第二章 方程(組)與不等式(組) 第3節(jié) 一元二次方程及其應(yīng)用 學(xué)案（含答案）2025年中考數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)

第3節(jié)一元二次方程及其應(yīng)用

回歸教材·過(guò)基礎(chǔ)

【知識(shí)體系】

【考點(diǎn)清單】

知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程及其解法

1.一般形式

2.一元二次方程的解法

一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

2

直接開(kāi)平方法形如(x+m)=n(n≥0)的方程,可直接開(kāi)方求解,x1=-m+,x2=-m-

可化為a(x+m)(x+n)=0的形式的方程,用因式分解法求n解,n

因式分解法

則x1=①,x2=②

將一元二次方程的一般式中的系數(shù)a,b,c的值直接代入求根公式x=③

公式法

(b2-4ac≥0),就可以得到方程的根

若ax2+bx+c=0不易于分解因式,可考慮配方為a(x+h)2=k的形式,再直接開(kāi)方求

配方法解,配方法的關(guān)鍵是先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,再給方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半

的平方

知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程根的判別式

1.一元二次方程根的判別式:我們把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式,用符

號(hào)“Δ”表示.

當(dāng)即時(shí)方程的實(shí)數(shù)根

2

判別式與根的關(guān)系當(dāng)b-4ac>0,即Δ>0時(shí),方程④的實(shí)數(shù)根

2

當(dāng)b-4ac=0,即Δ=0時(shí),方程⑤實(shí)數(shù)根

2

b-4ac<0,Δ<0,⑥

2

2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系:如果ax+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,x2,那么

x1+x2=-,x1·x2=.

bc

aa

2

推論1:如果方程x+px+q=0的兩個(gè)根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.

2

推論2:以兩個(gè)數(shù)x1,x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x-(x1+x2)x+x1x2=0.

知識(shí)點(diǎn)3一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的常見(jiàn)類(lèi)型

類(lèi)型關(guān)系式

①增長(zhǎng)率增長(zhǎng)量

=基礎(chǔ)量×100%.

增長(zhǎng)率(或降低

②若設(shè)原來(lái)的量是a,平均增長(zhǎng)率是x,增長(zhǎng)次數(shù)是n,增長(zhǎng)后的量是b,則a(1+x)n=b;

率)問(wèn)題

若設(shè)原來(lái)的量是a,平均降低率是x,降低次數(shù)是n,降低后的量是b,則a(1-x)n=b

①若三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的最中間的偶數(shù)是x,則最小的偶數(shù)是x-2,最大的偶數(shù)是x+2.

數(shù)字問(wèn)題②若一個(gè)三位數(shù)的百位上的數(shù)字是a,十位上的數(shù)字是b,個(gè)位上的數(shù)字是c,則這

個(gè)三位數(shù)是100a+10b+c

①握手問(wèn)題:若兩個(gè)人握1次手,則x個(gè)人握次手.

x(x?1)

2

②賀卡問(wèn)題:若兩個(gè)人互送1張賀卡,則x個(gè)人互送x(x-1)張賀卡.

雙方參與問(wèn)題

③球賽問(wèn)題:a.若兩個(gè)隊(duì)只比賽1場(chǎng)(單循環(huán)),則x個(gè)隊(duì)比賽場(chǎng);

x(x?1)

2

b.若兩個(gè)隊(duì)相互比賽1場(chǎng)(雙循環(huán)),則x個(gè)隊(duì)比賽x(x-1)場(chǎng)

①如圖1,大矩形的長(zhǎng)是a,寬是b,空白部分的寬度都是x,則陰影部分的面積是

(a-2x)(b-2x).②如圖2,大矩形的長(zhǎng)是a,寬是b,陰影部分的寬度都是x,則空白部分

的面積是(a-x)(b-x).

圖形面積問(wèn)題

③如圖3,大矩形的長(zhǎng)是a,寬是b,陰影部分的寬度都是x,則空白部分的面積是

ab-ax-bx+x2;本題也可以通過(guò)平移得到圖4,此時(shí)空白部分的面積是(a-x)(b-x)

【基礎(chǔ)演練】

1.方程3x2-2x=1的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是()

A.3,2,1B.3,-2,1

C.3,-2,-1D.-3,2,-1

2.若x=1是關(guān)于x的方程x2+x-t=0的一個(gè)根,則t的值為()

A.1B.2C.3D.4

3.用配方法解方程x2-8x+2=0,則方程可變形為()

A.(x-4)2=6B.(x-8)2=18

C.(x-4)2=18D.(x-4)2=14

4.若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.k≤1B.k<1且k≠0

C.k≤1且k≠0D.k≥1

5.若一元二次方程x2-3x-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a,b,則a-ab+b的值為.

6.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

(1)(x-2)2=1;

(2)3x2+2x=2.

真題精粹·重變式

考向1一元二次方程根的探究

1.(2018·福建)已知關(guān)于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,下列判斷正

確的是()

A.1一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根

B.0一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根

C.1和-1都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根

D.1和-1不都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根

真題變式

變?cè)O(shè)問(wèn)——條件結(jié)論互換

2.若1和-1有一個(gè)是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根,判斷一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0根的

情況.

熱點(diǎn)訓(xùn)練

3.一元二次方程x2+x-1=0的根的情況是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

4.請(qǐng)?zhí)顚?xiě)一個(gè)常數(shù),使得關(guān)于x的方程x2-2x+=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

考向2解一元二次方程6．年．1．考．

熱點(diǎn)訓(xùn)練

5.用配方法解方程x2-2x=2時(shí),配方后正確的是()

A.(x+1)2=3B.(x+1)2=6

C.(x-1)2=3D.(x-1)2=6

6.一元二次方程(x-2)(x+7)=0的根是.

7.解方程:x2-2x-3=0.

8.(2023·福建)根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù),福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元,2022年的

地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元.設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意可列

方程()

A.43903.89(1+x)=53109.85

B.43903.89(1+x)2=53109.85

C.43903.89x2=53109.85

D.43903.89(1+x2)=53109.85

核心方法

解一元二次方程的注意事項(xiàng)

1.解一元二次方程時(shí),不能兩邊同時(shí)除以含x的整式,否則計(jì)算結(jié)果就會(huì)漏掉一個(gè)根.

2.原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,最后結(jié)果要寫(xiě)成x1=x2=a的形式.

考向3一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用6．年．1．考．

9.(2021·福建)某市2018年底森林覆蓋率為63%.為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,

該市大力開(kāi)展植樹(shù)造林活動(dòng),2020年底森林覆蓋率達(dá)到68%,如果這兩年森林覆蓋率的年平均增

長(zhǎng)率為x,那么下列方程正確的為()

A.0.63(1+x)=0.68

B.0.63(1+x)2=0.68

C.0.63(1+2x)=0.68

D.0.63(1+2x)2=0.68

核心突破·拓思維

考點(diǎn)1解一元二次方程

(一題多角度)已知關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2-4x-12=0,解答下列問(wèn)題.

(1)m的取值范圍是.

(2)當(dāng)m=3時(shí),請(qǐng)選擇合適的方法解一元二次方程.

(3)若一元二次方程的一個(gè)根為2,則m的值為,方程的另一個(gè)根為.

(4)①若方程有實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是;

②若方程無(wú)實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是;

③若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是;

④若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則m的值是.

(5)當(dāng)m=5時(shí),一元二次方程的兩根分別x1,x2,求下列代數(shù)式的值.

①x1+x2=;

②x1·x2=;

③+=;

11

x1x2

④+=;

22

122

⑤(xx1-x2)=.

核心方法

運(yùn)用根的判別式的注意事項(xiàng)

根據(jù)“Δ”的符號(hào)可以確定一元二次方程的根的情況,反之,根據(jù)一元二次方程的根的情況也可

以確定“Δ”的符號(hào),同時(shí)要注意,根據(jù)一元二次方程的定義,二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.

考點(diǎn)2一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

某汽車(chē)銷(xiāo)售公司3月份銷(xiāo)售某廠家的汽車(chē),在一定范圍內(nèi),每輛汽車(chē)的進(jìn)價(jià)與銷(xiāo)售量有如下

關(guān)系:若當(dāng)月僅售出1輛汽車(chē),則該輛汽車(chē)的進(jìn)價(jià)為27萬(wàn)元,每多售出1輛,所有售出的汽車(chē)的進(jìn)價(jià)

均降低0.1萬(wàn)元/輛.另外,月底廠家根據(jù)銷(xiāo)售量一次性返利給銷(xiāo)售公司,銷(xiāo)售量在10輛以內(nèi)(含10

輛),每輛返利0.5萬(wàn)元;銷(xiāo)售量在10輛以上,每輛返利1萬(wàn)元.

(1)求每輛汽車(chē)的進(jìn)價(jià)y(單位:萬(wàn)元)與該公司當(dāng)月售出汽車(chē)數(shù)量x(單位:輛)之間的函數(shù)關(guān)系式.

(2)如果汽車(chē)的售價(jià)為28萬(wàn)元/輛,該汽車(chē)銷(xiāo)售公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬(wàn)元,那么需要售出多少輛汽

車(chē)?(盈利=銷(xiāo)售利潤(rùn)+返利)

解題指南(1)利用“每輛汽車(chē)的進(jìn)價(jià)=27-0.1×(售出的汽車(chē)數(shù)量-)”,即可找出y關(guān)于x的函

數(shù)關(guān)系式;

(2)分0<x≤10及x>10兩種情況考慮,根據(jù)該汽車(chē)銷(xiāo)售公司計(jì)劃當(dāng)月盈利萬(wàn)元,可得出關(guān)于x

的一元二次方程,解方程取其符合題意的值即可得出結(jié)論.

核心方法

列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的基本步驟

1.找已知量、未知量;2.設(shè)未知數(shù);3.找等量關(guān)系,列出方程;4.解方程;5.檢驗(yàn);6.答.其中找準(zhǔn)等量

關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題關(guān)鍵.

某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為20元的玩具以30元售出,平均每天可售出300件.調(diào)查發(fā)現(xiàn),該玩具

的單價(jià)每上漲1元,平均每天就少售出10件.若商場(chǎng)想要平均每天獲得3750元的利潤(rùn),則每件玩具

應(yīng)漲價(jià)多少元?設(shè)每件玩具應(yīng)漲價(jià)x元,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.漲價(jià)后每件玩具的售價(jià)是(30+x)元

B.漲價(jià)后平均每天少售出玩具的數(shù)量是10x件

C.漲價(jià)后平均每天銷(xiāo)售玩具的數(shù)量是(300-10x)件

D.根據(jù)題意可列方程為(30+x)(300-10x)=3750

如圖1,將邊長(zhǎng)為x的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形(陰影部分),并將剩余部分

沿虛線剪開(kāi),得到兩個(gè)長(zhǎng)方形,再將這兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成圖2所示的長(zhǎng)方形.這兩個(gè)圖能解釋下列哪個(gè)

等式()

A.x2-2x+1=(x-1)2

B.x2-1=(x+1)(x-1)

C.x2+2x+1=(x+1)2

D.x2-x=x(x-1)

核心方法

一元二次方程應(yīng)用的解題思路

1.在真實(shí)情境下解決幾何問(wèn)題時(shí),結(jié)合圖形的性質(zhì)得到等量關(guān)系,列出一元二次方程解決問(wèn)題.

2.解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí),要通過(guò)分析其中的數(shù)量關(guān)系,找到等量關(guān)系,列出一元二次方程,求解.解出

的結(jié)果既要符合題目條件,也要符合生活實(shí)際.

參考答案

回歸教材·過(guò)基礎(chǔ)

考點(diǎn)清單

①-m②-n③④有兩個(gè)不相等⑤有兩個(gè)相等⑥無(wú)

2

-b±b-4ac

基礎(chǔ)演練2a

1.C2.B3.D4.C5.5

6.解析:(1)∵(x-2)2=1,

∴x-2=1或x-2=-1,

解得x1=3,x2=1.

(2)∵3x2+2x=2,

∴3x2+2x-2=0,

∴a=3,b=2,c=-2,

∴Δ=b2-4ac=22-4×3×(-2)=28>0,

∴x===,

2

-b±b-4ac-2±27-1±7

2a63

解得x1=,x2=.

-1+7-1-7

33

真題精粹·重變式

1.D

2.解析:(a+1)x2+2bx+(a+1)=0的判別式為(2b)2-4(a+1)2=4(b+a+1)(b-a-1).

當(dāng)x=1是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根時(shí),有1+b+a=0,

此時(shí)(2b)2-4(a