《電子技術(shù)》課件-第7章

第7章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)7.1概述7.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算7.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式7.4邏輯代數(shù)的基本定理7.5邏輯函數(shù)及其表示方法7.6邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式7.7邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法7.8具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)習(xí)題

邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計(jì)邏輯電路的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本章首先簡(jiǎn)要介紹邏輯代數(shù)的基本公式、常用公式和基本定理，然后講解邏輯函數(shù)的表示和化簡(jiǎn)方法，并配有一定數(shù)量的例題，

介紹如何應(yīng)用這些公式和定理化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。

7.1概述

邏輯是指事物的前因與后果之間所遵循的規(guī)律。19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾首先提出了描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法——布爾代數(shù)。布爾代數(shù)早期應(yīng)用于解決繼電器開(kāi)關(guān)電路的問(wèn)題，也稱為開(kāi)關(guān)代數(shù)。

隨著數(shù)字技術(shù)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)它完全可以作為研究邏輯電路的數(shù)學(xué)工具，稱為分析和設(shè)計(jì)邏輯電路的理論基礎(chǔ)，所以也把布爾代數(shù)稱為邏輯代數(shù)。邏輯代數(shù)和普通代數(shù)都是

用字母表示變量，這種變量稱為邏輯變量，可以取不同值。和普通代數(shù)不同的是，邏輯變量的取值只有兩個(gè)：“0”或“1”。這兩個(gè)值不具有數(shù)量大小的意義，僅表示客觀事物的兩種不同狀態(tài)，如開(kāi)關(guān)的閉合與斷開(kāi)、判斷問(wèn)題的是與非、電位的高與低等。

7.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算

邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算有與(AND)、或(OR)、非(NOT)三種。

7.2.1與邏輯及與門(mén)

與邏輯的定義:只有當(dāng)決定事件發(fā)生的所有條件均滿足時(shí)，事件才會(huì)發(fā)生。

下面以圖7－1所示的指示燈控制電路為例進(jìn)行說(shuō)明。圖7－1指示燈控制電路

【例7－1】如圖7－1所示，開(kāi)關(guān)A、B串聯(lián)控制燈泡Y。只有當(dāng)兩個(gè)開(kāi)關(guān)同時(shí)閉合時(shí)，指示燈才會(huì)亮。任何一個(gè)開(kāi)關(guān)斷開(kāi)，指示燈都不會(huì)亮。

邏輯表達(dá)式為:Y=A·B=AB。

將開(kāi)關(guān)閉合記作1，斷開(kāi)記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢酝ㄟ^(guò)表7－1來(lái)描述與邏輯關(guān)系。

這種把所有可能的條件組合及其對(duì)應(yīng)結(jié)果一一列出來(lái)的圖表叫做邏輯真值表，簡(jiǎn)稱真值表。

實(shí)現(xiàn)與邏輯運(yùn)算的單元電路稱為與門(mén)。與門(mén)的邏輯符號(hào)如圖7－2所示。圖7－2與邏輯圖形符號(hào)

7.2.2或邏輯及或門(mén)

或邏輯的定義:當(dāng)決定事件發(fā)生的各種條件中，只要有一個(gè)或多個(gè)條件具備，事件就發(fā)生。

下面以圖7－3所示的指示燈控制電路為例進(jìn)行說(shuō)明。圖7－3指示燈控制電路

【例7－2】如圖7－3所示，開(kāi)關(guān)A、B并聯(lián)控制燈泡Y。兩個(gè)開(kāi)關(guān)只要有一個(gè)接通，燈就會(huì)亮。

邏輯表達(dá)式為:Y=A+B。

邏輯真值表如表7－2所示。

實(shí)現(xiàn)或邏輯運(yùn)算的單元電路稱為或門(mén)?；蜷T(mén)的邏輯符號(hào)如圖7－4所示。圖7－4或邏輯圖形符號(hào)

7.2.3非邏輯及非門(mén)

非邏輯的定義:當(dāng)決定事件發(fā)生的條件滿足時(shí)，事件不發(fā)生;條件不滿足時(shí)，事件反而發(fā)生。

下面以圖7－5所示的指示燈控制電路為例進(jìn)行說(shuō)明。圖7－5指示燈控制電路

實(shí)現(xiàn)非邏輯運(yùn)算的單元電路稱為非門(mén)。非門(mén)的邏輯符號(hào)如圖7－6所示。圖7－6非邏輯圖形符號(hào)

7.2.4復(fù)合邏輯門(mén)

與、或、非是三種最基本的邏輯運(yùn)算，應(yīng)用這三種運(yùn)算可以組成復(fù)合邏輯運(yùn)算。常用的一些復(fù)合邏輯運(yùn)算有與非、或非、與或非、異或、同或等。

1.與非運(yùn)算

與非邏輯表達(dá)式為:Y=AB。

與非邏輯真值表如表7－4所示。

與非邏輯符號(hào)如圖7－7所示。

圖7－9與或非的圖形符號(hào)

4.異或運(yùn)算

異或邏輯表達(dá)式為:Y=A

B。

異或邏輯真值表如表77所示，其特點(diǎn)是“相同為0，不同為1”。

異或邏輯符號(hào)如圖7－10所示。

5.同或運(yùn)算

同或邏輯表達(dá)式為:Y=A☉B(tài)。

同或邏輯真值表如表7－8所示，其特點(diǎn)是“相同為1，不同為0”。

同或邏輯符號(hào)如圖7－11所示。

7.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式

7.3.1基本公式表7－9給出了邏輯代數(shù)的基本公式。

表7－9中公式17的證明(公式推演法)如下:

公式17還可以通過(guò)真值表進(jìn)行證明，如表7－10所示。

7.3.2常用公式

表7－11列出了邏輯代數(shù)的幾個(gè)常用公式，直接使用這些公式，可以大大簡(jiǎn)化邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)工作。

表－11中各公式的證明過(guò)程如下:

(1)A+AB=A。

從以上的證明可以看到，這些常用公式都是從基本公式推導(dǎo)出的結(jié)果。當(dāng)然，還可以推導(dǎo)出更多的常用公式。

7.4邏輯代數(shù)的基本定理

7.4.2反演定理

對(duì)于任意一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，

0換成1，

1換成0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的結(jié)果就是Y。這個(gè)規(guī)律稱為反演定理。

注意:

(1)仍需遵守“先括號(hào)，然后乘，最后加”的運(yùn)算優(yōu)先次序。

(2)不屬于單個(gè)變量上的非號(hào)應(yīng)保留不變。

7.5邏輯函數(shù)及其表示方法

如果以邏輯變量作為輸入，以運(yùn)算結(jié)果作為輸出，那么當(dāng)輸入變量的取值確定之后，輸出的取值便隨之而定。輸出與輸入之間是一種函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系稱為邏輯函數(shù)。常用的邏輯函數(shù)表示方法有邏輯真值表、邏輯函數(shù)式、邏輯圖、波形圖、卡諾圖和硬件描述語(yǔ)言等。

7.5.1邏輯真值表

邏輯真值表是由變量的所有可能取值組合及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所構(gòu)成的表格。真值表列寫(xiě)方法:每一個(gè)變量均有0、1兩種取值，

n個(gè)變量共有2n種不同的取值，將這2n種不同的取值按順序(一般按二進(jìn)制遞增規(guī)律)排列起來(lái)，同時(shí)在相應(yīng)位置上填入函數(shù)的值，便可得到邏輯函數(shù)的真值表。

例如，當(dāng)A=B=1，或A=C=1時(shí)，函數(shù)Y=1，否則Y=0。其真值表如表7－12所示。

7.5.2邏輯函數(shù)式

邏輯函數(shù)式是將輸出和輸入之間的邏輯關(guān)系寫(xiě)成與、或、非等運(yùn)算的組合式，又稱邏輯表達(dá)式。

如上例所描述的功能，可得到其邏輯函數(shù)式為:

Y=AB+AC。

7.5.3邏輯圖

將邏輯函數(shù)式中各變量之間的與、或、非等邏輯關(guān)系用圖形符號(hào)表示出來(lái)，就可以畫(huà)出表示函數(shù)關(guān)系的邏輯圖。

例如，函數(shù)式Y(jié)=AB+BC=A(B+C)的邏輯圖如圖7－12所示。圖7－12邏輯圖

7.5.4波形圖

波形圖是由輸入變量的所有可能取值組合的高低電平及其對(duì)應(yīng)的輸出函數(shù)值的高低電平按時(shí)間順序依次排列起來(lái)所構(gòu)成的波形。

7.5.5卡諾圖

使用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的方法在后續(xù)化簡(jiǎn)方法中具體介紹，詳見(jiàn)7.7.2節(jié)。

7.6邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式

邏輯函數(shù)表達(dá)式有最小項(xiàng)之和和最大項(xiàng)之積兩種標(biāo)準(zhǔn)形式。7.6.1最小項(xiàng)之和

1.最小項(xiàng)如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的全部變量，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)稱為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱為最小項(xiàng)。n變量的最小項(xiàng)應(yīng)有2n

個(gè)。

2.最小項(xiàng)的表示方法

通常用符號(hào)mi

來(lái)表示最小項(xiàng)。下標(biāo)i

的確定方法:把最小項(xiàng)中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)

的十進(jìn)制數(shù)，就是這個(gè)最小項(xiàng)的下標(biāo)i

。

表7－13所示為三變量最小項(xiàng)的編號(hào)表。

3.最小項(xiàng)之和

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱為最小項(xiàng)之和表達(dá)式。

對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式A+A=1將每個(gè)乘積項(xiàng)中缺少的因子補(bǔ)全，這樣就可以將其轉(zhuǎn)化為最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式。

7.6.2最大項(xiàng)之積

1.最大項(xiàng)

如果一個(gè)函數(shù)由若干個(gè)或項(xiàng)以邏輯乘的形式組成，若在某個(gè)或項(xiàng)中，每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)或項(xiàng)稱為該函數(shù)的一個(gè)最大項(xiàng)。

n變量的最大項(xiàng)應(yīng)有2n

個(gè)。

2.最大項(xiàng)的表示方法

通常用符號(hào)Mi

來(lái)表示最大項(xiàng)。其下標(biāo)的確定方法與最小項(xiàng)類似。

表7－14所示為三變量最大項(xiàng)的編號(hào)表。

7.7邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法

一般情況下，根據(jù)真值表直接寫(xiě)出的邏輯表達(dá)式或作出的邏輯圖，常會(huì)存在一些多余項(xiàng)，所謂多余項(xiàng)，是指可以省略而不會(huì)影響邏輯功能的項(xiàng)。由于這些多余項(xiàng)的存在而使電路中連線增多、元件增加、邏輯圖變得復(fù)雜，從而使電路出現(xiàn)故障的概率增大，工作可靠性下降。因此，一個(gè)邏輯電路設(shè)計(jì)過(guò)程中，有必要對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)。

一般情況下，我們將邏輯表達(dá)式化為最簡(jiǎn)與或表達(dá)式，即表達(dá)式中包含的乘積項(xiàng)已經(jīng)最少，而且每個(gè)乘積項(xiàng)中的因子也不能再減少的表達(dá)式形式。

常用的化簡(jiǎn)方法有邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法和卡諾圖化簡(jiǎn)法。

可見(jiàn)，使用不同方法，得到的最簡(jiǎn)結(jié)果的形式是一樣的，都為三個(gè)與項(xiàng)，每個(gè)與項(xiàng)都為兩個(gè)變量，表達(dá)式不唯一。

使用公式化簡(jiǎn)法進(jìn)行邏輯函數(shù)式的化簡(jiǎn)，目前尚無(wú)一套完整的、有章可循的方法，能否以最快的速度進(jìn)行化簡(jiǎn)，與我們的經(jīng)驗(yàn)和對(duì)公式掌握以及運(yùn)用的熟練程度有關(guān)。其優(yōu)點(diǎn)

是公式中變量的個(gè)數(shù)不受限制，但是對(duì)于化簡(jiǎn)結(jié)果，有時(shí)不易判斷是否最簡(jiǎn)。

7.7.2邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法

利用卡諾圖可以直觀方便地化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。它克服了代數(shù)化簡(jiǎn)法難以判斷化簡(jiǎn)結(jié)果是否最簡(jiǎn)等缺點(diǎn)。

1.卡諾圖的表示方法

1)卡諾圖

(1)卡諾圖及其構(gòu)成原則。卡諾圖是把最小項(xiàng)按照一定規(guī)則排列而構(gòu)成的方框圖。構(gòu)成卡諾圖的原則如下:

①n變量的卡諾圖有2n

個(gè)小方塊(最小項(xiàng))。

②最小項(xiàng)排列規(guī)則:幾何相鄰的最小項(xiàng)必須是邏輯相鄰項(xiàng)。

邏輯相鄰:兩個(gè)最小項(xiàng)，只有一個(gè)變量的形式不同，其余的都相同。邏輯相鄰的最小項(xiàng)

可以合并。

幾何相鄰:緊挨的，位置相鄰。

(2)卡諾圖的畫(huà)法。

①三變量(A，

B，

C)函數(shù)卡諾圖如圖7－13所示。

三變量的卡諾圖有23

=8個(gè)小方塊;幾何相鄰的必須邏輯相鄰。因此BC變量的取值可直接按00、01、11、10的順序排列。圖7－13三變量函數(shù)卡諾圖

②四變量(A，

B，

C，

D)函數(shù)卡諾圖如圖7－14所示。

四變量卡諾圖的邏輯相鄰包括上下相鄰和左右相鄰，并呈現(xiàn)“循環(huán)相鄰”的特性。它類似于一個(gè)封閉的球面，如同展開(kāi)了的世界地圖一樣。圖7－14四變量函數(shù)卡諾圖

③五變量(A，

B，

C，

D，

E)函數(shù)卡諾圖如圖7－15所示。圖7－15五變量函數(shù)卡諾圖

2)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

(1)從邏輯真值表畫(huà)卡諾圖。根據(jù)變量的個(gè)數(shù)畫(huà)出卡諾圖，再按真值表填寫(xiě)每一個(gè)小方塊的值(0或1)即可。需注意二者順序不同。

【例7－16】已知Y的真值表如表7－15所示，要求畫(huà)出Y的卡諾圖。

其卡諾圖表示如圖7－16所示。

(2)從最小項(xiàng)表達(dá)式畫(huà)卡諾圖。把邏輯表達(dá)式中出現(xiàn)的所有最小項(xiàng)在對(duì)應(yīng)的小方塊中填入1，其余的填為0。

【例7－17】畫(huà)出函數(shù)Y(A，

B，

C，

D)=∑m(0，

3，

5，

7，

9，

12，

15)的卡諾圖。

解

按上述方法，可得到卡諾圖如圖7－17所示。圖7－17例7－17的卡諾圖

(3)從與或表達(dá)式畫(huà)卡諾圖。把每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的小方塊都填上1，剩下的填0，就可以得到邏輯函數(shù)的卡諾圖。

【例7－18】已知Y=AB+ACD+ABCD，畫(huà)出其卡諾圖。

解

按上述方法，可得到卡諾圖如圖7－18所示。圖7－18例7－18的卡諾圖

圖7－19卡諾圖的兩個(gè)最小項(xiàng)合并圖7－20卡諾圖的4個(gè)最小項(xiàng)合并圖7－21卡諾圖的8個(gè)最小項(xiàng)合并

可見(jiàn)，合并兩個(gè)最小項(xiàng)，可消去一個(gè)變量;合并4個(gè)最小項(xiàng)，可消去兩個(gè)變量;合并8個(gè)最小項(xiàng)，可消去3個(gè)變量。也就是說(shuō)，合并2n

個(gè)最小項(xiàng)，可消去n個(gè)變量。

3.利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟如下:

(1)畫(huà)出邏輯函數(shù)的卡諾圖。

(2)合并相鄰最小項(xiàng)(圈組);正確圈組是關(guān)鍵。

(3)從圈組寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。

注意:

(1)必須按2、4、8…2

n的規(guī)律來(lái)圈取值為1的相鄰最小項(xiàng)。

(2)每個(gè)取值為1的最小項(xiàng)至少圈1次，可以反復(fù)多次使用。

(3)組圈的個(gè)數(shù)要最少(與項(xiàng)就少)，每個(gè)圈要盡可能大(消去的變量就越多)。

(4)將每個(gè)圈用一個(gè)與項(xiàng)表示，將各與項(xiàng)相或，得到最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。

將圈內(nèi)各最小項(xiàng)中互補(bǔ)的因子消去，相同的因子保留，相同取值為1用原變量表示，相同取值為0用反變量表示。

【例7－19】用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)Y(A，

B，

C，

D)=∑m(0，

1，

2，

3，

4，

5，

6，

7，8，

10，

11)。

解其卡諾圖表示如圖7－22所示。圖7－22例7－19的卡諾圖

【例7－20】化簡(jiǎn)圖7－23所示的邏輯函數(shù)。

解

按照化簡(jiǎn)步驟，首先進(jìn)行圈組，如圖7－24所示。圖7－23例7－20的卡諾圖圖7－24例7－20的卡諾圖化簡(jiǎn)

圈組技巧(防止多圈組的方法):

(1)先圈孤立的1，再圈只有一種圈法的1，最后圈大圈。

(2)檢查:每個(gè)圈中至少有一個(gè)1未被其他圈圈過(guò)。

7.8具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)

稱為約束項(xiàng)。

值恒等于0的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng)。

2.任意項(xiàng)

在某些情況下，在輸入變量的某些取值下函數(shù)值是1還是0皆可，不影響其功能。在這些變量取值下，其值等于1的那些最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng)。

3.無(wú)關(guān)項(xiàng)

約束項(xiàng)與任意項(xiàng)統(tǒng)稱為無(wú)關(guān)項(xiàng)，在卡諾圖中用“×”表示。

因?yàn)槿我忭?xiàng)的值可以根據(jù)需要取0或取1，所以在用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，充分利用任意項(xiàng)，可以使邏輯函數(shù)進(jìn)一步得到簡(jiǎn)化。

7.8.2無(wú)關(guān)項(xiàng)在邏輯函數(shù)中的應(yīng)用

【例7－21】設(shè)ABCD是十進(jìn)制數(shù)X的二進(jìn)制編碼，當(dāng)X≥5時(shí)輸出Y為1，求Y的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。

解

列出十進(jìn)制數(shù)的真值表如表7－16所示。

其卡諾圖如圖7－25所示。

因此，

Y=A+BD+BC。圖7－25例7－21的卡諾圖化簡(jiǎn)

【例7－22】化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)Y(A，

B，

C，

D)=∑m(1，

2，

5，

6，

9)+∑d(10，

11，12，

13，

14，

15)，

d表示無(wú)關(guān)項(xiàng)。

解

其卡諾圖如圖7－26所示。

因此，