)壓、外壓時(shí)的應(yīng)力解上述解答的應(yīng)用：(1)只有內(nèi)壓力，此時(shí)(2)只有內(nèi)壓力且，成為具有圓孔的無(wú)限大薄板(彈性體)。(3)只有外壓力單值條件的說(shuō)明：(1)多連體中的位移單值條件，實(shí)質(zhì)上就是物體的連續(xù)性條件（即位移連續(xù)性條件）。(2)在連續(xù)體中，應(yīng)力、形變和位移都應(yīng)為單值。所以,按應(yīng)力求解時(shí),對(duì)于多連體需要校核位移的單值條件。說(shuō)明（1）在軸對(duì)稱應(yīng)力條件下，應(yīng)力函數(shù)、應(yīng)力和位移的通解，適用于任何軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題。（2）在軸對(duì)稱應(yīng)力條件下，形變也是軸對(duì)稱的，但位移不是軸對(duì)稱的。（3）實(shí)現(xiàn)軸對(duì)稱應(yīng)力的條件是物體形狀、體力和面力應(yīng)為軸對(duì)稱。（4）軸對(duì)稱應(yīng)力及對(duì)應(yīng)的位移的通解已滿足相容方程，它們還必須滿足邊界條件及多連體中的位移單值條件，并由此求出其系數(shù)A、B及C。（5）軸對(duì)稱應(yīng)力及位移的通解可以用于求解應(yīng)力或位移邊界條件下的任何軸對(duì)稱問(wèn)題。

問(wèn)題的提出：帶有圓孔的無(wú)限大板（B>>a），圓孔半徑為a，在無(wú)限遠(yuǎn)處受有均勻拉應(yīng)力

q

作用。求：孔邊附近的應(yīng)力。b第一步：改造邊界條件直邊宜用直角坐標(biāo)系，圓孔宜用極坐標(biāo)。以遠(yuǎn)大于a的某長(zhǎng)度b為半徑，構(gòu)造圓形邊界。如圖A點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)可描述為現(xiàn)在來(lái)看，直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下，應(yīng)力分量的變換關(guān)系：

第一個(gè)問(wèn)題求直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量：

如圖取三角形微元體，其厚度為1。根據(jù)三角板A，x方向平衡：6.

同理，y方向平衡，可得：再由三角板B,y方向平衡：

第一個(gè)問(wèn)題求直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量：

6.

利用三角公式：第二個(gè)問(wèn)題考慮圖C平衡條件。

考慮圖D平衡條件。6.求直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量：求極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量：第二個(gè)問(wèn)題求直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量：求極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量：

P616.利用三角公式：

b第一步：改造邊界條件極坐標(biāo)系下，邊界條件變換為：直角坐標(biāo)系：為了便于分析，將外邊界條件分解為兩部分：軸對(duì)稱邊界：非軸對(duì)稱邊界：分別考慮軸對(duì)稱問(wèn)題和非軸對(duì)稱問(wèn)題，再利用疊加原理將兩者疊加，得到問(wèn)題的全部解。b第二步：求解兩個(gè)問(wèn)題問(wèn)題1：考慮軸對(duì)稱邊界，該問(wèn)題可借用只有外壓而沒(méi)有內(nèi)壓的拉梅-克拉貝隆解，令式(6-17)中，，并考慮，有問(wèn)題2：考慮非軸對(duì)稱邊界,結(jié)合應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力之間的微分關(guān)系

，可猜測(cè)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)具有以下形式將其帶入相容方程，并做推導(dǎo)由于

不能總為0，所以令對(duì)應(yīng)特征方程：其根為將

代回應(yīng)力函數(shù)，得將上述應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，有考慮邊界條件：內(nèi)邊界：外邊界：利用邊界條件，確定待定常數(shù)，有代回應(yīng)力分量，有第三步：疊加軸對(duì)稱邊界部分的解非軸對(duì)稱邊界部分的解無(wú)限大平板開(kāi)圓孔的吉爾斯解答。由于圓孔開(kāi)裂的控制應(yīng)力為

，環(huán)向應(yīng)力可寫為拉應(yīng)力壓應(yīng)力壓應(yīng)力拉應(yīng)力壓應(yīng)力經(jīng)分析可知，孔邊應(yīng)力集中系數(shù)最大為3；無(wú)論是拉伸、還是壓縮，在遠(yuǎn)離孔心3倍半徑后，應(yīng)力集中系數(shù)逐漸趨近于1.吉爾斯解答的推廣：(1)求解雙向拉伸（或）壓縮問(wèn)題的孔邊應(yīng)力集中(2)純剪狀態(tài)下的孔邊應(yīng)力集中楔形體彈性力學(xué)解答及其推廣04Elasticmechanicssolutionofwedgeanditsextension（一）楔頂受有集中力P作用（1）應(yīng)力函數(shù)的確定——①應(yīng)力函數(shù)楔形體頂角為α，下端為無(wú)限長(zhǎng)（單位厚度），頂端受有集中力F，與中心線的夾角為β，求：因次分析法

xyFO

Fμ

（a）（一）楔頂受有集中力P作用①應(yīng)力函數(shù)

——4階常系數(shù)齊次的常微分方程

其通解為：

將其代入前面的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式：

（對(duì)應(yīng)于無(wú)應(yīng)力狀態(tài)）其中A，B，C，D為積分常數(shù)。

xyFO（一）楔頂受有集中力P作用②應(yīng)力分量的確定

xyFabO

（b）③寫出邊界條件

——自然滿足

將式（b）代入

（2）楔頂?shù)倪吔鐥l件：任取一圓弧圓弧，其上的應(yīng)力應(yīng)與楔頂?shù)牧

平衡。

（一）楔頂受有集中力F作用xyFabO③寫出邊界條件將式（b）代入，得：

積分得：可解得：④寫出應(yīng)力分量

（e）（一）楔頂受有集中力F作用xyPabO討論兩種特殊情況：

應(yīng)力對(duì)稱分布應(yīng)力反對(duì)稱分布（一）楔頂受有集中力P作用

FxyO

求解位移：

考慮對(duì)稱性，由

，得H=K=0積分

楔頂受集中力P的模型可用于求解摩天大樓重力作用下，地基的沉降問(wèn)題。考慮位移公式：

考慮上述第二式，令

，有：

這里I表示求解位移時(shí)出現(xiàn)的積分常數(shù)，需要利用邊界條件確定。當(dāng)大地上沒(méi)有位移邊界條件時(shí)，可選擇一參考點(diǎn)，設(shè)參考點(diǎn)的

，則可求出任意點(diǎn)相對(duì)于參考點(diǎn)的沉降量，設(shè)為

，有：（二）楔頂受有集中力偶M作用①應(yīng)力函數(shù)

xyOM（1）應(yīng)力函數(shù)的確定

（c）②應(yīng)力分量的確定

（4-22）（二）楔頂受有集中力偶M作用xyOM

③寫出邊界條件

——自然滿足（二）楔頂受有集中力偶M作用xyOM

為了求出B，截取ab弧上的楔形頂平衡，得

應(yīng)力分量簡(jiǎn)化為

④寫出應(yīng)力分量

（二）楔頂受有集中力偶M作用——英格立斯（C.E.Inglis）解答

xyOM

（三）楔形體一側(cè)面上受有均布面力作用①應(yīng)力函數(shù)

（1）應(yīng)力函數(shù)的確定得到：

（f）

（三）楔形體一側(cè)面上受有均布面力作用