《高等數(shù)學(xué) 》課件-第4章

4.1不定積分的概念4.2不定積分的換元積分法4.3不定積分分部積分法第4章不定積分

4.1不定積分的概念

4.1.1原函數(shù)

有許多實(shí)際問(wèn)題要求我們解決微分法的逆運(yùn)算，就是要由某函數(shù)的已知導(dǎo)數(shù)去求該函數(shù).

例如，已知自由落體任意時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度為v(t)=gt,求該落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，物體在原點(diǎn)).這個(gè)問(wèn)題就是要從關(guān)系式s′(t)=gt還原出函數(shù)s(t).反向用導(dǎo)數(shù)公式可知：s(t)=

gt2,這就是所求的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.一般地，如果已知F′(x)=f(x)，如何求F(x)?為此，引入下述定義.

定義4.1設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F(x),使得

F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx

則稱(chēng)F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù).

比如,因?yàn)?lnx)′=

,故lnx是的一個(gè)原函數(shù)，但是要注意原函數(shù)不是唯一的，如lnx+1也是的一個(gè)原函數(shù)；再如,x2是2x的一個(gè)原函數(shù)，但是，由于(x2+1)′=(x2+2)′=(x2-)′=…=2x,因此x2+1、x2+2、x2-都是2x的原函數(shù).可見(jiàn),2x的原函數(shù)也不是唯一的.

從以上這些例子可知：一個(gè)已知函數(shù)如果有一個(gè)原函數(shù)存在，那么它就有無(wú)限多個(gè)原函數(shù).現(xiàn)在要問(wèn)，任何函數(shù)的原函數(shù)是否都是這樣？下面的定理回答了這個(gè)問(wèn)題.定理4.1若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)+C是f(x)的全部原函數(shù)，其中C為任意常數(shù).

證明由于F′(x)=f(x),又[F(x)+C]′=F′(x)=f(x),因此函數(shù)族F(x)+C中的每一個(gè)都是f(x)的原函數(shù).

另一方面，設(shè)G(x)是f(x)的任一個(gè)原函數(shù)，即G′(x)=f(x),則可證明F(x)與G(x)之間只相差一個(gè)常數(shù)，即G(x)=F(x)+C.事實(shí)上，因?yàn)閇G(x)-F(x)]′=G′(x)-F′(x)=f(x)-f(x)=0,

所以G(x)-F(x)=C,即G(x)=F(x)+C,這就是說(shuō)f(x)的任一個(gè)原函數(shù)G(x)均可表示成F(x)+C的形式.

這樣就證明了f(x)的全體原函數(shù)剛好組成函數(shù)族F(x)+C.4.1.2不定積分

定義4.2如果F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則把函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C叫做f(x)的不定積分，記為

其中,F′(x)=f(x)；x稱(chēng)為積分變量；f(x)稱(chēng)為被積函數(shù)；f(x)dx稱(chēng)為被積表達(dá)式；C稱(chēng)為積分常數(shù)；“∫”稱(chēng)為積分號(hào).注求∫f(x)dx

時(shí)，切記要“+C”，否則求出的只是一個(gè)原函數(shù)，而不是不定積分.通常我們把一個(gè)原函數(shù)F(x)的圖像稱(chēng)為f(x)的一條積分曲線(xiàn)，其方程為y=F(x).因此，不定積分∫f(x)d(x)在幾何上就表示全體積分曲線(xiàn)所組成的曲線(xiàn)族，它們的方程是y=F(x)+C.在幾何上，我們規(guī)定：如果兩條曲線(xiàn)在橫坐標(biāo)相同點(diǎn)處具有相同的切線(xiàn)斜率，則稱(chēng)這兩條曲線(xiàn)平行.這樣，不定積分在幾何上就表示一族彼此平行的曲線(xiàn)，如圖4-1所示.圖4-1例4-1求下列不定積分：

在實(shí)用上，往往需要從全體原函數(shù)中求出一個(gè)滿(mǎn)足已給條件的確定解，即要確定出常數(shù)C的具體數(shù)值，如下例.例4-2設(shè)一曲線(xiàn)的任一點(diǎn)切線(xiàn)斜率為該點(diǎn)橫坐標(biāo)的6倍，又該曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,0),求該曲線(xiàn)方程.

解設(shè)所求曲線(xiàn)方程為y=f(x),按題意有=6x,故

因?yàn)榍€(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,0),將x=1時(shí)，y=0代入上式得0=3+C,

即C=-3,于是所求曲線(xiàn)方程為y=3x2-2.例4-3設(shè)某物體以速度v=12t2作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)t=0時(shí)s=2,求運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=s(t).

解按題意有s′(t)=12t2,即s(t)=∫12t2dt=4t3+C；再將條件t=0時(shí)s=2代入上式,得C=2,故所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=4t3+2.

由積分定義可知，積分運(yùn)算與微分運(yùn)算之間有如下的互逆關(guān)系:4.1.3不定積分的基本積分公式

由于求不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，因此由導(dǎo)數(shù)公式可以相應(yīng)地得出下列積分公式：4.1.4不定積分的性質(zhì)

性質(zhì)4.1被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號(hào)外，即

性質(zhì)4.2兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即

性質(zhì)4.2對(duì)有限多個(gè)函數(shù)的和也是成立的.它表明：和的積分等于積分的和.以上兩個(gè)公式很容易證明，只要驗(yàn)證右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù)，并且右端確含一個(gè)任意常數(shù)C.順便指出，以后我們計(jì)算不定積分時(shí)，就可用這個(gè)方法檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確.

利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式，就可以求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分.實(shí)訓(xùn)4.1

3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=3-2x,且f(1)=4,求f(x).

4.一曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,2)，且曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率都等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，求該曲線(xiàn)方程.

5.一物體以速度v=3t2+4t(m/s)作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t=1s時(shí)，物體經(jīng)過(guò)的路徑s=3m,求物體的運(yùn)動(dòng)方程.

4.2不定積分的換元積分法

利用基本積分公式及性質(zhì)只能求出一些簡(jiǎn)單的積分.對(duì)于比較復(fù)雜的積分，我們總是設(shè)法把它變形，使其成為能利用基本積分公式的形式,再求出其積分.本節(jié)將介紹兩類(lèi)換元積分法.

4.2.1第一換元積分法(湊微分法)

先分析下面的積分.例4-9求∫e100xdx.

解被積函數(shù)e100x是復(fù)合函數(shù)，不能直接套用∫exdx的公式.我們嘗試把原積分作下列變形后再計(jì)算:

直接驗(yàn)證得知，計(jì)算方法正確.例4-9解法的特點(diǎn)是引入新變量u=φ(x),從而把原積分化為關(guān)于u的一個(gè)簡(jiǎn)單的積分，再套用基本積分公式求解.現(xiàn)在的問(wèn)題是，在公式

中，將x換成了u=φ(x)后,得到的公式

是否還成立？回答是肯定的，我們有下述定理：定理4.2如果∫f(x)dx=F(x)+C,則

其中u=φ(x)是x的任一個(gè)可微函數(shù).

證明因?yàn)椤襢(x)dx=F(x)+C,所以dF(x)=f(x)dx.根據(jù)微分形式不變性，則有dF(u)=f(u)du.其中u=φ(x)是x的可微函數(shù)，由此得定理4.2非常重要，它表明：在基本積分公式中，自變量換成任一可微函數(shù)u=φ(x)后公式仍成立.這就大大擴(kuò)充了基本積分公式的使用范圍.應(yīng)用這一結(jié)論，上述例題引用的方法可一般化為下列計(jì)算程序：

這種先“湊”微分式，再作變量置換的方法，叫做第一換元積分法，也稱(chēng)湊微分法.例4-10求∫(3x+7)5dx.當(dāng)運(yùn)算熟練后，可以不將u寫(xiě)出來(lái)，直接用定理計(jì)算即可.運(yùn)用湊微分法的難點(diǎn)在于原題并未指明應(yīng)該把哪一部分湊成dφ(x),這需要解題經(jīng)驗(yàn).如果記熟下列一些微分式，那么在利用湊微分法計(jì)算一些不定積分時(shí)會(huì)大有幫助的.在以上公式中,a≠0.下面再利用湊微分法計(jì)算一些不定積分：

例4-14求下列積分：4.2.2第二換元積分法

第一換元積分法是選擇新的積分變量為u=φ(x),但對(duì)有些被積函數(shù)則需要作另一種方式的換元，即令x=φ(t),把t作為新積分變量，才能積分出結(jié)果，即

.這種方法叫第二換元法.

使用第二換元法的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇變換函數(shù)x=φ(t).對(duì)于x=φ(t),要求其單調(diào)可導(dǎo),φ′(t)≠0,且其反函數(shù)t=φ-1(x)存在.下面通過(guò)一些例子來(lái)說(shuō)明.例4-15求.

解為了消去根式，可令x=t2(t>0),則dx=2tdt,于是有從例4-15可以看出，被積函數(shù)中含有被開(kāi)方因式為一次式的根式時(shí),令,可以消去根號(hào)，從而求得積分.下面重點(diǎn)討論被積函數(shù)含有被開(kāi)方因式為二次式根式的情況.例4-16求(a>0).

解為了消去被積函數(shù)中的根式，使兩個(gè)量的平方差表示成另外一個(gè)量的平方，聯(lián)想有關(guān)的三角函數(shù)平方公式sin2t+cos2t=1,因此可作三角變換.令

那么于是

為把t回代為x的函數(shù)，可根據(jù)sint=作輔助直角三角形(參見(jiàn)圖4-2),得,所以一般地說(shuō)，當(dāng)被積函數(shù)含有

(1)

,可作代換x=asint；

(2)

,可作代換x=atant；

(3)

,可作代換x=sect.

通常稱(chēng)以上代換為三角代換.它是第二換元法的重要組成部分，但在具體解題時(shí)，還要具體問(wèn)題具體分析，例如

就不必用三角代換，而用湊微分法求解更為方便.實(shí)訓(xùn)4.2

1.用第一類(lèi)換元積分法求下列不定積分.

2.用第二類(lèi)換元積分法求下列不定積分.

4.3不定積分分部積分法

當(dāng)被積函數(shù)是兩種不同類(lèi)型函數(shù)的乘積(如∫x2exdx、∫xsinxdx等)時(shí)，往往需要用下面所講的分部積分法來(lái)求解.分部積分法是與兩個(gè)函數(shù)乘積的微分公式相對(duì)應(yīng)的，也是一種基本積分法則，公式推導(dǎo)如下.

設(shè)函數(shù)u=u(x),v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)乘積微分公式有

d(uv)=udv+vdu移項(xiàng)得

udv=d(uv)-vdu

兩邊積分得

該公式稱(chēng)為分部積分公式.它可以將求∫udv的積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求∫vdu的積分，當(dāng)后面這個(gè)積分較容易求解時(shí)，分部積分公式就起到了化難為易的作用.例4-17求∫xcosxdx.

解設(shè)u=x,dv=cosxdx=d(sinx),于是du=dx,v=sinx,代入分部積分公式有

注本題若設(shè)u=cosx,dv=xdx,則有du=-sinxdx及,代入分部積分公式后，得到新得到積分∫x2sinxdx反而比原積分更難求，說(shuō)明這樣設(shè)u、dv是不合適的.由此可見(jiàn)，運(yùn)用好分部積分法的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇好u和dv,一般要考慮如下兩點(diǎn)：

(1)v要容易求得(可用湊微分法求出)；

(2)∫vdu要比∫udv容易積分.當(dāng)熟悉分部積分法后,u、dv及v、du可心算完成，不必具體寫(xiě)出。例4-19表明，有時(shí)要多次使用分部積分法才能求出結(jié)果.下面例題又是一種情況，經(jīng)兩次分部積分后，出現(xiàn)了“循環(huán)現(xiàn)象”，這時(shí)所求積分是通過(guò)解方程而求得的.

注: