《高等數(shù)學(xué) 》課件-第3章

3.1利用導(dǎo)數(shù)求極限3.2函數(shù)單調(diào)性的判別法3.3函數(shù)的極值與最值3.4曲線的凹凸性與圖形描繪3.5曲率3.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用3.7用MATLAB作函數(shù)的圖像第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

3.1利用導(dǎo)數(shù)求極限

微分中值定理給出了函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，它們?cè)谖⒎謱W(xué)理論中占有重要地位.

3.1.1微分中值定理

觀察圖3-1可以看出，若連續(xù)曲線f(x)在弧上兩點(diǎn)值相等，除端點(diǎn)外,處處有不垂直于x軸的切線，則在弧上至少存在一點(diǎn)(如圖3-1中所示P、Q兩點(diǎn))，使得曲線在該點(diǎn)處的切線平行于x軸.由此有下面的羅爾定理.圖3-1羅爾(Rolle)定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得

f′(ξ)=0

觀察圖3-2也可以看出：若連續(xù)曲線f(x)在弧上每一點(diǎn)都有不垂直于x軸的切線，則在弧上至少存在一點(diǎn)(如圖3-2中所示P、Q兩點(diǎn))，使得曲線在該點(diǎn)處的切線平行于端點(diǎn)邊線AB.由此有下面的拉格朗日中值定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得

在以上兩個(gè)中值定理中，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.例3-1函數(shù)f(x)=x2+2x在區(qū)間[0,2]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,求ξ.

解b=2,a=0

f(2)=8,f(0)=0

f′(x)=2x+2

由拉格朗日中值定理得

即

所以ξ=13.1.2洛必達(dá)法則

在第1章已經(jīng)介紹過(guò)函數(shù)極限的求法，但這些方法在求解有些函數(shù)的極限時(shí)受到局限.下面將介紹用導(dǎo)數(shù)求極限的方法.如果當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)，函數(shù)f(x)和g(x)都趨近于零，或者都趨于無(wú)窮大，則極限(或)可能存在，也可能不存在.我們把這兩類極限分別稱為型或型未定式.顯然，不能直接用極限的四則運(yùn)算法則求它們的極限.1696年，法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)(L′Hspital,1661～1704)在他的《無(wú)窮小分析》中給出了確定這種未定式的方法，他將函數(shù)比的極限化為導(dǎo)數(shù)比的極限，后人稱這種方法為洛必達(dá)法則.對(duì)于以下七種未定式：

、、∞-∞、0·∞、00、∞0、1∞,洛必達(dá)法則將為求解其函數(shù)的極限提供簡(jiǎn)單而重要的方法.*2.其他類型的未定式——可化為型或型未定式1)0·∞型未定式一般地，0·∞型未定式可將其中一個(gè)因子移到分母，轉(zhuǎn)化為型或型未定式.實(shí)訓(xùn)3.1

1.下列函數(shù)在給定的區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件？若滿足,則求出使f′(ξ)=0成立的ξ.

2.下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足拉格朗日定理的條件?如果滿足，求出定理中的ξ.

(1)f(x)=2x3,[-1,1]；(2)f(x)=lnx,[1,e].

3.2函數(shù)單調(diào)性的判別法

在第1章中已經(jīng)介紹了函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)的概念，下面介紹利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)單調(diào)性的方法.

我們先從幾何上觀察函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，在圖3-3中可以看出：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)增加，則它的圖像在(a,b)內(nèi)是一條沿x軸正向上升的曲線，且曲線上各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的，即f′(x)≥0；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)減少，則它的圖像在(a,b)內(nèi)是一條沿x軸正向下降的曲線，且曲線上各點(diǎn)處的切線斜率是非正的，即f′(x)≤0.可見，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的符號(hào)密切相關(guān)，這啟示我們可以利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性.圖3-3定理3.2設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則有

(1)如果在(a,b)內(nèi)，f′(x)>0,函數(shù)y=f(x)在[a,b]內(nèi)單調(diào)增加；

2)如果在(a,b)內(nèi)，f′(x)<0,函數(shù)y=f(x)在[a,b]內(nèi)單調(diào)減少.證明在[a,b]上任取兩點(diǎn)x1、x2,且x1<x2.在[x1,x2]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得

f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1),

x1<ξ<x2

①

(1)因?yàn)閒′(x)>0,所以f′(ξ)>0,而x2-x1>0,故由式①得f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在[a,b]上單調(diào)增加.

(2)因?yàn)閒′(x)<0,所以f′(ξ)<0,而x2-x1>0,故由式①得

f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),所以f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.

注意:若將定理3.2中的區(qū)間(a,b)換成其他各種區(qū)間(包括無(wú)窮區(qū)間)，該定理結(jié)論同樣成立.例3-9討論函數(shù)f(x)=x2的單調(diào)性.

解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),它的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2x.

當(dāng)x=0時(shí)，f′(0)=0.因?yàn)樵趨^(qū)間(-∞,0)內(nèi)，f′(x)<0,所以，函數(shù)f(x)=x2在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)減少；又因?yàn)樵趨^(qū)間(0,+∞)內(nèi),

f′(x)>0,所以，函數(shù)f(x)=x2在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)增加.

例3-9表明，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間與單調(diào)增區(qū)間的分界點(diǎn).

一般地，稱使得f′(x)為零的點(diǎn)為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).例3-10求函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間.

解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),當(dāng)x≠時(shí)，它的導(dǎo)數(shù)為

當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在.將函數(shù)在(-∞,0)和(0,+∞)內(nèi)導(dǎo)數(shù)符號(hào)及函數(shù)的單調(diào)性情況列表,如表3-1所示,表中符號(hào)“”和“”分別表示函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增加和單調(diào)減少.由上表可知，函數(shù)f(x)=在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)減少,在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)增加.

例3-10表明，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn).

綜合上述兩種情形有如下結(jié)論：如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外,導(dǎo)數(shù)均存在且連續(xù)，則只要用使f′(x)=0的點(diǎn)及f′(x)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能使f′(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào)，因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào).綜上所述，求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟如下：

(1)確定y=f(x)的定義域；

(2)求f′(x),并求出函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的駐點(diǎn)以及不可導(dǎo)點(diǎn)；

(3)用駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)將定義域分成若干小區(qū)間，列表分析；

(4)判斷f′(x)的符號(hào)，從而確定y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.例3-11求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+14的單調(diào)區(qū)間.

解函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞),求導(dǎo)數(shù)得

f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)

令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.這兩個(gè)根將(-∞,+∞)分為三個(gè)區(qū)間，列表討論,參見表3-2.

所以，函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為(-∞,-1)和(3,+∞),單調(diào)減少區(qū)間為(-1,3).實(shí)訓(xùn)3.2

1.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(1)f(x)=x3+x；

(2)f(x)=xex；

(3)f(x)=2x3-6x2-18x-7；

2.判定函數(shù)f(x)=arctanx-x的單調(diào)性.

3.判定函數(shù)f(x)=x+cosx(0≤x≤2π)的單調(diào)性.

3.3函數(shù)的極值與最值

3.3.1函數(shù)極值的概念

數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(PierredeFermat,1601～1665)在1629年的手稿“求最大值和最小值的方法”中提出了求函數(shù)極值和求曲線切線的方法.

函數(shù)的極值是函數(shù)性質(zhì)的重要特征，在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用也很廣泛.下面用求導(dǎo)的方法來(lái)討論函數(shù)的極值問(wèn)題.觀察圖3-4可以看出，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x1、x3、x5的函數(shù)值f(x1)、f(x3)、f(x5)比其鄰域內(nèi)的函數(shù)值都大，而在點(diǎn)x2、x4的函數(shù)值f(x2)、f(x4)比其鄰域內(nèi)的函數(shù)值都小，對(duì)于具有這種特點(diǎn)的點(diǎn)在應(yīng)用上有重要意義，我們對(duì)此作一般性的研究.

定義3.1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處及其附近有定義，若對(duì)于x0的某一鄰域中的所有x(x≠x0)有f(x0)>f(x),則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值，點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)；若對(duì)于x0的某一鄰域中的所有x(x≠x0)有f(x0)<f(x),則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值，點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).圖3-4注意:

(1)極值是一個(gè)局部性概念，是一個(gè)鄰域內(nèi)的最大值與最小值，而不是對(duì)整個(gè)區(qū)間而言的.

(2)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得.

從圖3-4中還可以看到，在函數(shù)的極值點(diǎn)處，曲線的切線是水平的，這給我們以啟示：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)可在其導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)中尋找.

下面介紹函數(shù)取得極值的必要條件與充分條件.定理3.3(必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的某一鄰域內(nèi)有定義，f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)且在x0取得極值，則f′(x0)=0.

上述定理告訴我們，可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，駐點(diǎn)卻不一定是f(x)的極值點(diǎn).例如，點(diǎn)x=0是

f(x)=x3的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn).

對(duì)于一個(gè)連續(xù)函數(shù)，它的極值點(diǎn)還可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例如，f(x)=|x|,在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在，但x=0卻是函數(shù)的極小值點(diǎn)，如圖3-5所示.

總之，函數(shù)的駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)可能是函數(shù)的極值點(diǎn)，連續(xù)函數(shù)僅在這些點(diǎn)上才可能取得極值，這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn)(是極大值點(diǎn)，還是極小值點(diǎn))需要進(jìn)一步判定.圖3-5定理3.4(第一充分條件)設(shè)連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)(但f′(x0)可以不存在).

(1)當(dāng)x<x0時(shí),f′(x)>0；而當(dāng)x>x0時(shí),f′(x)<0,則f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值f(x0)；

(2)當(dāng)x<x0時(shí),f′(x)<0；而當(dāng)x>x0時(shí),f′(x)>0,則f(x)在點(diǎn)x0處取得極小值f(x0)；

(3)當(dāng)在x0的左、右兩側(cè)，f′(x)的符號(hào)相同時(shí)，則f(x)在x0處不取得極值。例3-13求函數(shù)的極值.

解

令f′(x)=0,得x=1.當(dāng)x=0時(shí),f′(x)不存在，如表3-4所示.

所以，極大值為f(0)=0,極小值為.綜合以上討論，可得求函數(shù)極值的步驟如下:

(1)求函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)；

(2)求出函數(shù)的駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，把定義域劃分為若干個(gè)子區(qū)間；

(3)考查每個(gè)區(qū)間內(nèi)f′(x)的符號(hào)，利用上述定理作出判定；

(4)求出函數(shù)的極值.定理3.5(第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f′(x0)=0,

f″(x0)≠0,則

(1)當(dāng)f″(x0)<0時(shí)，f(x)在x0處取得極大值；

(2)當(dāng)f″(x0)>0時(shí)，f(x)在x0處取得極小值.

例3-14求f(x)=x3-3x的極值.

解f′(x)=3x2-3,由f′(x)=0得駐點(diǎn)x1=-1,x2=1,f″(x)=6x；

又f″(-1)=-6<0,由上述定理知，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得極大值為2；又f″(1)=6>0,由上述定理知，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值為-2.3.3.2函數(shù)的最值

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常需要解決這樣一類問(wèn)題：在一定條件下，怎樣使材料最省,

效率最高,成本最低,耗時(shí)最少等問(wèn)題.這類問(wèn)題反映在數(shù)學(xué)上就是求函數(shù)(通常稱為目標(biāo)函數(shù))的最大值和最小值問(wèn)題，

它是數(shù)學(xué)上常見的一類優(yōu)化問(wèn)題.

函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.要注意函數(shù)的最值與函數(shù)的極值在概念上的區(qū)別，前面所討論的極值是局部最大與最小，而最值是指在整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中最大(小)者，它是一個(gè)全面、整體的概念.由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必定能取得最大值與最小值.顯然,f(x)在[a,b]上的最大值、最小值可能是在(a,b)內(nèi)取得，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)上取得.如果最大(小)值點(diǎn)在(a,b)內(nèi)，則最大(小)值點(diǎn)必定是極大(小)值點(diǎn).總之，連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大(小)值點(diǎn)，必定是f(x)在(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，或是區(qū)間的端點(diǎn).

因此，求函數(shù)在[a,b]上的最值常采用以下步驟：

(1)求出f(x)在[a,b]上所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；

(2)求出駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；

(3)對(duì)上述函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.

例3-15求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x+10在[-3,4]上的最大值與最小值.

解f′(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1)

令f′(x)=0,得駐點(diǎn)x1=-2,x2=2.由于

f(-2)=30,f(1)=3,f(-3)=19,f(4)=138

比較可得到f(x)在x=4處取得最大值fmax(4)=138,在x=1處取得最小值fmin(1)=3.

對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，需先建立函數(shù)關(guān)系式，確定自變量的變化范圍；再來(lái)求最值(最大值或最小值).在實(shí)際問(wèn)題中，如果在(a,b)內(nèi)f(x)只有一個(gè)駐點(diǎn)x0,而從該問(wèn)題本身可知，在(a,b)內(nèi)函數(shù)的最值確實(shí)存在，則f(x0)即是所要求的最值。

例3-16用一塊寬為6m的長(zhǎng)方形鐵皮，將兩個(gè)邊緣向上折起制作成一個(gè)開口水槽,如圖3-6所示，其橫截面積為矩形，高為x.問(wèn)x為何值時(shí)水槽流量最大？

解設(shè)兩邊各折起x(m),則槽截面積為

A(x)=x(6-2x),

0<x<3

則

A′(x)=6-4x

令

A′(x)=6-4x=0

得唯一駐點(diǎn)x=1.5,而鐵皮兩邊折得過(guò)大或過(guò)小，其橫截面積都會(huì)變小，故該問(wèn)題存在最大面積，所以當(dāng)x=1.5m時(shí)，水槽的流量最大.圖3-6例3-17設(shè)工廠A到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B，

鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,如圖3-7所示.

現(xiàn)在要從鐵路BC中間某處D修建一個(gè)車站，再由車站D向工廠A修一公路，問(wèn)D應(yīng)選在何處才能使得原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需費(fèi)用最省.已知1km的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3∶5.圖3-7解設(shè)BD=x,則

CD=100-x

又設(shè)公路運(yùn)費(fèi)為a元/千米,則鐵路運(yùn)費(fèi)為a元/千米.于是從原料供應(yīng)站C經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A所需總費(fèi)用為0≤x≤100于是令y′=0,且由0≤x≤100得

x=15

因此，當(dāng)車站D建于B、C之間且與B相距為15km時(shí),處運(yùn)費(fèi)最省.實(shí)訓(xùn)3.3

1.求下列函數(shù)的極值.

(1)y=x(x2-3)；(2)y=x3-9x2+15x+3；

(3)y=x4-8x2+2；(4)y=x-ln(1+x).

2.求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最大值和最小值.

(1)y=x5-5x4+5x3+1,[-1,2]；

(2)y=x+

,[-5,1].

3.要建造一個(gè)體積為V=50m3的圓柱形封閉的容器，問(wèn)怎樣選擇它的底半徑和高，才能使所用的材料最??？

4.用一塊邊長(zhǎng)為24cm的正方形鐵皮，在其四角各截去一塊面積相等的小正方形，作成無(wú)蓋的鐵盒.問(wèn)截去的小正方形邊長(zhǎng)為多少時(shí)作出的鐵盒容積最大？

5.某快餐店每月對(duì)漢堡包的需求由p(x)=確定，其中x是需求量，p是價(jià)格；又設(shè)生產(chǎn)x個(gè)漢堡包的成本為

c(x)=5000+0.56x,0≤x≤50000

試問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)，快餐店才能獲得最大利潤(rùn)？

6.對(duì)某工廠上午班(8:00-12:00)工人的工作效率的研究表明，一個(gè)中等技術(shù)水平的工人從上午8點(diǎn)開始工作，t小時(shí)后共生產(chǎn)

Q(t)=-t3+6t2+45t,t∈[0,4]

個(gè)產(chǎn)品.問(wèn)在上午幾點(diǎn)鐘這個(gè)工人的工作效率最高？

3.4曲線的凹凸性與圖形描繪

3.4.1曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

研究函數(shù)增減性和極值，對(duì)于描繪函數(shù)的圖形很有幫助，但這還不能完全反映函數(shù)曲線的變化規(guī)律.為了更為準(zhǔn)確地把握函數(shù)曲線的變化特征，還需對(duì)曲線的彎曲方向進(jìn)行研究，為此我們給出以下定義和定理.

定義3.2設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，

若曲線y=f(x)在(a,b)上每一點(diǎn)的切線都位于該曲線的下(上)方，則稱曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是凹(凸)的.如圖3-8所示.圖3-8定理3.6設(shè)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，

(1)若在(a,b)內(nèi)，f″(x)>0,則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的；

(2)若在(a,b)內(nèi)，f″(x)<0,則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的.若將定理3.6中的區(qū)間改為無(wú)窮區(qū)間，則結(jié)論也成立.曲線凹、凸部分的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn).例3-18判斷曲線y=ln2x的凹凸性.

所以曲線y=ln2x為凸的.

若(x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，那么當(dāng)x從左到右經(jīng)過(guò)x0時(shí),f″(x)必變號(hào)，這表明f′(x)必在x0處取得極值,因而在拐點(diǎn)處f″(x0)=0或f″(x0)不存在；反之，若f″(x0)=0或f″(x0)不存在，則x0,f(x0))未必是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).例如，(0,0)就不是y=x4的拐點(diǎn).解求曲線y=f(x)的凹、凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟如下：

(1)求出f(x)的定義域；

(2)求出f″(x)=0和f″(x)不存在的點(diǎn)；

(3)列表考查上述各點(diǎn)鄰近兩側(cè)f″(x)的符號(hào)，若異號(hào)，則與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)即是拐點(diǎn)；反之則不是.同時(shí)即可得出曲線的凹、凸區(qū)間.例3-19求函數(shù)y=x4-4x3+2x-5的凹、凸區(qū)間與拐點(diǎn).

解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞).

(2)f′(x)=4x3-12x2+2

f″(x)=12x2-24x=12x(x-2)

令f″(x)=0,得x1=0,x2=2.

(3)列表,如表3-5所示.

(4)由表3-5可知，曲線f(x)在區(qū)間(-∞,0)與(2,+∞)是凹的，在區(qū)間(0,2)是凸的，曲線y=f(x)的拐點(diǎn)為(0,-5)和(2,-17).3.4.2函數(shù)圖形的描繪

通過(guò)一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，可確定函數(shù)的凹、凸區(qū)間和拐點(diǎn)，這些對(duì)準(zhǔn)確作出函數(shù)圖形是非常有益的.但為了討論曲線向無(wú)窮遠(yuǎn)處延伸時(shí)的變化規(guī)律，還需引出漸近線的概念.定義3.3如果曲線上的點(diǎn)沿曲線趨勢(shì)于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，此點(diǎn)與某一直線的距離趨于零，則稱該直線為曲線的漸近線.一般地，對(duì)于給定函數(shù)y=f(x),如果f(x)=A(A為常數(shù)),則稱y=A為曲線y=f(x)的水平漸近線；如果有常數(shù)a使得

f(x)=∞,則稱x=a為曲線y=f(x)的垂直漸近線.關(guān)于斜漸近線的內(nèi)容在這里我們不再討論.

例如：y=1為的水平漸近線；x=2為

的垂直漸近線.

通過(guò)以上知識(shí)準(zhǔn)備，就可全面掌握函數(shù)的變化狀態(tài)，準(zhǔn)確描繪出函數(shù)圖形.作函數(shù)圖形的一般步驟為：

(1)確定函數(shù)的定義域及不連續(xù)點(diǎn)；

(2)考查函數(shù)的奇偶性、周期性與有界性；

(3)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、凹區(qū)間、凸區(qū)間與拐點(diǎn)；

(4)求曲線的漸近線；

(5)根據(jù)上面討論并補(bǔ)充曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)及相關(guān)輔助點(diǎn)，描繪函數(shù)圖形.圖3-9實(shí)訓(xùn)3.4

1.判定下列曲線的凹凸性.

(1)y=ex；(2)y=x+

(x<0).

2.求下列曲線的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間.

(1)y=x3-3x2-9x+9；(2)

.

3.當(dāng)a、b為何值時(shí)，點(diǎn)(1,3)是曲線y=ax3+bx2的拐點(diǎn)？

4.作出下列函數(shù)圖形.

(1)y=x3-x2-x+1；(2)y=6x5-5x3.

*5.某公司用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)評(píng)估不同廣告戰(zhàn)的相關(guān)業(yè)績(jī)，假設(shè)所有的廣告都提高銷量.如果在一次新的廣告戰(zhàn)中，銷量關(guān)于時(shí)間的曲線為凹的，這表明該公司的經(jīng)營(yíng)情況如何？

為什么？若曲線為凸的呢？

*3.5曲率

在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)需要考慮曲線的彎曲程度.例如，在機(jī)械和土建工程中，需要考慮各種梁在荷載作用下的彎曲程度；

在設(shè)計(jì)鐵路時(shí)，需要考慮彎道處鐵軌的彎曲程度，等等.

在數(shù)學(xué)上可用曲率表示曲線的彎曲程度.作為曲率的預(yù)備知識(shí)，我們先來(lái)討論弧微分的概念.3.5.1弧微分

如圖3-10所示，設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).在曲線y=f(x)上取固定點(diǎn)M0(x0,y0)作為度量弧長(zhǎng)的起點(diǎn)，并規(guī)定x增大的方向?yàn)榍€的正向，M(x,y)為曲線上任一點(diǎn)，s表示曲線弧的長(zhǎng)度，即s=

.

很明顯，弧長(zhǎng)s由點(diǎn)M(x,y)的位置唯一確定，而點(diǎn)M(x,y)由x的值唯一確定.因此，s是x的函數(shù)，記作s=s(x).為了簡(jiǎn)便，規(guī)定s=s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù).圖3-10下面來(lái)求s=s(x)的導(dǎo)數(shù)與微分.

給x以增量Δx(Δx>0),相應(yīng)地y有增量Δy=RN,s有增量Δs=

.由導(dǎo)數(shù)的定義可知令Δx→0,對(duì)上式兩端取極限，可以證明根據(jù)上面的規(guī)定，s=s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù)，從而根號(hào)前應(yīng)取正號(hào)，于是有

或

這就是弧微分公式.

由圖3-10可以看出，弧微分ds就是曲線上點(diǎn)M處的切線上的線段|MT|.通常把直角三角形MRT叫做曲線在點(diǎn)M的微分三角表.例3-21求曲線y=ln(1-x2)的弧微分.圖3-11圖3-12例3-22已知圓的半徑為r，求：

(1)圓上任一段的平均曲率；

(2)圓上任一切點(diǎn)的曲率.

圖3-13上述結(jié)論表明，圓上任一切點(diǎn)的曲率都等于半徑r的倒數(shù)，半徑越小，曲率越大，這一結(jié)論與我們的直觀看法是一致的.

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們坐車時(shí)感到公路的彎大或彎小通常有兩方面的情況：一方面是公路的方向改變的大小；另一方面是在多長(zhǎng)的路程上改變了這一角度，若兩個(gè)彎都改變了同一角度，則在短距離的路程上改變這一角度的公路彎曲得更厲害.由此可見，彎曲程度是由方向改變的大小以及在多長(zhǎng)一段路程上改變的這兩個(gè)因素決定的，并且彎曲程度與方向改變的大小成正比，與改變這個(gè)方向所經(jīng)過(guò)的路程成反比.下面導(dǎo)出曲率的計(jì)算公式：

設(shè)y=f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，由于y′=tanα,α=arctany′,

,且,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x,f(x))的曲率計(jì)算公式為例3-23求拋物線y=x2上任一點(diǎn)處的曲率.

解因?yàn)閥′=2x,所以y=x2在任一點(diǎn)的曲率為

由此看到，y=x2在原點(diǎn)處曲率最大.*實(shí)訓(xùn)3.5

1.求下列曲線的弧微分.

(1)y=x3-x；(2)y=ex；

(3)y=2x2-3x+4；(4)y=tanx.

2.求下列曲線在給定點(diǎn)的曲率.

(1)y=x3,(2,8)；(2)y=4x-x3,(2,0)；

(3)y=sinx,(

,1)；(4)y=ln(1-x2),(0,0).

3.求曲線y=ex上曲率最大的點(diǎn).

*3.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

本節(jié)討論導(dǎo)數(shù)概念在經(jīng)濟(jì)分析中的若干應(yīng)用，這些應(yīng)用包括需求價(jià)格彈性、邊際量、最優(yōu)值等.

1.需求價(jià)格彈性

我們已經(jīng)討論過(guò)彈性問(wèn)題，即函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量之商的極限，稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的彈性.

彈性概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，下面主要介紹需求價(jià)格彈性.定義3.4設(shè)某種商品的市場(chǎng)需求為q,價(jià)格為p,需求函數(shù)q=q(p)可導(dǎo)，則稱

為該商品的需求價(jià)格彈性，簡(jiǎn)稱為需求彈性.

由上式及導(dǎo)數(shù)定義可得由此可知，需求彈性Ep表示某種商品需求量對(duì)價(jià)格p變化的敏感程度.因?yàn)樾枨蠛瘮?shù)為價(jià)格的遞減函數(shù)，即需求彈性Ep′一般為負(fù)值，所以其經(jīng)濟(jì)含義為：當(dāng)某種商品的價(jià)格下降(或上升)1%時(shí)，其需求量將增加(或減少)|Ep|%.

當(dāng)我們比較商品需求彈性的大小時(shí)，通常是比較其彈性絕對(duì)值的大小.當(dāng)我們說(shuō)某種商品的需求彈性大時(shí)，通常是指其絕對(duì)值大.

當(dāng)Ep=-1(即|Ep|=1)時(shí)，稱為單位彈性，即商品需求量的相對(duì)變化與價(jià)格的相對(duì)變化基本相等.當(dāng)Ep>-1(即|Ep|>1)時(shí)，稱為富有彈性，即商品需求量的相對(duì)變化大于價(jià)格的相對(duì)變化，此時(shí)價(jià)格的變化對(duì)需求量的影響較大.換句話說(shuō)，適當(dāng)降價(jià)會(huì)使需求量較大幅度上升，從而增加收入.

當(dāng)-1<Ep<0(即|Ep|<1)時(shí)，稱為缺乏彈性，即商品需求量的相對(duì)變化小于價(jià)格的相對(duì)變化，此時(shí)價(jià)格的變化對(duì)需求量的影響較小，在適當(dāng)漲價(jià)后，不會(huì)使需求量有太大的下降，從而可以使收入增加.例3-24某種商品的需求量q(單位：百件)與價(jià)格p(單位：千元)的關(guān)系為q(p)=

,p∈[0,10],求當(dāng)價(jià)格為9千元時(shí)的需求彈性.

解因?yàn)閝′(p)=

,根據(jù)公式有所以當(dāng)p=9時(shí)，Ep=|p=9=-3.在例3-24中，當(dāng)價(jià)格p=9千元時(shí)，需求彈性為|Ep|=|-3|=3>1,表示這種商品的需求對(duì)價(jià)格富有彈性，即價(jià)格的變化對(duì)需求量有較大的影響.也就是說(shuō)，當(dāng)價(jià)格上漲1%時(shí)，商品的需求量將減少3%；反之，當(dāng)價(jià)格下降1%時(shí)，商品的需求量將增加3%.例3-25設(shè)某商品的需求函數(shù)為q(p)=150-2p2(0<p<0).

(1)求需求彈性.

(2)討論當(dāng)價(jià)格為多少時(shí)，彈性分別為缺乏彈性、單位彈性、富有彈性？

解(1)因?yàn)閝′(p)=-4p,所以

(2)令Ep=-3,解得p=5,即價(jià)格p=5時(shí)，|Ep|=1是單位彈性.

令Ep<1,解得0<p<5,即價(jià)格p滿足0<p<5時(shí)，|Ep|<1是缺乏彈性.

令Ep>1,解得5<p<8,即價(jià)格p滿足5<p<8時(shí)，|Ep|>1是富有彈性.在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，企業(yè)經(jīng)營(yíng)者關(guān)心的是商品漲價(jià)(Δp>0)或降價(jià)(Δp<0)對(duì)總收入的影響程度.利用需求彈性概念可以知道漲價(jià)未必增收，降價(jià)未必減收.

因?yàn)?/p>

當(dāng)商品價(jià)格p有微小變化(|Δp|非常小)時(shí)，商品銷售收入R=pq的改變量為

ΔR=Δ(pq)≈dpq=qdp+pdq=qdp+Ep·qdp=(1+Ep)qdp

即

ΔR=(1-|Ep|)qdp≈(1-|Ep|)qΔp所以，當(dāng)|Ep|>1時(shí)，商品漲價(jià)(Δp>0)將使商品銷售總收入減少(ΔR<0)；商品降價(jià)(Δp<0)將使商品銷售總收入增加(ΔR>0).而商品需求價(jià)格彈性大于1，降價(jià)可以增加收入.當(dāng)|Ep|<1時(shí)，商品漲價(jià)將會(huì)使商品的銷售總收入增加，商品降價(jià)將會(huì)使商品銷售總收入減少.

當(dāng)|Ep|=1時(shí)，商品漲價(jià)或降價(jià)對(duì)商品銷售總收入基本沒有影響.

例3-26已知某公司生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)的某種電器的需求彈性在1.5～3.5之間，如果該公司計(jì)劃在下一年度內(nèi)將價(jià)格降低

10%,試問(wèn)這種電器的銷售量將會(huì)增加多少？總收入將會(huì)增加多少？

故在下一年度內(nèi)將價(jià)格降低10%后，該公司這種電器的銷售量將會(huì)增加15%～35%,總收入將會(huì)增加5%～25%.

2.邊際與邊際分析

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，習(xí)慣上用平均和邊際這兩個(gè)概念來(lái)描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量y對(duì)于另外一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量x的變化.平均概念y表示在自變量x的某一個(gè)范圍內(nèi)的平均值.顯然，平均值隨x的范圍不同而不同.邊際概念表示:當(dāng)x的改變量Δx趨于零時(shí)，y的相應(yīng)改變量Δy與Δx的比值的變化，即當(dāng)x在某一給定值附近有微小變化時(shí)，y的瞬時(shí)變化.

1)邊際成本

設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品q單位時(shí)所需要的總成本函數(shù)為C=C(q),則當(dāng)產(chǎn)量q有一個(gè)改變量Δq時(shí)，總成本函數(shù)C(q)有一個(gè)相應(yīng)的改變量

C=C(q+Δq)-C(q)那么，總成本函數(shù)C(q)的平均變化率為

它表示產(chǎn)量由q變到q+Δq時(shí)，在平均意義下的成本.

當(dāng)總成本函數(shù)C(q)可導(dǎo)時(shí)，其邊際成本定義為

即邊際成本是總成本函數(shù)C(q)關(guān)于產(chǎn)量q的導(dǎo)數(shù)，其經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)產(chǎn)量為q時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品(即Δq=1)所增加的總成本ΔC(q).因此，近似地記為

C(q+1)-C(q)=ΔC(q)≈C′(q)

邊際成本有時(shí)用MC表示，即MC=C′(q).例3-27一企業(yè)某產(chǎn)品的日生產(chǎn)能力為500臺(tái)，每日產(chǎn)品的總成本C(單位：千元)是日產(chǎn)量q(單位：臺(tái))的函數(shù)，即

C(q)=400+2q+5

,

q∈[0,500]

試求:(1)當(dāng)產(chǎn)量為400臺(tái)時(shí)的總成本；

(2)當(dāng)產(chǎn)量為400臺(tái)時(shí)的平均成本；

(3)當(dāng)產(chǎn)量由400臺(tái)增加到484臺(tái)時(shí)，總成本的平均變化率；

(4)當(dāng)產(chǎn)量為400臺(tái)時(shí)的邊際成本.上式中，C′(400)=2.125千元/臺(tái)表示當(dāng)產(chǎn)量為400臺(tái)時(shí)，再多生產(chǎn)1臺(tái)，成本將增加2.125千元.

2)邊際收入

設(shè)銷售某種產(chǎn)品q單位時(shí)的總收入函數(shù)為R=R(q),則當(dāng)銷售量q有一個(gè)改變量Δq時(shí)，總收入函數(shù)R(q)有一個(gè)相應(yīng)的改變量

ΔR=R(q+Δq)-R(q)

那么，總收入函數(shù)R(q)的平均變化率為

當(dāng)總收入函數(shù)R(q)可導(dǎo)時(shí)，其邊際收入定義為即邊際收入是總收入函數(shù)關(guān)于銷售量q的導(dǎo)數(shù).邊際收入有時(shí)用表示，即MR=R′(q).例3-28設(shè)某種家具的需求函數(shù)為q=1200-3p,其中p(單位：元)為家具的銷售價(jià)格，q(單位：件)為需求量，求銷售該家具的需求函數(shù)為q=1200-3p的邊際收入函數(shù)，以及當(dāng)銷售量為q=450件、600件、750件時(shí)的邊際收入.

解由需求函數(shù)q=1200-3p,得價(jià)格,總收入函數(shù)為

故邊際收入函數(shù)為從而

由例3-28可知，當(dāng)家具的銷售量為450件時(shí)，R'(450)>0,說(shuō)明總收入函數(shù)R(q)在q=450附近是單調(diào)增加的，即銷售量增加可使總收入增加，而且再多銷售1件家具，總收入將增加100元；當(dāng)銷售量為600件時(shí)，R'(600)=0,說(shuō)明總收入函數(shù)R(q)達(dá)到最大值，再增加銷售量，總收入將不會(huì)增加；當(dāng)銷售量為750件時(shí)，R'(750)<0,說(shuō)明總收入函數(shù)R(q)在750附近是單調(diào)減少的，而且再多銷售1件家具，總收入將減少100元.

3)邊際利潤(rùn)

設(shè)銷售某種產(chǎn)品q單位時(shí)的利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=L(q),則當(dāng)L(q)可導(dǎo)時(shí)，稱L'(q)為當(dāng)銷售量為q單位時(shí)的邊際利潤(rùn).

因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)L(q)等于總收入函數(shù)R(q)減去總成本函數(shù)C(q),即

L(q)=R(q)-C(q)

那么，由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可知

L'(q)=R'(q)-C'(q)

所以，邊際利潤(rùn)L'(q)等于邊際收入R'(q)減去邊際成本C'(q).例3-29某煤炭公司每天生產(chǎn)煤q(t)的總成本函數(shù)為

C(q)=2000+450q+0.02q2

如果每噸煤的銷售價(jià)為490元，求：

(1)邊際成本函數(shù)C‘(q)；

(2)邊際利潤(rùn)L’(q)；

(3)邊際利潤(rùn)為0時(shí)的產(chǎn)量.

解(1)因?yàn)镃(q)=200+450q+0.02q2,所以C‘(q)=450+0.04q.

(2)因?yàn)榭偸杖牒瘮?shù)R(q)=pq=490q,所以利潤(rùn)函數(shù)為

L(q)=490q-(2000+450q+0.02q2)

=-2000+40q-0.02q2邊際利潤(rùn)函數(shù)為

L′(q)=40-0.04q

(3)當(dāng)邊際利潤(rùn)為0時(shí)，即

L′(q)=40-0.04q=0

可得

q=1000t

3.經(jīng)濟(jì)分析中的最大值與最小值問(wèn)題

例3-30設(shè)某企業(yè)每季度生產(chǎn)某種產(chǎn)品q個(gè)單位時(shí)，總成本函數(shù)為

C(q)=aq3-bq2=cq

其中，a>0,b<0,c<0.求：

(1)使平均成本最小的產(chǎn)量；

(2)最小平均成本及相應(yīng)的邊際成本.

解(1)因?yàn)槠骄杀緸槔?-31一家工廠生產(chǎn)一種成套的電器維修工具,廠家規(guī)定:訂購(gòu)套數(shù)不超過(guò)300套，每套售價(jià)400元；若訂購(gòu)套數(shù)超過(guò)300套，每超過(guò)1套可以少付1元.問(wèn)怎樣的訂購(gòu)數(shù)量才能使工廠銷售收入最大？

解設(shè)訂購(gòu)套數(shù)為q,銷售收入為R(q),那么，當(dāng)訂購(gòu)套數(shù)不超過(guò)300套時(shí)，每套售價(jià)為q=400元；當(dāng)訂購(gòu)套數(shù)超過(guò)300套時(shí)，每套售價(jià)為

q=400-1×(q-300)=700-q

即工具每套售價(jià)為由此可得總收入函數(shù)R(q)為

因?yàn)?/p>

令R′(q)=0,得駐點(diǎn)q1=350,且q2=300是不可導(dǎo)點(diǎn).

當(dāng)q<350時(shí)，R′(q)>0；當(dāng)q>350時(shí),R′(q)<0.所以q2=300不是極值點(diǎn),q1=350是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，即工廠經(jīng)營(yíng)者若想獲得最大銷售收入，應(yīng)該將訂購(gòu)套數(shù)控制在350套.例3-32已知生產(chǎn)某種彩色電視機(jī)的總成本函數(shù)為C(q)=2.2×103q+8×107,通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，可以預(yù)計(jì)這種彩電的所需求量為q=3.1×105-50p,其中p(單位：元)是彩電售價(jià)，

q(單位：臺(tái))是需求量.試求使利潤(rùn)最大的銷售量和銷售價(jià)格.解由需求量q=3.1×105-50p,解得p=6.2×103-0.02q.那么,當(dāng)銷售量為q時(shí)，總收入函數(shù)為

R(q)=pq=6.2×103q-0.02q2

利潤(rùn)函數(shù)為因?yàn)?/p>

L′(q)=4×103-0.04q