第七章 圖形的變化 章節(jié)構(gòu)建一 實(shí)踐能力：尺規(guī)作圖 學(xué)案（含答案）2025年中考數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)

章節(jié)構(gòu)建一實(shí)踐能力:尺規(guī)作圖

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【知識體系】

【考點(diǎn)清單】

知識點(diǎn)尺規(guī)作圖常．考．

在幾何里,把限定用無刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖,稱為尺規(guī)作圖

定義

(需要保留作圖痕跡)

(1)先畫一條射線;

作一條線段等(2)用圓規(guī)量出已知線段的長;

于已知線段(3)再在射線上用圓規(guī)截取一條線段

等于已知線段

尺規(guī)作圖

(1)作一條射線作為角的一邊;

(2)在已知角上構(gòu)造一個以該角為頂

角的等腰三角形;

(3)在所作射線上作等腰三角形的一

作一個角等于

腰;

已知角

(4)再作等腰三角形的底,確定第三個

頂點(diǎn);

(5)作另一腰所在的射線,就得到一個

角等于已知角

（續(xù)表）

(1)在已知角∠AOB的兩邊上截取點(diǎn)

D,E,使OD=OE;

(2)分別以D,E為圓心,以大于線段

作已知角的平

DE的長為半徑作弧,而弧在∠AOB

分線1

2

內(nèi)部交于點(diǎn)C;

(3)作射線OC,則OC就是∠AOB的

平分線

如圖1,點(diǎn)O在直線AB上,過點(diǎn)O作

AB的垂線,就相當(dāng)于作平角∠AOB

的平分線;

尺規(guī)作圖

過一點(diǎn)作已知如圖2,當(dāng)點(diǎn)C不在直線AB上時,過

直線的垂線點(diǎn)C作CO⊥AB,以點(diǎn)C為圓心,大于

線段CO的長度為半徑作弧交AB于

點(diǎn)D,E,作線段DE的垂直平分線即

可

(1)分別以點(diǎn)A,B為圓心,以大于AB

1

2

的長為半徑畫弧,兩弧分別交于C,D

作已知線段的

兩點(diǎn);

垂直平分線

(2)過C,D兩點(diǎn)作直線CD,則直線CD

垂直平分AB

【基礎(chǔ)演練】

1.(2024·廈門二模)綜合實(shí)踐課上,小明畫出△ABD,利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)C,使得四邊形ABCD為平

行四邊形.(1)~(3)是其作圖過程.

(1)分別以點(diǎn)B,D為圓心,大于BD的長為半徑作弧,相交于兩點(diǎn),作過這兩點(diǎn)的直線交BD于點(diǎn)O;

1

2

(2)連接AO并延長,再以點(diǎn)O為圓心,OA長為半徑作弧,交AO延長線于點(diǎn)C;

(3)連接DC,BC,則四邊形ABCD即所求.

在小明的作法中,可以直接用于判定四邊形ABCD為平行四邊形的依據(jù)是()

A.兩組對邊分別平行

B.兩組對邊分別相等

C.一組對邊平行且相等

D.對角線互相平分

2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,按下列步驟作圖.

步驟1:分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心,以大于CD的長為半徑畫弧,兩弧相交于M,N兩點(diǎn).

1

2

步驟2:作直線MN,分別交AC,BC于點(diǎn)E,F.

步驟3:連接DE,DF.

若AC=8,BC=6,則線段DE的長為()

A.

3

2

B.

12

7

C.

2

D.

24

7

3.如圖,一位老父親要把一塊三角形的土地均分給三個兒子,∠C=90°,∠B=30°,但老人家要求把這

塊三角形的地分成大小、形狀都相同的三塊.

(1)請你幫老人家分一分,并保留作圖痕跡.

(2)請推理證明你分的三塊地的大小形狀都相同.

4.(1)如圖1,在圖形內(nèi)部求作一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到∠DAB兩邊AB,AD的距離相等,且點(diǎn)P到點(diǎn)B,C的

距離相等.(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)

(2)如圖2,△ABC為鈍角三角形.

①作△ABC中BC邊上的高;(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)

②若AB=6,BC=4,∠B=30°,求△ABC的面積.

圖1圖2

真題精粹·重變式

1.(2023·福建)閱讀以下作圖步驟:如圖,

①在OA和OB上分別截取OC,OD,使OC=OD;

②分別以C,D為圓心,大于CD的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)M;

1

2

③作射線OM,連接CM,DM.

根據(jù)以上作圖,一定可以推得的結(jié)論是()

A.∠1=∠2且CM=DM

B.∠1=∠3且CM=DM

C.∠1=∠2且OD=DM

D.∠2=∠3且OD=DM

2.(2024·福建)如圖,已知直線l1∥l2.

(1)在l1,l2所在的平面內(nèi)求作直線l,使得l∥l1∥l2,且l與l1間的距離恰好等于l與l2間的距離.(要求:

尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下,若l1與l2間的距離為2,點(diǎn)A,B,C分別在l,l1,l2上,且△ABC為等腰直角三角形,

求△ABC的面積.

3.(2022·福建)如圖,BD是矩形ABCD的對角線.

(1)求作☉A,使得☉A與BD相切(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡).

(2)在(1)的條件下,設(shè)BD與☉A相切于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF⊥BD,垂足為點(diǎn)F.若直線CF與☉A相切

于點(diǎn)G,求tan∠ADB的值.

4.(2021·福建)如圖,已知線段MN=a,AR⊥AK,垂足為A.

(1)求作四邊形ABCD,使得點(diǎn)B,D分別在射線AK,AR上,且AB=BC=a,∠ABC=60°,CD∥AB.(要求:

尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)

(2)設(shè)P,Q分別為(1)中四邊形ABCD的邊AB,CD的中點(diǎn),求證:直線AD,BC,PQ相交于同一點(diǎn).

5.(2019·福建)如圖,已知△ABC和點(diǎn)A'.

(1)以點(diǎn)A'為頂點(diǎn)作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,S△A'B'C'=4S△ABC.(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作

法)

(2)設(shè)D,E,F分別是△ABC的三邊AB,BC,AC的中點(diǎn),D',E',F'分別是你所作的△A'B'C'三邊

A'B',B'C',A'C'的中點(diǎn),求證:△DEF∽△D'E'F'.

6.(2020·福建)已知C為線段AB外的一點(diǎn).

(1)求作四邊形ABCD,使得CD∥AB,且CD=2AB.(保留作圖痕跡,不寫作法)

(2)在(1)的四邊形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)P,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),求證:M,N,P三點(diǎn)在同

一條直線上.

7.如圖,PC∥OB交OA于點(diǎn)C.

(1)過點(diǎn)P作PD∥OA交OB于點(diǎn)D(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡).

(2)在(1)的條件下,若∠O=55°,求∠CPD的度數(shù).

8.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AC上,過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E.

(1)求作過點(diǎn)D且平行于AB的直線,交BC于點(diǎn)F(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡).

(2)在(1)的條件下,若BD平分∠ABC,求證:四邊形BFDE為菱形.

參考答案

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基礎(chǔ)演練

1.D2.D

3.解析:(1)如圖,△ACE,△AEF,△EFB為所求.

(2)∵EF垂直平分線段AB,

∴EA=EB,

∴∠EAB=∠B=30°.

∵∠C=90°,∠B=30°,

∴∠CAB=60°,

∴∠CAE=∠EAF=30°.

∵∠C=∠AFE=90°,AE=AE,

∴△EAC≌△EAF(AAS).

∵AF=FB,∠EFA=∠EFB=90°,EF=EF,

∴△EAF≌△EBF,

∴△EAC≌△EAF≌△EBF,

∴△ACE,△EAF,△EBF為所求.

4.解析:(1)如圖1,點(diǎn)P為所求.

(2)①如圖2,AD為所求.

圖1圖2

②∵AD為BC邊上的高,∴∠ADB=90°.

在Rt△ABD中,∵∠B=30°,

∴AD=AB=×6=3,∴△ABC的面積=BC·AD=×4×3=6.

1111

2222

真題精粹·重變式

1.A

2.解析:(1)如圖1,直線l即所求.

(2)①如圖2,當(dāng)∠BAC=90°,AB=AC時,

∵l∥l1∥l2,直線l1與l2間的距離為2,且l與l1間的距離等于l與l2間的距離,

根據(jù)圖形的對稱性可知BC=2,

∴AB=AC=,

2

∴S△ABC=AB·AC=1.

1

2

②當(dāng)∠ABC=90°,BA=BC時,

如圖3,分別過點(diǎn)A,C作直線l1的垂線,垂足為M,N,

∴∠AMB=∠BNC=90°.

∵l∥l1∥l2,直線l1與l2間的距離為2,且l與l1間的距離等于l與l2間的距離,

∴CN=2,AM=1.

∵∠MAB+∠ABM=90°,∠NBC+∠ABM=90°,

∴∠MAB=∠NBC,

∴△AMB≌△BNC(AAS),

∴BM=CN=2,

在Rt△ABM中,由勾股定理得AB2=AM2+BM2=12+22=5,

∴AB=,

5

∴S△ABC=AB·BC=.

15

22

③如圖4,當(dāng)∠ACB=90°,CA=CB時,同理②可得,S△ABC=.

5

2

綜上所述,△ABC的面積為1或.

5

2

3.解析:(1)根據(jù)題意作圖,如圖1.

圖1

(2)如圖2,設(shè)∠ADB=α,☉A的半徑為r.

圖2

∵BD與☉A相切于點(diǎn)E,CF與☉A相切于點(diǎn)G,

∴AE⊥BD,AG⊥CG,

即∠AEF=∠AGF=90°.

∵CF⊥BD,

∴∠EFG=90°,

∴四邊形AEFG是矩形.

又∵AE=AG=r,

∴四邊形AEFG是正方形,

∴EF=AE=r.

在Rt△AEB和Rt△DAB中,∠BAE+∠ABD=90°,

∠ADB+∠ABD=90°,

∴∠BAE=∠ADB=α.

在Rt△ABE中,tan∠BAE=,

BE

AE

∴BE=r·tanα.

∵四邊形ABCD是矩形,

∴AB∥CD,AB=CD,

∴∠ABE=∠CDF,

又∵∠AEB=∠CFD=90°,

∴△ABE≌△CDF,

∴BE=DF=r·tanα,

∴DE=DF+EF=r·tanα+r.

在Rt△ADE中,tan∠ADE=,

AE

DE

即DE·tanα=AE,

∴(r·tanα+r)·tanα=r,

即tan2α+tanα-1=0.

∵tanα>0,

∴tanα=,

5-1

2

即tan∠ADB的值為.

5-1

4.解析:(1)如圖,四邊形2ABCD為所求.

(2)證明:設(shè)PQ交AD于點(diǎn)G,BC交AD于點(diǎn)G'.

∵DQ∥AP,∴=.

GDDQ

GAAP

∵DC∥AB,∴=.

G'DDC

G'AAB

∵P,Q分別為邊AB,CD的中點(diǎn),

∴DC=2DQ,AB=2AP,

∴===,

G'DDC2DQDQ

G'AAB2APAP

`∴=,

G'DGD

G'AGA

∴點(diǎn)G與點(diǎn)G'重合,

∴直線AD,BC,PQ相交于同一點(diǎn).

5.解析:(1)如圖1所示.

圖1

(2)證明:如圖2,∵D,E,F分別是△ABC的三邊AB,BC,AC